نظریه مجموعه‌ها آن شاخه از ریاضیات است که وظیفه‌اش کاوش ریاضی‌وار مفاهیم بنیادین "عدد"، "ترتیب" و "تابع" و لحاظ داشتنشان به‌صورت ساده و بکر است و بدین‌وسیله گستراندن مبانی منطقی همه حساب و آنالیز؛ ‌ و ازاین‌قرار مؤلفه‌ای ناگزیر برای همه دانش ریاضی. . . . از یک‌سو، به خاطر اجتناب از هر تناقض، باید این اصول را به‌اندازه کافی محدود . . . از دیگر سو به‌اندازه کافی گسترده تا هر آنچه از این نظریه ارزشمند است باقی‌. __ ارنست زیملو  Ernst Zermelo " Collected Works/Gesammelte Werke: Volume I/Band I - Set Theory", 2010; Springer.

توجه:

عناصر نظریه مجموعه‌ها؛  کلاس، عضویت و مجموعه  آخرین ویرایش: ۱۳۹۵/۰۷/۰۱ 
برتراند راسل

عناصر نظریه مجموعه‌ها

کلاس، عضویت و مجموعه

۱  مقدمه

مجموعه‌ها و درواقع "نظریه مجموعه‌ها" یک نظریه استنتاجی [*]- در ادامه یادداشت‌های منطق، تئوری‌ استنتاجی و نیز دستگاه‌های اصل موضوعی مورد ملاحظه قرار خواهند گرفت. است که به‌وسیله جرج کانتور بنیاد گردیده. ریاضی‌دانان با چندین رهیافت‌ این نظریه را بیان می‌کنند. ازجمله, نظریه طبیعی مجموعه‌ها P. R. Halmos, "Naive Set Theory", Springer, 1974 -1998. است که در آن بهره‌وری از زبان طبیعی حداکثری است.  اما بیان گوهری آن توسط دستگاه‌های اصل موضوعی است. ازجمله دستگاه‌های اصل موضوعی مجموعه‌ها، دستگاه موسوم به زیملو-فرانکل / Zermelo-Fraenkel با کوتاه شده ZF است. این دستگاه به شمول اصلی موسوم به اصل انتخاب / Axiom of Choice (که در ادامه با همین عنوان آن را خواهیم دید) با کوته‌سازی ZFC و گاهی ZF+C، بنیاد ریاضیات جاری است.  دستگاه دیگر موسوم به  Neumann-Bernays-Godel با کوته‌سازی NBG است. دستگاه NBG و ZFC بسیار شبیه و همساز هستند. تفاوت عمده در وجود چیزی بنام "کلاس" در دستگاه NBG است که مجموعه به‌عنوان گونه‌ای از آن معرفی می‌گردد. در بند  ۲.۱، کلاس و مجموعه، کمی بیشتر دراین‌باره توضیح خواهد آمد.

آنچه در پی و قسمت‌های بعد خواهد آمد صرفاً معرفی بعضی واژگان این نظریه است که در ادامه نگاه نزدیک‌تر به منطق (و نیز رایانش) به آن‌ها نیازمندیم. علت این نیاز ازجمله دقت و ژرفی، درعین‌حال سادگی آن‌هاست و اگر بتوانیم آن‌ها را بجا به‌ کار ببریم، هر بار از چندین و چند صفحه توضیحات، که خود می‌توانند باعث ابهام و چندمعنایی در کلام شود، جلوگیری خواهد شد.


