توجه:

صورت، معنی و فرامنطق؛ فرامنطق-Metalogic  آخرین ویرایش: ۱۳۹۵/۰۷/۰۱ 

(د). فرامنطق

 مقدمه:

فرا-منطق استدلال در فرازبان درباره تعبیر و نحو در زبان‌های صوری (مانند LC) و دستگاه‌های صوری مانند (دستگاه CND) است.  بنابراین، ما اینجا و در فرازبان به بیان احکام درباره دستگاه‌های استنتاجی (دستگاه CND و دستگاه CND+Cp) خواهیم پرداخت. این احکام -  احکام درباره دستگاه‌های استنتاجی - به فراقضیه موسوم هستند. به‌عبارت‌دیگر یک فراقضیه حکم یا خاصیتی درباره یک دستگاه استنتاجی معین است  که در فرامنطق به فرازبان بیان و اثبات می‌‌گردد. در منطق، تفکیک بین قضیه و فرا-قضیه بسیار مهم است. اولی یک فرمول‌ خوش-ساخت است که در دستگاه استنتاجی دست آمدنی است و دومی خاصیت اثبات‌شده‌ای درباره دستگاه استنتاجی است. 

دو رکن فرامنطق ازجمله، اثبات (فرا)قضیه استواری و (فرا)قضیه تمامیت [یا فراقضیه ناتمامیت] دستگاه‌های صوری است.  در ادامه استواری و تمامیت دستگاه‌های CND و CND+Cp ملاحظه خواهد شد و خواهیم دید فرا قضیه‌های استواری و تمامیت در این دستگاه‌ها وارون (به‌عبارت‌دیگر، شرط لازم و کافی) هم هستند.

(د).۱   استواری دستگاه CND؛

بیان فرا-قضیه استواری: گوییم دستگاه CND استوار (یا متقن) است اگر هر استنتاج، استلزام منطقی باشد، به‌عبارت‌دیگر، هر استنتاج معتبر نحوی، استنتاج معتبر سمانتیکی باشد. و به گونه دیگر،  آنچه نتیجه نحوی است، نتیجه منطقی باشد. و نیز به گونه دیگر:

 

استواری    :CND مدل مقدمات هر استنتاج معتبر نحوی، مدل نتیجه‌ آن استنتاج است.  

 

ازآنجاکه در دستگاه CND+Cp مفهوم قضیه دارای مصداق است، می‌توان افزود و گفت در این دستگاه: هر قضیه توتولوژی است.

و نیز به گونه دیگر:

 آنچه دست آمدنی است، معتبر است. یا آنچه معتبر نیست، دست آمدنی نیست.

 

و نیز به گونه دیگر:

⊢ ⇒CND

 

⊢ ⇒CND+Cp

 

(د).۱.۰  طرح سردستی اثبات فرا-قضیه استواری برای دستگاه CND:

 

می‌گوییم هر استنتاج معتبر دارای برهان است و نتیجه هر برهان:

(۱)- دست آمده از کار زدن متوالی قواعد استنتاج بر مقدمات یا

(۲)- خود یکی از مقدمات است. 

گرچه طولانی ولی به‌وسیله جداول ارزش می‌توان آزمود و دید که همه قواعد استنتاج در CND استلزام منطقی هستند و بنابراین استوارند. پس در حالت (۱) هر مدل مقدمات، مدل نتیجه نیز خواهد بود. در حالت (۲) که نتیجه یکی از مقدمات است آنگاه هر مدل مجموعه مقدمات آن استنتاج به اقوی دلیل مدل این مقدمه نیز است. بنابراین دستگاه استوار است.

 

(د).۲   تمامیت دستگاه:CND

فراقضیه تمامیت وارون فرا-قضیه استواری است. پس، گوییم دستگاه CND تمام است اگر هر استلزام منطقی، استنتاج باشد، به عبارت دیگر، هر استنتاج معنایی یک استنتاج معتبر نحوی باشد. نیز به گونه دیگر، آنچه نتیجه منطقی است، نتیجه نحوی است. 

 

تمامیت دستگاه CND:

 هر  استلزام منطقی  استنتاج نحوی است. یا هر چه استنتاج نحوی نیست، استلزام منطقی نیست.

 

و نیز به گونه دیگر:

⊩ ⇒CND

 

⊩ ⇒CND+Cp

اثبات تمامیت [یا ناتمامیت] دستگاه‌های استنتاجی دارای روندی نسبتاً طولانی تا بسیار طولانی است. اثبات این تمامیت برای دستگاه CND را می‌توانید در  ارجاعی کتاب در فصل ۱۰ قسمت ۷ بیابید.

