توجه:

عناصر نظریه مجموعه‌ها؛  نمایاندن مجموعه و پارادوکس راسل  آخرین ویرایش: ۱۳۹۶/۱۰/۱۲ 

عناصر نظریه مجموعه‌ها (۲):

۳.۱ مجموعه‌های مساوی:

 دو مجموعه مساویاند اگر و فقط اگر عضوی دریکی نباشد که در دیگری باشد. هر مجموعه با خودش‌ مساوی است. فرض کنید B ،A و C مجموعه باشند؛ اگر A مساوی B باشد (یعنی، A=B) آنگاه B نیز مساوی A است (یعنی، B=A)؛ همچنین، اگر A مساوی B و A مساوی C باشد آنگاه B مساوی C است.


۴.۱ مجموعه تهی:

گاهی صحبت از گردآوردی از چیزهایی از طریق وصف آن‌ها می‌کنیم. اگر نشان دهیم جواب به پرسش وجود هر چیز در این گردآورد قطعاً منفی است (یعنی، هیچ‌چیز مطابق آن وصف وجود ندارد)، آنگاه مجموعه‌ای داریم که خالی/تهی است. برای مثال اگر وصف اعضای گردآوردی، به فرض M، "اعداد صحیح مضرب ۳ بین ۶ و ۹" باشد، آنگاه مقدار ارزش  گزاره "هر عنصر M کوچک‌تر از ۹ و بزرگ‌تر از ۶ است" درست ولی پاسخ پرسش پیش‌تر گفته‌ منفی است؛ بنابراین M می‌تواند یک مجموعه و نیز یک مجموعه تهی باشد. بنابراین، ‌چنین نیست که همه مجموعه‌ها عضو داشته باشند. از تساوی مجموعه‌ها می‌

توان نتیجه گرفت؛ همه مجموعه‌های تهی مساوی‌اند و می‌توان نشان معروف "" را به آن داد و از همه آن‌ها با یادکرد.


۵.۱ زیرمجموعه:

فرض کرده A و B دو مجموعه باشند، A را زیرمجموعه B گویند (و می‌نویسند: AB) اگر و فقط اگر عضوی نباشد که در A باشد ولی در B نباشد. فی‌البداهه مجموعه تهی زیرمجموعه هر مجموعه‌ای است و هر مجموعه‌ زیرمجموعه خودش است. بنابراین یک مجموعه تهی چندان هم بی‌چیز نیست و یک زیرمجموعه دارد. آشکار است که، اگر دو مجموعه زیرمجموعه هم باشند آنگاه آن دو مجموعه مساوی‌اند و نیز وارون آن. بنابراین:

 (A⊂B) & (B⊂A) A=B.


۶.۱ زیرمجموعه سره و ناسره:

گیریم؛ AB. به A یک زیرمجموعه سره  B می‌گویند وقتی عضوی در B هست که در A نیست. بنابراین، زیرمجموعه سره همه مجموعه‌های ناتهی است و همین‌طور هر مجموعه زیرمجموعه ناسره خود است. از واژه "سره" در ریاضی کم استفاده نمی‌شود. برای مثال، مراد از مقسوم‌علیه سره یک عدد صحیح، مقسوم‌علیه‌های آن عدد به‌جز خود آن عدد است و همین‌طور کلاس سره که در ۲.۱ دیدیم.


 ۷.۱ نمایاندن مجموعه

معمولاً یک مجموعه خاص با بیان ویژگی [خاصیت] اعضایش (مفهوم آن‌‌ها) یا با قرار دادن عضوها یا نشانه ویژه عضوها درون یک جفت آکولاد تعریف می‌شود (مصداق آن‌‌ها). [البته نه هر خاصیتی- به پارادوکس راسل که در ادامه است توجه نمایید.] مجموعه تهیرا با { } نمایش، همچنین عضویت‌ (تعلق‌) و زیرمجموعه بودن را به ترتیب با نمادهای '' و '' نشان می‌دهند. معمولاً به‌جای ‌آنکه بگویند: چنین نیست که x(شیئی) متعلق به A است — می‌نویسند:  xA. به همین ترتیب '' برای زیرمجموعه نبودن است. بعضی جاها از نماد '' برای زیرمجموعه سره بودن و '' برای زیرمجموعه بودن استفاده می‌شود. ما از برای زیرمجموعه بودن استفاده خواهیم کرد. 

