توجه:

عناصر نظریه مجموعه‌ها:  اصل موضوع انتخاب  آخرین ویرایش:  ۱۳۹۶/۱۰/۰۱

عناصر نظریه مجموعه‌ها

برتراند راسل واصل موضوع انتخاب/axiom of choice

۲.۱.۱۷.۱☚ اصل موضوع انتخاب

اصل موضوع انتخاب، با کوته نویسیِ(Axiom of ChoiceAC  توسط منطقی و ریاضیدان آلمانی ارتست زیملو ارائه گردیده. طبق این اصل اگر اعضای کلاسی، به فرض C، مجموعه‌های ناتهی باشند، آنگاه مجموعه‌ای هست که با هر یک از اعضای این کلاس دقیقاً یک عضو مشترک داشته باشد.

به‌عبارت‌دیگر، گیریم:

C={X|X یک مجموعه ناتهی} 

برای مثال Cمی‌تواند {X|XƤ(R)} یا {{۱, ۲}, {۲, ۵, ۷}} و مانند آن‌ها باشد.

اصل موضوع انتخاب می‌گوید فرض وجود C منجر به وجود تابعی، به فرض f، از C در مجموعه‌ای، به فرض Z، می‌گردد، به قسمی که، هر عضو Z انتخاب‌شده (‌دست‌آمده) توسط تابع f از عضوهای  C است. یعنی، برای هر XC داریم:

 f(X)=zX؛  (zZ).  تابع f را تابع انتخاب می‌نامند.


اصل موضوع انتخاب/Axiom of choice
تابع انتخاب
وقتی اعضای C مجموعه‌های متناهی باشند اصل موضوع انتخاب بدیهی و تابع انتخاب نیز محاسبه‌پذیر است. اما وقتی آن‌ها نامتناهی باشند غموض آشکار می‌شود.

درباره AC باید دانست:

 ۱- از اصل انتخاب به دست نمی‌آید چه گونه می‌توان تابع انتخاب را ساخت (محاسبه کرد). این اصل فقط مدعی وجود چنین تابعی آن است؛

 ۲- چنانچه C متناهی باشد می‌توان نشان‌ داد تابع انتخاب وجود دارد و بنابراین در این حالت وجود تابع انتخاب موکول به پذیرش اصل موضوع انتخاب نیست؛

 ۳- از اصل انتخاب می‌توان نتیجه گرفت که هر مجموعه خوش‌-ترتیب شدنی  است (ولی نمی‌گوید چگونه باید آن را خوش-ترتیب کرد.) این نتیجه به قضیه خوش-ترتیبی [همچنین به قضیه زیملو] معروف است.

 ۴- هم‌ارزی اصل انتخاب و قضیه خوش-ترتیبی: از قضیه خوش-ترتیبی می‌توان اصل موضوع انتخاب را به دست آورد. به عبارت دیگر، این دو (خوش-ترتیب شدن و انتخاب کردن) هم‌ارز هستند. یعنی:

قضیه خوش-ترتیبی    اصل موضوع انتخاب

  قضیه خوش-ترتیبی، شماره ۳ در بالا، متفاوت از اصل خوش‌ترتیبی است. 

  در قسمت بعد به اصل موضوع انتخاب بر خواهیم گشت و بیشتر درباره آن صحبت می‌کنیم.

 


ادامه: . . . . . .

© 1987 - 2017 KHcc Sc.© 1987 - 2017 KHcc Sc.