برای دستگاه CND+Cp می‌توان نشان داد: هر توتولوژی دست آمدنی [قضیه] است. یا هر چه اثبات پذیر نیست، معتبر نیست.

 

(د).۳  استواری و تمامیت:

همان‌طور که دیدیم، در دستگاه CND+Cp استواری و تمامیت شرط لازم و کافی یکدیگرند.  بنابراین در این دستگاه، فرا-قضیه‌های استواری و تمامیت را می‌توان با صورت‌بندی -  فرمول α قضیه است، اگر و فقط اگر توتولوژی باشد - بیان کرد.

بنابراین داریم:

CND ⇔ ⊢CND

 

CND+Cp ⇔ ⊢CND+Cp

 

به‌عبارت‌دیگر، هر دستگاه صوری گزاره‌ای همچون سازواره‌های ماشینی سازگاری هستند که می‌توانند همه صور معتبر و فقط صور معتبر آن دستگاه را تولید کنند. قضیه تمامیت برای زبان صوری ‌گزاره‌ای همان چیزی است که لایب‌نیتس در پی آن بود ولی برای زبانی جهان‌شمول.

 

  گوتفرید ویلهم لایب‌نیتس - Gottfried Wilhelm Leibniz

زندگی‌نامه

... هرگاه چالش به پا خاست، نیاز به جدال بین فیلسوفان نیست مگر بین دو حسابگر. کافیست تا آن‌ها قلم‌هایشان را در دست گیرند و پشت حسابگرهای خود بنشینند و به یک دیگر بگویند (و اگر دوستی کمک خواسته نیز باشد): بگذار حساب کنیم.

1- Ronald Chrisley (Editor); "Artificial Intelligence: Critical Concepts in Cognitive Science 1st Edition", Routledge; 1 edition (January 16, 2001). p. 14.

2- De arte characteristica ad perficiendas scientias ratione nitentes in C. I. Gerhardt (ed.), Die philosophischen Schriften von Gottfried Wilhelm Leibniz (7 vols. 1875–1890) VII 125.

 

Gottfried Wilhelm Leibniz

گوتفرید ویلهم لایب‌نیتس (Gottfried Wilhelm Leibniz م۱۶۴۶-۱۷۱۶) فیلسوف، منطق دان و ریاضیدان بزرگ آلمانی، یکی از دو بنیان‌گذار دانش حساب دیفرانسیل و انتگرال و آغازگر در تدوین اندیشه دستگاه صوری (Lingua characteristica/ زبان نوعی/صوری و Calculus ratiocinator / حساب استدلال) است. آنچه او می‌خواست ماشین برهان بود تا فیلسوفان هنگام اختلاف بدان رجوع کنند. خواست وی در زمانه وی دست نیافتی، زیرا نه منطق جدید و نه تکنیک مقتضی موجود بود. راسل و وایتهد (در پی کتاب مفهوم نگاری فرگه) در تألیف اثر مشهور و بسیار تأثیرگذار اصول ریاضی به دنبال چنین دستگاهی برای ریاضیات بودند. سرانجام گدل "طفل یک‌شبه منطق" با دو قضیه ناتمامیت خود به میدانگاه آمد. خواست لایبنیتس نه دقیقاً آنچه وی می‌خواست هنوز، گرچه به‌تقریب، نامیسر نیست و هم‌اکنون، در بعضی دامنه‌های از پیش معین، میسر و آماده است.

 

Leibnts
این قسمتی از "کتاب تاریخ فلسفه غرب"، برتراند راسل، ترجمه نجف دریابندری است (جلد ۲- صفحه ۴۵۰).

 

 

 

(د).۴  صدق منطقی:

گیریم  α۱, α۲,. . ., αn فرمول‌های یک دستگاه استنتاجی باشند، به قسمی که داشته باشیم:

α۱ α۲
α۲ α۳

.
.
.

αn-۱ αn.

 

اکنون با کار زدن  استواری و تمامیت به‌آسانی می‌توان دید که،  اگر دستگاه استنتاجی موردنظر متقن (استوار) و تمام باشد آنگاه هر مدل α۱ مدل αn نیز خواهد بود. به عیارت دیگر، در هر تعبیر که α۱ درست باشد αn هم درست است [به‌عبارت‌دیگر، دارای صدق منطقی است]. ازاین‌جهت گفته می‌شود در دستگاه‌های استنتاجی استوار، رابطه سرایت دهنده صدق منطقی است.

