درآمد به منطق
فصل ۱۱:تئوری تسویر
قسمت ۱-نیاز به سور، ۲-گزاره‌های منفرد؛ ۳- سور عمومی و سور وجودی

فصل یازدهم. قسمت یکم، دوم  و سوم

۱.۱۱    نیارمندی به سورگذاری(Quantification) 

تعداد زیادی استدلال استنتاجی وجود دارد که اعتبار آنها را نمی‌توان با کاربرد روشهای دو فصل قبل آزمود و لذا باید ابزارهای تحلیلی‌ خود را  بیشتر گسترش دهیم. این‌کار را با تسویر انجام می‌دهیم که ازجمله پیشرفت‌های قرن بیستم است و نظریه جدید استنتاج را بسیار ژرف ساخته است.

گوتلوب فرگه/Gottlob Frege

 

Gottlob Frege - گوتلوب فرگه
گوتلوب فرگه (1925-1848) از جمله بنیان‌گذاران منطق جدید نمادین و نیز فلسفه تحلیلی است. وی به عنوان یک ریاضی‌دان آغاز بکار کرد و بدین باور رسید که ریاضیات از منطق گسترش می‌یابد و در اندیشه بود تا با طرح یک زبان نمادین بتوان آن را نشان داد.

 

فرگه در ویسمار، از بنادر آلمان درشرق هامبورگ، بدنیا آمد. پدر وی از جمله مدیران خلاق مدرسه بود. انگیزه علاقه‌ وی به منطق زبان در ابتدا بواسطه کتابی بود که پدرش برای آموزش ساخت‌های گسترده زبان آلمانی برای نوجوانان آلمان تالیف کرده بود. فرگه در دانشگاه نیا/Jena ریاضی و فیزیک خواند و همان جا با معلمان خود دوستی نزدیک برقرار کرد. در آن روزها مرکز بزرگ برای مطالعات ریاضیات دانشگاه گوتینگن/ Göttingen بود، جایی که فرگه درآنجا ادامه تحصیل داد و دکتری خود را در هندسه در سال 1873 بدست آورد. لیکن این منطق بود که طرف توجه مداوم وی قرار گرفت. اثر بزرگ وی موسوم به نگارش فکر/Concept Script/Begriffsschrift است: زبان صوری برای فکر محض، نمونه‌گرفته از حساب (1879). مساله‌ای که وی با آن دست و پنجه نرم کرد را می‌توان بدینگونه نگاه کرد: منطقدانان از مدت‌ها پیش با رابط ‌های پایه‌ای و، یا، اگر ... آنگاه که به وسیله آنها گزاره‌ها بهم گره می‌خوردند سروکار داشتند. لیکن هنوز زبانی را نگسترانده بودند که با آن عبارت‌های شامل "بعضی" و "همه" را بطور کامل بیان و در دست قرار دهد. به عبارت دیگر، برای گزاره‌ها با صورتی مانند "بعضی زنان از عهده هر مانع برمی‌آیند؛" و "بعضی موانع توسط هر زن برمی‌آید" که در استدلال رخ می‌دهند هنوز زبان منطقی ارائه نشده بود تا بکار آید. برای روش جدیدی در بیان دقیق این مفاهیم، یک بیگرفسشریفت(نگارش فکر) جدید، می‌‌باید اختراع می‌شد.

 

فرگه این کار را کرد. گسترش وی از تسویر در این زبان صوری جدید نقطه عطفی شد در منطق جدید، همان که ما آنرا دراین فصل توضیح داده و به کار برده‌ایم. در عمل همه منطقدانان قرن بیستم تحت نفوذ کار فرگه بودند. هدف بزرگتر وی این بود تا نشان دهد چگونه منطق اصول بنیادین همه استنتاج را فراهم می‌سازد، نوآوری که بعدا به وسیله راسل که با وی نیز نامه‌نگاری داشت به پیش رفت. فرگه در مبانی حساب (1884) بدنبال توضیح این روابط با عبارات غیرنمادین بود و سپس در قوانین بنیادین حساب (1893-1903) به سمت پروژه بزرگ خود پیش رفت و این بوسیله ساختن آن برپایه اصول موضوعه نمادینی بود که از کار قبلی وی نگارش مفهوم بدست می‌آید.

