کلیک

■ مقدمه

این قسمت و دو قسمت بعد مرور بنیاد‌ دستگاه صوری (اصل موضوعی) مجموعه‌ها‌ (گویش ZF)، پارادوکس راسل، متفرعات و سرانجام روند بیکرانه مجموعه ‌سازی است.

نظریه مجموعه‌ها بنیاد ریاضیات جاری (کلاسیک)، دانش کامپیوتر و نیز سازنده عوالم سخن منطق است. همان‌طور که در «منطق به‌قدر عافیت» آمد، ما اکنون در زیستی با پیچیدگی افزاینده و مدام هستیم. شاید دم دست‌ و محسوس‌ترین نمونه از پیچیدگی منظور همین همزیستی(؟!) ما با موجودات همواره در حال پیچیده‌تر شدن موسوم به رایانه‌ها باشد. چیزهایی که همه یکی‌اند و یکی همه آن‌هاست. کنار دست و دستیار و درعین‌حال بالاسری ماست. مگر نه اینکه همه این آمده‌ها (غریبه‌‌ها!) دستگاه‌های صوری ازجمله فرزند دستگاه صوری مجموعه‌ها (تا اینجا) هستند. داستان شاید ازآنجا آغاز شد که لایب‌نیتس در سر سودای یک ماشین جهانی داشت که فصل‌الخطاب فیلسوفان گردد. شاید هم زودتر وقتی خوارزمی در پی روند جبر سازی بود. در یادداشت‌های نظریه رایانش خواهیم دید چگونه است که:

• ارجاع برای این بند ➥

1- Pearl J. Mackenzie D. (2019). The Book of Why: The New Science of Cause and Effect, Penguin. 400pg.

2- Margaret A. Boden. (2016). AI: Its Nature and Future, Oxford University Press. 156pg.

3- Matt Carter. (2007). Minds and Computers An Introduction To The Philosophy Of Artificial Intelligence , Edinburgh University Press Ltd: Cambridge University Press. 235Pg. [Formal System Ch7 , Computability and Register Machines Ch9.]

4- Timothy R. Colburn. (2000). Philosophy and Computer Science, M.E. Sharpe. 256pg.

5- The Computational Theory of Mind. IEP.

■ فهرست اصول موضوعه دستگاه ZF:

Index of ZF Axioms

فهرست ۹ اصل موضوع دستگاه ZF در جدول زیر آمده. این نه اصل را به ترتیب در سه قسمت (به شمول این قسمت) و در هر قسمت سه اصل را مرور خواهیم کرد.

۱. اصل موضوع گسترش می‌گوید مجموعه صرفاً توسط اعضای خود معین می‌شود➥؛
۲. شِمای (طرح‌واره) اصل موضوع جدایی می‌گوید با داشتن یک مجموعه و یک ویژگی، آنگاه مجموعه دیگری را خواهیم داشت. اینجا آنجایی است که در نظریه طبیعی (غیر اصل موضوعی) مجموعه‌ها پارادوکس مشهور راسل سر برمی‌آورد. در این باره بحث خواهد شد. این شِما نام‌های دیگری چون گیرایش و ویژه یافتگی نیز دارد➥؛
۳.اصل موضوع وجودی سرانجام وجود حداقل یک مجموعه را تصدیق می‌کند➥؛
۴.اصل موضوع دوگانه‌ساز توان مجموعه‌سازی را بطور محدود توسعه می‌دهد. می‌گوید با داشتن مجموعه‌ای،‌ مجموعه دیگری هم ساختنی است➥؛
۵.اصل موضوع اجتماع توان مجموعه‌سازی را باز هم بطور محدود بیشتر توسعه می‌دهد. می‌گوید با داشتن مجموعه‌ای،‌ مجموعه دیگری هم ساختنی است، به قسمی که اعضای آن، اعضای عناصر آن مجموعه باشند➥؛
۶.اصل موضوع مجموعه توانی توان مجموعه‌سازی را بازهم بطور محدود توسعه می‌دهد. می‌گوید با داشتن مجموعه‌ای،‌ مجموعه دیگری هم ساختنی است، به قسمی که اعضای آن، زیرمجموعه‌های آن مجموعه باشند➥؛
۷.اصل موضوع بی‌نهایت می‌گوید حداقل یک مجموعه استقرایی وجود دارد➥؛
۸.
اصل موضوع بنیاد (یا اصل موضوع ترازمندی) می‌گوید اشتراک هر مجموعه با حداقل یکی از اعضای خود تهی است. به‌عبارت‌دیگر، هر مجموعه ناتهی با حداقل یک عضو خود از هم جدا‌ است➥؛
این اصل تضمین خوش-بنیادی مجموعه‌هاست، یعنی، مجموعه نمی‌تواند عضو خود باشد یا عضویت متقابل (A عضو B و B عضو A) ممکن نیست.
۹.شِمای (طرح‌واره) اصل موضوع جایگزینی می‌گوید برای هر مجموعه‌ای چون A مجموعه‌:
{A, Ƥ(A), Ƥ(Ƥ(A)), Ƥ(Ƥ(Ƥ(A))), . . .}
وجود دارد➥.

