19-infr ruls
وبلاگ کتاب صفحه کتاب

فصل دهم: روش‌های استنتاجقسمت هفتم: دستگاه استنتاج طبیعی

 

۷.۱۰   دستگاه استنتاج طبیعی

 

نوزده قاعده استنتاج که ارائه شدند (نُه صورت استدلال مقدماتی  و ده هم‌ارزی منطقی) همه آن قواعدی هستند که در منطق تابع-ارزش بدان‌ها نیاز است. آن‌ها همگی باهم تشکیل‌دهنده یک دستگاه استنتاج طبیعی هستند؛ یک دستگاه جمع‌وجور و به‌آسانی چیره شدنی و درعین‌حال تمام. این (یعنی، تمامیت در این دستگاه) بدان معنی است که می‌توانیم در آن با کار زدن این مجموعه قواعد برای هر استدلال معتبر تابع-ارزش یک برهان صوری بسازیم .[*]
[*]- یک روش برای اثبات این نوع تمامیت برای مجموعه‌ای از قواعد استنتاج را می‌‌توانید در I. M. Copi, Symbolic Logic, 5th ed. (New York: Macmillan, 1979), chap. 8. بیاید.
یا
[1]- John A. Winnie, “The Completeness of Copi’s System of Natural Deduction,” Notre Dame Journal of Formal Logic 11 (July 1970), 379—382. "تمامیت سیستم استنتاجی طبیعی کپی" .

دو نقص ظاهری در این فهرست نوزده قاعده استنتاج شایان توجه است. یکم، این مجموعه به‌گونه‌ای دارای افزونگی است، بدین معنی که آن‌ها سازنده یک حداقل خالص برای کفایت تشکیل برها‌ن‌های صوری استدلال‌های گسترده‌ نیستند. برای مثال قیاس اقترانی را می‌توان بدون کاستن واقعی از توان ابزارهای برهانی از این فهرست انداخت و هر جا که نیاز است به قیاس اقترانی استناد کرد بجای آن به قاعده‌های دیگر این فهرست استناد جست. به برهان زیر توجه کنید:

۱.  A B
۲.  B C
۳.  C D
۴.  ~D
۵.  A B
B
۶.  A C           ۱, ۲, H.S.
۷.  A D           ۶, ۳, H.S.
۸.  ~A                 ۴, ۷, M.T.
۹.  B                     ۵, ۸, D.S.

خط ۸ از خط ۴ و ۷ یعنی D~ و AD و قیاس اقترانی به‌دست آمده، اما اگر قیاس اقترانی به‌عنوان یک قاعده استنتاج در نظر گرفته نشود، بازهم می‌توان A~ را از AD و D~ نتیجه گرفت. این کار را می‌توان با درج خط میانی D~A~ که از AD و عکس نقیض (.Trans) به دست می‌آید و سپس اخذ A~ از D~A~ و D~ و  قیاس استثنایی (M.P.) انجام داد.  [برای دیدن برهان بدون کار زدن M.T. اینجا را کلیک کنید].

اما و بااین‌وجود، قیاس اقترانی چنان به‌طور بدیهی و آشکار به‌عنوان یک قاعده استنتاج بکار می‌رود که آن را در فهرست قواعد باقی می‌گذاریم.  به این معنا که گفتیم هنوز در میان ۱۹ قاعده قواعدی هستند که افزونه هستند.

دوم، این فهرست ۱۹تایی قاعده‌های استنتاج علاوه بر ویژگی افزونگی در یک برداشت دارای کاستی هست.  چراکه این مجموعه قواعد کم است، به‌عبارت‌دیگر استدلال‌های ساده معتبر و دارای بداهت هست که برای اثبات آن‌ها چندین گام نیاز است. برای مثال، گرچه استدلال:

 A B
~B
A

نا اندیشیده و آشکارا معتبر است، اما صورت آن:

 p q  
~q
p

 

به‌عنوان یک قاعده استنتاج در فهرست نیست. نتیجه A با کار بستن یک قاعده استنتاج از مقدمات A∨B و B~ به دست نمی‌آید، گرچه می‌توان آن را با کار بستن دو قاعده استنتاج به دست آورد. یک برهانی صوری برای این استدلال را می‌توان به‌صورت زیر نوشت:

۱. A B
۲. ~B
A
۳. B A          ۱, Com.
۴. A                    ۳, ۲, D.S.

می‌توانستیم کاستی را با اضافه کردن یک قاعده دیگر به فهرست جبران کنیم، ولی اگر این‌گونه افزونگی‌ها را برای چنین حالاتی انجام می‌دادیم، به‌ناچار با فهرست بسیار طولانی‌تری روبرو می‌شدیم که در این صورت بسیار کمتر اداره شدنی ‌بود.

