مجموعه و کلاس

نظریه مجموعه‌ها: دستگاه NBG

.

Set theory : NBG   System

.

• تفاوت عمده در NBG و ZF وجود انگاره آغازین ‌کلاسی (Class) در NBG است. بعضی کلاس خود در کلاس‌اند که به آن‌ها ‌کلاس ناسره گفته. بعضی کلاسی  در  هیچ‌کجایند که به آن‌ها ه‌کلاس سره ‌گفته. در NBG مراد از عنصر  ‌کلاس ناسره است. نمونه‌ای از کلاس ناسره  «کلاس   تهی«∅» و نمونه‌هایی از کلاس سره کلاس جهانی  «عناصر» و کلاس «اعداد اردینال» است.

.

کلاس  سره

.

Proper Class

.

در دستگاه NBG کلاس‌های سره چون جهان‌هایی در هیچ کجا زیستگاه عناصراند.

.

تساوی کلاس‌ها

.

Equality in Classes

.

بنا بر تعریف گوییم کلاس‌ها مساوی‌اند؛ اگر و فقط اگر در یک کلاس باشند.

.

اصل موضوع گسترش در NBG

.

Axiom of Extension

.

کلاس‌ها مساوی‌اند اگر وفقط اگر، عضو یکی در همه باشد.

.

شمای اصل موضوعی ساخت

.

شمای اصل موضوعی کلاس ساز

.

Axiom Schema of Construction

.

Axiom Schema of Class builder

.

برای یک ویژگی در دامنه عناصر (کلاس‌های ناسره) کلاسی هست که دارنده عناصری است که آن ویژگی را برمی‌آوَرَند.

.

مجموعه

.

Set

.

مجموعه کلاسی است که عضو کلاسی باشد.

.

وجود  کلاس تهی

.

Existac of Empty class

.

بنا بر شمای اصل موضوعی ساخت، کلاسی هست که ویژگی x≠x  را برمی‌آورد. این کلاس یکتاست و به کلاس تهی موسوم است.

.

وجود کلاس جهانی

.

Existac of Universal Class

.

بنا بر شمای اصل موضوعی ساخت، کلاسی هست که ویژگی x=x را برمی‌آوَرَد. این کلاس یکتاست و به کلاس جهانی موسوم است. بنابراین، همه عناصر عضو کلاس جهانی‌اند.

.

اصل‌ موضوع اشتراک

.

Axiom of Inter-section

.

هر زیرکلاس یک مجموعه، مجموعه است.

.

اصل موضوع تهی

.

Axiom of Null

.

کلاس تهی مجموعه است.

.

اصل موضوع دوگانه سازی

.

Axiom of Pairing

.

اگر X و Y مجموعه باشند، {X,Y} نیز مجموعه است.

.

اصل موضوع اجتماع

.

Axiom of Union

.

اجتماع همه زیر-مجموعه‌های یک مجموعه خود مجموعه است.

.

اصل موضوع توان

.

Axiom of power

.

کلاس همه زیرمجموعه‌های یک مجموعه خود مجموعه است.

.

اصل موضوع ترازمندی

.

Axiom of Regularity

.

درهر مجموعه ناتهی  عنصری هست که اشتراک آن عنصر با خود مجموعه تهی است.
این اصل در ZF به اصل بنیاد نیز موسوم است.

.

نبود خود عضوی

.

Self Conta-inment of Sets

.

به موجب اصل ترازمندی ممکن نیست مجموعه‌ای عضو خود باشد.

.

نبود عضویت دوری

.

Cyclic Containment of Sets

.

به موجب اصل ترازمندی عضویت دوری مجموعه‌ها ممکن نیست.

.

■ مقدمه:

این قسمت معرفی اصول موضوعه نظریه اصل موضوعی مجموعه‌ها در سیستم مشهور به NBG (کوتاه شده Neumann-Bernays-Godel) و تکیه به انگاره کلاس در آن است. گرچه این قسمت می‌تواند مستقل دیده شود و نیز پیوندهای لازم در آن آمده، نگاه قبلی به:

ثمربخش باشد.

■ کلاس و مجموعه در دستگاه NBG:

در دستگاه اصل موضوعی NBG (کوتاه شده Neumann-Bernays-Godel) کلاس یک انگاره آغازی (تعریف‌نشده) است. در این دستگاه علاوه بر کلاس، رابطه "∈" (در کلاس بودن) بین کلاس‌ها انگاره آغازی دیگر است و فقط هم همین دو انگاره‌های آغازین هستند. بنابراین، در این رهیافت با هیچ کجایی روبروییم که در آن فقط کلاس (اگر باشد) خواهد گنجید. این دستگاه با فون نویمان (۱۹۲۵) آغاز و سپس توسط پال برنیز (۱۹۳۷) ادامه و با کورت گودل (۱۹۴۰) کامل گردید. دستگاه NBG را می‌توان، به تمامی صوری، در فصل چهارم مندلسون یافت.

