19-infr ruls

جدول قواعد
استنتاج


گزاره‌ها

سرآغاز: برهان غیرمستقیم در کتاب (فصل دهم/ قسمت پنجم)  آمده است. اینجا نشان می‌دهیم: برهان شرطی حداقل به‌اندازه برهان غیرمستقیم قوی است. به‌عبارت‌دیگر، هرچه با برهان غیرمستقیم به دست ‌آید، با برهان شرطی — کمی طولانی‌تر — به دست خواهد آمد.

  • این متن ویرایش نهایی نشده است. بنابراین، می‌تواند دارای کاستی باشد.
  • با توجه به راهنمایی علاقه‌مندان این متن در معرض ویرایش خواهد بود.
  • فصل‌‌های نهم و دهم کتاب و هم‌چنین قسمت قبل (برهان شرطی) خوانده‌ فرض شده.
  • بسی سپاس اگر خطا‌ها و کاستی‌ها یادآوری شود .ctologic@gmail.com

ب.۱  برهان شرطی و برهان غیرمستقیم

به کالبد یک برهان غیرمستقیم نوعی که در زیر آمده توجه کنید.

۱.  ?                  مقدمه           
۲.  ?     / A            
۳.  ~A             (IP) برهان غیرمستقیم: مرحله یکم
۴.  ?
۵.  ?
۶.  B ~B         ?, ?, Conj.

 

هر برهان غیرمستقیم در مرحله یکم با فرض نقیض نتیجه موردنظر آغاز (در اینجا A را به‌عنوان نتیجه انتخاب کرده‌ایم، ولی می‌توان هر نتیجه دیگر را انتخاب کرد) و به یک تناقض منجر می‌گردد (اینجا نیز اختیاری یک تناقض را آورده‌ایم- و البته هر تناقضی را می‌توان آورد). در مرحله دوم، یعنی وقتی به تناقض رسیدیم، بنا بر قاعده برهان غیرمستقیم  نتیجه، در اینجا A، را اخذ می‌کنیم، بنابراین:

 

 

۷.  A                  ۳, ۶, (I.P) برهان غیرمستقیم: مرحله دوم

 

 

آوردن خط ۷ در برهان مجاز است زیرا با فرض نقیض نتیجه (خط ۳) و با استفاده از این فرض(و مقدمات اصلی) و رسیدن به یک تناقض صریح (خط ۶)، بنا بر قاعده برهان غیرمستقیم می‌توان A را به‌عنوان خط هفتم برهان نوشت(تعریف برهان صوری اعتبار را اینجا ببینید).

در بحث ناسازگاری (فصل دهم) نشان داده شد هر گزاره دلخواه را می‌توان از یک برهان شامل تناقض به دست آورد.  بنابراین خط ۷ در بالا یا هر خط به‌دست‌آمده به‌وسیله I.P(قاعده برهان غیرمستقیم)  را می‌توان توسط CP(قاعده برهان شرطی) هم به دست آورد.  در استدلال زیر چگونگی این روند نشان داده ‌شده:

 


۱.?
۲.?              /A  
۳.  ~ A(C.P.) فرض
۴.?
۵. ? 
۶. B  • ~ B                      ?, ?, Conj.
۷. B   ۶, Simp.
۸.B A ۷, Add.
۹.     ~ B                     ۸, ۹, D.S.
۱۰. A ۱۰, Simp.










 


البته برهان تا اینجا هنوز کامل نیست، زیرا فرض تخلیه نشده‌ است. بنابراین، فرض را با کار زدن C.P تخلیه می‌کنیم. آنچه حاصل می‌شود (گزاره)شرطی عجیب زیر است:

 

۱۱.   ~AA ۱۰, Simp.
     


 

 و ازاینجا به بعد دست آوردن A کار آسانی است: 

۱۲.~ ~AA  ۱۱, Impl.
۱۳.AA  ۱۲, DN.
۱۴.A ۱۳, Taut.




 

این مثال نشان دهنده این نکته است که، هرگاه نقیض نتیجه هر استدلال را به‌عنوان فرض در برهان شرطی اختیار کنیم (می‌دانیم در قاعده برهان شرطی، تا وقتی قواعد کار زدن آن رعایت شود، هر چیزی را می‌توان فرض کرد) و  از آن یک تناقض به دست آوریم، آنگاه می‌توان به‌وسیله روندی که هم‌اکنون نشان داده شد، نتیجه استدلال را به دست آورد (این کار به قسمی انجام می‌شود که نتیجه به مقدمات اصلی و نه به مقدمات مفروض بستگی خواهد داشت). گرچه می‌توان این کار را همیشه انجام داد، اما چیز چندانی با انجام آن در همه حالات عاید نمی‌شود. معمولاً بجای آن، قاعده برهان غیرمستقیم ، همان‌طور که دیدیم فقط یک راه کوتاه‌تر برای اثبات آن چیزی است که با قاعده برهان شرطی می‌تواند ثابت شود، بکار زده می‌شود.

مثال:

       در این مثال هردو قاعده برهان شرطی و برهان غیرمستقیم کاررفته‌اند. نکته مثال در این است: مادام که دو قاعده(شرطی و غیرمستقیم) صحیح بکار روند، هر خط داخل هر کادر می‌تواند هر خط قبل از خود در روند برهان را، چه داخل کادر و چه بیرون آن، بکار گیرد. زیرا هر خط هر برهان می‌تواند(باید) یک مقدمه باشد و یا از خط‌های قبلی با کار زدن یک قاعده استنتاج به دست آمده باشد.


۱.A [B (C D)]  مقدمه 
۲.C [E (H I)]مقدمه
۳.F ~ I  مقدمه
(A B)[A(F~E)]  
۴.  AB   C.P. فرض  
۵.     A        C.P. فرض  
۶.     F  C.P. فرض  
۷.    E         I.P.  فرض    
۸. B  (C D)۱, ۵, M.P
۹.    B        ۴, Simp.
۱۰        C D        ۸, ۹, M.P
۱۱.    C       ۱۰, Simp
۱۲.    E (H J)        ۲, 11, M.P.
۱۳.    H J       ۷, ۱۲, M.P.
۱۴.    I       ۱۳, Simp.
۱۵.    ~I       ۳, ۶, M.P
۱۶. I~I۱۴, ۱۵, Conj
۱۷.   ~E       ۷, ۱۶, IP
۱۸.  F ~E        ۶, ۱۷, C.P.
۱۹. A (F ~E)       ۵, ۱۸. C.P.
۲۰.(A B)[A(F~E)]       ۴, ۱۹. C.P.











 
















    این قسمت با اندک تغییر، به خاطر پیوستگی،  از اینجا (فصل پنجم) برگرفته شده.      

 

_ویراست اخیر: ۱۳۹۴/۱۰/۰۱