■ زبان صوری مجموعه‌ها

زبان صوری مجموعه‌ها
Formal language of sets

نظریه مجموعه‌ها، که در اینجا مراد ZF است، یک دستگاه صوری است و بنابراین بیان آن نیز در یک زبان صوری است. زبان صوری موردنظر که اینجا بکار خواهیم گرفت و آن را LZF می‌نامیم همان است که در فصل نظریه سورها در کتاب درآمد به منطق آمده و البته باکمی دگرگونی و گسترش؛ آن‌طور که در پی می‌آید.

■ معرفی واژگان LZF:

■  متغیرها:

متغیرهای انفرادی در LZF به‌قرار زیر، با اندیس و بی اندیس با هر فونت و رنگ  هستند:

  A, B, C, D, E, F, X, Y, S, T, U, a, b, c, d, e, f, g, m, n, x, y, z, s, t, u

در ادامه به آنها متغیر مجموعه‌ای نیز خواهیم گفت.

•

حروف بزرگ و کوچک یک حرف مانند X و x دو متغیر متمایزند و مانند آن برای بقیه.

■ نماد‌های کمکی:

نمادهای کمکی که از آن‌ها برای پرهیز از ابهام و آسانی خواندن سود خواهیم برد به‌قرار «(, ), [, ]» خواهند بود.

■ حروف محمولی:

 LZF فقط دارای دو حرف محمولی دو جایبانی به‌قرار

∈(_, _) و  =(_, _) 

است.

 

■ رابط‌های منطقی:

رابط‌های منطقی همان‌ها هستند که در نظریه تسویر معرفی شدند با این تفاوت که:

آ. ∧ بجای  •  (رابط عطف؛)

ب. ⇒ و ⇔ به ترتیب بجای ⊂ و ≡ (رابط‌های شرطی و دو شرطی؛)

ج. ∀x بجای (x) (رابط سور عمومی.)

 

■■ فرمول‌ خوش-ساخت در مجموعه‌ها:

۱. ∈(X, Y) یک فرمول LZF است. رسم است ∈(X, Y) را به صورت  X ∈ Y نوشته و آن را « X متعلق به Y است» [همچنین «X عضو  Y» است یا « X عنصر Y» است یا « X در Y» است] بخوانند.

۲. =(X, Y) یک فرمول LZF است. رسم است =(X, Y) را به‌صورت  X = Y نوشته و آن را « X مساوی Y است» بخوانند.

از α, β, γ همچون فرامتغیر (با دامنه تغییر روی فرمول‌ها)، با اندیس و بی اندیس با هر فونت و رنگ، سود خواهیم برد.

۳.  اگر α و β فرمول‌های LZF باشند آنگاه همه موارد زیر (و فقط آنها) فرمول LZF خواهند بود:

۱.  ~α
۲.  (α ∧ β)
۳.  (α ∨ β)
۴.  (α ⇒ β)
۵.  (α ⇔ β)
۶.  ∀xα     برای هر متغیر مانند x
۷.  ∃xα     برای هر متغیر مانند x

•تعریف

 X ∉ Y ≝ ~(X ∈ Y)

 X ≠ Y ≝ ~(X = Y)

•مثال

برگردان واژگانی فرمول ~∃y(y ∈ x) به فارسی «چنین نیست که مجموعه yای وجود داشته باشد، به قسمی که y عضو x باشد» است [به‌عبارت‌دیگر: «x مجموعه‌ای بی عضو است» است.] صورت دیگر این فرمول که با برگردان سور وجودی به سور عمومی دست می‌آید به‌قرار ∀y(y ∉ x) است.