■ معرفی مفاهیم آغازی:

دستگاه اصل موضوعی NBG دارای دو انگاره آغازی کلاس و ∈ است. فرض کنید C۱ و C۲ کلاس باشند، آنگاه می‌نویسیم:

C۱∈C۲ و به زبان فارسی می‌خوانیم: C۱ عضو C۲ است (یا C۱ متعلق به C۲ است، یا C۱ در C۲ است، یا C۱ عنصر C۲ است).

کلاس در نظریه مجموعه‌ها(NBG)
برخی کلاس، که خواهیم دید بزودی پیدایشان خواهد شد، به کلاس ناسره (همچنین مجموعه نیز عنصر) موسوم‌اند. این کلاس‌ها خود در کلاس دیگری هستند؛ برخی کلاس‌ها که در هیچ کلاسی نیستند (نیز خواهیم دید پیدایشان خواهد شد) به کلاس سره موسوم‌اند.

کلاس در NBG دو گونه به شرح زیر است:

۱- کلاس سره: کلاسی است که عضو هیچ کلاسی نیست.

۲- کلاس ناسره (که به آن عنصر هم) گفته، کلاسی است که عضو حداقل یک کلاس باشد.

•↓

بنابراین، هر عنصر کلاس است ولی ممکن است کلاسی عنصر نباشد.

در ادامه نمادهای:A, B, C, X, Y, Z ، بی اندیس و با اندیس، را همچون متغیر برای کلاس‌ها (سره یا ناسره) و نمادهای x, y, z را همچون متغیر در دامنه عناصر، یعنی کلاس‌های ناسره، در نظر می‌گیریم. بنابراین وقتی می‌گوییم حداقل یک x وجود دارد که دارای ویژگی خاصی است، بطور ضمنی می‌گوییم حداقل یک کلاس وجود دارد که x عنصر آن است و x دارای آن ویژگی است. یا وقتی می‌گوییم هرچه باشد x ،x دارای ویژگی خاصی است، بطور ضمنی می‌گوییم هر چه باشد X همچون یک کلاس، اگر x∈X آنگاه x دارای آن ویژگی است.

■ تعریف. تساوی کلاس‌ها‌:

گوییم X = Y؛ اگر و فقط اگر X و Y در یک کلاس باشند.

به عبارت دیگر:

X =Y :def: (X∈Z ⇔ Y∈Z).

•↓

X ≠Y :def: ~(X = Y).

■ اصل موضوع ۱ اصل گسترش در NBG

X = Y اگر و فقط اگر هر عنصر X عنصر Y و هر عنصر Y عنصر X باشد.

یا به زبان صوری:

X = Y ⇔ (x∈X ⇔ x∈Y).

■ ویژگی‌های تساوی بین کلاس‌ها‌:

از تعریف = و اصل گسترش برمی‌آید که:

(ا). X = X.

(ب). اگر X = Y آنگاه Y = X.

(ج). اگر X = Y آنگاه (اگر Y = Z آنگاه X = Z).

■ اصل موضوع ۲ شمای اصل موضوعی ساخت:

گیریم Q(x) یک ویژگی باشد. در این صورت کلاسی به فرض A وجود دارد، به قسمی که همه عناصر برآورنده ویژگی Q(x) در A هستند. این اصل به شمای اصل موضوعی کلاس ساز نیز موسوم است.

•↓

نکته اینکه، دامنه سور عمومی در اصل موضوع کلاس سازی روی عناصر، یعنی کلاس‌های ناسره، است و نه روی کلاس. بنابراین، این اصل را نمی‌توان برای ساختن کلاسی که اعضای آن کلاس ناسره اند بکار زد. این‌گونه نیست که پارادوکس راسل [کلاس همه کلاس‌هایی که عضو خود نیستند] اینجا کارگر باشد.

•↓

حضور واژه شِما (طرح‌واره / Schema) در نام این اصل موضوع ازاین‌جهت است که درواقع این اصل دربردار بی‌شمار اصل موضوع است (دستگاه صوری مرتبه اول با بی‌شمار اصل موضوع.) به‌عبارت‌دیگر، طبق این اصل موضوع به ازای هر ویژگی می‌توان یک کلاس ساخت.

