19-infr ruls
وبلاگ کتابصفحه (فهرست) کتاب

فصل دهم: روش‌های استنتاج—قسمت چهارم: بنای گسترده‌تر برهان‌های صوری

 

۵.۱۰   بنای گسترده‌تر برهان‌های صوری

 

استدلال‌هایی که برهان صوری آن نیازمند به فقط دو عبارت گزاره‌ای است بسیار ساده هستند. اکنون به سمت تشکیل برهان صوری اعتبار استدلال‌‌ها با پیچیدگی بیشتر پیش خواهیم رفت. اما روند یکسان است: هدف همیشه عبارت-گزاره‌ای پایانی دنباله است، یعنی نتیجه استدلال، و قواعد استنتاج نیز فقط همان جعبه‌ابزار منطقی است.

به یک مثال به‌طور نزدیک نگاه می‌کنیم به اولین تمرین از مجموعه تمرین (آ) در زیر که برهان آن به سه عبارت گزاره‌ای بیشتر نیاز دارد:

۱. A (B A)   
۲. ~A • C 
   ~B

در تدبیر برهان این استدلال (مثل بیشتر حالات) به‌گونه‌ای طرح عملیاتی نیاز داریم، یک استراتژی که بتوانیم با آن و با کاربرد قواعد استنتاجی که داریم به سمت نتیجه موردنظر پیش رویم. در اینجا نتیجه B~ است. از خود می‌پرسیم: کجا در مقدمات B ظاهر شده؟ فقط به‌عنوان مقدم شرطی (BA) که مؤلفه اولین مقدمه است. چگونه B~ می‌تواند استخراج شود؟ با استفاده از  قیاس اقترانی می‌توان آن را از BA استنتاج کرد و البته اگر بتوانیم این شرطی را و بعلاوه A~ را جداگانه ثابت کنیم. هردو قدم موردنیاز می‌توانند به‌سادگی انجام شوند. A~ را می‌توان از خط ۲ با ساده‌ گردانی نتیجه گرفت:

۳. ~A    ۲,  Simp.  

با کار زدن  A~ به خط  ۱ و استفاده از قیاس فصلی می‌توانیم (BA) را استنتاج نماییم:

۴. (B A)    ۱,  ۳, D.S.  

و سرانجام برهان را می‌توان با استفاده از قیاس اقترانی  و خط‌های  ۳ و  ۴ کامل کرد:

۵. ~B    3, 4, M.T.

استراتژی بکار بسته در این استدلال به‌آسانی تدبیر و تدوین شد. در بعضی از برهان‌ها، تدبیر و تدوین استراتژی موردنیاز چندان ساده نیست، ولی عموماً سودمند است از خود بپرسیم: چه عبارت(یا عبارات)-گزاره‌ای ما را قادر به استنتاج نتیجه استدلال می‌کند؟ چه عبارت (یا عبارات)-گزاره‌ای دیگر ما را قادر به استنتاج این عبارت- گزاره می‌کند؟ به همین شیوه می‌توان این روند را با حرکت در جهت برگشت از نتیجه به سمت مقدمات ادامه داد.

[◄ توجه: متن این قسمت بعد از تمرین زیر ادامه دارد.]

 

تمرین

(آ) برای هریک از استدلال‌های زیر می‌توان یک برهان صوری استدلال فقط با افزودن سه عبارت گزاره‌ای تشکیل داد.  نوشتن آن‌ها با دقت کافی تسلط شما را به قواعد استنتاج افزایش خواهد داد، یعنی آن آمادگی که برای استدلال‌های گسترده‌تر و پیچیده‌تر نیاز است. [حل بعضی درون کادر آمده.]

img


 

برهان‌های صوری اغلب نیازمند به افزودن بیشتر از دو یا سه خط  به مقدمات‌ هستند. بعضی از این خطوط طولانی‌اند. درهرحال، هراندازه طول این خطوط باشد از روند یکسان و نیز تکنیک‌های استراتژیک یکسان برای تدبیر برهان‌های صوری استفاده می‌شود. در سرتاسر این قسمت ما به نُه صورت استدلال معتبر مقدماتی، که وظیفه‌مند به‌عنوان قوانین استنتاج ما هستند، تکیه کرده‌ایم.