•مثال

فرمول ∀x∀y~(x ∈ y) به فارسی می‌گوید هر مجموعه‌ای عضو هر مجموعه‌ای نیست.

•مثال

می‌خواهیم بگوییم «مجموعه‌ای با حداقل یک عضو وجود دارد.» به زبان صوری می‌نویسیم:

 ∃y∃x(x ∈ y).

•مثال

فرمول ∀x∃y~(x∈y) خبر از وجود مجموعه‌‌ای خالی داده، یعنی می‌گوید مجموعه‌ای هست که عضوی ندارد.

•مثال

 فرمول ∀x∃y~(x ∈ y)می‌گوید به ازای هر مجموعه، مجموعه‌ای هست که آن مجموعه عضو این مجموعه نیست.

•مثال

فرمول زیر یک قضیه در ZF است:

X ∈ Y ⇔ ∃x(x = X ∧ x ∈ Y)

■ تعریف ویژگی (شرط / خاصیت) برای مجموعه‌ها:

• رویداد آزاد متغیر در فرمول

به یک رویداد یک متغیر در یک فرمول که در قلمرو هیچ سوری نیست [یعنی مقید به  کمیت، چه کلی(∀) و چه جزئی(∃)، نیست]، یک رویداد آزاد آن متغیر در آن فرمول می‌گویند.

•رویداد پابند متغیر در فرمول

به یک رویداد یک متغیر در یک فرمول که در قلمرو سور است، رویداد پابند آن متغیر در آن فرمول می‌گویند.

•مثال

متغیر y در ~∃y(y ∈ x) دارای دو رویداد است و این هر دو رویداد پابند هستند اما x در این فرمول دارای رویداد پابند نیست. 

•مثال

 یک متغیر ممکن است در یک فرمول دارای رویدادهای آزاد و هم پابند باشد. برای مثال:

 ∀x(x ∈ y  ⇒ ~∃y(y ∈ x).

در فرمول بالا از سه رویداد y یک رویداد آزاد و دو رویداد پابند است.

• فرمول همچون شرط (یا ویژگی)

فرض کنید x یک متغیر در فرمول α باشد، به قسمی که در این فرمول x دارای رویداد پابند نباشد. این وضعیت متغیر x در فرمول α را با α(x) نشان داده و نیز به α(x) یک شرط (همچنین یک ویژگی) گفته می‌شود. [تابع گزاره‌ای را ببینید.] توجه: α(x) نافی آن نیست که در α متغیر دیگری دارای رویداد آزاد نیست.

•

 برای مثال می‌نویسیم «گیریم A یک مجموعه به قسمی که اعضای آن در شرط α(x) صدق کنند» یا «گیریم A یک مجموعه به قسمی که اعضای آن دارای ویژگی α(x) باشند» و مانند آن‌ها.

•مثال

فرمول α به‌قرار ~∃y(y ∈ x) [به فارسی: x ‌مجموعه بدون عضو است] را در نظر بگیرید. این فرمول یک شرط روی x (همچنین یک ویژگی روی x) است. زیرا در α متغیر x در قلمرو (تحت تأثیر) هیچ سوری نیست. به‌عبارت‌دیگر، x در α فقط رویداد آزاد دارد و به  کمیتی، چه کلی(∀) و چه جزئی(∃)، پابند نیست

•مثال

برگردان فرمول ~∃x∀y(y ∈ x) به فارسی عبارت است از «چنین نیست که مجموعه‌ای چون x وجود دارد به قسمی که هر مجموعه‌ای چون y عضو x باشد. به عبارت دیگر «مجموعه همه مجموعه‌ها وجود ندارد.» این فرمول یک عبارت گزاره‌ای است و در آن رویداد آزاد x و y وجود ندارد.  بنابراین یک ویژگی نیست.

•مثال

می‌خواهیم ویژگی «همه اعضای عناصر z عضو z هستند» را برای z قائل شویم. به زبان صوری می‌نویسیم:

 ∀x∀y((x ∈ y ∧ x ∈ z) ⇒ x ∈ z).