•↓

گیریم X کلاسی باشد که اصل کلاس سازی به‌موجب Q(x) وجود آن را تضمین می‌کند. در این صورت X را به‌صورت X={x:Q(x)} نمایان‌ می‌کنند.

■ زیرکلاسی و ویژگی‌های آن:

گوییم Y زیرکلاس X است اگر و فقط اگر هر عنصر Y عنصر X هم باشد. در این صورت می‌نویسیم: Y ⊆ X.
اگر Y و X در بالا مساوی نباشند آنگاه به Y زیرکلاس سره X گفته و می‌نویسیم Y ⊂ X.

• ویژگی‌های زیرکلاسی ↓

از تعریف ⊆ و اصل گسترش می‌توان نوشت:

(ا). اگر ( X ⊆ Y و Y ⊆ X) آنگاه X = Y.

(ب). اگر (X ⊆ Y و Y ⊆ Z) آنگاه X ⊆ Z.

■ مجموعه در NBG:

گیریم B یک کلاس؛ اگر کلاس A وجود داشته باشد، به قسمی که B∈A، آنگاه به B مجموعه گوییم. اگر چنین کلاسی، یعنی A، وجود نداشته باشد، B فقط یک کلاس سره است. بنابراین همه عناصر مجموعه‌اند.

■ ساختن اولین کلاس (تهی):

گیریم Q(x) ویژگی همه xهایی باشد که x≠x. بنا بر اصل کلاس ساز، کلاسی هست که عناصر آن دارای این ویژگی‌اند. این کلاس را کلاس تهی نامیده و با ∅ نشانش می‌دهیم. با توجه به ویژگی (ا) تساوی، کلاس تهی دارای عضو نیست و نیز بنا بر ویژگی (ج) تساوی، کلاس ∅ یکتا نیز است. بنابراین:

∃۱X∀y(y ∉ X) [مراد از ∃۱ حداقل و حداکثر ۱ است.]

•↓

می‌توان نشان داد: ∅ زیرکلاس هر کلاسی است. (صدق تهی را ببینید.)

■ ساختن کلاس جهانی:

گیریم Q(x) ویژگی همه x هایی، به قسمی که x=x است، باشد (x متغیر در دامنه تغییر عناصر‌ است.) بنا بر اصل کلاس ساز، کلاسی هست که عناصر آن دارای این ویژگی اند. به این کلاس کلاس جهانی گفته و با υ نشانش می‌دهیم. بنا به ویژگی (ا) تساوی، همه عناصر در کلاس جهانی هستند و بنا بر ویژگی (ج) تساوی، کلاس υ یکتا نیز است (جهان فون نویمان را ببینید). بنابراین:

∃۱X∀y(y ∈ X) [مراد از ∃۱ حداقل و حداکثر ۱ است.]

•↓

می‌توان نشان داد: هر کلاسی زیرکلاس υ است.

■ اعمال روی کلاس‌ها:

اجتماع کلاس‌ها: گیریم X و Y کلاس؛ کلاس حاصل از اصل کلاس ساز همراه با ویژگی «عناصری که در X یا Y هستند» را اجتماع X و Y نامیده و آن را با X∪Y نشان می‌دهیم. بنا به اصل گسترش اجتماع X و Y یکتا است.

اشتراک کلاس‌ها: گیریم X و Y،کلاس؛ کلاس حاصل از اصل کلاس سازی همراه با ویژگی «عناصری که به X و Yمتعلق‌اند» را اشتراک X و Y نامیده و آن را با X∩Y نشان می‌دهیم. بنا به اصل گسترش اشتراک X و Y یکتا است.

متمم کلاس: گیریم X کلاس؛ کلاس حاصل از اصل کلاس سازی همراه با ویژگی «عناصری که به X متعلق نیستند» را متمم X نامیده و آن را با X' نشان می‌دهیم. بنا به اصل گسترش متمم X یکتا است.

■ اصل موضوع ۳ اصل موضوع اشتراک:

هر زیرکلاس یک کلاس ناسره یک کلاس ناسره است. [به‌عبارت‌دیگر، هر زیرکلاس یک مجموعه مجموعه است.]

•↓

ازآنجاکه: X ∩ Y ⊆ Y؛ پس بنا به همین اصل موضوع اگر X مجموعه باشد آنگاه برای هر کلاس Y، کلاس X∩Y مجموعه است.