در زیر چند مثال از مجموعه‌ را می‌توان دید:

  ۱- {۰, ۱}       ۲- {۱, ۰}       ۳- {{۲, ۳}}     ۴- {{۱}, {۱, ۲}}  

 

  ۵- {{۲, ۳}}       ۶-{۱, ۲, ۳, ۵, ۸, ۱۳, ۲۱, ...}        ۷- {۱, ۰, ۱}  

 

  ۸-
{چیز عدد مثبت و مساوی حاصل جمع مقسوم‌علیه‌های سره خود |چیز}

  یا

{x عدد مثبت و مساوی حاصل جمع مقسوم‌علیه‌های سره خود |x}

  ☚  نشانه | "به قسمی‌ که" خوانده می‌شود.

 

 ۹- {۱}

 

۱۰- {{۱}}  

 

 

 

 مجموعه ۱ و ۲  یکی هستند، زیرا ترتیب نمایش اعضای مجموعه فاقد اهمیت است؛ به‌عبارت‌دیگر : برای هر دو چیز x و y داریم:

 {x, y}={y, x}.

مجموعه ۳ تهی است.
در ۴ باید دقت کرد که ۱ و ۲ عضوهای این مجموعه نیستند بلکه فقط مجموعه‌های {۲ ،۱} و {۱} عضوهای آن هستند و این مجموعه فقط دو عضو دارد و هر دو عضو خود مجموعه‌اند.
مجموعه ۵ فقط یک عضو دارد.
در ۶ معنی سه‌نقطه آخر "و مانند آن‌ها" است، یعنی انتظار می‌رود که ما بقیه عضوها را خواهیم شناخت. اگر ۶ را به‌صورت:

 {...، ۳، ۲، ۱۳، ۲۱، ۵، ۱، ۸}

بنویسند آنگاه انتظار نویسنده حداقل از من زیادی است.
و ۷ که همان ۱ است، یعنی تکرار نمایش اعضای مجموعه فاقد اهمیت است، به‌عبارت‌دیگر برای هر چیز x داریم:

 {x, x}={x}.

مجموعه ۸ مجموعه اعداد کامل است؛ مانند ۶ که برابر است با ۱+۲+۳ و همین‌طور ۲۸، ۸۱۲۸ و مانند آن‌ها. دو مجموعه ۹، ۱۰ هردو تک‌ عضو و با اعضای متمایز هستند، یعنی ۱ و {۱} دو چیز متمایز هستند. یکسان فرض کردن آن‌ها مثل این است که بگوییم هر دارنده چیزی‌ خودش همان چیز است [جعبه دارای یک سیب خودش سیب است.]

مثال: فرض کنید:

A = {∅, {∅}, {∅,  {∅}}}

در این صورت، عبارات زیر درست هستند:

۱. ∅A  
۲. ∅

۳. {∅}
A  
۴. {∅}

۵. {{∅}}
۶. {∅,  {∅}}
A   
۷. {{∅}, ∅}
A


۱.۷.۱ پارادوکس راسل:

آن‌طور که دیدیم (در مثال ۸ بالا) ممکن است بتوان یک مجموعه را با خاصیت اعضای آن مطابق یکی از قالب‌های زیر تعریف کرد [در زیر P هر ویژگی دلخواهی است و Px به‌صورت "x  دارای ویژگی P است خوانده می‌شود]:

    ۱- Δ ={xA| Px} 

 مجموعه‌ای که شامل آن عضوهای A است که دارای خاصیت P هستند.

  ۲- Δ ={x|xA, Px}

  مجموعه‌ای که اعضای آن عضو A و دارای خاصیت P هستند.

  ۳- Δ = {x|Px}

 مجموعه‌ای که اعضای آن دارای خاصیت P هستند.