 

آیا کیفیت کار یک منطقدان می‌باید در پرتو نظرات سیاسی و ویژگی‌هایش مورد قضاوت قرار گیرد؟ گرچه تلخ است و تامل برانگیز، فرگه از کاتولیک‌ها متنفر بود، از فرانسوی‌های متنفر بود، از سوسیالیست‌ها متنفر بود و نیز از یهودیان متنفر بود که به اخراج کل آنها از آلمان کمک می‌کرد. در یادداشت‌های روزانه خود آشکار می‌کرد که آدولف هیتلر قهرمان وی است. فرگه در 1925 در گذشت.

 

برای درک اینکه چگونه تسویر توان تحلیل منطقی را افزایش می‌دهد باید ابتدا محدودیت‌روش‌های گفته‌شده تاکنون را بشناسیم. فصل‌های قبل نشان دادند که می‌توان استدلال‌های استنتاجی را بطور کارا آمد آزمود-- ولی استنتاج‌هایی از یک سنخ خاص، یعنی آنهایی که اعتبارشان به‌تمامی بستگی به روشی داشن که مطابق آن عبارت‌های گزاره‌ای ساده بطور تابع-ارزشی ترکیب‌شده درون عبارت‌های گزاره‌ای مرکب قرارداشتند. [و دراین صورت] با کاربستن صورتهای استدلالی مقدماتی و قاعده تعویض، استنتاج‌هایی را استخراج میکردیم که امکان جداسازی استدلال‌های معتبر از نامعتبر این سنخ‌ها را مهیا می‌ساختند. این چیزی بود که بکرات آنرا انجام دادیم.

وقتی با استدلال‌هایی مواجه شویم که گزاره‌های آنها مرکب نیستند، دیگر آن تکنیک‌ها ‍پذیرفتنی نیست؛ یعنی آنها قادر نیستند به عناصر اصلی روند استدلال دست یابند. برای مثال، به استدلال تاریخی زیر توجه کنید:

همه انسانها فانی هستند.1
سقراط انسان است.
بنابرابن، سقراط فانیست.

این استدلال آشکارا معتبر است. با کارزدن روش‌هایی که قبلا معرفی شدند فقط می‌توانیم آنرا بشیوه زیر نمادین کنیم:

A
H
 ∴M

وبراساس این تحلیل بنظز می‌رسد که نامعتبرهم است. چه خطایی دراین میان رخ داده است؟ مسئله برخاسته ازاین واقعیت است که اعتبار این استدلال آشکارا-معتبر وابسته به ساختار منطقی داخلی/Inner logical structure مقدماتش است و این ساختار منطقی نمی‌تواند توسط سیستم نمادگذاری عبارت‌های گزاری که تاکنون توسعه داده‌ایم آشکار شوند. این نمادگذاری بالا با سادگی بیش از اندازه و غیرمؤثر خود بهترین چیزی است که می‌توانیم بدون سورها انجام دهیم. علت آن است که گزاره‌های این استدلال معتبر مرکب نیستند و تکنیک‌های معرفی‌شده تاکنون، که برای کار با عبارت‌های گزاره‌ای مرکب شکل داده‌شده بودند، نمی‌توانند برای بررسی عبارت‌های گزاره‌ای غیرمرکب پذیرفتنی بکار روند. نیازمند به یک روش هست تا بتوانیم با آن گزاره‌های غیرمرکب را نیز بیان و آنها را نمادین سازیم، بگونه‌ای که ساختار منطقی داخلی آنها آشکار گردد. تئوری تسویر این چنین روشی را فراهم می‌سازد.

تسویر ما را به تعبیر مقدمات غیرمرکب بعنوان گزاره‌های مرکب و بدون فقدان در معنی قادر می‌سازد. با این تعبیر می‌توانیم همه صورتهای استدلالی مقدماتی و همینطور قواعد استنتاج را (همانگونه که با عبارت‌های گزاره‌ای مرکب انجام می‌دادیم) برای استخراج استنتاجات و اثبات اعتبار یا بی‌اعتباری بکار گیریم و وقتی به نتیجه مرکب رسیدیم (مجدداً با کارگیری تسویر) به صورت غیرمرکب، که با آن آغاز کرده بودیم، برسیم. این تکنیک توان بسیار زیاد به ماشین‌‌کاری تحلیلی ما می‌افزاید.