این فرمول دارای رویداد پابند z نیست، بنابراین یک ویژگی است.

•مثال

می‌خواهیم ویژگی «z حداقل یک عضو دارد» را برای z قائل شویم. به زبان صوری می‌نویسیم:

 ∃x(x ∈ z).

 این فرمول دارای رویداد پابند z نیست، بنابراین یک ویژگی است.

•مثال

می‌خواهیم ویژگی «مجموعه z دقیقاً یک عضو دارد» را برای z قائل شویم. به زبان صوری می‌نویسیم:

 ∃x(x ∈ z ∧ ∀s(s ∈ z ⇒ s = x)).

• قواعد استنتاج

قاعده استنتاج، در دستگاه صوری که خوهد آمد، آن «۱۹ قاعده» آمده در فصل‌های ۱۰ و ۱۱ «درآمد به منطق» به منطق هستند. از آنجاکه، «قواعد چهار گانه سورها» برای کفایت در محمولات بیش از یک متغیر باید مواردی از محدویت را شامل شوند، در ادامه این محدویت‌ها رعایت خواهند شد.

اصل موضوع گسترش در ZF
Axiom of extension in ZF

■ اصل موضوع گسترش

اصل موضوع گسترش در ZF
.
Axiom of Extension in ZF
.
مجموعه صرفاً توسط اعضای خود متعین می‌شود. بعبارت دیگر: مجموعه‌ها مساوی‌اند اگر و فقط اگر هر عضو یکی عضو دیگری  هم باشد.
کلیک

■ اصل موضوع گسترش در ZF:

مجموعه‌ها مساوی‌اند اگر و فقط اگر هر عضو یکی عضو دیگری هم باشد.

به‌عبارت‌دیگر:

∀X∀Y[(X = Y) ⇔ ∀Z(Z ∈ X ⇔ Z ∈ Y)]

•

این اصل از وجود مجموعه‌ خبر نمی‌دهد (دارای نهاده وجودی نیست.)

•

اصل موضوع گسترش به‌صراحت می‌گوید فقط و فقط اعضای یک مجموعه‌‌اند که مجموعه را معین می‌کنند. به‌عبارت‌دیگر:

 مجموعه‌ها ‌مساوی‌اند اگر و فقط اگر عضوی دریکی نباشد که در دیگری باشد.

فرض کنید B ،A و C مجموعه باشند آنگاه ویژگی‌های زیر برای تساوی (=) از اصل گسترش دست آمدنی هستند:

  1. هر مجموعه با خودش‌ مساوی است؛
  2. اگر A مساوی B باشد (یعنی، A = B) آنگاه B نیز مساوی A است (یعنی، B = A)؛
  3. اگر A مساوی B و A مساوی C باشد آنگاه B مساوی C است.
اصل گسترش/تساوی مجموعه‌ها
اصل گسترش/ تساوی مجموعه‌ها

■ شمای اصل موضوعی جدایی

شمای اصل موضوعی جدایی
Axiom of separation in ZF

■ شمای اصل موضوعی جدایی در ZF:

شمای اصل موضوعی جدایی در ZF
.
شِمای ویژه ‌یافتگی
.
شمای گیرایش
.
Axiom Schema of Separation
.
Axiom Schema of Specification
.
Comprehension Schema
.
به ازای هر مجموعه، مجموعه‌ای هست که اعضای این مجموعه، آن اعضای مجموعه اول‌اند که در یک ویژگی مشترک‌اند.
از این شما بدست میآید که هر مجموعه دارای زیرمجموعه است.
کلیک

گیریم α(x) یک ویژگی باشد؛ آنگاه برای هر مجموعه، به فرض X، مجموعه Y وجود دارد که اعضای آن، آن اعضای X هستند که در α(x) صدق می‌کنند.

به‌عبارت‌دیگر:

∀X∃Y∀Z[(Z ∈ Y) ⇔ (Z ∈ X ∧ α(x))]


•

این اصل به شِمای ویژه ‌یافتگی و شمای گیرایش نیز معروف است. ازاین‌جهت به آن شِما (طرح‌واره / Schema) گفته که درواقع این اصل دربردارنده بی‌شمار اصل موضوع است (دستگاه صوری مرتبه اول با بی‌شمار اصل موضوع.) به‌عبارت‌دیگر به ازای هر ویژگی، یعنی هر α، می‌توان یک مجموعه، به‌شرط وجود X، به دست داد.

