منطق و فرامنطق (Logic and Meta-logic)
منطق و فرامنطق
درآمد به منطق
فرا-منطق (Meta-logic) شاخه‌ای از منطق است که به بنیادهای خود منطق، یعنی پرسش‌هایی که از پژوهش‌های منطق انتزاع میگردد، می‌پردازد. موضوع منطق استدلال و استدلال معتبر است و موضوع فرامنطق ویژگی‌های دستگاه‌های منطقی است. در این قسمت که در ادامه قسمت‌های قبل است به دو پرسش عمده دستگاه‌های منطقی، یعنی استواری (Soundness) و تمامیت (Completeness) آنها می‌پردازیم.
۵. منطق و فرامنطق (Logic and Meta-Logic)
≡
۱- فرامنطق | |
۲- استواری (Soundness) در دستگاه استنتاج طبیعی () | ۷- تمامیت در منطق محمولات |
۸- ناتمامیت در منطق محمولات | |
۴- تمامیت و استواری | |
۵- صدق منطقی |
■ فرامنطق
فرامنطق استدلال در فرازبان درباره تعبیر و نحو در زبان‌های صوری (مانند LC) و دستگاه‌های صوری مانند (دستگاه ) است. بنابراین، ما اینجا و در فرازبان به بیان احکام درباره دستگاه‌های استنتاجی (دستگاه‌های و C.P) خواهیم پرداخت. این احکام (احکام درباره دستگاه‌های استنتاجی) فراقضیه نامیده می‌شوند. به‌عبارت‌دیگر، یک فراقضیه حکم یا خاصیتی درباره یک دستگاه استنتاجی معین است که در فرامنطق به فرازبان بیان و اثبات میگردد. در منطق، تفکیک بین قضیه و فراقضیه بسیار مهم است. اولی یک فرمول خوش-ساخت است که در دستگاه استنتاجی دست آوردنی است و دومی خاصیت اثبات‌شده‌ای درباره دستگاه استنتاجی در فرازبان است.
• دو رکن فرامنطق، ازجمله، عبارتند از (فرا)قضیه استواری (Soundness) و (فرا)قضیه تمامیت (یا ناتمامیت) (Completeness / Incompleteness) درباره دستگاه‌های صوری.
در ادامه، استواری و تمامیت دستگاه‌های و C.P را خواهیم دید و می‌بینیم که فراقضیه‌های استواری و تمامیت در این دستگاه‌ها وارون (به‌عبارت‌دیگر، شرط لازم و کافی) هم هستند.
■ استواری (Soundness) در دستگاه
• فراقضیه استواری:
گوییم دستگاه استوار (Sound) (استدلال متقن / استوار را ببینید) است اگر هر استنتاج، استلزام منطقی باشد.
به‌عبارت‌دیگر، هر استنتاج معتبر نحوی، استنتاج معتبر سمانتیکی باشد. و بگونه دیگر، آنچه نتیجه نحوی است، نتیجه منطقی باشد. و نیز به گونه دیگر:
مدل مقدمات در هر استنتاج معتبر نحوی، مدل نتیجه آن استنتاج است.
ازآنجاکه در دستگاه C.P مفهوم قضیه دارای مصداق است، می‌توان افزود و گفت در این دستگاه: هر قضیه توتولوژی است.
و نیز به گونه دیگر:
آنچه دست آوُردنی است، معتبر است. یا آنچه معتبر نیست، دست آمدنی نیست.
و نیز به گونه دیگر:
⊢ ⇒ ⊩
⊢ ⇒C.P ⊩
■ طرح سردستی اثبات فراقضیه استواری برای دستگاه .
می‌گوییم هر استنتاج معتبر دارای برهان است و نتیجه هر برهان:
(۱)- دست آمده از کار زدن متوالی قواعد استنتاج بر مقدمات یا
(۲)- خود یکی از مقدمات است.
گرچه طولانی ولی به‌وسیله جداول ارزش می‌توان آزمود و دید که همه قواعد استنتاج در استلزام منطقی هستند و بنابراین استوار هستند. پس در حالت (۱) هر مدل مقدمات، مدل نتیجه نیز خواهد بود. در حالت (۲) که نتیجه یکی از مقدمات است آنگاه هر مدل مجموعه مقدمات آن استنتاج به اقوی دلیل مدل این مقدمه نیز است. بنابراین دستگاه استوار است.
■ تمامیت دستگاه
فراقضیه تمامیت وارون فراقضیه استواری است. پس، گوییم دستگاه تمام است اگر هر استلزام منطقی، استنتاج باشد، به عبارت دیگر، هر استنتاج معنایی یک استنتاج معتبر نحوی باشد. نیز به گونه دیگر، آنچه نتیجه منطقی است، نتیجه نحوی است.