روش‌های استنتاج که قبل‌تر گسترش داده شدند همانطور بنیادین باقی می‌مانند؛ سورها قوانین استنتاج را به هیچ عنوان تغییر نمی‌دهند. آنچه را که قبلاً گفته شد می‌توان منطق گزاره‌ها نامید. ما اکنون کار را با کاربرد تعداد بیشتر نمادگذاری ادامه می‌دهیم و آن قواعد استنتاج را بطور گسترده‌تری بکار می‌بندیم و این چیزی است که به آن منطق محمولات می‌گویند. ساختار داخلی گزاره‌ها، روابط بین موضوع و محمول، به سطح آورده‌ می‌شوند و توسط سورها قابل دستیابی می‌گردند. معرفی این نمادگذاری اولین قدم ضروری بعدی ما خواهد بود.

۲.۱۱    گزاره‌های شخصی (Singular Propositions) 

این قسمت را با ساده‌ترین عبارت گزاره‌ای غیرمرکب، که درمقدمه دوم استدلال بالا به تصویر آمد یعنی "سقراط انسان است" آغاز می‌کنیم. عبارات گزاره‌ای از این قسم بطور سنتی گزاره‌های شخصی نامیده‌ شده‌اند. یک گزاره موجب شخصی تصدیق می‌کند که فرد معینی دارای ویژگی خاصی است. "سقراط" دراین مثال حد موضوعی (که با منطق سنتی و دستور زبان نیز مطابقت دارد) و "انسان" حد محمولی است. حد موضوع اشاره‌کننده به یک فرد بخصوص است؛ و حد محمولی مشخص‌کننده ویژگی است که گفته‌شده آن فرد دارای آن است.

آشکار است که یک حد موضوعی یکسان می‌تواند درگزاره‌های شخصیه متفاوت بکاررود. می‌توان اظهار کرد "سقراط  فانی است" یا "سقراط فربه است" یا "سقراط خردمند است" یا "سقراط زیباست". و البته از میان این اظهارات بعضی درست (اولی و سومی) وبعضی نادرست (دومی و چهارمی) هستند.2

بشیوه مشابه یک حد محمولی یکسان نیز می‌تواند در گزاره‌های شخصیه مختلف بکار رود. حد انسان یک محمول است که در همه موردهای: "ارسطو انسان است" , "برزیل انسان است" , "شیکاگو انسان است" و "خزعبل انسان است" ظاهر شده‌است – که از میان آنها اولی و چهارمی درست و حال آنکه دومی و سومی نادرست هستند.

یک فرد در این نماد‌گذاری می‌تواند نه تنها به اشخاص، بلکه به هر شئیای چون یک کشور، یک شهر یا هر چیز دیگر که یک ویژگی (مانند انسان یا سنگین) بتواند برآن حمل شود، رجوع داشته باشد. نیاز نیست تا ویژگی یک صفت (مثل فانی یا خردمند) باشند، بلکه می‌توانند اسم (مثل انسان) نیز باشند. البته دردستور زبان تمیز بین اسم و صفت دارای اهمیت است – اما دراین زمینه فاقد اهمیت است. نیاز نیست تا بین "سقراط انسان است" و "سقراط یک انسان است" تفاوت قائل شد. محمول نیز می‌تواند فعل باشد، مانند "ارسطو می‌نویسد" که می‌تواند بعنوان جایگزین "ارسطو نویسنده‌ است" بیان شود. اولین قدم اساسی، تمیز بین حدهای موضوعی و محمولی، بین افراد و ویژگیهایی که می‌توان گفت دارنده آنهایند، است. پس، ما دو قسم نماد متفاوت برای ارجاع به افراد و ویژگیها معرفی خواهیم کرد.

برای نشان دادن اشیاء فردی(مطابق با رسمی که بطور گسترده پذیرفته شده است) از حروف کوچک [انگلیسی] از a تا w استفاده می کنیم. این نشانه‌ها ثابت‌های انفرادی هستند. درهر زمینه سخن مشخص که اینها درآن حضور یابند هرکدام مشخص کننده یک شئ انفرادی خاص درسراسر آن زمینه سخن خواهند بود. بطور معمول، چناچه هرشئ انفرادی را با حرف اول نام آن نشان دهیم داد، ادامه کار آسان‌تر می‌شود. در اینجا حرف s را برای نشان دادن سقراط، a را برای ارسطو، b را برای برزیل، c را برای شیکاگو و همینطور مانند آنها بکار خواهیم گرفت.

