۱۰.۶ گسترش قواعد استنتاج - قاعده جایگزینی

قاعده‌ جایگزینی (بطور عام) میگوید از هر گزاره‌، گزاره حاصل از جایگزین هر مؤلفه دلخواه آن با هرگزاره منطقاً هم‌ارز با آن مؤلفه را میتوان استنتاج کرد.

نه قاعده استنتاج که تاکنون با آنها کار می‌کردیم گرچه ابزارهای قوی استنتاج‌ هستند، لیکن نه به‌اندازه کافی چنین‌اند. تعداد زیادی استدلال تابع-ارزش معتبر هستند که اعتبارشان را نمی‌توان با این نه قاعده تاکنون گسترانیده ثابت کرد.

برای روشن شدن مسئله به استدلال ساده زیر توجه کنید که به‌ روشنی معتبر است:

اگر مستقیم از تبریز به ارومیه سفر کنی، باید از دریاچه ارومیه عبور کنی. اگر تو از مسیر حاشیه‌ای دریاچه ارومیه سفر کنی تو از دریاچه ارومیه عبور نخواهی کرد. بنابراین، اگر تو مستقیم از تبریز به ارومیه سفر کنی، تو از مسیر حاشیه‌ای دریاچه ارومیه سفر نخواهی کرد.

برگردان این استدلال به نشانه‌گذاری نمادین آن را بگونه زیر پدیدار می‌کند:

۱.  D C
۲.  A ~C   /D ~A

 بطور قطع میدانیم در این استدلال نتیجه از مقدمات داده‌شده به دست می‌آید. اما هر تلاش برای اثبات آن صرفاً با استفاده از نُه صورت استدلال معتبر مقدماتی بی‌فایده است. جعبه ‌ابزار ما هنوز کافی نیست.

چه چیز در آن نیست؟ آنچه از قلم‌ افتاده، همانا، توانایی جایگزینی یک عبارت گزاره‌ای با عبارت-گزاره‌ای دیگر است که با آن منطقاً هم‌ارز باشد. به آن نیاز داریم تا بتوانیم بجای هر عبارت-گزاره‌ای داده‌شده‌ای هر عبارت-گزاره‌ای دیگری را بگذاریم که دقیقاً معنی آن با معنی گزاره جایگزین‌شده یکسان است. ما نیازمند قواعدی هستیم تا بطور دقیق جایگزین کردن‌های قابل‌قبول را شناسایی کنند.

این‌چنین قواعد در دسترس هستند. در ضمن، یادآوری کنیم ما اینجا با  عبارت‌های-گزاره‌ای تابع-ارزش سروکار داریم و در عبارت‌های-گزاره‌ای تابع-ارزش است که اگر هر مؤلفه آنها را با عبارت-گزاره‌ای دیگری با همان مقدار ارزش جایگزین کنیم آن‌وقت مقدار ارزش عبارت-گزاره‌ای دست‌نخورده باقی می‌ماند.  بنابراین می‌توانیم پذیرای یک اصل بیشتر استنتاج شویم، که در حالت کلی آن را قاعده جایگزینی خواهیم نامید− یک قاعده که اجازه می‌دهد نتیجه جایگزینی هر عبارت-گزاره‌ای با هر عبارت-گزاره‌ای دیگر که هم‌ارز منطقی با مؤلفه جایگزین‌شده است را استنتاج‌ نماییم.

قاعده جایگزینی
.
Rule of replacement
.
قاعده‌ای که اجازه می‌دهد از هر عبارت گزاره‌ای عبارت گزاره‌ای حاصل از جایگزینی هر مؤلفه دلخواه آن با هر عبارت هم‌ارز منطقی با آن مؤلفه را استنتاج نماییم.
کلیک

صحت این‌چنین جایگزینی بداهتاً آشکار است، برای مثال  اصل نقض دوگانه (با کوته‌سازی .D.N)  می‌گوید p با p~~ منطقاً هم‌ارز است. با کار زدن قاعده جایگزینی می‌توان به گونه صحیح گفت، از گزاره A~~B هریک از گزاره‌های زیر بطور معتبر استنتاج می‌شود:

A B
~~A ⊃ ~~B
~~
(A ⊃ ~~B)
A ⊃ ~~~~B

وقتی یکی از اینها را جای A~~B می‌گذاریم کاری بیش از تعویض یک عیارت-گزاره‌ای با عبارت-گزاره‌ای دیگری که منطقاً هم‌ارز آن است نمی‌کنیم.

