استنتاج‌های بی‌واسطه بیشتر

آ. عکس مستوی / وارون ساده:

عکس مستوی [مستوی:هموار] (یا وارون ساده) استنتاجی است که از جابجایی حد موضوع و حد محمول یک گزاره حملی بدست می‌آید. "هیچ مردی فرشته نیست" به "هیچ فرشته‌ای مرد نیست" وارون می‌شود، و می‌توان یکی را از دیگری به‌طور معتبر نتیجه گرفت. به‌همین روش "بعضی زنان نویسنده هستند" و "بعضی نویسندگان زن هستند" منطقاً معادل هستند، و بوسیله عکس مستوی، هر یک بگونه معتبر‌ می‌تواند از دیگری استنتاج شوند. عکس مستوی به‌طور کامل برای همه گزاره‌های E و همه گزاره‌های I معتبر است. ازاین‌رو می‌گویند، یک گزاره حملی استاندارد-ساخت عکس مستوی گزاره حملی استاندارد-ساخت دیگر است، هرگاه آن را فقط از جابجایی حدهای محمول و موضوع آن گزاره به دست آورده باشیم. به گزاره‌ای که از آن این گزاره به‌دست‌آمده وارون‌شده می‌گویند. بنابراین "هیچ آرمان‌گرا سیاستمدار نیست" وارون‌شده "هیچ سیاستمدار آرمان‌گرا نیست" است.

عکس مستوی گزارۀ O همیشه معتبر نیست. گزارۀ O "بعضی حیوانات سگ نیستند" آشکارا درست است، و عکس مستوی آن، یعنی "بعضی سگ‌ها حیوان نیستند" نیز آشکارا نادرست است. یک گزارۀ O و وارون آن به‌صورت کلی منطقاً معادل نیستند.

گزارۀ A، در این زمینه، نمایانگر مسئلۀ ویژه‌ای است. عکس مستوی گزارۀ A، به‌طورکلی، از آن نتیجه نمی‌شود. از "همه سگ‌ها حیوان هستند" نمی‌توان نتیجه گرفت "همۀ حیوانات سگ هستند". منطق سنتی البته این مسئله را تشخیص می‌دهد، اما بااین‌وجود چیزی شبیه عکس مستوی را برای گزاره A می‌پذیرد. در مربع تقابل سنتی می‌توان بگونه معتبر از گزارۀ A "همه سگ‌ها حیوان هستند" متداخل محاطی آن یعنی گزارۀ I "بعضی سگ‌ها حیوان هستند" را استنتاج نمود. گزارۀ A چیزی را دربارۀ همه اعضای کلاس حد موضوع (سگ‌ها) می‌گوید، گزارۀ I ادعای بسیار محدودتری دارد و آن فقط دربارۀ بعضی از اعضای کلاس است. به‌طورکلی چنین فرض کرده‌اند که می‌توان گزارۀ "بعضی P ،S است" را از "همه P ،S است" نتیجه گرفت. و بعلاوه همان‌طور در بالا دیدیم که یک گزارۀ I می‌تواند بگونه معتبر به عکس مستوی برگردان شود، اگر بعضی سگ‌ها حیوان هستند، آنگاه بعضی حیوانات سگ هستند.

پس، اگر گزاره A "همۀ سگ‌ها حیوان هستند" مفروض باشد، ابتدا توسط تداخل محاطی بگونه معتبر می‌توان "بعضی سگ‌ها حیوان هستند" را نتیجه گرفت؛ و ازآنجا با ترکیب تداخل محاطی و عکس مستوی بگونه معتبر نتیجه گرفت "بعضی حیوانات سگ هستند". ازاین‌قرار، با ترکیب تداخل محاطی و عکس مستوی می‌توان به‌طور معتبر از "همه P ،S است" تا "بعضی S ،P است" پیش‌ رفت.

این الگوی استنتاجی را تحدید عکس مستوی می‌گویند و آن را با جابجایی حدهای موضوع و محمول و نیز تبدیل کمیت گزاره از کلی به جزئی به دست می‌آورند. این‌گونه عکس مستوی در بخش بعدی بیشتر بررسی خواهد شد.