تمامیت دستگاه :
هر استلزام منطقی استنتاج نحوی است. یا هر چه استنتاج نحوی نیست، استلزام منطقی نیست.
و نیز به گونه دیگر:
⊩ ⇒ ⊢
⊩ ⇒C.P ⊢
اثبات تمامیت [یا ناتمامیت] دستگاه‌های استنتاجی دارای روندی کمی گسترده تا بسیار طولانی است. اثبات تمامیت برای دستگاه را می‌توانید در ارجاعی کتاب در فصل ۱۰ قسمت ۷ بیابید. بنابراین، برای دستگاه C.P می‌توان ادامه داد و گفت: هر توتولوژی دست آوردنی [قضیه] است. به عبارت دیگر، آن چه اثبات پذیر نیست، معتبر نیست.
■ تمامیت و استواری
همان‌طور که دیدیم، در دستگاه C.P استواری و تمامیت شرط لازم و کافی یکدیگرند. بنابراین در این دستگاه، فراقضیه‌های استواری و تمامیت را می‌توان با صورت‌بندی — فرمول α قضیه است، اگر و فقط اگر توتولوژی باشد — بیان کرد.
بنابراین داریم:
⊩ ⇔ ⊢
⊩C.P ⇔ ⊢C.P
به‌عبارت‌دیگر، هر دستگاه صوری گزاره‌ای همچون سازواره‌های ماشینی سازگاری هستند که می‌توانند همه صور معتبر و فقط صور معتبر آن دستگاه را تولید کنند. قضیه تمامیت برای زبان صوری گزاره‌ای همان چیزی است که لایبنیتس در پی آن بود ولی برای زبانی جهان‌شمول.
گوتفرید ویلهم لایبنیتس - Gottfried Wilhelm Leibniz
... هرگاه چالش به پا خاست، نیاز به جدال بین فیلسوفان نیست مگر بین دو حسابدار. کافیست آنها قلم‌هایشان را در دست گیرند و پشت حسابگرهای خود بنشینند (و اگر شاهدی خواستند نیز بیاورند) و به یک دیگر گویند: اکنون بگذاریم حسابگر حساب کند.
1- Ronald Chrisley (Editor); "Artificial Intelligence: Critical Concepts in Cognitive Science 1st Edition", Routledge; 1 edition (January 16, 2001). p. 14.
2- De arte characteristica ad perficiendas scientias ratione nitentes in C. I. Gerhardt (ed.), Die philosophischen Schriften von Gottfried Wilhelm Leibniz (7 vols. 1875–1890) VII 125.
گوتفرید ویلهم لایبنیتس (Gottfried Wilhelm Leibniz م۱۶۴۶-۱۷۱۶) فیلسوف، منطق دان و ریاضیدان بزرگ آلمانی، یکی از دو بنیان‌گذار دانش حساب دیفرانسیل و انتگرال و آغازگر در تدوین اندیشه دستگاه صوری (Lingua characteristica/ زبان نوعی/صوری و Calculus ratiocinator / حساب استدلال) است. آنچه او می‌خواست ماشین برهان بود تا فیلسوفان هنگام اختلاف بدان رجوع کنند. خواست وی در زمانه وی دست نیافتی، زیرا نه منطق جدید و نه تکنیک مقتضی موجود بود. راسل و وایتهد (در پی کتاب مفهوم نگاری فرگه) در تألیف اثر مشهور و بسیار تأثیرگذار اصول ریاضی به دنبال چنین دستگاهی برای ریاضیات بودند. سرانجام گودل "یک‌شبِ ره صد ساله پیموده" با دو قضیه ناتمامیت خود به میدانگاه آمد. خواست لایبنیتس نه دقیقاً آنچه وی می‌خواست هنوز، گرچه به‌تقریب، نامیسر نیست و هم‌اکنون، در بعضی دامنه‌های از پیش معین، میسر و آماده است.
;)
■ صدق منطقی
گیریم α۱, α۲,. . ., αn فرمول‌های یک دستگاه استنتاجی باشند، به قسمی که داشته باشیم:
α۱ ⊢α۲
α۲ ⊢α۳
.
.
.
αn-۱ ⊢αn.
اکنون با کار زدن استواری و تمامیت به‌آسانی می‌توان دید که، اگر دستگاه استنتاجی موردنظر استوار باشد آنگاه هر مدل α۱ مدل αn نیز خواهد بود. به عیارت دیگر، در هر تعبیر که α۱ درست باشد αn هم درست است [به‌عبارت‌دیگر، دارای صدق منطقی است].