•

این اصل به‌خودی‌خود از وجود مجموعه‌ خبر نمی‌دهد (دارای نهاده وجودی نیست). می‌گوید به فرض وجود مجموعه A و ویژگی α، آنگاه مجموعه‌ای به فرض B را می‌توان از A جدا کرد [برگرفت / برساخت].

•مثال

فرض کنید A یک مجموعه باشد. اکنون مجموعه B را طوری تعریف می‌کنیم که اعضای آن همان اعضای A باشد. بنا به اصل جدایی، B وجود دارد و بنا به اصل گسترش داریم A=B.  مجدداً مجموعه C را طوری تعریف می‌کنیم که اعضای آن همان اعضای B باشد. بنا به اصل جدایی  C وجود دارد و بنا به اصل گسترش داریم B=C. و بنا به ویژگی تساوی داریم A=B=C. این روند را می‌توان به هراندازه دلخواه انجام داد. به‌عبارت‌دیگر برای یک مصداق مشخص به هر تعداد مفهوم ساخت. [مفهوم و مصداق را در فصل ۴ کتاب درآمد به منطق اینجا ببینید.]

نظریه مجموعه‌ها:اصل گسترش/تساوی مجموعه‌ها
اصل جدایی (دستگاه ZF+C)

■ نمایاندن مجموعه

عنوان‌ها
نمایاندن مجموعه:
Representing the Sets
Displaying Sets

گیریم B مجموعه‌ای باشد که از A به‌موجب ویژگی α دست آمده باشد، آنگاه می‌نویسیم:

 B = {X ∈ A: α(X)}

یا

 B = {X: X ∈ A و α(X)}

■ پارادوکس راسل

یادداشت تاریخ

پارادوکس راسل: یادداشت تاریخ
Russell’s paradox: a historical note
پارادوکس راسل
.
Russell’s paradox
.
خلاصه کلام این پارادوکس: در نظریه طبیعی مجموعه ها، شرط لازم و کافی برای عضو بودن در یک مجموعه، عضو آن مجموعه نبودن است. مانند آن سَرتراش معروف که پیمان بست سر هر کس را که خود سر خود را نتراشد، بتراشد. و نتیجه منطقی آنکه: این سرتراش سر خود را میتراشد اگر و فقط اگر سر خود را نتراشد.
کلیک

در ابتدا به نظر نابدیهی نمی‌آید که هر ویژگی پدیدآور یک مجموعه باشد. به‌عبارت‌دیگر، شِمای {x: α(x)} را پدیدآور مجموعه دانست. اما، در ادامه خواهیم دید دادن چنین قدرت بی‌حدوحصری  به این شِما ویرانگر است. عالم نا عالمی از آن سر می‌زند که هم هست و هم نیست هر چیزی در آن هست و در آن نیست. این برتراند راسل بود که به پارادوکس پنهان در آن پی‌برد. اصل داستان را در پاراگراف بعدی بخوانید.

گوتلوب فرگه از وضع‌کنندگان اصلی منطق جدید کلاسیک (و پدیدآورنده اولین دستگاه اصل موضوعی منطق) در کتاب مفهوم نگاری،  ۱۸۷۹، خود شمای

 {x: α(x) }

را به‌عنوان یک اصل همچون پدیدآور مجموعه پذیرفته بود. برتراند راسل بعد از دیدن و خواندن آن به پارادوکس اشاره‌شده در پاراگراف قبل پی برد (ازاینجا این پارادوکس به پارادوکس راسل مشهور است) و از طریق نامه به اطلاع فرگه رساند. این باعث شد به استحکام بنای در حال ساخت ریاضیات که در آن زمان بسیار مورد اهتمام ریاضیدانان بود موقتاً خلل وارد شود. درواقع حذف این اصل از دستگاه فرگه موجب ناکارایی دستگاه می‌گردید (آن را بیش‌ازاندازه ضعیف می‌کرد). چندان طول نکشید که برتراند راسل با ارائه نظریه گونه‌ها  این مشکل را از سر راه نظریه مجموعه‌ها برداشت و سپس نیز  دستگاه موسوم ZF برای مجموعه‌ها [بنیاد دستگاه ریاضیات جاری] و نیز دستگاه موسوم به NBG ارائه گردید.