در همه برگردان‌ها به عکس مستوی، وارون یک گزارۀ مفروض دقیقاً دارای همان حدهای موضوع و محمول گزاره اصلی است که ترتیب آن‌ها وارون شده و کیفیت (موجب یا سالب) نیز همیشه دست‌نخورده باقی‌مانده است. در جدول زیر تمام این نوع استنتاج‌های بی‌واسطه را، آن‌گونه که در منطق سنتی فهمیده می‌شود، آورده‌ایم:

ب. کلاس و متمم کلاس:

برای بیان گونه‌های دیگر استنتاج‌های بی‌واسطه، نیاز است تا ابتدا مفهوم "کلاس" را نزدیک‌تر بررسی و توضیح دهیم که مراد از متمم کلاس يا متمم چیست. همان‌طور که گفتیم یک کلاس گِردآیه‌ای از همه‌چیزهای دارای یک ویژگی مشخص مشترک است، به قسمی که می‌توان از آن به‌عنوان "خاصه تعریف کلاس" یادکرد. کلاسِ همه انسان‌ها همه‌چیزهایی است که دارای ویژگی انسان بودن هستند، خاصهِ تعریف کلاس در این حالت ویژگی‌های انسان بودن است. نیاز نیست خاصه تعریف کلاس یک ویژگی "ساده" باشد، هر ویژگی می‌تواند یک کلاس را تعریف کند. خاصه مرکب چپ‌دستی و سرخ‌‌مویی و دانشجوئی، یک کلاس را تعیین می‌کند— کلاسِ همه دانشجویان چپ‌ دست سرخ مو.

هر کلاس، در رابطه با خود، دارای یک کلاس متمم یا متمم است که گردآیه‌ای از همه‌چیزهایی است که متعلق به آن کلاس نیستند. متمم کلاس همه انسان‌ها همه‌چیزهایی است که انسان نیستند. خاصه تعریف این کلاسِ متمم، انسان نبودن (سالب) است. متممِ کلاس انسان‌ها شامل هیچ انسانی نیست، اما شامل همه‌چیزهای دیگر هست: کفش، گوسفند، لاک و هویج— اما شامل سلاطین نیست زیرا سلاطین انسان هستند. اغلب به خاطر راحتی کار به‌جای صحبت از متمم کلاس همه انسان‌ها می‌توان از کلاس "همه غیر-انسان‌ها" استفاده کرد. بنابراین می‌توان متمم کلاس مشخص‌شده توسط S را به‌صورت غیرS مشخص کرد. گاهی وقت‌ها در استدلال از مفهومی موسوم به متمم نسبی یک کلاس استفاده می‌شود، یعنی متمم آن در میان متمم کلاس دیگر. برای مثال درون کلاس "فرزندان من" زیرکلاس "دختران من" وجود دارد، که متمم نسبی آن زیرکلاس دیگر یعنی، "فرزندان من که دختر نیستند" یا "پسران من" است. اما عکس ‌متمم و دیگر استنتاج‌های بی‌واسطه، آن‌گونه که در بالا تعریف شد، بر کلاس طبقه‌های متمم مطلق تکیه‌دارند.

با توجه به آنچه گفته شد، واژه متمم با دو برداشت بکار می‌رود. در یک برداشت عبارت است از متمم یک کلاس و دیگری به‌عنوان متمم یک حد. گرچه این دو برداشت متفاوت‌اند، اما به‌طور نزدیک به هم مرتبط‌اند. یک حد، متمم حدِ دیگری است، اگر (کلاسِ) متمم کلاس تخصیص‌ داده‌شده به حد اول، کلاسی باشد که به حد دوم تخصیص داده‌شده‌ باشد.

