توجه:

عناصر نظریه مجموعه‌ها:  تابع  آخرین ویرایش: ۱۳۹۵/۰۷/۰۱ 

عناصر نظریه مجموعه‌ها

۱۴.۱  تابع:

نام دیگر تابع نگاشت [نگاشتن - نگاریدن - تصویر کردن - map - mapping) است. وقتی زمینه بحث بیشتر مفاهیم گسسته است معمولاً از نگاشت استفاده می‌شود.

فرض کنید S و T دو مجموعه باشند. بسیار پیش می‌آید که می‌خواهیم به S از منظرهای ممکن T نگاه کنیم. به‌عبارت‌دیگر می‌خواهیم S را مصور در T ببینیم. مثال ساده آن یافتن معادل واژه‌ فارسی "باران" در واژه‌نامه فارسی-انگلیسی، و به‌عبارت‌دیگر دیدن تصویر واژه "باران" به‌عنوان عضوی از مجموعه واژگان فارسی در مجموعه واژگان انگلیسی است. یا نگاه کردن به نماد ارقام ده دهی از دید رومیان باستان. به این مفهوم به‌طور عام یک تابع از S به(در) T گفته می‌شود.
در یک تابع همه عناصر مجموعه عزیمت دارای تصویر در مجموعه مقصد هستند.

 یک تابع وقتی از S در T تعریف می‌شود که برای هر عضو S یک و فقط یک عضو از T مصور ‌باشد (عضوی در S بدون تصویر باقی نماند و فقط هم یک تصویر در T داشته باشد). با توجه به تعداد عضوهای S و T می‌توان چندین تابع از S به T تعریف کرد (از چندین نظرگاه در S به T نگاه کرد.)  بنابراین، با تعریف هر تابع از S به T یک تصویر S را در T خواهیم داشت. معمولاً توابع را با حروفی کوچک لاتین مانند g ،f و مانند آن‌ها نام‌گذاری می‌کنند. وقتی تابعی از S در T بنام  f تعریف شود، این تعریف را به‌صورت شماتیک /Schema:

 f : ST     (I)

نشان می‌دهند. S را دامنه تابع یا مجموعه عزیمت تابع و آن زیرمجموعه‌ از T که اعضای آن تصویر عضوی از S هستند را برد تابع  f می‌نامند. خود مجموعه T مجموعه مقصد تابع  f نام دارد. دامنه یک تابع مانند  fرا با  Domainf و برد آن را با  Rangef نشان می‌دهند. مهم اول در تعریف یک تابع این نیست که چگونه تصویر یک عضو دامنه را باید پیدا کرد، مهم اول شناسایی مجموعه‌های عزیمت و مقصد و نشان دادن اینکه که «همه عناصر مجموعه‌ عزیمت تحت تابع تعریف‌شده دارای تصویر در مجموعه‌ مقصد است».

 عبارت داخل گیومه را معمولاً این‌گونه می‌نویسند:

برای هر xS  اگر،x آنگاه f(x)T

در عبارت بالا به  (f(x مقدار تابع  f برای x یا تصویر x تحت تابع  f می‌گویند.

مسئله بعد می‌تواند این باشد که برای یک x خاص در  S چگونه می‌توان (f(x را یافت. روش‌های مختلف برای این کار هست که بستگی به مجموعه‌های مقصد و عزیمت و مهم‌تر قصد تعریف تابع دارد. ازجمله نوشتن یک عبارت جبری است که به آن ضابطه تابع نیز می‌گویند. برای مثال فرض کنید S و T هردو R باشند، آنگاه:

e :R R ;    e(x)=۲x-۱.

یک بیان از e می‌تواند این باشد که، برای هر عدد طبیعی یک عدد فرد نظیر وجود دارد (توجه: ما صفر را عدد طبیعی فرض نکرده‌ایم.) طریقه‌های دیگری ازجمله رسم نمودارهای مختلف و همین‌طور جداول مرسوم است.

به تابع f در (I) یک تابع یک‌به‌یک /Injective /one to one / Embedded (به‌صورت نمادین ۱:۱) می‌گویند اگر و فقط‌ اگر عضوی در Tنباشد که تصویر دو عضو متمایز Sباشد. به‌عبارت‌دیگر، اگر a و b دو عضو متمایز S باشند، آنگاه (f(a  و (f(b، یعنی تصاویر آن‌ها، نیز متمایز باشند. [برای مثال، تابع e در بالا ۱:۱(یک‌به‌یک) است.]

 اگر برد تابع همه T باشد (عضوی در T نیست که تصویر عضوی از S نیست) آنگاه به f یک تابع پوشا /Onto گفته می‌شود. [تابع e در بالا پوشا نیست.] اما تابع :

d:R E ;    d(x)=۲x-۱

که در آن E مجموعه اعداد فرد است پوشا است.

تابعی که هم ۱:۱ و هم پوشا باشد را تابع دو سویی می‌گویند. 

اگر f دو سویی باشد آنگاه به‌خودی‌خود یک تابع دیگر از T در S تعریف می‌شود. برای نشانه‌گذاری این تابع از حرف جدیدی استفاده نمی‌شود و آن را با f  نشانه‌گذاری می‌کنند و به آن تابع وارون  f گفته می‌شود.

