وبلاگ کتابصفحه کتاب

فصل دهم: روش‌های استنتاجقسمت یکم: برهان صوری اعتبار

 

۱.۱۰   برهان صوری اعتبار

جداول ارزش در تئوری برای آزمون هر استدلال که اینجا بررسی خواهیم کرد قابل‌پذیرش است. ولی در عمل و هم‌زمان که تعداد گزاره‌های مؤلفه‌ای افزایش پیدا کنند، جدول ارزش به رشد غیرقابل اداره‌ دچار خواهد شد. روش کاراتر برای اثبات استدلال‌های گسترش‌یافته به دست آوردن نتیجه استدلال از مقدمات آن طی دنباله‌ای از استدلال‌های مقدماتی که هم‌اکنون دانسته‌اند است. این تکنیک با روش استدلال به شیوه معمولی هماهنگی بهتر نیز دارد.

برای مثال به استدلال زیر توجه نمایید:

اگر اندرسون معرفی می‌شد، آنگاه به بوستون می‌رفت.
اگر او به بوستون می‌رفت، آنجا مبارزات انتخاباتی را آغاز می‌کرد.
اگر آنجا مبارزات انتخاباتی‌ را آغاز می‌کرد آن‌وقت با داگلاس ملاقات می‌کرد.
اندرسون با داگلاس ملاقات نکرد.
یا اندرسون معرفی شد یا فرد شایسته‌تری برگزیده شد.
بنابراین فرد شایسته‌تر برگزیده شد.

 

گرچه اثبات اعتبار این استدلال می‌تواند شهودی آشکار باشد، اما از جهت موضوعیت خود برهان آن را بررسی خواهیم کرد. برای تسهیل در ادامه بحث، استدلال را آن‌گونه که در زیر آمده به نماد برمی‌گردانیم:

A B
B C
C D
~D
A E
E

 

اگر اعتبار این استدلال را با جدول ارزش اثبات کنیم، چون دارای ۵ گزاره ساده متفاوت است، نیاز به یک جدول ۳۲ سطری داریم. اما، می‌توانیم اثبات اعتبار این استدلال را با استنتاج نتیجه آن از مقدمات و فقط با استفاده از چهار استدلال معتبر مقدماتی انجام دهیم. از دو مقدمه AB و  BC و قیاس شرطی، AC را نتیجه می‌گیریم. از AC و مقدمه سوم یعنی CD و کار بستن دوباره قیاس شرطی، AD را نتیجه می‌گیریم. از AD و مقدمه چهارم یعنی D~ و کار بستن قیاس اقترانی، A~ را به‌طور معتبر نتیجه می‌گیریم. سرانجام از A~ و مقدمه پنجم یعنی AE و کار بستن قیاس فصلی، نتیجه اصلی استدلال یعنی E را به دست می‌آوریم. اکنون می‌گوییم چون توانستیم نتیجه اصلی استدلال را از پنج مقدمه آن و چهار استدلال مقدماتی به دست آوریم پس ثابت شد که استدلال معتبر است. آنچه انجام‌دادیم عبارت بود از کار بستن صورت‌های استدلالی معتبر قیاس‌‌ شرطی (.H.S)، قیاس اقترانی (.M.T) و قیاس فصلی (.D.S) به‌عنوان قواعد استنتاج که نتایج آن‌ها به‌طور معتبر از مقدمات آن‌ها به‌دست‌آمده.

این روش دست‌آوردن نتیجه از مقدمات در یک استدلال استنتاجی— یعنی کار بستن متوالی قواعد استنتاج برای اثبات اعتبار استدلال، چنانچه دقیق انجام شود، به همان اندازه جدول ارزش که در فصل قبل گفته شد اطمینان‌بخش است. این روش این توانایی را می‌آورد تا بتوان استنتاج‌ را از مقدمات تا نتیجه ره‌گیری کرد، و از این جنبه بسیار روشن‌تر و دارای بداهت بیشتر نیز است. روش مزبور موسوم به استنتاج طبیعی است. با استفاده از استنتاج طبیعی می‌توان برهان صوری یک استدلال معتبر را تشکیل داد.