توجه داشته باشید که یک کلاس، (کلاسِ) متممِ متمم خود است. به همین ترتیب یک حد، (حدِ) متممِ متمم خود نیز است. درواقع نوعی از قاعده "نفی مضاعف" به خاطر جلوگیری از دنباله رشته حرفی "غیر" در اینجا بکار برده شده. بنابراین متمم رأی‌دهنده عبارت از غیر-رأی‌دهنده است، اما متمم غیر-رأی‌دهنده را بجای غیر-غیر-رأی‌دهنده فقط باید رأی‌دهنده نوشت.

همچنین، باید دقت کرد تا متضاد یک عبارت را با متمم یک عبارت اشتباه نگرفت. "ترسو" و "قهرمان" متضاد هستند، زیرا یک فرد نمی‌تواند هم ترسو و هم قهرمان باشد. اما باید "ترسو" را با "غیر-قهرمان" یکسان نگرفت، زیرا این‌گونه نیست که هر فرد و قطعاً هر چیز باید یکی از این دو چیز باشد. به همین ترتیب متمم عبارت "برنده" عبارت "بازنده" نیست بلکه "غیر-برنده" است، زیرا این‌گونه نیست که هر چیزی و همین‌طور هر فردی "برنده" یا "بازنده" هست، ولی هر چیزی مطلقاً برنده یا غیر-برنده است.

ج. عکس متمم:

وقتی مفهوم متمم یک کلاس فهمیده شد، استنتاج بی‌واسطه‌ای که عکس ‌متمم نام دارد به‌آسانی قابل توضیح خواهد بود. برای ساختن عکس ‌متمم‌ یک گزاره، کیفیت آن را تغییر داده (موجبه به سالبه یا سالبه به موجبه) و حد محمول را با متمم آن جایگزین می‌کنیم. اما حد موضوع و همچنین کمیت گزاره را بدون تغییر باقی می‌گذاریم. برای مثال، عکس متممِ گزاره A "همه شهروندان رأی‌دهنده هستند" گزاره E "هیچ شهروند غیر-رأی‌دهنده نیست" است. این دو، گزاره‌های منطقاً معادل هستند و هریک را می‌توان به‌طور معتبر از دیگری به دست آورد.

عکس ‌متمم، یک استنتاج بی‌واسطه معتبر برای هر گزاره حملی استاندارد-ساخت به‌قرار زیر است:

در عکس متمم، گزاره‌ای که به‌عنوان مقدمه بکار رفته به مقدمه عکس متمم؛ و نتیجه استنتاج به تالی عکس متمم موسوم‌اند. هر گزاره حملی استاندارد-ساخت منطقاً معادل با عکس ‌متمم‌ خود است. بنابراین، عکس ‌متمم‌ یک صورت معتبر از استنتاج‌های بی‌واسطه است. برای به دست آوردن عکس  متمم‌ یک گزاره، کمیت (کلی یا جزئی) و حد موضوع را دست‌نخورده باقی گذاشته، ولی کیفیت گزاره را تغییر داده و حد محمول را با متمم آن تعویض می‌کنیم. در جدول زیر انواع برگردان‌های ‌متمم‌ نشان داده‌شده است.

د. عکس نقیض:

نوع سوم از استنتاج بی‌واسطه، یعنی عکس نقیض را می‌توان به دو نوع نخست یعنی عکس مستوی و عکس متمم کاهش داد. برای ساختن گزاره عکس ‌نقیض حد موضوع را با متمم حد محمول، و حد محمول را با متمم حد موضوع جابجا می‌کنیم. کیفیت و کمیت دست‌نخورده باقی می‌مانند. بنابراین، عکس نقیض یک گزاره A یک گزاره A و عکس نقیض یک گزاره O یک گزاره O است و بقیه نیز به‌همین ترتیب‌اند.

