قیاس صوریIntroduction to Logic

فصل ۷: قیاس‌های حملی ؛  قسمت ۶: استنتاج ۱۵ صورت معتبر قیاس حملی: - بخش ۲: منطق صوری (کلاسیک قدیم)؛  کتاب درآمد به منطق. آخرین ویرایش:۱۳۹۴/۱۰/۰۱

۶.۷ استنتاج ۱۵ صورت معتبر قیاس حملی

در قسمت ۵ (این فصل) پانزده صورت معتبر قیاس حملی شناسایی و به‌دقت متمایز گردیدند. در آنجا به هر قیاس یک نام  یگانه— با توجه به ترکیب یگانه ضرب و شکل— منسوب گردید. شرح خلاصه این پانزده قیاس در مرور کلی قسمت پیشین (پانزده صورت معتبر قیاس‌های حملی استاندارد-ساخت) آمده است.

می‌توان ثابت کرد که این ۱۵ صورت و فقط این‌ها صورت‌های معتبر قیاس‌های حملی هستند. این برهان— استنتاج صورت‌‌های معتبر قیاس حملی—  به‌جای آمدن در بدنه این فصل (به عنوان یک قسمت) به‌صورت یک ضمیمه‌شده به فصل ارائه گردیده است، چراکه، مسلط شدن به آن برای دانشجوی منطق به ضرورت نیست. لیکن، فهم آن درک و تبحر ژرف‌تر از دستگاه قیاسی را می‌تواند حاصل آورد. برای آن‌ها که از درگیر شدن با پیچیدگی‌های تحلیل‌های قیاسی احساس اقناع می‌کنند، گرچه دشوار، می‌تواند چالش‌های دلپذیر نیز همراه داشته باشد.

تأکید می‌کنیم که اگر قصد اصلی خواندن همانا شناسایی، فهم و کار زدن صورت‌های معتبر قیاسی، آن‌طور که در قسمت ۵ (این فصل) نشان داده‌شده است، آنگاه  می‌توان این قسمت را واگذار کرد.

پیگیری استنتاج قیاس‌های پانزده‌گانه یک تلاش آسان نیست. آن‌ها که مایل به ادامه هستند دو چیز را باید به‌خوبی در خاطر داشته باشند: (۱) قواعد قیاس، یعنی، آن قواعد بنیادین که در قسمت ۴ به میان آورده شد، همچون ابزار ضروری برای استنتاج؛ و (۲) پیکره چهار شکل قیاس آمده در بخش مرور کلی قسمت ۵، که ما فراوان به آن‌ها، هم‌زمآن‌که قواعد را فراخوان می‌کنیم، رجوع خواهیم کرد.

 مشاهده کردیم که ۲۵۶ صورت ممکن قیاس وجود دارد، به‌قرار: ۶۴ ضرب (یا ترکیب‌های مختلف از چهار گزاره‌ حملی) در هر یک از چهار شکل. استنتاج ۱۵ صورت معتبر‌ قیاس با مشخص کردن و حذف صورت‌هایی که یکی از قواعد بنیادین را رعایت نکرده و بنابراین نمی‌تواند معتبر باشند به‌پیش خواهد رفت.

نتیجه هر قیاس یک گزاره حملی A یا I یا E یا O، است. برای شروع، همه صورت‌های ممکن قیاس را با توجه به صورت نتیجه آن‌ها به چهار گروه تقسیم می‌کنیم. چون نتیجه قیاس یک گزاره حملی است، آشکار است که نتیجه در هر صورت ممکن قیاس نیز باید یکی از گزاره‌های A یا I یا E یا O باشد. جایگزین دیگری وجود ندارد. بنابراین برای هرکدام از این چهار حالت کاوش خواهیم کرد تا ببینیم یک قیاس معتبر چه چیزهایی را باید دارا باشد. به‌عبارت‌دیگر، می‌خواهیم ببینیم وقتی نتیجه قیاسی گزاره A است چه صورت‌هایی از آن قیاس یک قاعده یا بیشتر از یک قاعده از قوانین شش‌گانه را رعایت نکرده‌اند، و به همین ترتیب برای گزاره E و الی‌آخر.