قاعده جایگزینی قواعد استنتاج ما را نیرومند خواهد داد.  لیکن، در حالت کلی‌، ازآنجاکه محتوی آن معین نیست کار زدن آن‌هم نامعین خواهد بود؛ درواقع، مطمئن نخواهیم ‌بود که‌چه عبارت-گزاره‌ای هم‌ارز چه عبارت-گزاره‌ای است و لذا (اگر این قاعده فقط به‌صورت کلی آن در دسترس باشد) نمی‌توان اطمینان‌داشت که این قاعده در یک حالت داده‌شده کار زدنی است یا نه. برای فائق‌آمدن به ‌این مسئله آن‌گونه که قاعده جایگزینی بطور شک‌ناپذیر کار زدنی باشد، آن را با ساختن یک فهرست از ده هم‌ارزی منطقی ویژه  محقَق (قابل‌دسترس) می‌کنیم، به قسمی‌ که این قاعده در مورد آنها بطور قطعی کار زدنی باشد.  هریک از این هم‌ارزی‌ها— که همگی دو شرطی‌های منطقاً معتبر هستند— بعنوان یک قاعده جدا انجام‌ وظیفه خواهند کرد. ما اکنون ده هم‌ارزی منطقی را بعنوان ده قاعده فهرست می‌کنیم و آنها را به ترتیبی شماره‌گذاری می‌کنیم که ادامه نه قاعده استنتاج  ارائه‌شده در فصل قبل از این فصل باشند.

 مرور کلی
قواعد جایگزینی: هم‌ارزی‌های منطقی
هریک از عبارت‌های هم‌ارز منطقاً هم‌ارز زیر می‌توانند جایگزین هر عبارت روی‌داده‌ای هرچه که باشد گردند.
صورت  نام انگلیسی کوته سازی نام شماره
~(p • q) img (~p∨~q)

~(p∨q) (~p • ~q)
De Morgan’s
 Theorems
.DeM قضیه‌های  دمورگان ۱۰.
(p∨q) (q∨p)  

(p • q) (q • p)
Commutation .Com جابجایی ۱۱.
[(p•q)•r][p•(q•r)]

[(p∨q)∨r][p∨(q∨r)]
Association .Assoc انجمنی ۱۲.
[p•(q∨r)][(p•q)∨(p•r)]

[p∨(q•r)] [(p∨q)•(p∨r)]
Distribution .Dist پخش ‌پذیری ۱۳.
p ~~p Double
 Negation
.D.N نقض دوگانه ۱۴.
p ⊃q ~q ⊃~p Transposition .Trans ترانهش /عکس نقیض ۱۵.
(p ⊃q) (~q ∨p) Material
 Implication
.Impl استلزام مادی ۱۶.
(p ≡ q ) [(p • q)∨(~p • ~q)]

(p ≡ q ) [(p ⊃ q)∨(p ⊃q)]
Material
 Equivalence
.Equiv هم‌ارزی مادی ۱۷.
[(p • q)⊃ r] [p ⊃ (q ⊃r)] Exportation .Exp واگردان ۱۸.
p (p∨p )

p (p • p)
Tautology .Taut توتولوژی ۱۹.
 

اکنون بررسی هریک از این ده هم‌ارزی منطقی را آغاز می‌کنیم. ما آنها را به‌کرات بکار خواهیم ‌برد و به آنها برای ساختن برهان صوری تکیه خواهیم ‌کرد، لذا باید نیرومندی آنها را هرچه بیشتر ژرف دریابیم و توان در دست‌گیری هر چه تمام‌تر آنها را بیابیم؛ همان‌گونه که برای نُه صورت استدلال معتبر مقدماتی چنین کردیم. در بررسی هریک از این ده هم‌ارزی نام و کوته‌سازی مرسوم هریک و نیز صورت منطقی آنها را خواهیم گفت. 


~ (p • q) (~p∨~q)
~(p∨q) (~p • ~q)
De Morgan’s Theorems  (DeM.) قضایای دمورگان ۱۰.