بجاست قبل از آغاز به ساختن برهان‌های پیچیده‌تر به یک مثال از این‌گونه برهان‌ها نگاهی انداخته. اینکه در پی‌ می‌آید مشکل نیست، فقط گسترده‌تر از آنان است که تاکنون با آن‌ها کارکرده‌ایم.

۱.  A B
۲.  A (C • D) 
۳~B • ~E
   C

دیدن استراتژی موردنیاز برای برهان این استدلال کار سختی نیست: برای اثبات  C باید مقدمه‌ای که در خط دوم آمده را بگسلانیم؛ برای این کار نیازمند به A~ هستیم؛ برای به دست آوردن A~ باید قیاس اقترانی را همراه با B~ به خط ۱ بکار ببندیم. بنابراین ادامه دنباله را با خط چهارم برهان حاصل از کار زدن ساده‌ گردانی به خط  سوم پی‌می‌گیریم:

۱. A B
۲. A (C • D) 
۳. ~B • ~E          /C
۴. ~B                  ۳, Simp.

با استفاده از خط  4 می‌توانیم  A~ را از خط  1 دست آوریم:

۵ ~A                  ۱, ۴, M.T.

با داشتن نقیض  A~ همان‌طور که قصد آن داشتیم می‌توانیم خط  2 را بگسلانیم، با کار زدن D.S.:

۶. C • D               ۲, ۵, D.S.

حالا می‌توان نتیجه را به‌سادگی از خط ششم به‌وسیله ساده‌گردان استخراج کرد.

۷. C                    ۶, Simp.

برای این برهان صوری هفت خط (به شمول مقدمات) نیاز بود. بعضی از برهان‌ها  نیازمند به خط‌های بسیار زیادتر از این برهان هستند، اما مقصد و روش همیشه یکسان خواهد بود.

مواقعی هست که فردی یک برهان صوری را تدوین می‌کند و در آن به‌طور صحیح یک عبارت-گزاره‌ای را استنتاج‌ و آن را به دنباله شماره‌دار شده می‌افزاید، لیکن بعداً آشکار می‌شود که این کار بی‌فایده است؛ یعنی می‌توان یک برهان مستحکم بدون آن‌ ارائه کرد. در این موارد البته بهتر آن است که عبارت غیرضروری حذف گردد. بااین‌حال اگر این عبارت غیرضروری باقی‌بماند و برهان با دقت تمام با استفاده از عبارات-گزاره‌ای دیگر ساخته‌شده باشد، شمول عبارت غیرضروری (گرچه نازیبا) موجب نخواهد شد تا برهان صحیح نباشد. منطق‌ دان‌ها برهان‌های کوتاه‌تر را ترجیح می‌دهند، برهان‌هایی که هرچه سرراست‌تر آن‌گونه که قواعد استنتاج اجازه می‌دهند به سمت نتیجه راه بگشایند. لیکن گاهی فردی که برهان‌های پیچیده‌تر را می‌سازد. متوجه می‌شود که بعض عبارات-گزاره‌ای پیش‌تر آمده بدون نیاز استنتاج شده‌اند، در چنین مواقعی چنانچه این عبارت (عبارات)-گزاره‌ای که شمول آن‌ها نیازی نیست با شماره گذاری بیشتر باقی بمانند ممکن است کارآمد‌تر باشد. استحکام منطقی مقصودِ تعیین‌کننده‌ است.  یک برهان صوری مستحکم، یعنی آنکه در آن هر گام به‌طور صحیح استخراج شده و نتیجه نیز به‌طور صحیح به‌وسیله سلسله ناشکسته از استدلال‌ها با کار بستن قواعد استنتاج به مقدمات پیوند داده‌شده و این هنوز برهان باقی می‌ماند گرچه به ظرافت و برازندگی بعض برهان که می‌توانست تدبیر شود نباشد.

[◄ توجه: متن این قسمت بعد از تمرین زیر ادامه دارد.]