اگر f دو سویی باشد میگوییم بین S و T یک تناظر یک‌به‌یک (به‌واسطه f) برقرار است.

فرض کنید A و  B دو مجموعه، گوییم بین این دو یک رابطه تناظر وجود دارد اگر حداقل یک تابع دو سویه از یکی از آن‌ها در دیگری وجود داشته باشد. تناظر بین دو مجموعه را با نماد '' نشان داده و مراد از نوشتن AB وجود حداقل یک تابع دو سویی بین A و B است.

توابع را همان‌طور که در بالا گفته شد ازجمله می‌توان با استفاده از یک جدول دو سطری (یا دو ستونی) نمایش داد. در جداول زیر به ترتیب سه تابع t و v ،g تعریف شده‌اند.

 

 

g تعریف تابع

g : S B; S={۰, ۱, ۲, ۳, ۴, ۵}; B={۰, ۱}

e S ۰ ۱ ۲ ۳ ۴ ۵
g(e)B ۰ ۱ ۰ ۱ ۰ ۱

تابع g پوشا است ولی یک‌به‌یک نیست


v تعریف تابع

v : B Σ; B={۰, ۱}; Σ={ ۰, ۲, ۴, . . .}

eB ۰ ۱
v(e)Σ ۰ ۱

تابع v پوشا نیست ولی یک‌به‌یک است


t تعریف تابع

t: B Γ; B= {۰,۱}; Γ={{۰, ۲, ۴, ... }, {۱, ۳, ۵, ۷, ۹, . . .}}

e B ۰ ۱
t(e)Γ {۱, ۲,  ۴, . . .} {۱, ۳, ۵, ۷, ۹, . . .}
تابع t پوشا و یک‌به‌یک است، لذا بین B و Γ تناظر یک‌به‌یک به‌واسطه t برقرار است و می‌توان نوشت BΓ.

 

 

 اگر تابع  f از S در T پوشا باشد، آنگاه هر زیرمجموعه ناتهی T تصویر یک زیرمجموعه S است.

ازجمله توابع معروف تابع همانی است که برای او قصد هر عزمی خودش است یا به‌عبارت‌دیگر مجموعه عزیمت و مقصد آن‌یکی و تصویر هر عضو، خود آن عضو است (دنیا را از چشم خودش می‌بیند و نیز در آن فقط خودش را). این تابع را با idS نشان می‌دهند (S هم مجموعه عزیمت و هم مقصد است)، بنابراین idS(x)=x. آشکار است که این تابع یک‌به‌یک و پوشا است و (حتی!) وارون آن نیز خودش است.

 تابع معروف دیگر تابع ثابت نام دارد که تصویر هر عضو مجموعه عزیمت فقط یک عضو از مجموعه مقصد است(مرغ یک پا دارد). اگر مجموعه عزیمت بیش از یک عضو داشته باشد آنگاه این تابع وارون ندارد. اگر این تابع پوشا باشد آنگاه مجموعه مقصد تک ‌عضوی است.

۱.۱۴.۱ تابع و رابطه:

مفاهیم دوتایی مرتب، ضرب دکارتی و رابطه که تاکنون معرفی شدند همه طبق تعریف گونه‌ای از مجموعه هستند. به‌عبارت‌دیگر، جنس پایه آن‌ها مجموعه است. تابع نیز چنین است. درواقع تابعی مانند f از مجموعه A در مجموعه B یک رابطه از A در B است به قسمی که:

۱- هر عضو A در رابطه fبا عضوی از B باشد؛

۲- هیچ عضو A در رابطه f با دو عضو متمایز B نباشد. به عبارت دیگر:

اگر  afb۱ و  afb۲ آنگاه b۱=b۲

یا: اگر  f(a)=b۱ و  f(a)=b۲ آنگاه b۱=b۲


۲.۱۴.۱ توابع سازگار:

دو تابع f و g را توابع سازگار گوییم اگر همه اعضای دامنه مشرک آن‌ها دارای تصاویر همانند باشند. به عبارت دیگر:

برای هر x متعلق به DomainfDomaing داشته باشیم f(x)=g(x).


۱۵.۱  ترکیب توابع

فرض کنید f و g توابع زیر باشند:

f : S ↦ T;    g : T ↦ V;

ترکیب تابع g با f تابعی از S به V است، که آن را به‌صورت  gf نشان داده و مطابق زیر تعریف می‌کنیم:

   g f : S T; 

 
g f(x)=f(g(x))
به‌گونه‌ای که:

 

مثال ترکیب توابع
I: gf تعریف تابع

f: V ↦S; g: S ↦B ; V={p, q, r, s };
S={a, b, c, d}; B={0, 1}

xV p q r s
f(x)S f(p)=b a d c
gf(x) =g(f(x))B gf(p)=g(b) =0 1 0 1

 

در جدول فوق، I، یعنی gf، نگاه به  B است از منظر V با واسطه‌گری S.


ادامه: . . . . . .

 

© 1987 - 2017 KHcc Sc.