وبلاگ کتابصفحه کتاب  

 

فصل دهم: روش‌های استنتاجقسمت سوم: نمایان‌سازی برهان صوری اعتبار

 

۳.۱۰   نمایان سازی برهان صوری اعتبار

 

ما، برهان صوری اعتبار یک استدلال داده‌شده را همچون دنباله‌ای از عبارت‌های-گزاره‌ای  به‌گونه‌ای تعریف کردیم که هر یک از این عبارت‌های گزاره‌ای خود یک مقدمه باشند یا از عبارت‌های گزاره‌ای قبلی و توسط یک استدلال معتبر مقدماتی یا یک هم‌ارزی منطقی به‌دست‌آمده باشند، آن‌گونه‌ که آخرین عبارت‌ گزاره‌ایِ این دنباله نتیجه استدلال مورد اثبات باشد. کار ما برای اثبات اعتبار استدلال‌هایی که با آن مواجه می‌شویم ساختن چنین دنباله‌هایی است.

انجام این‌ کار می‌تواند چالش‌برانگیز باشد. بهتر ‌است قبل از تلاش برای ساختن چنین دنباله‌هایی بکوشیم تا با ظاهر و ویژگی‌های برهان‌های صوری آشنا شویم. در این قسمت تعدادی برهان صوری کامل را بررسی می‌کنیم تا ببینیم آن‌ها چگونه کار می‌کنند و نیز "درک و حس"  از آن‌ها را برای ساختنشان به دست آوریم.

قدم اول نه تدبیر و تدوین چنین برهان‌هایی که فهم و گیرایش آن‌هاست. در هر حالت دنباله‌ای از عبارت‌های-گزاره‌ای در مقابل ما قرار داده خواهد شد. هر عبارت-گزاره‌ای در این دنباله یک مقدمه است یا از عبارت‌های-گزاره‌ای قبلی و یکی از صورت‌های استدلال معتبر مقدماتی به‌دست‌آمده— درست مانند مثال آمده در قسمت یک. وقتی ما با چنین برهانی، البته بدون اشاره به قاعده استنتاجی که هر مرحله را موجه می‌سازد، روبرو می‌شویم، متوجه هستیم (ازآنجاکه به ما گفته‌شده این برهان کامل است) هر خط در برهان که خود یک مقدمه نیست باید از خطوط قبلی نتیجه‌شده‌ باشد. برای فهم این نتیجه‌شدن‌ها می‌باید نُه صورت استدلال‌های معتبر مقدماتی در ذهن آماده باشند.

 مرور کلی
قواعد استنتاج:
صور استدلال معتبر مقدماتی
 
نام انگلیسیصورتکوته
‌سازی
نام
Modus Ponenspq
p
q
M.P.قیاس استثنائی۱.
Modus Tollenspq
~q
p
M.T.قیاس اقترانی۲.
Hypothetical Syllogismp q
q r
p r
H.S.قیاس شرطی۳.
Disjunctive Syllogismpq
~q
p
D.S.قیاس فصلی۴.
Constructive Dilemma(p q)(r s)
p r
q
s
C.D.دو لِمّی ساختی۵.
Absorptionp q
p (p q)
Abs.جذب۶.
Simplificationp q
p
Simp.ساده‌گردانی۷.
Conjunctionp
q
p q
Conj.پیوست۸.
Additionp
p q
Add.افزایش۹.
 

 

اکنون بجاست تا به بعضی برهان که این استواری ستودنی را به نمایش می‌گذارند نگاهی انداخته. اولین مثال تمرین یکم از مجموعه تمرینی است که در پایان این قسمت آمده.