 

تمرین

(ب)  برای هریک از استدلال‌های زیر می‌توان یک برهان اعتبار بودن سختی زیاد آورد، بعضی از برهان‌ها ممکن اسب‌ برای کامل‌شدن نیازمند به دنباله‌ای با ۸ تا ۹ خط باشند.
[حل بعضی درون کادر آمده.]

img 


هدف ما از خواندن منطق برآورد استدلال در یک زبان طبیعی مثل فارسی است. وقتی در مباحثات روزانه با یک استدلال روبرو می‌شویم می‌توانیم عبارات (از زبان فارسی یا هر زبان طبیعی دیگر) را به زبان نمادین که گستراندیم برگردان نماییم و سپس برای این برگردان نمادین یک برهان صوری بسازیم تا ثابت کنیم استدلال موردنظر معتبر است (چنانچه واقعاً معتبر است.)  این نسخه نمادین استدلال گاهی آشکار می‌کند که آن استدلال درواقع ازآنچه فکر می‌کردیم، وقتی در اول شنیده یا خوانده بودیم، ساده‌تر (یا شاید هم پیچیده‌تر) باشد. به مثال زیر توجه کنید (اولین  تمرین در مجموعه تمرین بعدی):

1. اگر جمال و هادی هرکدام برنده شوند، ژاله و کریم هردو بازنده هستند. جمال برنده است. بنابراین ژاله بازنده است. (G جمال برنده است؛ Hهادی برنده است؛ J ژاله بازنده است؛ K کریم بازنده است.)

برای هر گزاره درزمینهٔ تمرین یک کوته‌سازی تهیه‌ شده، بدون آن‌ها احتمال آن می‌رود که افراد دخیل در مباحثه برای گزاره‌ها کوته‌سازی‌های مختلف قرار دهند که این موجب بروز سختی در ایجاد ارتباط می‌گردید.

با برگردان از زبان فارسی به نشانه‌گذاری نمادین این استدلال به‌صورت زیر ظاهر می‌شود:

۱. (G H)(J • K) 
۲. G             /J

بقیه این برهان صوری کوتاه و سرراست است:

۳. G H      ۲, Add.
۴. J • K         ۱, ۳, M.P.
۵. J               ۴, Simp.

 

تمرین

(ج) استدلال‌های زیر را که به فارسی هستند می‌توان به شیوه بالا برگردان کرد و سپس برهان صوری هریک را تشکیل داد. این برهان‌ها در اندازه متفاوت هستند، بعضی تا سیزده عبارت-گزاره‌ای(به شمول مقدمات) نیاز دارند تا کامل ‌شوند. کوته‌سازی‌های پیشنهادی ‌باید برای وضوح به‌کاربرده شوند. به خاطر داشته باشید برای برهان صوری یک استدلال که در زبان طبیعی آمده بسیار دارای اهمیت است که برگردان عباراتی که به‌طور پراکنده در استدلال ظاهرشده‌اند با دقت کامل انجام شود، در غیر این صورت با استدلالی کار خواهد شد که متفاوت از اصل آن است، و در این حالت هر برهان آورده‌شده بی‌فایده است، چراکه به استدلال اصلی قابل کار زدن نیست.

 

۱: اگر جمال و هادی هرکدام برنده شوند، ژاله و کریم هردو بازنده هستند. جمال برنده است. بنابراین ژاله بازنده است. (G-- جمال برنده است؛ H--هادی برنده است؛ J-- ژاله بازنده است؛ K-- کریم بازنده است.)

۲: اگر آرمان عضو شود اعتبار اجتماعی باشگاه افزایش پیدا می‌کند؛ و اگر بابک عضو شود موقعیت مالی باشگاه امن‌تر می‌شود. آرمان یا بابک عضو خواهند شد. اگر اعتبار اجتماعی باشگاه افزایش یابد بابک عضو خواهد شد؛ و اگر موقعیت مالی امن‌تر شود آنگاه وحید عضو خواهد شد. بنابراین بابک یا وحید عضو خواهند شد. (A-- آرمان عضو شود ؛ S-- اعتبار اجتماعی باشگاه افزایش پیدا می‌کند ؛ B-- بابک عضو می‌شود ؛ F-- موقعیت مالی باشگاه امن‌تر می‌شود ؛ W-- وحید عضو خواهد شد.)

۳: اگر بابک تلگرام را دریافت کند، آنگاه به هواپیما می‌رسد؛ و اگر به هواپیما برسد به جلسه دیر نخواهد رسید. اگر آدرس گیرنده تلگرام درست نباشد آنگاه بابک دیر به جلسه خواهد رسید. بابک تلگرام را دریافت می‌کند یا آدرس گیرنده تلگرام درست نیست. بنابراین بابک به هواپیما می‌رسد یا به جلسه دیر خواهد رسید. (R—بابک تلگرام را دریافت می‌کند؛ P-- بابک به هواپیما می‌رسد ؛ L--بابک دیر به جلسه خواهد رسید ؛ T—آدرس گیرنده تلگرام درست نیست.)