برای نمادگذاری ویژگیهایی که شئ‌های انفرادی می‌توانندحامل آنها باشند از حروف بزرگ الفبا [انگلیسی] و مجددا برای آسانی از حرف اول ویژگی مورد رجوع استفاده می کنیم: H برای انسان، M برای فانی/Mortal،  و F برای فربه، W برای خردمند و همینطور مانند آنها.

اکنون می‌توان یک گزاره شخصیه را نمادین کرد. اینکار را با با نوشتن نماد یک ویژگی بلافاصله در سمت چپ نماد شئ انفرادی انجام می‌دهیم، که اظهار به این دارد که شئی انفرادی ذکر شده دارای ویژگی مشخص‌شده است. بنابراین گزاره شخصیه "سقراط انسان است" بسادگی به Hs نمادین می‌شود. و Ha "ارسطو انسان است"؛ Hb "برزیل انسان است؛ و Hc "شیگاگو انسان است" و همینطور مانند آنها نمادین می‌شوند.

توجه به الگویی که درهمه اینها مشترک است دارای اهمیت است. هرکدام از آنها با یک نماد ویژگی یکسان شروع می شوند، یعنی H، و بدنبال آن یک نماد برای بعضی شئ‌های انفرادی s یا a یا  b یا  cو مانند آنها می‌آید. این الگو را می‌توان بصورت "_H" نوشت که درآن خط "_" درسمت راست نماد محمولی(یعنی H در این مثال) یک جای‌بان برای نمادهای انفرادی است. این قالب را بصورت Hx نمادگذاری می‌کنیم. ما Hx را[که گاهی بصورت (H(x نیز نوشته می‌شود] برای نمادگذاری قالب مشترک همه گزاره‌های شخصیه‌ای بکار می‌بریم که ویژگی‌دهنده "انسان بودن" به بعضی اشیاء انفرادی هستند. به حرف x یک متغیر انفرادی گفته می‌شود - که صرفا یک جای‌بان است و نشان می‌دهد کجا ثابت‌های انفرادی از a تا w می‌توانند نوشته شوند. وقتی یکی از آن ثابت‌ها درجای x ظاهر شود آنگاه ما یک گزاره انفرادی خواهیم داشت. حرف x آماده است تا وظیفه‌مند بعنوان متغیر باشد، زیرا طبق قرار تنها a تا w حروفی هستند که مجازند وظیفه‌مند ثابت‌های انفرادی باشند.

حال نماد Hx را بیشتر و نزدیک‌تر مورد ملاحظه قرار می‌دهیم. این نماد تابع گزاره‌ای نام دارد. ما تابع گزاره‌ای را بعنوان عبارتی تعریف می کنیم که (۱) شامل یک متغیر گزاره‌ای باشد (۲) وقتی یک ثابت انفرادی جانشین آن گردد یک عبارت گزاره‌ای شود.3 بنابراین خود یک تابع گزاره‌ای یک گزاره نیست، گرچه می‌تواند با جانشینی یک گزاره شود. هر گزاره انفرادی یک مورد جانشینی در یک تابع‌ گزاره‌ای است؛ و این گزاره انفرادی نتیجه جانشینی یک ثابت انفرادی بجای متغیر گزاره‌ای در آن تابع گزاره‌ای است.

معمولاً یک تابع گزاره‌ای دارای بعضی موردهای جانشینی درست و بعضی موردهای جانشینی نادرست است. اگر H انسان‌بودن، و s سقراط، و c شیکاگو را نمادین کنند، آنگاه Hs درست و Hc نادرست است. با انجام جانشینی، آنچه با ما روبرو خواهد‌شد یک گزاره است؛ قبل از آنکه جانشینی انجام شود آنچه ما داریم فقط (تابع) گزاره‌ای است. به تعداد نامحدود چنین توابع گزاره‌ای وجود دارد: Hx، Bx و Fx و مانند آنها. ما این توابع گزاره‌ای را محمولات ساده می‌نامیم تا آنها را از توابع گزاره‌ای پیچیده‌تر که درقسمت‌های بعدی خواهند‌آمد تمیز دهیم. یک محمول ساده یک تابع گزاره‌ای است که دارای بعضی موردهای درست و بعضی موردهای نادرست است که هرکدام آنها یک گزاره موجب شخصی هستند.

