۱۰.پیوست ۲ برهان شرطی و برهان خلف در منطق گزاره‌ای
برهان غیرمستقیم در کتاب (فصل دهم/ قسمت پنجم) آمده است. اینجا نشان می‌دهیم: برهان شرطی حداقل به‌اندازه برهان غیرمستقیم قوی است. به‌عبارت‌دیگر، هرچه با برهان غیرمستقیم بدست آید، با برهان شرطی — کمی طولانی‌تر — بدست خواهد آمد.
ب.۱ برهان شرطی و برهان غیرمستقیم
به کالبد یک برهان غیرمستقیم نوعی که در زیر آمده توجه کنید.
۱. ? مقدمه
۲. ? /∴ A A
۳. ~A (IP) برهان غیرمستقیم: مرحله یکم
۴. ?
۵. ?
۶. B •~B ?, ?, Conj.
هر برهان غیرمستقیم در مرحله یکم با فرض نقیض نتیجه موردنظر آغاز (در اینجا A را به‌عنوان نتیجه انتخاب کرده‌ایم، ولی می‌توان هر نتیجه دیگر را انتخاب کرد) و به یک تناقض منجر می‌گردد (اینجا نیز اختیاری یک تناقض را آورده‌ایم- و البته هر تناقضی را می‌توان آورد). در مرحله دوم، یعنی وقتی به تناقض رسیدیم، بنا بر قاعده برهان غیرمستقیم نتیجه، در اینجا A، را اخذ می‌کنیم، بنابراین:
۷. A ۳, ۶, (I.P) برهان غیرمستقیم: مرحله دوم
آوردن خط ۷ در برهان مجاز است زیرا با فرض نقیض نتیجه (خط ۳) و با استفاده از این فرض(و مقدمات اصلی) و رسیدن به یک تناقض صریح (خط ۶)، بنا بر قاعده برهان غیرمستقیم می‌توان A را به‌عنوان خط هفتم برهان نوشت(تعریف برهان صوری اعتبار را اینجا ببینید).
در بحث ناسازگاری (فصل دهم) نشان داده شد هر گزاره دلخواه را می‌توان از یک برهان شامل تناقض به دست آورد. بنابراین خط ۷ در بالا یا هر خط به‌دست‌آمده به‌وسیله I.P(قاعده برهان غیرمستقیم) را می‌توان توسط CP(قاعده برهان شرطی) هم به دست آورد. در استدلال زیر چگونگی این روند نشان داده شده:
| ۱. | ? | |||
| ۲. | ? /∴A | |||
| ۳. | ~ A | (C.P.) |
||
| ۴. | ? | |||
| ۵. | ? | |||
| ۶. | B • ~ B | ?, ?, Conj. | ||
| ۷. | B | ۶, Simp. | ||
| ۸. | B ∨A | ۷, Add. | ||
| ۹. | ~ B | ۸, ۹, D.S. | ||
| ۱۰. | A | ۱۰, Simp. | ||
البته برهان تا اینجا هنوز کامل نیست، زیرا فرض تخلیه نشده است. بنابراین، فرض را با کار زدن C.P تخلیه می‌کنیم. آنچه حاصل می‌شود (گزاره)شرطی عجیب زیر است:
| ۱۱. | ~A⊃A | ۱۰, Simp. | ||
و ازاینجا به بعد دست آوردن A کار آسانی است:
| ۱۲. | ~~A∨A | ۱۱, Impl. | |
| ۱۳. | A∨A | ۱۲, DN. | |
| ۱۴. | A | ۱۳, Taut. |
این مثال نشان دهنده این نکته است که، هرگاه نقیض نتیجه هر استدلال را به‌عنوان فرض در برهان شرطی اختیار کنیم (می‌دانیم در قاعده برهان شرطی، تا وقتی قواعد کار زدن آن رعایت شود، هر چیزی را می‌توان فرض کرد) و از آن یک تناقض به دست آوریم، آنگاه می‌توان به‌وسیله روندی که هم‌اکنون نشان داده شد، نتیجه استدلال را به دست آورد (این کار به قسمی انجام می‌شود که نتیجه به مقدمات اصلی و نه به مقدمات مفروض بستگی خواهد داشت). گرچه می‌توان این کار را همیشه انجام داد، اما چیز چندانی با انجام آن در همه حالات عاید نمی‌شود. معمولاً بجای آن، قاعده برهان غیرمستقیم ، همان‌طور که دیدیم فقط یک راه کوتاه‌تر برای اثبات آن چیزی است که با قاعده برهان شرطی می‌تواند ثابت شود، بکار زده می‌شود.
مثال:
در این مثال هردو قاعده برهان شرطی و برهان غیرمستقیم کاررفته‌اند. نکته مثال در این است: مادام که دو قاعده(شرطی و غیرمستقیم) صحیح بکار روند، هر خط داخل هر کادر می‌تواند هر خط قبل از خود در روند برهان را، چه داخل کادر و چه بیرون آن، بکار گیرد. زیرا هر خط هر برهان می‌تواند(باید) یک مقدمه باشد و یا از خط‌های قبلی با کار زدن یک قاعده استنتاج به دست آمده باشد.
| ۱. | A ⊃ [B ⊃ (C • D)] | مقدمه | |||||||||||
| ۲. | C ⊃ [E ⊃ (H • I)] | مقدمه | |||||||||||
| ۳. | F ⊃ ~I | مقدمه | |||||||||||
| ∴ | (A • B) ⊃ [A ⊃ (F ⊃ ~E)] | ||||||||||||
| ۴. | A • B | C.P. فرض | |||||||||||
| ۵. | A | C.P. فرض | |||||||||||
| ۶. | F | C.P. فرض | |||||||||||
| ۷. | E | I.P. فرض | |||||||||||
| ۸. | B ⊃ (C • D) | ۱, ۵, M.P | |||||||||||
| ۹. | B | ۴, Simp. | |||||||||||
| ۱۰ | C • D | ۸, ۹, M.P | |||||||||||
| ۱۱. | C | ۱۰, Simp | |||||||||||
| ۱۲. | E ⊃ (H • J) | ۲, 11, M.P. | |||||||||||
| ۱۳. | H • J | ۷, ۱۲, M.P. | |||||||||||
| ۱۴. | I | ۱۳, Simp. | |||||||||||
| ۱۵. | ~I | ۳, ۶, M.P | |||||||||||
| ۱۶. | I • ~I | ۱۴, ۱۵, Conj | |||||||||||
| ۱۷. | ~E | ۷, ۱۶, IP | |||||||||||
| ۱۸. | F ⊃ ~E | ۶, ۱۷, C.P. | |||||||||||
| ۱۹. | A⊃ (F ⊃ ~E) | ۵, ۱۸. C.P. | |||||||||||
| ۲۰. | (A • B) ⊃ [A ⊃ (F ⊃ ~E)] | ۴, ۱۹. C.P. | |||||||||||
☚ این قسمت با اندک تغییر، به خاطر پیوستگی، برگرفته از
Alan Hausman, Howard Kahane, Paul Tidman , "Logic and Philosophy: A Modern Introduction" , Hackett Publishing Company, Inc.; Thirteenth edition (February 24, 2021)
است.
◄ توجه: ➥
در زیر است.
استدلال