 ناگفته نماند که از دستگاه فرگه فقط همین یک اصل مشکل‌آفرین بود. همه اصول دیگر فرگه باقوت در دستگاه‌های بعدی نقش بنیادی خود را دارند.

■ قضیه (پارادوکس راسل):

قضیه (پارادوکس راسل)
Russel Paradox Theorem
Russell’s paradox

مجموعه B = {X: X ∉ X} [مجموعه همه مجموعه‌هایی که متعلق به خود نیستند] وجود ندارد.

■ برهان:

گیریم B وجود داشته باشد، پس:

Y ∈ B ⇔ Y ∉ Y       :برای هر Y

ازآنجاکه همه  رویدادهای متغیر Y در فرمول بالا در دامنه فقط سور عمومی خود است می‌توان آن‌ها را با B جایگزین کرد. در این صورت داریم:

B ∈ B ⇔ B ∉ B       :برای هر B

و این غیرممکن است. پس B نمی‌تواند مجموعه باشد. [این داستانک و نیز  کلاس و مجموعه در NBG را ببینید.]

■ مجموعه‌ی همه مجموعه‌ها

مجموعه‌ی همه مجموعه‌ها:
Set of all sets

قضیه: مجموعه‌ی همه مجموعه‌ها وجود ندارد.

برهان:

گیریم A مجموعه همه مجموعه‌ها باشد. ویژگی α را

 ∀X(X ∉ X)

گرفته.  در این صورت به‌موجب اصل موضوع جدایی، مجموعه:

 B = {X ∈ A: α(x)} → B = {X ∈ A: X ∉ X}

وجود خواهد داشت که بنا به پارادوکس راسل غیرممکن است. بنابراین، مجموعه A نمی‌تواند وجود داشته باشد. (کلاس و مجموعه در NBG را ببینید.)

•مثال

∀x∀y(x ∈ y ⇒ y ∉ x)

•مثال

اگر X مجموعه، بنا به اصل جدایی Y={z∈X: z ∉ z} نیز مجموعه است. آیا می‌توان نتیجه گرفت:

آ. آیا  Y ∈ Y؟  پاسخ: نه.

ب. آیا  Y ∈ X؟  پاسخ: نه (و نیز خلاف آن را.)

■ زیرمجموعه

زیرمجموعه
Subset
Definition of Subset

به مجموعه B زیرمجموعه مجموعه A گوییم اگر و فقط اگر عضوی نباشد کهدر A باشد ولی در B نباشد.

یا بگونه هم‌ارز

B ⊆ A ≝ ~∃x(x ∉ A ∧ x ∈ B)

•

با کار زدن قواعد فصل ۱۰ کتاب (نظریه تسویر: اثبات اعتبار) صورت دیگری برای تعریف زیرمجموعه در پی آمده:

۱- B ⊆ A ⇔ ~∃x(x ∉ A ∧ x ∈ B)
۲- B ⊆ A ⇔ ∀x~(x ∉ A ∧ x ∈ B)
۳- B ⊆ A ⇔ ∀x(~x ∉ A ∨ ~x ∈B)

۴- B ⊆ A ⇔ ∀x(x ∈ B ⇒ x ∈ A)

به‌عبارت‌دیگر:

مجموعه B زیرمجموعه مجموعه A است اگر و فقط اگر همه اعضای  B عضو  A باشند.

•

اصل موضوع جدایی وجود B را به‌شرط و جود A تضمین می‌کند.

•یکتایی زیرمجموعه

گیریم B و B' زیرمجموعه‌های A باشند که هر دو به‌موجب ویژگی α از A دست آمده باشند. از آنجا که بنا بر اصل گسترش هر مجموعه فقط و فقط با اعضایش تعین می‌یابد و اعضای B و B' یکی هستند پس B و B' مساوی‌اند.