 

۳.۱۱   سور عمومی و سور وجودی/Universal and Existential Quantifiers

یک گزاره شخصیه تصدیق‌ می‌کند، یک شئی انفرادی وجوددارد که دارای یک محمول داده‌شده‌ای است، بنابراین، این گزاره شخصیه یک مورد جانشینی یک تابع-گزاره‌ای است. اگر محمول M برای فانی و B برای زیبا باشد، آنگاه ما محمول‌های ساده Mx و Bx را داریم که البته فانی‌بودن یا زیبایی هیچ شئی خاصی را اظهار نمی‌کنند. اگر سقراط را جانشین متغیر x کنیم، گزاره‌های شخصیه "سقراط فانی است" و "سقراط زیبا است" را بدست می‌آوریم. اکنون ممکن است بخواهیم بگوئیم بیش از یک شئی ویژگی مورد نظر را دارد. و همینطور نیز بخواهیم بگوئیم "هرچیزی فانی است" یا "بعضی چیزها زیبایند". این عبارات شامل حدهای محمولی هستند ولی گزاره شخصیه نیستند، زیرا آنها به شئی انفرادی خاصی بطور مخصوص اشاره‌ای ندارند. اینها گزاره‌های عام هستند.

اکنون به اولین گزاره ازاین دو گزاره عام نزدیک‌تر نگاه می‌کنیم، "هر چیزی فانی است." این گزاره را می‌توان به‌روشهای مختلف بیان‌کرد که هم‌ارز منطقی باشند. می توان بجای آن بگوئیم "همه چیزها فانی هستند" یا می‌توان آنرا به این شیوه گفت که:

 

هرچه باشد شئی انفرادی مفروضی(داده‌شده‌ای)، آن فانی است.

 

دراین پیکربندی اخیر کلمه "آن" یک ضمیر اشاره است که برگشت ارجاع به "شئی"، که مقدم به آن آمده است، دارد. می‌توان بجای ضمیراشاره و هم‌چنین مقدم آن حرف x ، یعنی همان متغیر انفرادی، را بکاربریم. بنابراین، می توان اولین گزاره عام را بصورت زیر بازنویسی کرد:

 

برای هر x مفروضی، x فانی است.

 

 

یا آن نماد‌سازی را که در قسمت قبل معرفی کردیم بکاربرده و بنویسیم:

 

برای‌هر x مفروضی Mx.

 

 

می‌دانیم Mx یک تابع گزاره‌ای است و نه یک گزاره. اما در این پیکر‌بندی آخری یک عبارت داریم که شامل Mx است و آشکارا گزاره است. رسم چنین است که "برای هر x مفروضی" را با (x) نماد‌سازی کنند و آنرا سور عمومی بنامند. اکنون می توان گزاره عام اولی را به‌تمامی بصورت

 

(x)Mx

نمادین کرد که  آشکارامی گوید "هر چیزی فانی است."

آلفرد نورث وایتهد/Alfred North Whitehead

 

Alfred North Whitehead-آلفرد نورث وایتهد
آلفرد نورث وایتهد در سال 1861 در رامز گیت/ Ramsgate در ناحیه کِنت انگلستان بدنیا آمد. وی فرزند یک کشیش آنجلیکان بود. وایتهد بعد از فارغ‌التحصیلی از یک مدرسه بسیار معتبر "عمومی" به تحصیل ریاضیات در کالج ترینیتی در کمبریج پرداخت و سرانجام در همین کالج دستیار گردید. اقتصاددان مشهور جان مینارد کینز یکی از دانشجویان وی در ریاضیات بود. از جمله دیگر دانشجوی وی برتراندراسل بود که بعد همکار و نیز نویسنده همکار با وی گردید.

 

وایتهد و راسل بعد از یک دهه تلاش بالاتفاق رساله بسیار پرنفوذ اصول ریاضیات/Principia Mathematica را در سه مجلد  1910, 1912, 1913  به بار نشاندند. در این اثر استخراج ریاضیات از اصول پایه‌ای منطق که قبلاً فرگه در آلمان کمر به همت آن بسته بود سرانجام به بار نشست. این محصول مشترک یکی از مهم‌ترین دست‌آوردهای منطق در قرن بیستم است.

دوستی وایتهد و راسل بواسطه دیدگاه‌های سیاسی به طرز ناگوار از هم گسست. وایتهد سه فرزند پسر داشت که یکی از آنها در جنگ جهانی اول کشته شد. راسل یک صلح‌طلب بود که فعالانه با شرکت بریتانیا در آن جنگ مخالف بود. این دو مؤلف، ژرف و برای همیشه، از یکدیگر گستند. وقتی ویرایش جدید از اصول ریاضیات در سال 1927 منتشر شد وایتهد از همکاری امتناع کرد.