در ۱ و ۲ بالا مجموعه Δ به‌عنوان زیرمجموعه A تعریف شده و می‌‌توان نوشت: ΔA. اما تعریف مجموعه‌ای به قالب ۳ قدرتمندتر [فراگیرتر] ازآنچه می‌تواند باشد است. در پاراگراف بعد خواهیم دید چرا این‌گونه قدرتمندی نابودی خود را در خود دارد.

برای مثال، مجموعه F را مجموعه همه مجموعه‌هایی بگیرید که خود عضو خود نیستند. به‌عبارت‌دیگر P را  xxگرفته و می‌نویسیم: F={x|xx}. اگر F وجود داشته باشد آنگاه تهی نخواهد بود. زیرا، برای مثال، مجموعه مادران تک‌فرزند عضو F است و آشکار است که مجموعه مادران تک‌فرزند خود یک مادر تک‌فرزند نیست. در پاراگراف بعد به این می‌پردازیم که فرض وجود این مجموعه و بنیاد ریاضیات بر این‌چنین نظریه مجموعه‌ای موجب می‌شود تا هر حکم ریاضی اثبات پذیر باشد. یعنی، هر گزاره ریاضی درعین‌حال که درست، درعین‌حال نادرست هم باشد. [برای توضیح درباره این نتیجه بحث ناسازگاری - فصل دهم کتاب را ببینید.]

اکنون می‌پرسیم آیا F عضو خود است؟

اگر FF، آنگاه به‌موجب P داریم FF. اگر FF، آنگاه به‌موجب P داریم FF.

آشکارا این، یک تناقض است و برخاسته از قالب ۳ (وصف بی‌حدومرز) در بالا برای تعریف یک مجموعه است. بنابراین (در نظریه طبیعی مجموعه‌ها) چنین نیست که هر وصفی از اشیاء مولد یک مجموعه شود. این به پارادوکس راسل معروف است.به پارادوکس کانتور در همین رابطه که در بحث اعداد کاردینال آمده نیز نگاه کنید.

تعریف یک مجموعه به‌صورت {x|xA, xx} بدون مشکل است و مشمول پارادوکس راسل نیست. تعریف این مجموعه مطابق قالب ۲ است.

گوتلوب فرگه از وضع‌کنندگان اصلی منطق جدید کلاسیک (و مخترع منطق محمولات اصل موضوعی) در کتابی که برای نظم و نسق منطقی ریاضیان منتشر نمود (Begriffsschrift / مفهوم نگاری،  ۱۸۷۹) قالب ۳ را به‌عنوان مولد مجموعه پذیرفته بود. برتراند راسل بعد از خواندن کتاب پی به این پارادوکس برد (ازاینجا این پارادوکس بنام راسل مشهور است) و از طریق نامه به اطلاع فرگه رساند. این باعث شد به استحکام بنای در حال ساخت ریاضیات که در آن زمان بسیار مورد اهتمام ریاضیدانان بود موقتاً خلل وارد شود. درواقع حذف این اصل (قالب ۳) از دستگاه فرگه موجب ناکارایی دستگاه می‌گردید (آن را بیش‌ازاندازه ضعیف می‌کرد). چندان طول نکشید که برتراند راسل با ارائه نظریه گونه‌ها /Russell's theory of types این مشکل را از سر راه نظریه مجموعه‌ها برداشت و سپس نیز دستگاه موسوم به دستگاه زیملو-فرانکل /Zermelo–Fraenkel معروف به ZF+C برای مجموعه‌ها [قوی‌ترین بنیاد دستگاه ریاضیات جاری] ارائه گردید. ناگفته نماند که از دستگاه فرگه فقط همین یک اصل(قالب ۳) مشکل‌آفرین بود. همه اصول دیگر فرگه باقوت در دستگاه‌های بعدی نقش بنیادی خود را دارند.


