توجه:

عناصر نظریه مجموعه‌ها:  مجموعه‌های متناهی و نامتناهی  آخرین ویرایش: ۱۳۹۵/۰۷/۰۱ 

عناصر نظریه مجموعه‌ها

۱۶.۱  مجموعه‌های متناهی و نامتناهی:

به‌طور شهودی می‌توان دید R و نیز مجموعه اعداد صحیح، یعنی:

R={. . ., -۳, -۲, -۱, ۰, ۱, ۲, ۳ ,. . .}

مجموعه‌های نامتناهی هستند. هدف این بند تعریف دقیق متناهی و نامتناهی بودن یک مجموعه است. ابتدا به مثال زیر توجه نمایید.

 مثال: مجموعه اعداد زوج، یعنی {۰, ۲, ۴, ۶, . . .}⊂R  را E نامیده. روشن است که:

 RE.

  نگاشت g از R در E را مطابق جدول زیر تعریف می‌کنیم.

g : R E;   تعریف تابع g
.. . ۵ ۴۳ ۲ ۱ ۰ xR
. . . ۱۰ ۸۶ ۴ ۲ ۰ g(x)R
g(x)=۲x
به‌موجب تابع g، یک تناظر ۱:۱ بین اعداد طبیعی و زیرمجموعه سره‌ای از آن، یعنی اعداد زوج، وجود دارد.

ازآنجاکه، برای هر nR نظیر آن، ۲n، در E و نیز برای هر عضو eE نظیر آن، ۲/e، در R وجود دارد، نگاشت g دو سویی است، یعنی بین R و یک زیرمجموعه سره آن، در این مثال E، تناظر ۱:۱ وجود دارد و می‌توان نوشت: RE. به‌عبارت‌دیگر، اعضای R با اعضای زیرمجموعه سره‌ای از آن جفت شدنی است و این در حالی است که عضوهایی در R هست که در E نیست. به گونه دیگر، R به‌عنوان یک کل با جزئی از خود هم‌اندازه است. این ویژگی R را نامتناهی بودن R نامیده. اگر برای مجموعه‌ای چنین زیرمجموعه‌ای وجود نداشته باشد آنگاه آن مجموعه متناهی است.

 مجموعه نامتناهی:
یک مجموعه را نامتناهی گوییم اگر بین آن و زیرمجموعه سره‌ای از آن، یک تناظر یک‌به‌یک وجود داشته باشد. به مجموعه‌ای که نامتناهی نیست مجموعه متناهی می‌گویند. 

برای مثال هر زیرمجموعه R که دارای بزرگ‌ترین عنصر باشد، یا بدانیم اعضای آن از یک عدد طبیعی کوچک‌ترند (دارای کران بالا است)، یک مجموعه متناهی است.

۱.۱۶.۱☚ متمم زیرمجموعه‌های متناهی اعداد طبیعی نامتناهی‌اند ولی عکس آن همیشه درست نیست.

۲.۱۶.۱☚ با استفاده از اصل خوش‌ترتیبی می‌توان نشان ‌داد بین هر زیرمجموعه نامتناهی R و خود R تناظر ۱:۱ برقرار است.


شمارایی و کاردینال  

۱۷.۱ شمارایی و کاردینال:

می‌توان به هر مجموعه متناهی عددی که به‌اندازه تعداد اعضای آن مجموعه باشد را نسبت داد و آن‌ها را مقایسه پذیر نمود. آیا مجموعه‌های نامتناهی نیز مقایسه پذیراند؟ هدف این بند (۱۷.۱) نشان ‌دادن این است که چگونه ریاضیدانان مفهوم مقایسه پذیری را گسترانده تا به‌طور عام برای مجموعه‌ها، متناهی و نامتناهی، کار زدنی باشد.

داستان از شمارایی [شمارش‌پذیری] مجموعه‌ها آغاز می‌شود. به‌طور شهودی، مجموعه‌ای شمارا است که بتوان اعضای آن‌ را توسط اعداد طبیعی فهرست کرد (برشمرد / شماره بندی کرد). البته همان‌طور که خواهیم دید مجموعه‌هایی نیز هستند که شمارا نیستند و اعضای آن‌ها را نمی‌توان برشمرد. شمارایی رهنمود ما به مفهوم بی‌نهایت(‌ها) [ اعداد نامتناهی / اعداد بی‌نهایت] و حساب آن‌ها خواهد بود. بنابراین اینک تعریف دقیق شمارایی یک مجموعه را مرور می‌کنیم.