•مثال

{Z∈X: Z = Z} = {Z∈X: Z ⊆ Z}

•زبرمجموعه

رسم است گاهی برای آسانی بجای B ⊆ A می‌نویسند A ⊇ B . و گفته A زَبرمجموعه B است.

•لم

اگر دو مجموعه زیرمجموعه هم باشند آنگاه آن دو مجموعه مساوی‌اند و وارون آن نیز. بنابراین:

 (X ⊆ Y) و (Y ⊆ X) ⇔ X=Y

• برهان:

X = Y ⇔ ∀Z(Z ∈ X ⇔ Z ∈ Y)
         ⇔ ∀Z([Z ∈ X ⇒ Z ∈ Y] ∧ [Z ∈ Y ⇒ Z ∈ X])
         ⇔ [∀Z(Z ∈ X ⇒ Z ∈ Y) ∧ ∀Z(Z ∈ Y ⇒ Z ∈ X)]
         ⇔ (X ⊆ Y ∧ Y ⊆ X).

•مثال

Subset: Example 1

فرض کنید A یک مجموعه باشد که وجود دارد. α را ویژگی آن چیزهایی گرفته که عضو A باشند. α را روی اعضای A به کار می‌زنیم. بنا بر اصل جدایی مجموعه‌ به فرض B را خواهیم داشت که زیرمجموعه A است. اما بنا بر اصل گسترش، این مجموعه، یعنی B، همان A است. پس: هر مجموعه، به فرض A، زیرمجموعه خودش است و می‌توان نوشت:

 A⊆A.

■ زیرمجموعه سره و ناسره

زیرمجموعه سره و ناسره
Proper and Improper Set

گیریم B زیرمجموعه A؛ گوییم B زیرمجموعه سره A است اگر و فقط اگر عضوی در A باشد که در B نباشد. وقتی B زیرمجموعه سره A باشد یا فرض چنین باشد آنگاه می‌نویسند: B ⊂ A.

به‌عبارت‌دیگر:

 (B ⊂ A) ⇔ [(x)(x ∈ B ⇒ x ∈ A) ∧ ∃x(x ∉ B ∧ x ∈ A)]

زیرمجموعه‌ای که سره نیست را زیرمجموعه ناسره گویند. ازآنجاکه هر مجموعه زیرمجموعه خود است، مثال۱، پس هر مجموعه زیرمجموعه ناسره خود است.

■ اصل وجودی (وجود مجموعه تهی)

اصل وجودی (وجود مجموعه تهی)
Axiom of existence in ZF
اصل موضوع وجودی
.
Axiom of Existence in ZF
.
مجموعه (یا مجموعه‌ هایی) وجود دارند که عضو ندارند.
کلیک
اصل موضوع وجود ضعیف
.
Weaken axiom of existence
.
مجموعه وجود دارد.
کلیک

 اصل موضوع وجودی در ZF:

مجموعه‌‌ای که عضو ندارد وجود دارد.

به‌عبارت‌دیگر:

   ∃X∀Y(Y ∉ X)

•

این اصل خبر از وجود حداقل یک مجموعه‌ [یک عنصر] می‌دهد (دارای نهاده وجودی است.)

•

مجموعه (یا مجموعه‌های) دست آمده از اصل وجودی را مجموعه تهی می‌نامند.

■ صورت ضعیف اصل وجودی (۱)

صورت ضعیف شده اصل وجودی (۱)
Weaked axiom of existence in ZF

اصل وجودی، آن‌گونه که اینجا گفته شد، نه‌تنها وجود حداقل یک مجموعه را تصدیق می‌کند، بلکه ویژگی، یعنی تهی بودن،‌ آن را نیز بیان می‌کند. می‌توان «مجموعه وجود دارد» را با نام اصل وجودی ضعیف جانشین آن کرد. در ادامه بعد از معرفی اصل دوگانه‌ساز با کمک اصل گسترش و گیرایش خواهیم دید وجود مجموعه تهی از  اصل وجودی ضعیف‌تر قابل استنتاج است.

■ یکتایی مجموعه تهی

یکتایی مجموعه تهی
Uniqueness of Empty Set
Uniqueness of Empty Set

گیریم B و C هر دو مجموعه‌های تهی باشند به قسمی که B≠C.