قضیه‌های دمورگان دو گونه‌اند. یک‌گونه آن می‌گوید انکار اینکه دو گزاره هردو درست هستند منطقاً هم‌ارز این است که بگوییم یکی یا دیگری نادرست است، و یا هردو نادرست هستند (نقیض یک ترکیب عطفی منطقاً هم‌ارز ترکیب فصلی نقیض عطف‌های آن است). گونه دوم آنها می‌گوید انکار اینکه یکی از دو گزاره درست هستند منطقاً هم‌ارز این است که بگوییم هردو نادرست هستند (نقیض یک ترکیب فصلی منطقاً هم‌ارز ترکیب عطفی نقیض فصل‌های آن است).

این دو گزاره دو شرطی (شماره ۱۰) توتولوژی هستند. به‌عبارت‌دیگر، بیان هم‌ارزی مادی هریک از آنها از دو سو همیشه درست است و بنابراین نمی‌توانند دارای مورد جانشین نادرست باشند. همه ده هم‌ارزی منطقی را که در بالا بعنوان ده قاعده استنتاج شناسایی کرده‌ایم دقیقاً به همین معنی یکسان دو شرطی‌های توتولوژیک هستند.


(p∨q) (q∨p)  
(p • q) (q • p)
Commutation  (Com.) جابجایی ۱۱.

این دو هم‌ارزی خیلی راحت می‌گویند ترتیب عناصر گزاره‌ای یک ترکیب عطفی یا یک ترکیب فصلی فاقد اهمیت است. ما همیشه مجازیم آنها را جابجا کنیم، چراکه بهر ترتیبی ظاهر شوند معنی آنها دقیقاً یکسان باقی می‌ماند.

قاعده ۷، ساده‌ گردانی، را به یادآورید که اجازه می‌داد p را از pq بیرون بیاوریم. اکنون با جابجایی می‌توانیم pq را با qp تعویض کنیم، و بنابراین با در اختیار داشتن ساده‌گردانی و جابجایی می‌توانیم به آسانی درستی هر یک از پیوست‌ها را در هر ترکیب عطفی که می‌دانیم درست است تثبیت کنیم.


[(p • q) • r] [p • (q • r)]
[(p ∨ q) ∨ r] [p ∨ (q ∨ r)]
Association  (Assoc.) انجمنی ۱۲.

این دو هم‌ارزی مجوز چیز بیشتری از اینکه گزاره‌ها می‌توانند متفاوت انجمن شوند را نمی‌دهند. اگر می‌دانیم که باید سه گزاره متفاوت درست باشند، تصدیق اینکه انجمن p ‌همراه دسته‌بندی q و r درست‌ است منطقاً هم‌ارز این است که تصدیق کنیم انجمن دسته‌بندی p و q همراه r نیز درست است.  هم‌ارزی برای وقتی‌که سه گزاره به‌صورت ترکیب فصلی  دسته‌بندی شوند نیز برقرار است: p با ترکیب فصلی q•r یک انجمن منطقاً هم‌ارز با انجمن ترکیب فصلی p q یا  r  است.


[p • (q ∨ r)] [(p • q)∨(p • r)]
[p ∨ (q •r)] [(p ∨ q)•(p ∨ r)]
Distribution  (Dist.) پخش ‌پذیری ۱۳.

از میان قواعدی که مجوز به جایگزینی می‌دهند این‌یکی ممکن است دارای کمترین روشنی باشد− لیکن این نیز یک توتولوژی است و دارای دو گونه نیز هست. اولین گونه می‌گوید ترکیب عطفی یک گزاره[اولین گزاره] با ترکیب فصلی دو گزاره دیگر[دومین و سومین گزاره] منطقاً هم‌ارز است با یک ترکیب فصلی که اولین فصل آن ترکیب عطفی اولین گزاره با دومی و دومین فصل آن ترکیب عطفی اولین گزاره با سومی باشد.  گونه دوم می‌گوید ترکیب فصلی یک گزاره[اولی] با ترکیب عطفی دو گزاره دیگر[دومی و سومی] منطقاً هم‌ارز است با یک ترکیب عطفی که اولین عطف آن ترکیب فصلی اولین گزاره با دومی و دومین عطف آن ترکیب فصلی اولین گزاره با سومی باشد. نام این قاعده پخش‌پذیری است زیرا اولین عنصر از سه عنصر را پخش می‌کند و اتصال منطقی آنها با هریک از دو گزاره دیگر نشان می‌دهد.


p ~~p Double Negation (D.N.) نقض دوگانه ۱۴.