بین نه قاعده اول استنتاج و ده‌تای بقیه تفاوت مهمی است. نه قاعده اول فقط می‌توانند برای تمام خط یک برهان بکار بسته شوند . بنابراین دریک برهان صوری اعتبار، عبارت-گزاره‌ای A را می‌توان از عبارت-گزاره‌ای AB با قاعده ساده‌ گردان به دست آورد، فقط اگر AB شامل همه خط باشد. روشن است که A را نمی‌توان به‌طور معتبر از AB)C) یا از (C(AB استنتاج کرد، زیرا این دو عبارت-گزاره‌ای اخیر می‌توانند درست باشند ضمن آنکه A نادرست باشد. و عبارت گزاره AC نمی‌تواند از عبارت گزاره‌ای  AB)C) با ساده‌ گردان یا هر قاعده دیگر استنتاج به دست آید. و چنانچه A درست و B و C هردو نادرست باشند، آنگاه AC هیچ‌گاه دست‌آمدنی نیست، چون AB)C) درست و AC نادرست خواهد بود.

همچنین گرچه AB با کار بستن افزایش به A به دست می‌آید ولی نمی‌توان AB)C) را از  AC با کار بستن افزایش یا هر قاعده دیگر استنتاج به دست آورد. چون اگر A و C هردو نادرست و B درست باشد آنگاه AC درست ولی AB)C) نادرست است. از طرف دیگر هریک از ده قاعده پایانی را می‌توان برای تمام خط یا بخشی از آن بکار بست. نه‌تنها فقط عبارت-گزاره‌ای (C(AB از کل خط  AB)C) با واگردان (Exp) استنتاج می‌شود، بلکه  AB)C]D)] را می‌توان با کار بستن واگردان از خط  AB)C]D)]  استنتاج نمود. مطابق با قاعده جایگزینی، عبارت‌های-گزاره‌ای منطقاً هم‌ارز هر جا که رخ‌دهند می‌توانند جایگزین یکدیگر گردند، حتی جایی که آن‌ها کل یک خط برهان را تشکیل نمی‌دهند. اما نه قاعده اول استنتاج فقط وقتی می‌توانند بکار بسته شوند که همه خط یک برهان یک مقدمه باشد.

انگاره برهان صوری یک انگاره کارآمد است، یعنی، می‌توان به‌طور کاملاً مکانیکی [ماشینی] و در مراحل با پایان (محدود) تصمیم گرفت آیا دنباله‌ای از عبارت‌های-گزاره‌ای (با توجه به یک فهرست از قواعد استنتاج) تشکیل‌دهنده یک برهان صوری هستند یا نه. نیاز به هیچ اندیشیدن نیست، چه اندیشه درباره "معنی" عبارت‌های-گزاره‌ای در دنباله برهانی و چه بررسی اعتبار برای هر مرحله از برهان با استفاده از درک منطقی. فقط دو چیز موردنیاز است، یکم بتوان مشاهده کرد که یک عبارت-گزاره‌ای رخ‌داده دریک جا دقیقاً همان است که در جای دیگر رخ‌داده، زیرا باید بتوان وارسی کرد که بعضی عبارت‌های-گزاره‌ای برهان مقدمات استدلالی هستند که اعتبار آن مورد اثبات است و آخرین عبارت-گزاره‌ای در برهان نتیجه این استدلال است. دومین چیز موردنیاز توانمندی به وارسی آن است که آیا یک عبارت-گزاره‌ای داده‌شده دارای یک قالب[ریخت] هست یا نه؛ به‌عبارت‌دیگر مشاهده کرد که آیا مورد جانشین یک صورت گزاره‌ای هست یا نه.

بنابراین، هر پرسش درباره دنباله شماره‌دار از عبارتهای-گزاره‌ای که در بالا‌ آمد، مبنی بر اینکه آیا این دنباله یک برهان صوری اعتبار است را می‌توان به‌آسانی و به‌تمامی مطابق مدل مکانیکی رفع‌ورجوع کرد. مقدمه بودن خط‌های ۱ و ۲ و همین‌طور نتیجه بودن خط ۴ برای این استدلال آشکار است. به دست آمدن ۳ از خطوط پیشین آن طبق یکی از قواعد استنتاج در تعداد مرحله محدود تصمیم‌پذیر است، حتی وقتی یادآوری (Com, ۱) کنار آن نوشته نباشد. توضیحی که برای یادآوری در ستون دوم آمده صرفاً یک راهنماست و همیشه هم باید آورده شود، ولی اگر بخواهیم دقیق باشیم باید گفت بخش لازم از خود برهان نیست. برای هر خط فقط تعداد محدود خط قبلی وجود دارد و بعلاوه فقط تعداد محدود قاعده استنتاج و به عبارتی صورت‌های مرجع وجود دارد که ‌باید به آن‌ها رجوع نمود. گرچه زمان‌بر است ولی با وارسی و مقایسه قالب‌ها می‌توان دریافت که ۳ از ۱ و ۲ طبق قیاس استثنایی، یا قیاس اقترانی یا قیاس شرطی، . . . و مانند آن‌ها به دست نیامده، تا آنکه در ادامه این روند به این خواهیم رسید که آیا ۳ از خط ۱ و اصل جابجایی نتیجه شده یا نه، و در اینجا با نگاه به صورت درمی‌یابیم که چنین است. به همین روش مجوز حضور هر عبارت-گزاره‌ای در هر برهان صوری در تعداد محدود از مراحل قابل آزمون است، که هیچ‌کدام از آن‌ها شامل چیزی بیشتر از مقایسه صورت‌ها یا قالب‌ها نیستند. برای حفظ این کارآمدی نیاز است فقط یک مرحله را در هر بار انجام دهیم. ممکن است کسی بخواهد برهان را با ادغام مراحل کوتاه‌تر کند، ولی زمان و جایی که صرفه‌جویی می‌شود اندازه قابل‌ملاحظه نیست و قابل‌چشم‌پوشی است. مهم‌تر، کارآمدی به‌دست‌آمده از انجام هر قدم به‌وسیله یک قاعده استنتاج در هر بار است.