■ اصل موضوع ۴: اصل تهی

کلاس تهی، ∅، مجموعه است.

هیچ‌یک از اصول موضوعه تاکنون خبری از وجود مجموعه نمی‌دادند. اصل موضوع تهی خود رویداد پیدایش اولین مجموعه است. از همین بیگ بنگ است که چیزها پشت چیزها خواهد آمد و این روند (روند مجموعه سازی) به جهان فون نویمان (سلسله‌ مراتب تجمعی مجموعه‌ها) منجر می‌گردد.

■ اصل موضوع ۵ اصل دوگانه سازی:

اگر X و Y مجموعه باشند، {X, Y} نیز مجموعه است.

•تعریف: تکینه سازی↓

اگر X مجموعه باشد پس بنا به همین اصل {X, X} نیز مجموعه است. از این و بنا به اصل اشتراک به دست می‌آید اگر X مجموعه باشد {X} نیز مجموعه است.

به مجموعه {X} که تنها عضو آن X است مجموعه تکینه گفته.

•مثال↓

کلاس X مجموعه است اگر و فقط اگر مجموعه y به قسمی که X∈y وجود داشته باشد.

زیرا: اگر X مجموعه باشد آنگاه تکینه {X} وجود دارد و y همان {X} خواهد بود. اگر X∈y آنگاه X مجموعه است.

■ اصل موضوع ۶ اصل اجتماع:

اگر X مجموعه باشد اجتماع همه زیرمجموعه‌های آن، خود یک مجموعه است.

•مثال↓

اگر X و Yمجموعه باشند X∪Y مجموعه است.

زیرا، به‌موجب اصل دوگانه سازی {X,Y} نیز مجموعه است و به‌موجب اصل موضوع اجتماع X∪Y نیز مجموعه است. پس اجتماع دو مجموعه خود مجموعه است.

■ اصل موضوع ۷ اصل توان:

اگر X مجموعه باشد کلاس همه زیرمجموعه‌های X مجموعه است.

مجموعه توانی: گیریم X مجموعه، به کلاس همه زیرمجموعه‌های X، که بنا به این اصل مجموعه است، مجموعه توانی X گفته و با نمادگذاری Ƥ(X) آن را نشان داده. بنابراین:

Ƥ(X) :def: {x: x ⊆ X}

■ اصل موضوع ۸ اصل ترازمندی:

برای هر مجموعه ناتهی X عنصری در X هست که اشتراک آن با X تهی است. این اصل در ZF به اصل بنیاد نیز موسوم است.

■ نتیجه ۱: هیچ مجموعه‌ای عضو خود نیست.

هیچ مجموعه‌ای عضو خود نیست.

• برهان↓

۱. فرض کنید X یک مجموعه ناتهی و X∈X.
۲. از تکینه سازی داریم {X}مجموعه است .
۳.اما داریم X∈{X} و طبق فرض X∈X.
۴.پس {X}∩X تهی نیست.
۵.از ۴ نتیجه می‌شود در مجموعه {X} عنصری که اشتراک آن با {X} تهی باشد وجود ندارد.
۶.نتیجه ۵ خلاف اصل ترازمندی است.

■ نتیجه ۲: نادوری بودن عضویت:

• عضویت در مجموعه‌ها دوری نیست. به‌عبارت‌دیگر:

x و y وجود ندارند به قسمی که: x ∈ y ∧ y ∈ x.

•برهان↓

۱. فرض کنید A و B وجود دارند به قسمی که: A ∈ B ∧ B ∈ A.
۲. از اصل دوگانه ساز مجموعه C به قسمی که C = {A, B} را داریم.
۳.A ∈ C ∩ B
۴.B ∈ C ∩ A
۵.از ۳ و ۴ نتیجه می‌شود در مجموعه C عنصری که اشتراک آن با خود C تهی باشد وجود ندارد.
۶.نتیجه ۵ خلاف اصل ترازمندی است.

■ اصل موضوع ۹ اصل جایگزینی:

اگر X مجموعه، Y کلاس و f یک تابع پوشا از X در Y باشد آنگاه Y مجموعه است. تفصیل و نتایج بسیار مهم این اصل موضوع در بحث ZF و معرفی اصل موضوعی با همین نام ، شمای اصل موضوعی جایگزینی، آمده است.

•↓

در صورت اصل موضوع جایگزینی مفهوم تابع پوشا بکار رفته. تعریف تابع در NBG شبیه تابع در ZF است با این تفاوت که باید بجای واژه مجموعه واژه کلاس بکار رود.

منابع: ➦