(B≠C) ⇒ (∃x(x∈B ∧ x∉C) ∨ ∃x(x∈C ∧ x∉B)) ⇒ B یا C تهی نیست.

•

ازآنجاکه همه مجموعه‌های تهی یکی‌اند، تهی مفتخر به نشان معروف "∅" است. مجموعه تهی را با {} نیز نشان داده.

■ درستی تهی (سالبه به انتفاء موضوع)

درستی تهی
.
درست پوچ
.
صدق تهی
.
Vacuous Truth
.
گیریم P یک ویژگی باشد آنگاه همه اعضای مجموعه تهی دارای این ویژگی اند.
برای نمونه:
گزاره‌های موجب کلی:
 «همه اعضای مجموعه تهی اعداد اول‌اند»
(چنین نیست که تهی عضوی دارد که عدد اول نیست.)
یا
«همه فیل‌های پ‍رنده پستاندارند.»
(چنین نیست که فیل پ‍رنده‌ای است که پ‍ستاندار نیست.)
صدق تهی‌انه دارند.
کلیک
درستی تهی
Vacuous Truth

گیریم α(x) یک ویژگی باشد آنگاه همه اعضای ∅ دارای این ویژگی‌اند. یا به فرمول:

∀x(x∈∅ ⇒ α(x)).

این یک صورت گزاره‌ای و دارای صدق منطقی است (درست/راست است) که برهان آن در زیر آمده. از طرفی می‌دانیم در ∅ عنصری نیست که دارای برخی ویژگی باشد. ازاین‌جهت ممکن است این‌گونه عبارت‌های گزاره‌ای در نگاه اول عجیب (شاید هم مهمل) به نظر آیند. درواقع، شاید این بدین خاطر باشد که در زبان طبیعی گفتن این «درستی»ها دربردارنده هیچ اطلاعی/Information نیست.

سالبه به انتفاء موضوع
صدق تهی / درست پوچ / سالبه؟! به انتفاء موضوع

در ریاضی به چنین «درستی‌ها» درستی تهی [نیز درست پوچ / صدق تهی] (Vacuous Truth) گفته می‌شود. در زبان فارسی گاهی بجای «درستی تهی» عبارت سالبه به انتفای موضوع ‌بکار می‌رود. برای مثال «همه فیل‌های پرنده پستاندارند» یک سالبه؟! به انتفای موضوع است و بهتر است گفته شود موردی از «درستی تهی» است [مغالطه وجودی را ببینید.]

•لم

اکنون نشان داده که ∀x(x∈∅ ⇒ α(x)) یک قضیه است.

برای برهان فرض می‌کنیم این فرمول درستی ندارد، پس نقیض آن درستی دارد. بنابراین می‌نویسیم:

۱. ~∀x(x ∈ ∅ ⇒ α(x))فرض،
۲.~~∃x~(x ∈ ∅ ⇒ α(x))از ۱ و برگردان سور عمومی،
۳.∃x~(x ∈ ∅ ⇒ α(x))از ۲ و نفی دوگانه
۴.∃x~(~x ∈ ∅ ∨ α(x))از ۳ و قاعده استلزام مادی،
۵.∃x(x ∈ ∅ ∧ ~α(x))از ۴ و قضایای دمورگان،
۶.∅ ∈ ∅ ∧ ~α(∅)از ۵ و  تخصيص وجودی،  
۷.∅ ∈ ∅از ۶ و ساده گردانی،
۸.∅ ≠ ∅از ۷ و اصل وجودی،
۹. ۸ بنا به اصل گسترش غیرممکن است.

• ∅ زیرمجموعه هر مجموعه(۱)

به همان روش که در درستی تهی آمد می‌توان نشان داد همه اعضای ∅ عضو هر مجموعه‌ای هستند. پس ∅ زیرمجموعه هر مجموعه‌ای (ازجمله خودش) است.

• ∅ زیرمجموعه هر مجموعه(۲)

به‌صورت دیگر: نشان می‌دهیم برای مجموعه دلخواه A داریم:

x ∈ ∅ ⇒ x ∈ A

بجای فرمول بالا عکس نقیض آن، یعنی

 x ∉ A ⇒ x ∉ ∅

را ثابت می‌کنیم. که این سرراست است، زیرا تالی این شرطی برای هر x برقرار است.