توجه:

عناصر نظریه مجموعه‌ها:  مقایسه‌پذیری، فرض پیوستار و بی‌نهایت‌ها  آخرین ویرایش: ۱۳۹۵/۰۷/۰۱ 

عناصر نظریه مجموعه‌ها

بی‌نهایت چیست؟

۲.۱۷.۱ مقایسه پذیری مجموعه‌ها

 آ:

 دو مجموعه، به‌ فرض A و B، که اعضای آن‌ها جفت شدنی باشند را هم‌عدد می‌گویند. به‌عبارت‌دیگر، دو مجموعه هم‌عدد هستند اگر بین آن‌ها یک تناظر یک‌به‌یک وجود داشته باشد (یعنی،  AB.)

ب:

ب۱- گوییم A≼C B؛ اگر یک تابع یک‌به‌یک، به‌ فرض f، از A در B تعریف‌شده باشد.

ب۲- بعلاوه گوییم A≺CB؛ اگر f دو سویی نباشد. به‌عبارت‌دیگر، A با یک زیرمجموعه B هم‌عدد باشد ولی B با هیچ زیرمجموعه A هم‌عدد نباشد.

  ازآنجایی‌که تابع یک‌به‌یک و ناپوشای f(x)=x از R در R وجود دارد بنابراین:

 R ≺C R.

ج: پرسش: آیا به‌وسیله رابطه ≼C هر دو مجموعه دلخواه مقایسه پذیراند؟

پاسخ آری است، اما قبل از آن باید چند قضیه را ثابت کرد و اصل موضوع انتخاب را نیز پذیرفت. در ادامه این قضایا و نتایج آن‌ها را فهرست می‌کنیم.


۱.۲.۱۷.۱ قضیه کانتور

د:  قضیه کانتور:

برای هر مجموعه دلخواه X داریم X≺CƤ(X) . به‌عبارت‌دیگر، یک تابع ۱:۱ (ولی نه هرگز دو سویی) از X در Ƥ(X) وجود دارد.

اثبات:

۱-  تابعg(x)={x}  از X در Ƥ(X) را در نظر گرفته. آشکار است که این تابع  ۱:۱ است. بنابراین داریم X≼CƤ(X). می‌ماند نشان دهیم تابعی از X در Ƥ(X)وجود ندارد که پوشا باشد.

۲-  برای تابعی مانند f از X در Ƥ(X )، مجموعه

  A={xX|xf(x)}

را در نظر بگیرید. (A چه تهی چه ناتهی باشد، زیرمجموعه X است و بنابراین تصویر عضوی از X تحت fخواهد بود.)

۳-  فرض کنید برای عضوی از X مثل a داشته باشیم f(a)=A.

۴-  فرض کنید aA . اما بنا بر ۳ داریم A=f(a) و لذا af(a). بنابراین  a∉A.

۵-  فرض کنید a∉A . اما بنا بر ۳ داریم A=f(a) و لذا af(a). بنابراین  a∈A.

۶-  از ۴ و ۶ داریم a∈Aa∉A که آشکار یک تناقض است. بنابراین، A تصویر عضوی نیست.


۲.۲.۱۷.۱ قضیه شرودر برنشتاین:

قضیه شرودر برنشتاین:  گیریم A و B دو مجموعه، در این صورت داریم:

اگر B ≼CA  و A≼C B  آنگاه بین A و B تناظر یک‌به‌یک وجود دارد.

 (توجه: اثبات این قضیه وابسته به پذیرش اصل انتخاب نیست.)


 ۴.۲.۱۷.۱  فرض‌های پیوستار و کاردینال:

جرج کانتور دو گزاره (حکم/conjecture) زیر را در سال ۱۸۷۸م بدون اثبات ارائه کرد:

۱.۴.۲.۱۷.۱  فرض پیوستار CH: هر زیرمجموعه ناشمارای R با R هم‌عدد  است.

۲.۴.۲.۱۷.۱  فرض پیوستار عام GCH: گیریم A یک مجموعه نامتناهی، آنگاه مجموعه B به قسمی که:

 A≼CB ≼ CƤ(A) 

وجود ندارد.

۱.۲.۴.۲.۱۷.۱  هم‌ارزی فرض پیوستار عام و اصل موضوع انتخاب: فرض پیوستار عام هم‌ارز اصل موضوع انتخاب است، یعنی می‌توان یکی را پذیرفت و دیگری را اثبات کرد. تفصیل را می‌توان در این کتاب
[*]-Gregory H. Moore;(1982) "Zermelo's Axiom of Choice Its Origins, Development, and Influence"; Springer-Verlag New York Inc.
یافت.