۸.۱  مجموعه توانی

به مجموعه‌ای که اعضای آن همه‌ی زیرمجموعه‌های یک مجموعه باشند مجموعه توانی آن مجموعه میگویند. فرض کنید؛ {۱ ,۰}=B آنگاه:

{{۱ ,۰} ,{۱} ,{۰} ,{ }} که آن را با Ƥ(B) نشان‌گذاری می‌کنند، مجموعه توانی B است. اگر تعداد اعضای یک مجموعه n باشد، تعداد اعضای مجموعه توانی آن 2n است و از اینجاست که نام "توان" آمده است. به‌عبارت‌دیگر درازای رشد خطی تعداد اعضای مجموعه، تعداد اعضای مجموعه توانی آن به‌طور نمایی/توانی رشد می‌کند. در زیر چند مثال آمده است:

Ƥ({۱}) = {ø, {۱}}
Ƥ({۱,۲}) = {ø, {۱}, {۲}, {۱, ۲}}
Ƥ({۱,۲,۳})={ø, {۱}, {۲}, {۳}, {۱, ۲}, {۱, ۳}, {۲, ۳}, {۱, ۲, ۳}}
Ƥ
(ø)={ø مجموعه توانی تهی، تهی نیست
Ƥ
(Ƥ(ø))={ø, {ø}}
Ƥ
(Ƥ
(Ƥ(ø)))={ø, {ø}, {{ø}}, {ø, {ø}}}

در مثال‌های بالا: تعداد اعضای مجموعه توانی یک مجموعه همیشه بیشتر از خود آن مجموعه است.

مثال: (روش مکانیکی برای یافتن اعضای مجموعه توانی):

 مجموعه توانی {T={p, q, r را بیابید:

 فرض کنید اعضای T گزاره‌های ساده یک صورت گزاره‌ای باشند. اعداد ۱ تا ۳ را به‌دلخواه به آن‌ها گمارده(منتسب می‌کنیم). فرض کنید این گماردن به‌قرار: ۱p و ۲q و ۳r باشد. سپس سه ستون راهنمای جدول-ارزش این صورت گزاره‌ای فرضی را تشکیل می‌دهیم. از روی آن به شیوه زیر می‌توان اعضای مجموعه توانی را حساب کرد.

pqr ۱  ۲  ۳
111 {p, q, r}
110 {p, q   }
101 {p,     r}
100 {p       }
011 {    q, r}
010 {    q   }
001 {        r}
000 {         }

 


۹.۱ مشاهیر مجموعه‌ها

از مشاهیر مجموعه‌ها یکی مجموعه تهی است که معرفی شد و  دیگری مجموعه اعداد طبیعی است که معرف حضور است و آدمیزاد می‌خواهد هر چیزی را فقط با آن حساب‌ کند. یکی از سیارات نیز همین سیاره شمارش است (اخترک چهارم/شازده کوچولو). مجموعه اعداد طبیعی یعنی {.... ,۳ ,۲, ۱} نیز مثل نشان مخصوص خود، یعنی  N را دارد .
[*]--بعضی متون صفر را جزو اعداد طبیعی آورده و بعضی نمی‌آورند.
اعضای این مجموعه ازجمله مهم‌ترین‌های دنیا و همین‌طور پر سابقه‌‌ترین هستند. مجموعه R [از مجموعه‌های با سر بی ته است.]

مجموعه بعدی، که مجموعه اعداد صحیح، همه اعضای R را دارد [ولی بی‌سر و بی ته است.] این مجموعه که نشان Z را دارد به‌قرار {. . . ،۲ ، ۱، ۰، ۱-، ۲-، .. . .} است.

مجموعه بعدی مجموعه اعداد گویا نام و Q را نشان دارد. این مجموعه همه عضو‌های Z را دارد بعلاوه اعداد با حداقل یک رقم اعشاری غیر صفر. تعداد ارقام اعشاری می‌توانند (نامتناهی) باشند و البته باید از جای معینی به بعد رشته متناهی از آن‌ها تکرار شود. اعداد گویا درواقع، اعدادی هستند  که حاصل تقسیم دو عدد صحیح هستند (قدیم‌تر تبدیل این اعداد اعشاری به کسری را به هم رفع و تجنیس می‌گفتند.). هر عدد گویا قابل تحویل به کسری است که صورت و مخرج آن نسبت به هم اول باشند (مقسوم‌علیه مشترک جز یک نداشته باشند.)

