۱۰.۱۱ برهان غیرمستقیم اعتبار

در برهان خلف (برهان غیرمستقیم اعتبار) برای اثبات استدلال باید با فرض نقیض نتیجه بعنوان یک مقدمه اضافی، و کارزدن قواعد استنتاج به مقدمات جدید، به یک تناقض صریح رسید. در این قسمت این روش اثبات استدلال را از تزدیک بررسی میکنیم.

دو گزاره‌ای متناقض نمیتوانند هر دو درست باشند. بنابراین چنانچه یک عبارت گزاره‌ای به مقدمات افزوده شود به قسمی که نتیجه‌گیری یک تناقض ممکن باشد، آنگاه این گزاره باید نادرست باشد. این نکته موجب میشود تا روشی دیگر برای اثبات اعتبار بدست آید. تصور کنید ما (صرفاً به‌قصد اثبات) انکار آنچه مورد اثبات است را مفروض بگیریم. بعلاوه تصور نمایید با کار زدن این فرض بتوانیم به یک تناقض برسیم. این تناقض نشان می‌دهد انکار آنچه قرار است اثبات شود ما را به پوچ‌گویی می‌کشاند. در این حالت، ما نتیجه موردنظر را غیرمستقیم با یک برهان خلف (کاهش به پوچی / تعلیق به محال) نشان داده‌ایم.

یک برهان غیرمستقیم اعتبار (یا برهان خلف) با اظهار نقیض نتیجه بعنوان یک مقدمه مفروض اضافی آغاز میشود. و چنانچه بتوان از مجموعه مقدمات افزایش‌یافته به یک تناقض صریح رسید، آنگاه استدلالی که با آن آغاز کرده بودیم باید معتبر باشد. این روش را با استدلال زیر نمایش داده.

۱.  A⊃(B • C)
۲. (B ∨ D ) ⊃ E
۳.  D ∨ A
∴  E

در خط بلافاصله بعدی به فرض خود یعنی نقض نتیجه (به‌قصد برهان غیرمستقیم) صراحت می‌دهیم:

حال با این مجموعه گسترش‌یافته و با کاربرد قواعد استنتاج تثبیت‌شده یک تناقض آشکار را بیرون می‌آوریم، بنابراین:

۵. ~(B ∨ D)
۶. ~B • ~D
۷. ~D • ~ B
۸. ~D
۹. A
۱۰. B • C
۱۱. B
۱۲. ~B
۱۳. B • ~B
۲, ۴, M.P.
۵, DeM.
۶۶, .Com.
۷, Simp.
۳, ۸, D.S.
۱, ۹, M.P.
۱۰, Simp.
۶, Simp.
۱۱, ۱۲, Conj.
 

آخرین خط برهان یک تناقض آشکار است، که نشان‌دهنده پوچی آن چیزی است که ما در خط ۴ یعنی E~ مفروض گرفته بودیم. این تناقض که به‌طور صوری و به‌صراحت در آخرین خط بیان‌شده، پوچی را به نمایش می‌گذارد و برهان را کامل می‌کند.

روش برهان غیرمستقیم توان مکانیکی برای آزمون استدلال را افزایش می‌دهد، بدین گونه که امکان اثبات اعتبار را، در بعضی حالات، ازآنچه بدون آن ممکن است سریع‌تر می‌کند. برای آنکه این را نشان دهیم، در زیر ابتدا یک برهان مستقیم صوری یک استدلال آمده، سپس اعتبار آن استدلال با برهان غیرمستقیم نشان شده. در این مثال، برهان بدون روش خلف در سمت چپ که دارای ۱۵ خط، و برهان با روش خلف در سمت راست که دارای ۸ خط است آمده. نشان تعجب (!) را برای آن بکار برده تا نشان دهد این خط از برهان بعد از فرض خلاف به‌دست‌آمده، یعنی آن‌ چیزی که برهان غیرمستقیم را پیش می‌راند.

img


توجه:

تمرین

 (آ) برای هریک از استدلال‌های زیر یک برهان غیرمستقیم اعتبار تشکیل دهید.

img

img

 (ب)  برای دو استدلال زیر (برهان غیرمستقیم) اعتبار تشکیل دهید.

۱. اگر سقوط سریع نرخ بهره موجب جهش در بازار سهام شود، آنگاه مطمئناً تورم زودهنگام در پیش خواهد بود. اما اگر سقوط ذخیره پولی موجب سقوط سریع نرخ بهره شود، آنگاه تورم زودهنگام به همان اندازه قطعی خواهد بود. بنابراین به‌زودی دچار تورم خواهیم شد.

 ۲. اگر شتاب‌زدگی رقابت‌ها در همین سطح باقی بماند و گرمایش جهانی تشدید شود سطح اقیانوس‌ها بالا خواهد آمد و بعضی بندرها  کنار اقیانوسی زیر آب می‌روند. اما بندرها  کنار اقیانوسی زیرآب نخواهند رفت ولو آنکه گرمایش جهانی افزایش یابد. بنابراین شتاب‌زدگی در سطح رقابت‌ها بدون تغییر باقی نخواهد ماند یا گرمایش جهانی تشدید نخواهد شد.

 (ج)  برای استدلال‌ها زیر (آ) یک برهان اعتبار مستقیم، و (ب) یک برهان غیرمستقیم اعتبار بیاورید. سپس تعداد مراحل آن‌ها را مقایسه نمایید.

img

© 1987 - 2021 KHcc Sc.