گرچه یک برهان صوری کارآمد است، به این معنی که طبق مدل مکانیکی می‌توان تصمیم گرفت هر دنباله‌ای یک برهان است یا نه، ولی ساختن یک برهان صوری، یک روند کارآمد نیست. در این رابطه یک برهان صوری متفاوت از جداول ارزش است. ساختن جدول ارزش به‌تمامی مکانیکی است: برای هر استدلال داده‌شده از آن نوع که در اینجا با آن سروکار داریم، همیشه می‌توان برای آزمون اعتبارشان با پیروی از قواعد ساده روندی که در فصل قبل ارائه شد، جداول ارزش آن‌ها را ساخت. اما قواعد کارآمد یا مکانیکی برای ساختن برهان صوری در اختیار نداریم. در اینجا باید فکر کنیم یا "کشف کنیم" [فکر کنیم تا دریابیم] از کجا شروع و چگونه ادامه دهیم. بااین‌وجود، ثابت کردن اعتبار استدلال از طریق برهان صوری برای اعتبار آن بسیار آسان‌تر از ساختن صرف مکانیکی جداول ارزش است که دارای صدها و حتی هزاران سطر باشد.

گرچه برای ساختن برهان صوری قواعد مکانیکی خالص وجود ندارد ولی می‌توان تعدادی قاعده به‌عنوان راهنما برای این روند پیشنهاد کرد. اولین آن‌ها این است که در آغاز، نتیجه‌ها را از مقدمات داده‌شده با کار بستن قواعد استنتاج داده‌شده استخراج کرد. همان‌طور که بیشتر و بیشتر از این نتایج فرعی (میان‌نتیجه) به‌عنوان مقدمه برای استنتاج بیشتر حاصل می‌شود، احتمال آنکه پی برده شود چگونه نتیجه استدلال مورد اثبات را به دست آورد بیشتر می‌گردد. راهنمایی دیگر آنکه، تلاش شود عبارت‌های-گزاره‌ای که در مقدمات آمده‌‌اند ولی در نتیجه نیامده‌اند را حذف نمود. البته این‌گونه حذف‌ها باید مطابق قواعد استنتاج انجام شود و ازجمله این قواعد تکنیک‌های فراوان برای حذف هستند. ساده‌ گردان یکی از این قواعد است که طبق آن، وقتی تمام خط یک ترکیب عطفی است مؤلفه سمت راست را می‌توان برداشت. جابجایی نیز قاعده‌ای است که تعویض مؤلفه سمت چپ ترکیب عطفی با مؤلفه سمت راست را ممکن می‌سازد، که در این صورت با ساده‌گردانی می‌تواند برداشته شود. عبارت "میانی" q وقتی دو عبارت گزاره‌ای با قالب pq و qp داده‌شده‌اند مطابق قیاس شرطی می‌تواند حذف شود. پخش‌پذیری قاعده مفیدی برای تبدیل یک ترکیب فصلی با قالب (p(qr به ترکیب عطفی (pq)(pr) است، که مؤلفه سمت راست آن مطابق ساده‌گردان می‌تواند حذف شود. دیگر از این قاعده‌های راهنما معرفی یک عبارت-گزاره‌ای که درنتیجه آمده ولی در مقدمات نیست با کار بستن افزایش است. ازجمله روش دیگر که اغلب نیز مؤثر است انجام کار به روش برگشت از نتیجه است و اینکه دیده شود چه عبارت یا عبارات-گزاره‌ای می‌توانند از آن استنتاج شود، و سپس تلاش برای نتیجه‌گیری این عبارتهای-گزاره‌ای میانی از مقدمات. و البته هیچ جایگزین برای انجام-دادن به‌عنوان روش کسب سهولت و ابزار در ساختن برهان‌های صوری وجود ندارد.


[*]- یک روش برای اثبات این نوع تمامیت برای مجموعه‌ای از قواعد استنتاج را می‌‌توانید در I. M. Copi, Symbolic Logic, 5th ed. (New York: Macmillan, 1979), chap. 8. بیاید. 

[۱]- John A. Winnie,The Completeness of Copi’s System of Natural Deduction,” Notre Dame Journal of Formal Logic 11 (July 1970), 379—382. "تمامیت سیستم استنتاجی طبیعی کپی" .


   

 

 

وبلاگ کتاب صفحه کتاب