در عالم اعداد گویا، عدد ۲/۱، یعنی تقسیم دو بر یک، جذر ندارد (ثابت کردن آن آسان است). Q برای بقای گویایی باید چنین حفرهای (مانند، جذر ۲) را ندیده بگیرد. و البته این حفره‌ها یکی دوتا هم نیستند. ازجمله عدد معروف پی، یعنی اندازه نسبت محیط دایره به قطر خود که برای هر دایره ثابت است. داستان فیثاغورثیان و اندازه وتر مثلث قائم‌الزاویه‌ متساوی‌الساقین با ساق‌های به‌اندازه ۱، خود به‌اندازه اعداد گویا مشهور است. نگاه گوهری را می‌توان معمولاً در فصل‌های یکم و دوم کتاب‌های آنالیز ریاضی جست. 

 مجموعه‌ای که علاوه بر اعداد گویا حفره‌ها را که به آن‌ها اعداد گنگ میگوییم داشته باشد، معروف به مجموعه اعداد حقیقی و به R نشانه‌دار است.

در انتهای مراسم معرفی: +Q مجموعه اعداد گویای مثبت،*Q مجموعه اعداد گویای غیر صفر هستند و مانند آن‌ها نیز برای Z و R.

 

ناگویایی ریشه دوم عدد گویای ۲

 

می‌خواهیم نشان دهیم ریسه دوم ۲، یعنی r2، عدد گویا نیست. برهان را به شیوه برهان غیرمستقیم  پیش می‌بریم:

۱.   r2 گویا است.

۲.  اعداد صحیح p و q که نسبت به هم اول هستند وجود دارد به قسمی که:

 

 ۳.  

 

۴.  

 p۲q۲

۵.    p۲ مضرب ۲ است؛  
۶.     p۲ مضرب ۴ است؛ (هر عدد صحیح زوج مربع مضرب ۴ نیز است)
۷.       q مضرب ۲ است؛
۸.       p و  q دارای مقسوم‌علیه مشترک ۲ هستند؛
۹.      اعداد صحیح p و q نسبت به هم اول نیستند.

 


 

۱۰.۱  اعمال روی مجموعه‌ها

اشتراک مجموعه‌ها: مجموعه C را اشتراک دو مجموعه A و B گویند اگر و فقط اگر عضوی در C نباشد که در A و B نباشد, و می‌نویسند C=A ∩ Bدو مجموعه ازهم‌جدا هستند اگر اشتراک آن‌ها تهی باشد.

 

اجتماع مجموعه‌ها: مجموعه U را اجتماع دو مجموعه  A و B می‌گویند اگر و فقط اگر عضوی در U نباشد که در A یا در B (یا در هردو) نباشد, و می‌نویسند U=AB

  اشتراک تهی با خود تهی است و اجتماع تهی با هر مجموعه مساوی خود آن مجموعه است.

 

تفاضل مجموعه‌ها: مجموعه D را تفاضل مجموعه B از A ‌گویند و نوشته:

D = A - B ، [همچنینD = A / B ]

اگر و فقط اگر عضوهای D همه عضوهایی باشد که در A هست و در B نیست.

 

متمم  مجموعه‌: گیریم D =A / B، آنگاه به D متمم مجموعه  A نسبت به B می‌گویند. اگر A و B از هم جدا باشند آنگاه:

 A =  A -  B و  B = B -  A.

اگر درزمینه‌ی بحث چنین پیش‌فرض باشد که همه مجموعه‌ها زیرمجموعه یک مجموعه تثبیت‌شده مانند M هستند (برای مثال بحث درباره اعداد)، آنگاه به M-A متمم A گفته و آن را با 'A نشان می‌دهند.

 

 

 


ادامه:  . . . . .

© 1987 - 2017 KHcc Sc.