۰.۱۷.۱ مجموعه شمارا:

 مجموعه S را یک مجموعه شمارا [یا شمارش پذیر] گویند اگر و فقط اگر S تهی باشد؛ یا از R یا زیرمجموعه‌ای از R در S یک تابع پوشا وجود داشته باشد. اگر چنین تابعی وجود داشته و آن را به فرض f بنامیم، آنگاه می‌گوییم تابع S ،f را برمی‌شمرد [برشمردن].  در غیر این صورت می‌گوییم S یک مجموعه ناشمارا است.
  هر مجموعه متناهی شمارا است.


۱.۱۷.۱ شمارایی اعداد گویا:

در جدول زیر اعداد گویای مثبت فهرست شده‌اند (برشمرده شده‌اند.) این نشان می‌دهد Q+ شمارا است (به همین ترتیب Q شمارا است و با توجه به RQ نامتناهی نیز است.)

شمارایی (شمارش‌پذیری)  اعداد گویای مثبت
نمودار شمارش‌پذیری اعداد گویا.  این نمودار نشان می‌دهد اعداد گویا شمارش پذیراند.

نمودار بالا که نشان‌دهنده شمارش‌پذیری اعداد گویا است، هم‌چنین نشان می‌دهد مجموعه R×R شمارا است و می‌توان نشان داد که مجموعه همه nتایی‌های‌ مرتب اعداد طبیعی نیز شمارایند.


۰.۱.۱۷.۱.۰ چند خاصیت درباره مجموعه‌های شمارا:

خاصیت‌های زیر قابل‌اثبات هستند.

۱- حاصل ضرب دکارتی هر تعداد محدود مجموعه شمارا، شمارا است.
۲- اجتماع هر تعداد محدود مجموعه شمارا، شمارا است.
۳- فرض کنید S یک مجموعه شمارا، آنگاه مجموعه همه زیرمجموعه‌های متناهی S شمارا است.
۴- مجموعه اعداد جبری شمارا است. [توضیح: عدد حقیقی a را عدد جبری گویند اگر ریشه یک چندجمله‌ای با ضرایب صحیح باشد. نشان داده می‌شود اعداد گویا جبری هستند ولی همه اعداد حقیقی، برای مثال عدد π و عدد e جبری نیستند. به عدد غیر جبری عدد تراگذری گفته می‌گویند.]


 

۱.۱.۱۷.۱ چه تعداد مجموعه نامتناهی وجود دارد؟

 قضیه: نامحدود مجموعه ناشمارا نامتناهی وجود دارد.

اثبات: ابتدا ثابت می‌کنیم مجموعه توانی R، یعنی Ƥ(R) ناشمارا و نامتناهی است. Ƥ(R) را  می‌نامیم (به خاطر راحتی در نوشتن). روشن است نامتناهی است و بنابراین فقط ثابت می‌کنیم ناشمارا است. (توجه داریم که X اگر و فقط اگر XR.)

۱- می‌گوییم، گیریم تابع f : R وجود دارد به قسمی که را بر‌می‌شمارد

 (یعنی شمارا است.) پس برای هر عضو مانند X عدد طبیعی n هست به قسمی که: f(n)X.

۲- مجموعه (D⊆R) ،D را به قسمی می‌گیریم که nD اگر و فقط اگر nf(n).

۳- اما ازآنجاکه D (چون D⊆R) و طبق فرض(خلف) f همه اعضای را برمی‌شمرد پس باید عددی طبیعی مانند d باشد کهf(d)=D .

۴- اما با توجه به ۲ برای هر nf(d) ؛n اگر و فقط اگر nf(n). و بنابراین به‌ویژه df(d) اگر و فقط اگر df(d)، که این، یک تناقض و لذا فرض خلف باطل است. بنابراین شمارا نیست و همین‌طور است برای Ƥ(Ƥº) و ادامه آن.

ناشمارایی اعداد حقیقی:

می‌توان نشان داد R ناشمارا است. روش این‌گونه است که فاصله [a, b] برای مثال [۰, ۱] از  R را در نظر گرفته و سپس تابت می‌کنند برای هر برشمارش این فاصله، عددی در این فاصله است که مشمول برشمارش نخواهد شد. سپس با توجه به اینکه "اگر مجموعه‌ای دارای یک زیرمجموعه سره ناشمارا باشد خود ناشمارا است" نتیجه می‌گیرند R ناشمارا است. کانتور به شیوه‌ای موسوم به "برهان قطری کانتور /Cantor's diagonal argumentan" ناشمارایی R را نشان داد.


ادامه: . . . . .

 

© 1987 - 2017 KHcc Sc.