بعد از یک دوره کامل تدریس ریاضیات و منطق در دانشگاه کمبریج و سپس لندن، وایتهد متوجه موضوعات متافیزیکی و تاریخی گردید. در 1924 وی به دانشگاه هاروارد برای تدریس فلسفه دعوت شد، وی به این دعوت پاسخ داد و باقی عمر خود را در امریکا گذراند. علم و دنیای جدید (1925) شرحی نافذ از وی بر نقش علم و ریاضی در ظهور تمدن غربی است. در پویش و هستی (1929) دیدگاه متافیزیکی خویش را ارائه کرد، که در آن به سنت فیلسوف باستانی هراکلیتوس گرائید، یعنی "همه چیز در سیلان است" و هیچ چیزی پایدار نیست. بنابراین وی اندیشید که درستی‌ها نمی‌توانند چیزی بیش از "نیمه-درستی‌ها" باشند. لیکن وی بعنوان یک منطقدان خلاق و همکار راسل در تالیف اصول ریاضیات بیشترین شناخته‌شدگی را دارد. وایتهد در کمبریج ماساچوست در 1947 در گذشت.

 

 

این تحلیل نشان می دهد که می‌توان یک تابع گزاره‌ای را نه‌تنها با جانشینی، بلکه با تعمیم یا تسویر نیز به گزاره تبدیل کرد.

حال گزاره عام دوم را که وارد میدان کرده‌ایم ملاحظه می کنیم: "بعضی چیزها زیبایند". این‌را نیز می‌توان بصورت زیر بیان کرد:

 

"حداقل یک چیز وجود دارد که زیباست"

 

دراین پیکربندی اخیر کلمه "که" یک ضمیر موصولی است که برگشت ارجاع به "شئی" دارد. با بکاربردن متغیر انفرادی x بجای ضمیر "که" و همینطور مقدم آن "شئی"، می‌توان دومین گزاره عام را بصورت زیر بازنویسی کرد

 

حداقل یک x وجود دارد، بقسمی که x زیباست.

 

یا با کارزدن نمادسازی برای محمولات می توان نوشت:

 

حداقل یک x وجود دارد، بقسمی که Bx.

 

بار دیگر مشاهده می کنیم که گرچه Bx یک تابع گزاره‌ای و نه گزاره است ولی اینجا یک عبارت داریم که شامل Bx است و گزاره‌هم است. رسم چنین است که عبارت "حداقل یک x وجود دارد بقسمی که" را با "x" نمادسازی کنند و آنرا سور وجودی بنامند. بنابراین، دومین گزاره عام را می‌توان به‌تمامی مطابق

 (x) Bx

نمادسازی کرد که دقیقاً می‌گوید "بعضی چیزها زیبایند."

دیدیم که می‌توان از توابع گزاره‌ای با مورد‌سازی[تخصیص]/Instantiating، یعنی با جانشینی یک ثابت انفرادی به‌جای متغیر انفرادی آن، یا با تعمیم، یعنی قراردادن یک سور عمومی یا وجودی قبل از آن، گزاره‌ها را ساخت.

اکنون ملاحظه کنید که مسور(سوردارشده) عمومی یک تابع گزاره‌ای، x)Mx) ، درست است، اگر و فقط اگر همه مورد‌های جانشینی آن درست باشند؛ این چیزی است که این‌جا از عام‌بودن مرادنظر است. هم‌چنین آشکار است که مسور وجودی یک تابع گزاره‌ای،

 (∃x)Mx

 درست است اگر و فقط اگر حداقل یک مورد جانشینی درست داشته باشد. حالا فرض کنیم(که کسی‌هم نمی‌خواهد آنرا انکار کند) حداقل یک شئی انفرادی وجود دارد. تحت این فرض خیلی ضعیف، هر تابع گزاره‌ای دارای یک مورد جانشینی است، موردی که ممکن است درست یا نادرست باشد. اما بطور مطمئن، تحت این فرض، اگر سور عمومی یک تابع گزاره‌ای درست باشد آنگاه سور وجودی آن نیز باید درست باشد. بعبارت دیگر، اگر هر M   x است، آنگاه یک شئی است که آن شئی M است.