 

(د).۵  سازگاری دستگاه:CND

برای هر تعبیر دلخواه I اگر ()I=درست، آنگاه (α)I=نادرست. پس چنین نیست که در CND داشته باشیم:  α. ازاینجا و بنا بر استواری و تمامیت نیز چنین نخواهد بود که درα :CND .  پس دستگاه CND سازگار است.

 

(د).۶ فرا-قضیه  ناتمامیت:

دستگاه CND و در کل دستگاه‌های صوری گزاره‌ای، سازواره‌های ماشینی [Machinery] محاسبه استدلال‌های تابع-ارزش هستند. یعنی، آن استدلا‌ل‌ها که فقط شامل عبارات گزاره‌ای تابع-ارزش  هستند. به‌عبارت‌دیگر، توان بیانی این دستگاه‌ها محدود به عبارت‌های گزاره‌ای تابع ارزش است. اما همان‌طور که در بند ۱ نظریه تسویر می‌توان دید، چنین نیست که همه استدلال‌ها تابع-ارزش باشند. افزودن واژگان حروف محمولی، حروف تابعی، سور عمومی، متغیرهای‌ انفرادی و ثابت‌های انفرادی به واژگان بنیادی زبان صوری گزاره‌ای و نیز تعداد محدود قاعده استنتاج بیشتر دستگاه حساب محمولات مرتبه اول با توان بیان بسیار بیشتر را پدید می‌آورد. کورت گودل (۱۹۳۰م) و بعد دیگران نشان دادند در هر حساب محمولات مرتبه اول قضیه تمامیت برقرار است، یعنی، قضایای هر حساب محمولات مرتبه اول دقیقاً فرمول‌های منطقاً معتبر آن هستند. به‌عبارت‌دیگر، هر دستگاه صوری مرتبه اول همچون سازواره‌ سازگاری هست که می‌تواند تحت هر تعبیر همه عبارات درست و فقط درست را تولید کنند.

در زبان محمولات مرتبه اول دامنه سور فقط می‌تواند متغیرهای انفرادی باشد. این محدودیت باعث می‌شود نتوان همه عبارات ریاضیات حتی حساب مقدماتی، برای مثال اصل استقرای ریاضی و نیز خوش‌-ترتیبی را بیان کرد.  زبانی که این توان را دارد به زبان صوری محمولات مرتبه دوم (و به‌تبع دستگاه صوری مرتبه دوم) موسوم است. در محمولات مرتبه دوم دامنه سور می‌تواند حروف محمولی و تابعی نیز باشد. برای مثال گیریم P یک حرف محمولی تک موضعی (یعنی یک خاصیت) باشد. فرمول (P)(x)[P(x)∨~P(x)] یک فرمول مرتبه دوم منطقاً معتبر است که می‌گوید: برای P و x دلخواه؛  x خاصیت P را دارد یا ندارد [یا، هر خاصیت‌ای برای هر شیء‌ای برقرار است یا برقرار نیست.]

قضیه تمامیت به اینجا نرسیده خود تمام می‌شود، چراکه کورت گودل با دو قضیه ناتمامیت  که در زیر به آن‌ها اشاره‌شده به میدان می‌آید.

قضیه اول ناتمامیت: سازواره ماشینی [Machinery] سازگاری که بتواند همه گزاره‌های درست و فقط درست حساب را تولید کند وجود ندارد.

قضیه دوم ناتمامیت: سازواره ماشینی  [Machinery] سازگاری (در حساب) که بتواند سازگاری خود را ثابت کند وجود ندارد.

 

(د).۷ تصمیم پذیری دستگاه CND:

با توجه به فرا-قضیه تمامیت و کارآمدی استنتاج سمانتیکی، هرآینه دستگاه CND (و نیز دستگاه CND+Cp) کارآمد تصمیم پذیر) است.به‌عبارت‌دیگر، ازآنجاکه ⊩⇔⊢ و نیز رابطه تصمیم پذیر است پس رابطه باید تصمیم پذیر باشد.

اکنون این پرسش به میان می‌آید: گرچه دستگاه CND (و نیز دستگاه CND+Cp) کارآمد (تصمیم پذیر) هستند و از طرفی می‌دانیم این کارآمدی در عمل چندان کارساز نیست، آیا این دستگاه‌ها به گونه مؤثر-در عمل نیز کارآمد (تصمیم پذیر) هستند؟ پاسخ آری است. ما در ادامه یادداشت‌های منطق با چند روش، ازجمله درخت معنایی(روش تابلو) و قاعده تفکیک به این پرسش بر خواهیم گشت.

 

 

© 1987 - 2017 KHcc Sc.