۱.۱ مجموعه و عضویت

داستان را از فرد معینی بنام پرویز آغاز کنیم که هرروز صبح فرزند خود را از مسیر مشخص به مدرسه می‌رساند. وی درراه مدرسه هرروز چیزهای ثابتی، مانند تابلوی یک دندان‌پزشک، یک کیوسک مطبوعاتی، ماشین پارک شده مدیر مدرسه, خدمتگزار مدرسه، باجه تلفن و مانند آن‌ها را می‌بیند. وی می‌تواند برای همه این چیز‌ها یک نام انتخاب و ازآن‌پس با آن نام از آن‌ها یاد کند. فرض کنیم نام انتخابی وی "M" باشد. اکنون می‌توان گفت M نام یک مجموعه است و تعریف M (تعریف مجموعه M و نه تعریف مجموعه) می‌تواند "چیزهایی که پرویز در مسیر روزانه رساندن فرزند خود به مدرسه می‌بیند" باشد. به هر یک از این چیزها گفته: یک عضو  M هستند [یا عنصر  M یا در M هستند، یا تعلق به M دارند.]

وایتهد

در متونی که از زبان ریاضی برای گویایی و دقت بهره می‌برند، عبارت‌هایی کم‌و‌بیش مثل "فرض کنید یک مجموعه باشد ..." بسیار دیده می‌شود. در این موارد، اول و مهم‌ترین چیز این است که قرار است عناصری در میدان بحث بیایند که ازجمله عضو (یعنی عضو یک مجموعه) خواهند بود و بنابراین نقش اول آن‌ها عضویت در مجموعه نام داده‌شده‌ای است. اینکه، این عناصر چه هستند یا اصلاً وجود دارند یا نه، مسئله بعد است. 

در ادامه این یادآور، فقط بر مبنای همین‌که گفته شد و پس از بیان چند خاصیت مجموعه‌ها، ساختارهای ساخته‌شده‌ای(برای مثال در دانش کامپیوتر و رایانش) را می‌بینیم و مفاهیم بس مهمی چون شمارش، شمارش‌پذیری، مقایسه، مقایسه‌پذیری، انتخاب -اصل عجیب انتخاب، ترتیب، ترتیب‌پذیری، بی‌نهایت، بی‌نهایت‌ها و بسیاری دیگر را مرور خواهیم کرد.


۲.۱  کلاس و مجموعه

در بیشتر متون مقدماتی تا متوسط منظور از رده یا کلاس همان مجموعه است؛ با این اشاره ضمنی که اعضای آن خود هریک نام (یا نماینده) مجموعه‌های از پیش معینی می‌توانند باشند؛ یا اعضای آن اعضای یک مجموعه گسترده‌تر هستند ولی تأکید بر ویژگی یا ویژگی‌های مشخصی است که ممکن است همه اعضای آن مجموعه گسترده‌تر دارای این ویژگی(‌ها) نباشند. اما در سطح فنی‌تر (برای مثال، در دستگاه NBG که در بند ۱.۱ آمد)، کلاس یک چیز ابتدایی‌ (تعریف‌نشده) است. در این دستگاه علاوه بر کلاس، "" نیز یک تعریف‌نشده دیگر است و فقط هم همین دو تعریف‌نشده هستند.

فرض کنید C۱ و  C۲ کلاس باشند، آنگاه می‌نویسیم:  C۱C۲و به زبان فارسی می‌خوانیم: C۱ عضو C۲ است (یا C۱ به C۲ تعلق دارد، یا C۱ در C۲ است و مانند آن‌ها).

در رهیافت کلاس‌ها را در دو سته از هم متمایز می‌کنند:

۱- کلاس سره: کلاسی که عضو هیچ کلاسی نیست.

۲- مجموعه: کلاسی که عضو بعض کلاس است [به چنین کلاس عنصر هم گفته می‌شود.]

بنابراین، همه مجموعه‌ها‌ کلاس هستند ولی همه کلاس‌ها مجموعه نیستد. به‌عبارت‌دیگر، بعضی کلاس‌ها (کلاس‌های سره) گسترده‌تر از آن‌اند تا مجموعه باشند. به‌عنوان‌مثال، کلاس همه مجموعه‌ها یک کلاس سره است. در ادامه (بند  ۷.۱، نمایاندن مجموعه و پارادوکس راسل) توضیح بیشتر خواهد آمد. دقیق و مشروح دستگاه NBG را نیز می‌توان در:

۱-  Introduction to Mathematical Logic فصل چهارم ( نظریه اصل موضوعی مجموعه‌ها)، الیوت متدلسون یافت.