برای مثال، عکس نقیض گزاره A “همه اعضا رأی‌دهنده هستند“ گزاره A “همه غیر-رأی‌دهنده‌ها غیر-عضو هستند" است. این دو گزاره، که به‌طور شهودی نیز قابل‌درک است، منطقاً معادل هستند. عکس نقیض برای گزاره A یک استنتاج بی‌واسطه و خیلی سرراست است و به‌واقع چیز جدیدی را معرفی نمی‌کند، زیرا می‌توان با عکس متمم و سپس کاربرد عکس مستوی و مجدداً عکس متمم از هر گزاره A به عکس نقیض آن رسید. با شروع از گزاره "همه P ،S است"، عکس متمم آن یعنی گزاره “هیچ S غیرP نیست" را به دست آورده و سپس با کاربرد عکس مستوی، به‌طور معتبر به گزاره “هیچ غیرS ،P نیست” خواهیم رسید که کاربرد دوباره عکس متمم روی آن، گزاره “همه غیرP غیرS است" را به دست می‌دهد. عکس نقیض گزاره A عبارت است از عکس ‌متممِ عکس ‌مستویِ عکس متممِ آن.

عکس نقیض وقتی در مورد گزاره O بکار رود، گرچه به لفظ درآوردن نتیجه آن ممکن است زمخت باشد، یک استنتاج بی‌واسطه معتبر است. عکس نقیض گزاره O “بعضی دانشجویان آرمان‌گرا نیستند” گزاره ناهموار “بعضی غیر آرمان‌گرایان غیر دانشجو نیستند” خواهد شد که منطقاً با مقدمه آن معادل است. می‌توان نشان داد که این نیز ابتدا با عکس متمم و سپس کاربرد عکس مستوی و سرانجام با کاربرد عکس متمم به دست خواهد آمد. “بعضی P - S نیست“ با کاربرد عکس متمم به "بعضی S غیر-P است“ برگردان‌شده که عکس مستوی آن عبارت از "بعضی غیر-S P است“ است، که عکس متمم این عبارت از "بعضی غیر-P غیر-S نیست" است.

برای گزاره‌های I، در حالت کلی، عکس نقیض یک استنتاج معتبر نیست. گزاره درست “بعضی شهروندان قانون‌گذار نیستند،“ دارای عکس نقیض “بعضی قانون‌گذاران شهروند نیستند” است که نادرست است. دلیل این عدم اعتبار وقتی روشن می‌شود که سعی کنیم عکس نقیض گزاره I را از طریق برگردان‌های پی‌درپی عکس ‌متمم، عکس‌ مستوی و عکس به متمم استنتاج نماییم. عکس‌ متمم گزاره I اصلی یعنی "بعضی P S است" گزاره O “بعضی S غیر-P نیست“ است، اما (همان‌طور که قبلاً دیدیم) عکس مستوی گزاره O به‌طور معتبر از آن ساخته نمی‌شود.

در مورد گزاره E،، همان‌طور که می‌شود دید، عکس نقیض آن به‌طور معتبر به دست نمی‌آ‌‌ید. اگر از گزاره درست “هیچ کشتی‌گیر سست‌‌بنیه نیست،” شروع کنیم، گزاره آشکارا نادرست ”هیچ سست‌بنیه غیر کشتی‌گیر نیست“ را برای عکس نقیض آن به دست خواهیم آورد. دلیل این بی‌اعتباری که دوباره آن را مرور خواهیم کرد در به دست آوردن آن با برگردان‌های پی‌درپی عکس متمم، عکس مستوی و عکس متمم است، اگر با گزاره E “هیچ P S نیست" شروع کنیم و آن را به عکس متمم برگردانیم به گزاره A “همهS غیر-P است“ خواهیم رسید– که در حالت کلی نمی‌توان آن را به‌طور معتبر به عکس مستوی برگرداند مگر به‌صورت تحدید عکس نقیض. اگر با عکس مستوی به‌وسیله تحدید "بعضی غیر-S Pاست" را به دست آوریم، آنگاه ب عکس متمم می‌توان از آن "بعضی غیر-P غیر-Sنیست" را به دست آورد. این پیامد را می‌توانیم عکس نقیض به‌وسیله تحدید بنامیم، که آن را هم در قسمت بعد بیشتر بررسی خواهیم کرد.