این‌یکی برای همگان بداهت دارد. این قاعده می‌گوید هر گزاره منطقاً هم‌ارز نقیض نقیض آن گزاره است.


p ⊃ q ~q ⊃ ~p Transposition (Trans.) ترانهش ۱۵.

این هم‌ارزی مجاز می‌کند تا گزاره‌های شرطی را پس‌وپیش کرد.  می‌دانیم اگر یک گزاره شرطی درست باشد، آنگاه اگر تالی آن نادرست باشد، باید مقدم آن نیز نادرست باشد. بنابراین هر گزاره شرطی منطقاً هم‌ارز با گزاره شرطی دیگری است که می‌گوید نقض تالی آن مستلزم نقض مقدم آن است. آشکارا، ترانهش، به صورت یک هم‌ارزی منطقی، توانمندی صورت استدلال مقدماتی قیاس اقترانی را بیان می‌کند.

(p ⊃ q) (~q ∨ p) Material Implication (Impl.) استلزام مادی ۱۶.

این هم‌ارزی منطقی چیز بیشتری را  از تعریف استلزام مادی بعنوان یک جایگزین پیکربندی [فرموله] نمی‌کند تا بتواند بعنوان یک قاعده استنتاج بکار گرفته شود. بنابراین معنی pq این ‌است که مقدم، p، نادرست است یا تالی، q، درست است.

در ادامه راه برای ساختن برهان صوری این تعریف استلزام مادی صاحب اهمیت فراوان خواهد شد، زیرا کار با دو گزاره یا ترکیب آنها آسان‌تر می‌شود اگر دارای صورت پایه یکسان باشند— یعنی وقتی هردو به‌صورت فصلی باشند یا هردو به‌صورت استلزامی باشند. اگر یکی دارای صورت فصلی است و یکی دارای صورت استلزامی، آنگاه می‌توان یکی از آنها را به‌صورت دیگری درآورد.


(p ≡ q) [(p • q)∨(~p • ~q)]
(p ≡ q) [(p⊃q)∨(p⊃q)]
Material Equivalence  (Equiv.) هم‌ارزی مادی ۱۷.

دو گونه این قاعده بیان دو معنی اصلی استلزام مادی است. توضیح داده‌ایم که دو گزاره هم‌ارز مادی هستند اگر دارای مقدار ارزش یکسان باشند، بنابراین، تصدیق هم‌ارزی مادی (با نماد سه‌خطی، ) منطقاً هم‌ارز با تصدیق درستی هردو یا نادرستی هردو است. در آنجا همچنین توضیح دادیم که اگر دو گزاره درست باشند، آنها باید بطور مادی مستلزم یکدیگر باشند و همین‌طور است اگر هردو نادرست باشند؛ بنابراین (در گونه دوم) بیان اینکه آنها بطور مادی هم‌ارز هستند خود منطقاً هم‌ارز است بااینکه بگوییم آنها مستلزم یکدیگرند.


[(p • q) ⊃ r] [p ⊃ (q ⊃ r)] Exportation  (Exp.) واگردان ۱۸.

این قاعده جایگزینی بیان یک دو شرطی است که پس از اندک تأمل بداهتاً آشکار خواهد بود: اگر کسی تصدیق کند  که چنین است ‌که دو گزاره توأمان مستلزم گزاره سومی هستند، آنگاه این منطقاً هم‌ارز با این است‌ که تصدیق کند اگر چنین است ‌که یکی از آن دو گزاره درست است پس درستی دیگری باید مستلزم درستی سومی باشد. مثل بقیه این هم‌ارزی نیز می‌تواند توسط جدول ارزش مورد تصدیق واقع گردد.


p (p ∨ p)
p (p • p)
Tautology  (Taut.) توتولوژی ۱۹.