۱.۲.۱  نظریه کتگوری‌ها:

آنگونه که نورمن استین رد / Norman Steenrod آن را نامید، زبان کتگوری‌ها از روی لطف همچون "مهمل انتزاعی" شناخته‌شده. در اصل، این عبارت نه ضرورتاً موهن که دقیق هم است: کتگوری‌ها به "مهمل" بدین برداشت رجوع دارند که آن‌ها تماماً درباره "ساختار" هستند و نه درباره "معنی" آنچه را که نشان می‌دهند.
__  پائولو الفی /
Paolo Aluffi.

مجموعه‌ها را با چیزهای متعلق به چیزها آغاز کردیم. به همین ترتیب می‌توان کاتگوری (کتگوری) (نظریه کاتگوری‌ها) را با چیزهایی در ساختارها (یا بر ساختارها) آغاز کرد. نظریه کاتگوری‌ها بررسی ساختارها است که ازجمله، یکسانی‌های ارزشمند را بین چیزهای (ساختارهای) به‌ظاهر بی‌ربط آشکار می‌کند. آغازگر این نظریه ساموئل النبرگ (Samuel Eilenberg, ۱۹۰۹-۲۰۰۵) و ساندرز مک لین (Saunders Mac Lane, ۱۹۱۳-۱۹۹۸) ،که به‌تمامی به شیوه اصل موضوعی گسترش‌یافته، هستند. در این نظریه، مجموعه خود گونه‌ای کتگوری است (یعنی، همه مجموعه‌ها کتگوری هستند.) نظریه کتگوری‌ها دارای دو چیز ابتدایی به‌قرار چیز و پیکانه (نشانک) است که در آن پیکانه‌ها از چیز‌ها به چیزها نشانه رفته‌اند.

در نمودار شماتیک زیر یک کتگوری شامل سه چیز و شش پیکانه نشان داده‌شده.

کاتگوری
شکل ۱.۲.۱- یک کتگوری با سه چیز و شش پیکانه.

نظریه کتگوری‌ها، به‌جز در خود ریاضی که همچون زبان جهانی ریاضی مطرح است، در دانش کامپیوتر، علوم شناختی و فلسفه کاربردهای مهم خود را نیز دارا است.

عبارت کتگوری در نظریه کتگوری که این‌جا بدان اشاره شده با مقولان ارسطویی (Aristotle's Categories) یا گزاره‌های حملی (نیز قیاس‌های حملی) بدون ارتباط است و بنابراین نباید به آن‌ها (واژگان ارسطویی) ربط داده شود.


 منابع:

۱- درآمد به نظریه کاتگوری (دانشگاه ویکی و مناسب برای علاقه‌مندان با پیش‌زمینه ریاضی متوسط)
۲- مدخل در دانشنامه استنفورد (فلسفه)
۳- مدخل در دانشنامه ویکی‌پدیا
۴- ریاضیات مفهومی (مناسب برای علاقه‌مندان با پیش‌زمینه ریاضی تا متوسط)؛ به آدرس:
  http://fef.ogu.edu.tr/matbil/eilgaz/kategori.pdf
۵- نظریه کاتگوری؛ به آدرس:
  https://people.mpi-sws.org/~dreyer/courses/catlogic/awodey.pdf 
۶- مبانی نظریه کاتگوری برای دانش کامپیوتر؛


ادامه: . . . . .

George Cantor

جرج کانتور(۱۹۱۸-۱۸۴۵) /Georg Cantor ریاضیدان آلمانی و بانی نظریه مجموعه‌ها

Ernst Zemelo
ارنست زیملو(۱۹۵۳-۱۸۷۱) /Ernst Zermelo منطقدان، ریاضیدان آلمانی و واضع دستگاه اصل موضوعی ZFC.

© 1987 - 2017 KHcc Sc.