عکس نقیض بوسیله تحدید که توسط آن، یک گزاره O را از گزاره E به دست آورده (برای مثال “بعضی غیر-P غیر-S نیست“ را از “هیچ P - S نیست" به دست ‌آوریم)، دارای یک ناجوری ویژه یکسان با تحدید عکس مستوی است، که به آن نیز وابسته است. چون یک گزاره جزئی از گزاره کلی استنتاج شده است، عکس نقیض به‌دست‌آمده نمی‌تواند دارای همان معنی ‌باشد و همچنین نمی‌تواند منطقاً معادل با گزاره E باشد که مقدمه اصلی است. از طرف دیگر، عکس نقیض یک گزاره A یک گزاره A و عکس نقیض یک گزاره O یک گزاره O است، که در هر دو حالت عکس نقیض و مقدمه‌ای که از آن استنتاج شده است منطقاً معادل هستند.

بنابراین، عکس نقیض فقط وقتی در مورد A و O بکاررود معتبر است. برای گزاره‌های I بالکل نامعتبر است. برای گزاره‌های E فقط توسط تحدید معتبر است. تمام آنچه گفته شد را توسط جدول زیر نمایش داده‌شده.

عکس مستوی گزاره‌های زیر را به دست آورده ونشان دهید کدام‌یک از آن‌ها هم‌ارز (معادل) با گزاره داده‌شده است.

۱-هیچ فرد که مراعات یگران را می‌کند راننده بی‌دقت نیست که به قوانین راهنمایی توجه نکند.

حل: هیچ راننده بی‌دقت که به قوانین راهنمایی توجه نمی‌کند فردی نیست که مراعات دیگران را ‌کند. معادل

۲-همه فارغ‌التحصیلان دانشکده ارتش افسران رسمی هستند.
۳-بعضی از ماشین‌های اروپایی قیمت بالا و اتومبیل‌های کم قدرت هستند.
۳-هیچ خزنده‌ حیوان خونگرم نیست.

۵-بعضی از کشتی‌گیران حرفه‌ای افراد مسن هستند که توانا به انجام کار درست در یک روز کاری نیستند.

حل: بعضی افراد مسن که توانا به انجام کار درست در یک روز کاری نیستند کشتی‌گیر حرفه‌ای هستند. معادل

ب. عکس ‌متمم گزره‌های زیر را بنویسید.

۱- بعضی از قهرمانان ورزشی دانشکده حرفه‌ای هستند.

حل: بعضی قهرمانان ورزشی دانشکده غیرحرفه‌ای نیستند.

۲- هیچ ترکیب آلی فلز نیست.
۳- بعضی روحانیون افراد خوددار نیستند.
۴- هیچ فرد با اصالت پیرو کلیسای انگلستان نیست.

۵-همه اشیاء مورداستفاده برای لنگر قایق‌ها حداقل 15 پوند وزن دارند.

حل: هیچ شئ‌ای مورداستفاده برای لنگر قایق‌ها شئ با وزن کمتر از 15 پوند نیست.

پ.

عکس نقیض گزاره‌های زیر را نوشته و مشخص نمایید کدام‌یک با گزاره اصلی معادل است.

۱- همه روزنامه‌نگاران بدبین هستند.

حل: همه غیر بدبین‌ها غیر روزنامه‌نگار هستند. معادل

۲- همه تحصیل‌کرده‌ها غیر واپس‌گرا هستند.
۳- همه‌چیزهایی که کمتر از 50 پوند وزن‌دارند بیشتر از 4 فوت قد ندارند.
۴- بعضی سربازان افسر نیستند.

۵-بعضی غیر شهروندان غیر مقیم هستند.

حل: بعضی مقیم‌ها شهروند نیستند. معادل

ت.

اگر “همه سوسیالیست‌ها صلح‌طلب هستند" درست باشد،آنگاه درباره درستی یا نادرستی گزاره‌های زیر چه می‌توان گفت؟ به‌عبارت‌دیگر کدام را می‌توان فهمید درست، کدام نادرست، و کدام نامعین است.