دو گونه این قاعده آخرین گرچه نا اندیشیده آشکار هستند ولی بسیار سودمندند. آنها پوست‌کنده می‌گویند هر گزاره منطقاً هم‌ارز ترکیب فصلی خودش با خودش است، هر گزاره منطقاً هم‌ارز ترکیب عطفی خودش با خودش است. گاهی رخ‌ می‌دهد که در پی یک سلسله‌ از استنتاج‌ها متوجه ‌می‌شویم یکی از گزاره‌ها که به دنبال درستی آن هستیم درواقع درست است یا درست است. در این هنگام، از این ترکیب فصلی (با کار زدن این قاعده) می‌توان نتیجه گرفت‌ گزاره مورد پرسش درست است. عین همین نیز برای ترکیب عطفی یک گزاره با خودش بکار می‌رود.

باید اشاره‌کنیم واژه توتولوژی در سه برداشت متفاوت بکار رفته است. می‌تواند به معنی:

۱- یک صورت گزاره‌ای باشد که همه موردهای جانشین آن درست هستند. در این برداشت صورت گزاره‌ای:

(p⊃q)⊃[p⊃(p⊃q)]

 یک توتولوژی است.

۲- یک عبارت-گزاره‌ای مانند:

(A⊃B)⊃[A⊃(A⊃B)]

باشد که صورت نوعی‌ آن مطابق برداشت (۱) یک توتولوژی باشد؛

۳- هم‌ارزی‌های منطقی ویژه‌ای باشد که در شماره ۱۹، .Taut، فهرست قواعد استنتاج معرفی شده‌اند.


وقتی به این ده قاعده نظر می‌افکنیم می‌باید درباره آنچه آنها میسر می‌کنند هوشیار باشیم. این‌ها قواعد "جانشینی"، وقتی به معنای صحیح کلمه بکار رود، نیستند؛ ما گزاره‌ها را جانشین متغیرهای گزاره‌ای می‌کنیم، مانند وقتی میگوییم  AB یک مورد جانشین pq است. اما وقتی این فهرست ده‌ قاعده‌ای بکار می‌روند ما مؤلفه‌ای از یک عبارت-گزاره‌ای را تعویض، یا جایگزین با فقط یک عبارت-گزاره‌ای می‌کنیم که می‌دانیم (با توجه به یکی از این ده قاعده) باید منطقاً هم‌ارز آن مؤلفه باشد. برای مثال با کار زدن ترانهش می‌توانیم AB را جایگزین B~A~ کنیم. این قواعد اجازه می‌دهند تا یک رویداد یک مؤلفه را بدون جایگزینی همه رویداد دیگر آن جایگزین کنیم.


توجه:

تمرین

تمرین ۱۰.۶:

مجموعه استدلال‌های زیر در هر مورد متضمن فقط یک گام هستند که عبارت از  کار زدن فقط یکی از هم‌ارزی‌های منطقی است که در این قسمت آمده.

در اینجا دو مثال آمده که دو تمرین اول این قسمت هستند:

مثال ۱

(A ⊃ B)•(C ⊃ D)
 ∴(A ⊃ B)•(~D ⊃ ~C)

حل

نتیجه این استدلال ساده دقیقاً شبیه مقدمه آن است، به‌جز آنکه دومین عطف در مقدمه، (CD)، با عبارت منطقاً هم‌ارز (D⊃~C~) جایگزین شده. این جایگزینی به‌راحتی به‌وسیله قاعده‌ای که آنها ترانهش/عکس نقیض (.Trans) نام نهادیم توجیه می‌شود:

p ⊃ q ~q ⊃ ~p

مثال ۲

(E ⊃ F)•(G ⊃ ~H)
 ∴∴(~E ∨ F)•(G ⊃ ~H)

حل

در این حالت نتیجه متفاوت از مقدمه است، بدین قسم که گزاره شرطی(EF) بعنوان عطف اول با ترکیب فصلی (EF~) جایگزین شده. قاعده‌ که اجازه چنین جایگزینی را می‌دهد استلزام مادی(.Imp) به‌قرار زیر است:

برای هریک از استدلال‌های یک-مرحله‌ای زیر قاعده استنتاجی که نتیجه از مقدمه آن به‌دست‌آمده را بیان کنید.


© 1987 - 2019 KHcc Sc.