۲.۲.۴.۲.۱۷.۱ هم‌ارزی فرض پیوستار عام، اصل موضوع انتخاب و قضیه خوش-ترتیبی: با توجه به هم‌ارزی اصل انتخاب و قضیه خوش-ترتیبی می‌توان نوشت:

فرض پیوستار عام اصل موضوع انتخاب قضیه خوش-ترتیبی فرض پیوستار عام


۳.۴.۲.۱۷.۱  آیا فرض‌های پیوستار درست هستند؟

درستی یا نادرستی فرض‌های پیوستار: هرآینه هنوز درستی یا نادرستی فرض‌های پیوستار دانسته نیست. کورت گودل در ۱۹۳۰م نشان ‌داد که فرض پیوستار در دستگاه ریاضیات (دستگاه اصل موضوعی ZF) قابل رد نیست و سپس ریاضیدان پل کوهن/Paul Cohen در ۱۹۶۰م نشان ‌داد فرض پیوستار در همان دستگاه که قابل رد نیست، قابل‌اثبات نیز نیست. اصل موضوع انتخاب نیز چنین است. (در یادداشت‌های منطق خواهیم دید که اگر فرمولی در یک دستگاه اصل موضوعی سازگار اثبات پذیر نباشد آنگاه نقیض آن‌ را می‌توان بدون خدشه به سازگاری به اصول موضوعه دستگاه افزود.)


 

۴.۴.۲.۱۷.۱ کاردینال و اعداد فراتر از بی‌نهایت :

اکنون با توجه به موارد بالا و این‌که:

۱- AA
۲- AB BA
۳- AB , BC AC

می‌توان به هر مجموعه مثل A نماد |A| را، که به آن کاردینال A می‌گوییم، نسبت داد و گفت برای هر دو مجموعه A و B داریم؛

|A|=|B| AB

بنا به فرض پیوستار عام مجموعه‌ای که کاردینال آن بین کاردینال یک مجموعه و کاردینال مجموعه توانی آن باشد وجود ندارد.

برای مثال اگر کاردینال مجموعه اعداد طبیعی، یعنی |R|، را  Xº و کاردینال مجموعه توانی آن یعنیƤ(R)  را X۱ بگیریم آنگاه بنا بر قضیه کانتور داریم: Xº<CX۱ [می‌گوییم Xº از X۱ کوچک‌تر و همین‌طور R از Ƥ(R) (به‌طور کاردینالی) کوچک‌تر است] و نیز بنا به فرض پیوستار کانتور کاردینال دیگری بین Xº و X۱ وجود ندارد.

این روند را می‌توان برای Ƥ(Ƥ(R)) و Ƥ(Ƥ. . .Ƥ(Ƥ (R)). . .) ادامه داد و نوشت:

Xº ≺ X۱≺ X۲≺. . . ≺Xn . . .

و چنین مفروض دانست که بین (iR{۰}) Xi+۱ و Xi کاردینال دیگری وجود ندارد.

 در ریاضی از نماد (الف/Alef) به‌جای X در بالا استفاده می‌شود و با توجه به آنچه گفته شد می‌توان دنباله زیر را نوشت.

 º, ۱, . . .,n, . . .

به هر عناصر این دنباله کاردینال نامتناهی یا عدد ترانسفینی می‌گویند.



۵.۲.۱۷.۱ کاردینال مجموعه‌های متناهی:

نماد کاردینال مجموعه تهی را 0º (یا ۰) و کاردینال مجموعه‌های n عضوی را  nº (یا n) می‌‌گیریم. در این صورت با توجه به ۲.۱۶.۱  º  کوچک‌ترین عدد ترانسفینی است که از کاردینال هر مجموعه متناهی بزرگ‌تر است.


۶.۲.۱۷.۱ پارادوکس کانتور:

۱- گیریم U مجموعه شامل همه عناصر، ازجمله خود، باشد (مجموعه جهانی.) طبق قضیه کانتور :

 |U| ≺ |Ƥ(U)|.

۲- از طرفی بنا به تعریف U داریم Ƥ(U )U. پس به‌موجب قضیه کانتور:

 |Ƥ(U)| ≼ |U|.

 ۳- اکنون بنا به قضیه شرودر برنشتاین از (۱) و (۲) داریم:

 |U| = |Ƥ(U)|.

 نتیجه اخیر در تناقض با |U|≺|Ƥ(U)| است. این پارادوکس به پارادوکس کانتور مشهور است.


ادامه: . . . . .

 

© 1987 - 2017 KHcc Sc.