۴: اگر ناهید زمین را بخرد آنگاه یک ساختمان اداری ساخته می‌شود؛ و چنانچه پروین زمین را بخرد آن به‌سرعت دو بار فروخته می‌شود. اگر رحیم زمین را بخرد آنگاه یک فروشگاه ساخته می‌شود و اگر یک فروشگاه ساخته شود آنگاه تیمور برای خرید آن پیشنهاد می‌دهد. ناهید یا رحیم زمین را خواهند خرید. بنابراین یک ساختمان اداری یا یک فروشگاه ساخته می‌شود (N--ناهید زمین را می‌خرد ؛ O--یک ساختمان اداری ساخته می‌شود ؛ P--پروین زمین را می‌خرد ؛ Q--زمین به‌سرعت دو بار فروخته می‌شود؛ R–رحیم زمین را می‌خرد؛ S--یک فروشگاه ساخته می‌شود؛ T--تیمور برای خرید آن پیشنهاد می‌دهد.)

 

۵*: اگر باران ادامه یابد رود بالا می‌آید. اگر باران ادامه یابد و رود بالا بیاید پل بسته می‌شود. اگر ادامه باران موجب بسته شدن پل شود، آن‌وقت داشتن فقط یک مسیر برای شهر کافی نخواهد بود. داشتن فقط یک مسیر برای شهر کافی است یا مهندسان ترافیک اشتباه کرده‌اند. بنابراین مهندسان ترافیک اشتباه کرده‌اند. (C—باران ادامه می‌یابد؛ R—رود بالا می‌آید؛ B—پل بسته می‌شود؛ S—داشتن فقط یک مسیر برای شهر کافی است؛ M—مهندسان ترافیک اشتباه کرده‌اند.)

۱. C R
۲. (C R) B
۳. (C B) ~S
۴. S M
M
۵. C (C • R)               ۱, Abs.
۶. C B                        ۵, ۲, H.S.       
۷. ~S                               ۳, ۶, M.T.            
۸. M                               ۷, D.S.


۶: اگر ژاله به جلسه برود آنگاه یک گزارش کامل تهیه خواهد شد؛ اما اگر ژاله به جلسه نرود آنگاه تقاضای یک انتخابات ویژه اعلام خواهد شد. اگر یک گزارش کامل تهیه شود تحقیقات آغاز می‌شود. رفتن ژاله به جلسه منجر به تهیه یک گزارش کامل خواهد شد، و تهیه یک گزارش کامل آغاز یک تحقیقات را در پی خواهد داشت، بهر حال یا ژاله به جلسه می‌رود و تحقیقات آغاز می‌شود یا ژاله به جلسه نمی‌رود و تحقیقات آغاز نمی‌شود. اگر ژاله به جلسه برود و تحقیقات آغاز بشود آنگاه بعضی از اعضا به دادگاه فراخوان می‌شوند. اما اگر ژاله به جلسه نرود و تحقیقات آغاز نشود آنگاه سازمان به‌سرعت از هم خواهد پاشید. بنابراین بعضی از اعضا به دادگاه فراخوان می‌شوند یا سازمان به‌سرعت از هم خواهد پاشید. (J-- ژاله به جلسه می‌رود؛ R--یک گزارش کامل تهیه می‌شود؛ E--تقاضای یک انتخابات ویژه اعلام می‌شود؛ I-- تحقیقات آغاز می‌شود؛ T-- بعضی از اعضا به دادگاه فراخوان می‌شوند ؛ D--سازمان به‌سرعت از هم خواهد پاشید.)

۷: اگر آذر حاضر باشد آنگاه بهرام نیز حضور خواهد داشت. اگر آذر و بهرام هردو حاضر باشند آنگاه منوچهر یا داوود انتخاب خواهند شد. اگر منوچهر یا داوود انتخاب شوند آنگاه الهه به‌راستی باشگاه را در دست نخواهد داشت. اگر حضور آذر موجب شود الهه به‌راستی باشگاه را در دست نداشته باشد در این صورت فریدون رئیس جدید خواهد شد. بنابراین فریدون رئیس جدید خواهد شد. (A--آذر حاضر است؛ B—بهرام حاضر است؛ C—منوچهر انتخاب خواهد شد؛ D—داوود انتخاب خواهد شد؛ E—الهه به‌راستی باشگاه را در دست خواهد داشت؛ F--فریدون رئیس جدید خواهد شد.