تا اینجا گزاره‌های موجب شخصی به‌عنوان مورد جانشین توابع گزاره‌ای ارائه شده‌اند. Mx (هر M   x است) یک تابع گزاره‌ای است. Ms که می گوید "سقراط فانی است" یک مورد آن است، یعنی یک گزاره موجب شخصی است. اما همه گزاره‌ها ایجابی نیستند. ممکن است کسی منکر آن شود که "سقراط فانی است" و بگوید Mx~، یعنی "سقراط فانی نیست". اگر Ms مورد جانشینی Mx است، آنگاه Ms~ می‌تواند مورد جانشین Mx~ درنظر گرفته‌شود. و بنابراین می‌توانیم درک مفهومی خود از توابع گزاره‌ای را گسترش دهیم، گسترشی فراتر از محمولات ساده که در قسمت قبل معرفی‌شدند و اجازه‌دهیم آنها شامل نماد نقیض "~" نیز باشند.

با دسترسی به نماد نقیض، می‌توانیم درک خود از تسویر را مطابق آنچه می‌آید ژرفا دهیم. کار را با گزاره

هیچ چیز کامل نیست.

که می‌توان آنرا بصورت زیر بازنویسی کرد آغاز می‌کنیم:

هرچیزی غیر کامل است.

که به نوبت خود می‌توان آنرا به‌صورت زیر بازنویسی کرد :

برای هر شئی انفرادی مفروض هرچه که می‌خواهد باشد، آن کامل نیست.

که این نیز می‌تواند بصورت زیر بازنویسی شود:

برای هر x مفروض(داده‌شده)، x کامل نیست.

 

اگر P ویژگی کامل‌بودن را نمادین کند، آنگاه می‌توان نماد‌گذاری را که هم‌اکنون گسترش دادیم(سور و غلامت نقیض) را بکار ببریم تا این گزاره("هیچ چیز کامل نیست") را به‌صورت

 (x)~Px

بیان کنیم.

اکنون در موقعیتی هستیم تا بتوانیم بعضی روابط مهم بین سور وجودی و عمومی را فهرست و نمایش دهیم.

 

یکم، گزاره عام(کلی) "هر چیزی فانی است" توسط گزاره عام(وجودی) "بعضی چیزها فانی نیستند" نفی می‌شود. ازآنجاکه هریک ار این‌ها نفی دیگریست، می‌توان با اطمینان گفت(با قراردادن نماد نقیض در اول یکی) که دوشرطی

~(x)Mx (∃x)~Mx

به ضرورت، منطقاً درست است.

 

دوم، "هر چیزی فانی است" دقیقاً همان‌چیزی را می‌گوید که توسط "چیزی نیست که فانی نباشد" گفته می‌شود -- که می‌توان آنرا به دوشرطی دیگری و منطقاً درست پیکربندی کرد:

(x)Mx ~(∃x)~Mx.

 

سوم، آشکار است که گزاره عام(کلی) "هیچ چیز فانی نیست" توسط گزاره "بعضی چیزها فانی هستند" نفی می‌شود. به‌شیوه نمادین می‌توان گفت

   نفی می‌شود (x)Mx    توسط   (x)~Mx

و از آن‌جا که هریک نفی دیگر است با اطمینان (مجدداً با مقدم کردن یکی با یک نماد نقیض) دو شرطی:

‍~(x)~Mx (∃x)Mx

به ضرورت، منطقاً درست است.

 

و چهارم، "هر چیزی فانی نیست" دقیقاً آن چیزی را می‌گوید که توسط "چیزی نیست که فانی باشد" گفته می‌شود – که می‌توان آن‌را با دوشرطی زیر پیکربندی کرد:

(x)~Mx ~(x)Mx

این چهار دوشرطی منطقاً درست روابط بین سورهای عمومی و وجودی را بیان می‌کنند. هرگزاره‌ای که در آن سور با نماد نقیض مقدم شده‌باشد را می‌توان با گزاره‌ای که هم‌ارز با آن است تعویض کرد، بقسمی‌که در آن سور با نماد نقیض مقدم نشده‌باشد(با کارزدن دوشرطی‌های منطقاً معتبر که در بالا گفته شد.) این دوشرطی‌ها را در زیر فهرست و محمول مثالی M(برای فانی‌بودن) را با نماد Φ(حرف یونانی باصدای فی) که دلالت بر هر محمولی، هرچه که می‌خواهد باشد دارد، تعویض می‌کنیم.