یک برهان صوری اعتبار با نوشتن آن به‌این‌ترتیب ارائه می‌شود که در یک ستون (ستون یکم از سمت چپ) مقدمات و نیز عبارت گزاره‌ای که از آن‌ها استخراج‌شده‌اند را می‌نویسیم و در ستون دیگری در سمت راست هر یک از این عبارت‌های-گزاره‌ای، "توجیه" یا دلیل اینکه چرا آن را در برهان آورده‌ایم را‌ خاطرنشان می‌کنیم. برای آسانی کار، ابتدا همه مقدمات را فهرست کرده، سپس در یک سطر جدا یا باکمی فاصله از مقدمات که با یک خط مورب جداشده باشد نتیجه را می‌آوریم. اگر همه عبارت‌های-گزاره‌ای ستون، شماره‌دار ‌باشند آنگاه "توجیه" هر عبارت-گزاره‌ای شامل شماره‌های عبارت‌های-گزاره‌ای قبلی که این عبارت‌-گزاره‌ای از آن‌ها نتیجه شده و نام کوتاه‌شده قاعده استنتاجی که این نتیجه‌گیری بر آن استوار شده خواهد بود. برهان صورت استدلال بالا این‌گونه نوشته می‌شود:

۱.  A B
۲.  B C
۳.  C D
۴.  ~D
۵.  A E
     E
۶.  A C              ۱, ۲, H.S.
۷.  A D              ۶, ۳, H.S.
۸.  ~A                     ۷, ۵, M.T.
۹.  E                       ۵, ۸, D.S. 

 

 

یک برهان صوری اعتبار برای یک استدلال داده‌شده معتبر را دنباله‌ای از عبارت‌های-گزاره‌ای تعریف می‌کنیم، آن‌گونه که هر یک از این عبارت‌های-گزاره‌ای خود یک مقدمه باشند یا از عبارت‌های-گزاره‌ای قبلی و توسط یک استدلال معتبر مقدماتی یا یک هم‌ارزی منطقی به‌دست‌آمده باشند، افزون بر این، آخرین عبارت‌-گزاره‌ای در این دنباله همان نتیجه استدلال مورد اثبات باشد.

همچنین یک استدلال معتبر مقدماتی را این‌گونه تعریف می‌کنیم که عبارت باشد از هر استدلال که مورد جانشین یک صورت استدلالی معتبر مقدماتی باشد. نکته مورد تأکید آنکه نه هر مورد جانشین یک صورت استدلالی مقدماتی یک استدلال مقدماتی است. بنابراین استدلال:

(A B) [C ≡(D E)]
A B
C ≡ (DE)

یک استدلال معتبر مقدماتی است، زیرا یک مورد جانشین از صورت استدلال معتبر قیاس استثنایی (M.P) است. این استدلال از صورت

p q
p
q

و با جانشینی AB بجای p و [( C (D E)] بجای q به‌دست‌آمده و بنابراین از آن صورت است گرچه قیاس استثنایی صورت نوعی استدلال داده‌شده نیست.

قیاس استثنایی یک صورت استدلالی بسیار مقدماتی است و پرسش این است که چه صورت‌های استدلالی مقدماتی دیگر را می‌باید به‌عنوان قاعده‌های استنتاج معرفی کرد؟ کار را با فهرست نه‌گانه‌ای از قاعده‌های استنتاج که می‌باید در ساختن برهان صوری اعتبار بکار بسته شوند آغاز می‌کنیم. با کمک آن‌ها می‌توان برای گستره بزرگی از استدلال‌های پیچیده‌تر برهان صوری ساخت. نام‌های آمده برای آن‌ها در بیشتر جاها استاندارد هستند و کار بردن کوتاه‌شده آن‌ها این امکان را می‌آورد تا برهان‌های صوری با حداقل نوشتن پیاده‌سازی شوند.

 


وبلاگ کتابصفحه کتاب