۸: اگر جمال همسایه کناری سوزنبان باشد آنگاه درآمد سالانه جمال دقیقاً به 3 بخش‌پذیر است. اگر درآمد سالانه جمال دقیقاً به 3 بخش‌پذیر باشد آنگاه 40,000 دلار دقیقاً به 3 بخش‌پذیر است. اما 40,000 دلار دقیقاً به 3 بخش‌پذیر نیست. اگر رحیم همسایه کناری سوزنبان باشد آنگاه رحیم در نیمه‌راه اصفهان و تهران زندگی می‌کند. اگر رحیم در اصفهان زندگی کند آنگاه او در نیمه‌راه اصفهان و تهران زندگی نمی‌کند. رحیم در اصفهان زندگی می‌کند. اگر جمال همسایه کناری سوزنبان نباشد آنگاه رحیم یا ساسان همسایه کناری سوزنبان هستند، بنابراین ساسان همسایه کناری سوزنبان است. (J—اگر جمال همسایه کناری سوزنبان است؛ E--درآمد سالانه جمال دقیقاً به 3 بخش‌پذیر است ؛ T--40,000 دلار دقیقاً به 3 بخش‌پذیر است ؛ R--رحیم همسایه کناری سوزنبان است؛ H--رحیم در نیمه‌راه اصفهان و تهران زندگی نمی‌کند؛ D--رحیم در اصفهان زندگی می‌کند؛ S--ساسان همسایه کناری سوزنبان است.)

۹: اگر ساسان همسایه کناری سوزنبان باشد آنگاه ساسان در نیمه‌راه تبریز و تهران زندگی می‌کند. اگر ساسان در نیمه‌راه تبریز و تهران زندگی کند آنگاه وی در تهران زندگی نمی‌کند. ساسان همسایه کناری سوزنبان است. اگر رحیم در تبریز زندگی کند آنگاه وی در تهران زندگی نمی‌کند. رحیم در تهران زندگی می‌کند. ساسان در تهران زندگی می‌کند وگرنه رحیم یا جمال در تهران زندگی می‌کنند. اگر جمال در تهران زندگی کند آنگاه سوزنبان جمال است. بنابراین سوزنبان جمال است. (S--ساسان همسایه کناری سوزنبان است؛ W--ساسان در نیمه‌راه تبریز و تهران زندگی می‌کند؛ L--ساسان در تهران زندگی می‌کند؛ D--رحیم در تبریز زندگی می‌کند؛ I--رحیم در تهران زندگی می‌کند؛ C--جمال در تهران زندگی می‌کند؛ B--سوزنبان جمال است.)

 

۱۰*: اگر ساسان یک‌بار از آتش‌نشان در بیلیارد برده آنگاه ساسان آتش‌نشان نیست. ساسان یک‌بار در بیلیارد از آتش‌نشان برده. اگر سوزنبان جمال باشد آنگاه جمال آتش‌نشان نیست. سوزنبان جمال است. اگر ساسان آتش‌نشان نباشد و جمال آتش‌نشان نباشد آنگاه رحیم آتش‌نشان است. اگر سوزنبان جمال باشد و رحیم آتش‌نشان باشد آنگاه ساسان موتوریست است. بنابراین ساسان موتوریست است.( O--یک‌بار از آتش‌نشان در بیلیارد برده ؛ M--ساسان آتش‌نشان است ؛ B--سوزنبان جمال است؛ N-- جمال آتش‌نشان است؛ F--رحیم آتش‌نشان است ؛ G--ساسان موتوریست است.)

۱. O~M
۲. O
۳. B~N
۴. B
۵. (~M ~N) ⊃ F
۶. (B F) ⊃ G
G
۷. ~M                  ۱, ۲, M.P.
۸. ~N                  ۳, ۴, M.P.
۹. ~M ~N        ۷, ۸, Conj.
۱۰. F                   ۵, ۹, M.P.
۱۱. B F             ۴, ۱۰, Conj.
۱۲. G                   ۶, ۱۱, M.P.


 

 

وبلاگ کتابصفحه (فهرست) کتاب