 

[(xx ] [~(x)~Φx]

 

[(xx ] [~(x)~Φx]

 

[(x)~Φx ] [~(xx]

 

[(∃x)~Φx ] [~(xx]




هم‌ارزی‌ها‌منطقی--بیانگر روابط بین سورهای وجودی و عمومی





 

روابط بین سور عمومی و وجودی را می‌توان با جنبه نموداری بیشتر با یک مربع آراسته آنچنان که در شکل ۱.۱۱ آمده است، نشان‌داد.

 

 روابط بین سورها بصورت نموداری-مربع-شکل   ۱۱.۱



با نگهداشتن فرض وجود حداقل یک شئی انفرادی و با رجوع به این مربع می‌توان گفت:

1- دو گزاره در سطربالایی متضاد(contraries) هستند، یعنی هردو می‌توانند نادرست باشند ولی هردو نمی‌توانند درست باشند.

2- دو گزاره در سطرپائینی داخل در تحت تضاد(subcontraries) هستند، یعنی هردو می‌توانند درست باشند ولی هردو نمی‌توانند نادرست باشند.

3- گزاره‌های واقع در دوسر هر قطر متناقض(contradictories) هستند، که یکی باید درست و دیگری نادرست باشد.

4- در هردو ساق مربع گزاره پائین‌تر لازم‌شده(مستلزَم) توسط گزاره بلافاصله بالای آن است.

                     پایان قیمت ۳.۱۱

  پانوشت

[1]- همانگونه در فصل‌های شش و هفت شرح آن آمد، این از آنگونه استدلال‌هایی بود که منطق ارسطویی یا کلاسیک[قدیم] عمدتاً به آن پرداخته‌است، اما آن روش‌های سنتی توان تعمیم پذیری منطق نمادین جدیدتر را ندارند و نمی‌توانند بگونه‌ای گسترش یابند که همه انواع استدلال‌های استنتاجی را که با آن مواجه می‌شویم پوشش دهند

 

[2]- در روشی که اینجا پی می‌گیریم از عامل زمان چشم پوشی می‌شود، و فعل "است/بودن"  را در برداشت بدون زمان "است, بوده است, خواهد بود" بکار می‌بریم. وقتی ملاحظات تغییر زمان هم مورد نظرباشد، آنگاه نمادگذاری پیچیده‌تر از منطق نسبت‌ها برای بررسی قابل قبول مورد نیاز است.

 

[3]- بعضی نویسندگان "توابع گزاره‌ای" را بعنوان معنی چنین عبارات در نظر می‌گیرند، و لی ما آنرا در اینجا اینگونه تعریف می‌کنیم که خود این عبارات باشد.



 











































تسویر
روشی که برای نمادین کردن ساختار منطقی داخلی گزاره‌ها بکار گرفته می‌شود.




















گزاره موجب شخصی
گزاره‌ای که در آن تصدیق شود یک فرد معین دارای ویژگی مشخصی است.




































ثابت انفرادی
یک نماد که در نشان‌گذاری منطقی برای دلالت به یک فرد بکار رود.


























متغیر انفرادی
نمادی که  بعنوان یک جای‌بان برای یک ثابت انفرادی بکار رود.





تابع گزاره‌ای
عبارتی‌که شامل یک متغیر انفردای است، بقسمی‌که وقتی یک ثابت انفرادی جانشین متغیر انفرادی ‌شود به یک عبارت گزاره‌ای تبدیل شود.






محمول ساده
یک تابع گزاره‌ای که دارای بعضی مورد‌های جانشینی درست و بعضی نادرست است، بقسمی که هریک از آنها یک گزاره موجب شخصی باشند.




































سور عمومی
نماد (x) قبل از تابع گزاره‌ای بکار می‌رود تا بگوید محمول بدنبال آمده برای هرچیزی درست است.

تعمیم
روند تشکیل گزاره از یک تابع گزاره‌ای با گذاشتن یک سور عمومی یا یک سور وجودی قبل ار آن.













سور وجودی
نماد ( x∃) که دلالت برآن دارد، تابع گزاره‌ای درپی آمده دارای حداقل یک مورد جانشینی درست است.


مورد‌سازی /تخصیص
روند تشکیل گزاره با جانشین کردن ثابت‌های انفرادی بجای متغیر انفرادی در توابع گزاره‌ای.