۱- بعضی غیر صلح‌طلب غیر سوسیالیست است.
حل: نادرست
۲- هیچ سوسیالیست‌ها غیر صلح‌طلب نیستند.
۳- همه غیر سوسیالیست‌ها غیر صلح‌طلب نیستند.
۴- هیچ غیر صلح‌طلب سوسیالیست نیست.
۵- هیچ غیر سوسیالیست غیر صلح‌طلب نیست.
حل: نامعین
۶- هر غیر صلح‌طلب غیر سوسیالیست است.
۷- هیچ غیر صلح‌طلب غیر سوسیالیست نیست.
۸- بعضی سوسیالیست‌ها غیر صلح‌طلب نیستند.
۹- هر صلح‌طلب سوسیالیست است.

۱۰- بعضی غیر صلح‌طلب سوسیالیست است.
حل: نادرست

ث.

اگر "هیچ دانشمندی فیلسوف نیست" درست باشد، در باره درستی یا نادرستی گزاره‌های زیر چه استنتاجی می‌توان کرد؟ به عبارت دیگر، کدام‌یک را می‌توان دریافت که درست یا نادرست است و نیز کدام‌یک نامعین است؟

ج.

اگر " بعضی قدیسان شهید هستند." درست باشد ، درستی یا نادرستی گزاره‌های زیر را مشخص کنید. یعنی، کدام‌یک می‌تواند درست یا نادرست باشد و کدام‌یک نامعین است؟

۱*. همه قدیسان ، شهید هستند.
حل: نامعین
۲. همه قدیسان ، غیر شهید هستند.
۳. بعضی از شهیدها، قدیس هستند.
۴. هیچ قدیسی ، شهید است.
۵. همه شهدا؛ غیر قدیس هستند.
حل: نادرست
۶. بعضی از غیر شهیدها، قدیسان هستند.
۷. بعضی از قدیسان ، غیر شهید نیستند.
۸. هیچ شهیدی ، قدیس نیستند.
۹. بعضی از غیر قدیسان ، شهید هستند.
۱۰*. بعضی از شهدا، غیر قدیسان هستند.
حل: نامعین
۱۱. بعضی از قدیسان ، شهید نیستند.
۱۲. بعضی از شهدا، قدیسان نیستند.
۱۳. هیچ قدیسی، غیر شهید هستند.
۱۴. هیچ غیر قدیسی، شهید هستند.
۱۵*. بعضی از شهدا، غیر قدیس نیستند.
حل: درست

چ.

اگر " بعضی از بازرگانان، دزد دریایی نیستند." درست باشد ، درستی یا نادرستی گزاره‌های زیر را مشخص کنید. بنابراین کدام‌یک می‌تواند درست یا نادرست باشد و کدام‌یک نامعین است؟

۱*. هیچ دزد دریایی بازرگان نیست.
حل: نامعین
۲. هیچ بازرگانی،غیر دزد دریایی نیست.
۳. بعضی از بازرگانان غیر دزد دریایی هستند.
۴. همه غیر بازرگانان دزد دریایی هستند.
۴*. بعضی از غیر بازرگانان غیر دزد دریایی هستند.
حل: نامعین
۶. همه بازرگانان دزد دریایی هستند.
۷. هیچ غیر بازرگانی دزد دریایی نیست.
۸. هیچ دزد دریایی غیر بازرگان نیست.
۹. همه غیر دزدان دریایی غیر بازرگان هستند.
۱۰*. بعضی از غیر دزدان دریایی، غیر بازرگان نیستند.
حل: درست
۱۱. بعضی از غیر دزدان دریایی غیر بازرگان نیستند.
۱۲. هیچ غیر دزد دریایی بازرگان نیست.
۱۳. بعضی از دزدان دریایی بازرگان هستند.
۱۴. هیچ بازرگانی غیر دزدان دریایی نیست.
۱۵*. هیچ بازرگانی دزد دریایی نیست.
حل: نامعین