■ سازگاری دستگاه
برای هر تعبیر دلخواه I اگر (~α)I=درست، آنگاه (α)I=نادرست. پس چنین نیست که در داشته باشیم: ~α⊩α.ازاینجا و بنا بر استواری و تمامیت نیز چنین نخواهد بود که در~α⊢α : . پس دستگاه سازگار است.
■ تمامیت در منطق محمولات
دستگاه‌های گزاره‌ای سازواره‌های ماشینی (Machinery) محاسبه‌ای استدلال‌های تابع-ارزش هستند. یعنی، آن استدلالها که فقط شامل عبارات گزاره‌ای تابع-ارزش هستند. به‌عبارت‌دیگر، توان گویایی (Expressive power) این دستگاه‌ها محدود به عبارت‌های گزاره‌ای تابع ارزش است.
اما، همان‌طور که در بند ۱ نظریه سورها می‌توان دید، چنین نیست که همه استدلالها تابع-ارزش باشند. افزودن واژگان "متغیر انفرادی"، "ثابت‌های انفرادی"، "حروف محمولی"، "سور عمومی"، و "سور وجودی" به واژگان بنیادی زبان صوری گزاره‌ای و نیز تعداد محدود قاعده استنتاج بیشتر دستگاه حساب محمولات مرتبه اول با توان بیان بسیار بیشتر را پدید می‌آورد. کورت گودل (۱۹۳۰) و بعد دیگران نشان دادند در هر حساب محمولات مرتبه اول قضیه تمامیت برقرار است، یعنی:
قضایای هر حساب محمولات مرتبه اول دقیقاً فرمول‌های منطقاً معتبر آن هستند.
به‌عبارت‌دیگر،
هر دستگاه صوری مرتبه اول همچون سازواره سازگاری است که می‌تواند تحت هر تعبیر همه‌ی عبارات درست و فقط درست را تولید کنند.
■ ناتمامیت در منطق محمولات
در زبان محمولات مرتبه اول دامنه گیرایش سور فقط می‌تواند متغیرهای انفرادی باشد. این محدودیت باعث می‌شود نتوان همه عبارات ریاضیات حتی حساب مقدماتی (و زبان طبیعی)، برای مثال اصل استقرای ریاضی و نیز خوش-ترتیبی را بیان کرد. زبانی که دارای این توان گویایی است، زبان صوری محمولات مرتبه دوم (دستگاه صوری مرتبه دوم) نامیده می‌شود. در محمولات مرتبه دوم دامنه گیرایش سور می‌تواند حروف محمولی (نیز حروف تابعی) باشد. برای مثال گیریم P یک حرف محمولی تک موضعی (یعنی یک خاصیت) باشد. فرمول:
(x)(P)[P(x)∨~P(x)]
یک فرمول مرتبه دوم منطقاً معتبر است که می‌گوید: برای x دلخواه و هر خاصیت P دلخواه؛ x خاصیت P را دارد یا ندارد [هر شیئی هر خاصیتی را دارد یا آن را ندارد - هر شیئی خاصیتی دارد یا ندارد.]
قضیه تمامیت به اینجا نرسیده خود تمام می‌شود، چراکه کورت گودل با دو قضیه ناتمامیت که در زیر به آنها اشاره‌شده به میدان می‌آید.
قضیه اول ناتمامیت:
سازواره ماشینی [Machinery] سازگاری که بتواند همه گزاره‌های درست و فقط درست حساب را تولید کند وجود ندارد.
قضیه دوم ناتمامیت:
سازواره ماشینی [Machinery] سازگاری (در حساب) که بتواند سازگاری خود را ثابت کند وجود ندارد.
☚ قضیه‌های ناتمامیت را در نظریه مجموعه‌ها ببینید.
■ تصمیم پذیریِ دستگاه
با توجه به فراقضیه تمامیت و کارآمدی استنتاج سمانتیکی، هرآینه دستگاه (و نیز دستگاه C.P) کارآمد (تصمیم پذیر) است. به‌عبارت‌دیگر، ازآنجاکه ⊩⇔⊢ و نیز رابطه ⊩ تصمیم پذیر است پس رابطه ⊢ باید تصمیم پذیر باشد.
اکنون این پرسش به میان می‌آید: گرچه دستگاه‌های (و نیز دستگاه C.P) کارآمد (تصمیم پذیر) هستند و از طرفی می‌دانیم این کارآمدی در عمل چندان کارساز نیست، آیا این دستگاه‌ها به گونه مؤثر-در عمل نیز کارآمد (تصمیم پذیر) هستند؟ پاسخ آری است. روش درخت صدق (روش تابلو) و قاعده تفکیک ازجمله پاسخ به این پرسش است.