مثال ۱

۱. A • B
۲. (A C) D
   ∴
A • D
۳. A
۴. A C
۵. D
۶. A • D

همان‌طور که می‌توان دید دو خط اول برهان مقدمه هستند، زیرا قبل از نماد "بنابراین" () ظاهرشده‌اند؛ آنچه بلافاصله در سمت راست این نماد آمده، یعنی AD، نتیجه این مقدمه است. آخرین خط دنباله نیز همان نتیجه است (چراکه اگر برهان صوری صحیح باشد باید این‌گونه هم باشد). چه می‌توان درباره گام‌های بین مقدمات و نتیجه گفت؟ خط ۳ یعنی A را می‌توانیم از خط ۱ یعنی AB به‌وسیله ساده‌ گردانی استنتاج کنیم. بنابراین در سمت راست خط ۳ شمار خط و قاعده‌ای را که این خط از آن‌ها نتیجه شده یعنی "۱, Simp."  را می‌نویسیم. خط ۴ عبارت گزاره‌ای AC است. چگونه این خط از خط‌های بالاتر آن استنتاج شده؟ نمی‌توانیم آن را از خط ۲ به‌وسیله ساده‌گردانی نتیجه بگیریم. اما می‌توانیم آن را از خط ۴ به‌وسیله افزایش استنتاج کنیم. افزایش به ما می‌گوید اگر p درست باشد آنگاه pq، هرچه q باشد، درست است. با کاربرد دقیق این الگوی منطقی می‌توانیم از اینکه A برقرار است نتیجه گرفت AC درست است. بنابراین در سمت راست خط ۴ عبارت  "۳, Add."را قرار می‌دهیم. خط  ۵ همان D است. D در خط ۲ به‌عنوان تالی یک عبارت-گزاره‌ای شرطی، AC)D)، ظاهرشده. ما در خط ۴ ثابت کردیم که AC درست است؛ اکنون با کار زدن قیاس استثنایی این را با شرطی خط  ۲ ترکیب می‌کنیم تا D را ثابت کنیم. بنابراین سمت راست خط  ۵  عبارت "۲, ۴, M.P." را قرار می‌دهیم. اکنون ثابت شد که D درست است (در خط ۳) و نیز ثابت شد که A درست است (در خط ۵). پس می‌توانیم آن‌ها را به‌طور معتبر باهم پیوست کنیم، و این همان AD است که در خط ۶ تصدیق شده. بنابراین در سمت راست خط ۶ عبارت "۵, ۳, Conj."  را قرار می‌دهیم. این خط، AD، نتیجه استدلال است و بنابراین این خط آخرین عبارت-گزاره‌ای در دنباله عبارت‌های‌-گزاره‌ای است که این برهان را تشکیل می‌دهند. اکنون‌که این برهان ارائه شده به ما کامل است می‌توان آن را به‌وسیله مشخص کردن توجیه هر مرحله در آن "فربه" نیز کرد.

در این مثال و تمرینانی که خواهد آمد، هر خط هر برهان می‌تواند به‌وسیله یک صورت استدلال معتبر مقدماتی توجیه شود. هیچ استنتاج دیگری از هیچ نوع گرچه به نظر مقدماتی هم بیاید مجاز نیست. وقتی در وضعی هستیم که می‌خواهیم به یک صورت استدلال که دارای دو مقدمه است رجوع کنیم (مانند M.P. یا D.S.) در قسمت توجیه ابتدا شماره خط‌های بکار بسته را به ترتیبی که در صورت معتبر مقدماتی ظاهرشده‌اند می‌آوریم. ازاین‌جهت است که خط  ۵ مثال ۱ با "۲, ۴, .M.P" دارای توجیه گردیده.

برای چیره شدن در ساختن برهان‌های صوری باید کاملاً با شکل و ریتم نُه صورت استدلال مقدماتی آشنا شویم نُه‌گانه اول از قواعد استنتاج که بسیار زیاد آن‌ها را بکار خواهیم زد.

 

تمرین

هریک از تمرینات زیر یک برهان صوری بی‌عیب و نقص را برای استدلال اشاره‌شده نشان می‌دهد.  برای هرکدام از خط‌های شماره‌دار که مقدمه نیست توجیه آن را قرار دهید.

img

 


 

 

وبلاگ کتابصفحه کتاب