بعد از مستثنا کردن همه قیاس‌های نامعتبر، آنچه خواهد ماند قیاس‌های معتبر خواهد بود. برای آسانی در دیدن گذر از این مسیر، همان‌طور که پیش خواهیم رفت ضرب، شکل و نام پانزده صورت(های) معتبر قیاس حملی را در حاشیه می‌نویسیم

حالت ۱. وقتی نتیجه قیاس گزاره A است:

در این حالت هیچ‌یک از مقدمات نمی‌توانند یک گزاره E یا O باشند، زیرا اگر هر یک از مقدمات سلبی باشد، نتیجه هم باید سلبی باشد (قاعده ۵). بنابراین دو مقدمه باید گزاره‌های A یا I باشند. مقدمه کِهین نمی‌تواند یک گزاره I باشد، زیرا حد کِهین (موضوع نتیجه که یک A است) درون نتیجه توزیع‌شده است، بنابراین اگر مقدمه مِهاد یک گزاره I ‌بود، آنگاه یک حد درون نتیجه نیز توزیع‌شده ‌‌بود که در مقدمات توزیع‌شده نبود، این خلاف قاعده ۳ است. دو مقدمه مهاد و کهاد نمی‌توانند گزاره‌های I(مهاد) و A(کهاد) باشند، زیرا اگر چنین بود، موضوع که در نتیجه توزیع‌شده بود در مقدمه توزیع‌شده نبود و این یعنی خلاف قاعده ۳، یا حد وسط قیاس دریکی از مقدمات توزیع‌شده نبود، و این نیز یعنی خلاف قاعده ۲. بنابراین (وقتی نتیجه A است) دو مقدمه نیز باید A باشند، یعنی تنها ضرب معتبر AAA خواهد بود. اما حد وسط در شکل دوم AAA در هیچ‌کدام از مقدمات توزیع‌شده نیست، در شکل سوم و چهارم AAA، یک حد نتیجه توزیع‌شده است ولی در مقدمه‌ای که ظاهرشده است توزیع‌شده نیست. بنابراین، اگر نتیجه، یک گزاره A باشد، تنها صورت معتبر شکل اول AAA است. نام سنتی این صورت معتبر AAA-۱ باربارا است.

خلاصه حالت ۱: اگر نتیجه قیاس A باشد، تنها صورت معتبر آن AAA-۱ به نام سنتی قیاس باربارا-Barbara است.

حالت ۲. وقتی نتیجه قیاس گزاره E است:

در گزاره E موضوع و نیز محمول توزیع‌شده‌اند. بنابراین، هر سه حد قیاسی که این نتیجه را دارد باید توزیع‌شده باشند. و این فقط وقتی ممکن است که یکی از مقدمات E باشد. اما هر دو مقدمه نمی‌توانند E باشند، چون حضور دو مقدمه سلبی مجاز نیست (قاعده ۴)، مقدمه دیگر نمی‌تواند یک گزاره O باشد زیرا بازهم دارای دو مقدمه سلبی خواهیم شد. مقدمه دیگر I هم نمی‌تواند باشد، زیرا در این صورت یک حد توزیع‌شده در نتیجه خواهیم داشت که در مقدمه توزیع‌شده نیست، یعنی خلاف قاعده ۴. ازآنچه گفتیم برمی‌آید که مقدمه دیگر باید یک A باشد و بنابراین، مقدمات عبارت خواهند بود از AE یا EA. پس، تنها ضرب‌های ممکن (وقتی نتیجه E است) به‌قرار AEE و EAE هستند.

اما ضرب AEE نمی‌تواند به شکل اول یا سوم باشد، زیرا در هر دو حالت‌ یک حد در نتیجه قیاس توزیع‌شده است که در مقدمات توزیع‌شده نیست. اما، ضرب AEE به شکل دوم، AEE-۲ (به نام سنتی کامسترس)، یا به شکل چهارم، AEE-۴ (به نام سنتی کامنس)، می‌تواند معتبر باشد.

اگر ضرب EAE باشد نمی‌تواند در شکل سوم یا در شکل چهارم باشد، زیرا در این صورت هم یک حد توزیع‌شده توسط نتیجه در مقدمات توزیع‌شده نخواهد بود، که در این صورت شکل اول EAE-۱ (به نام سنتی کلارنت)، و شکل دوم، EAE-۲ (به نام سنتی چزاره) برای اعتبار باقی می‌مانند.

خلاصه حالت ۲: اگر نتیجه قیاس E باشد، تنها چهار صورت ممکن معتبر وجود خواهد داشت: EAE-1 ،AEE-۴ ،AEE-2 و  EAE-۲، که به‌ ترتیب از  عبارت‌اند از: کامسترس-Camestres، کامِنس-Camenes، سلرنت-Celarent و چزاره-Cesare.

حالت ۳. وقتی نتیجه قیاس گزاره I است:

در این حالت هیچ‌یک از مقدمات نمی‌توانند E یا O باشند، زیرا چنانچه یکی از مقدمات سلبی باشد، نتیجه هم باید سلبی باشد. هر دو مقدمه A هم نمی‌توانند باشند، زیرا یک قیاس با نتیجه جزئی نمی‌تواند دارای دو مقدمه کلی باشد(قاعده ۶). هیچ‌کدام I نیز نمی‌توانند باشند، زیرا حد وسط باید حداقل در یک مقدمه توزیع‌شده باشد(قاعده ۲). بنابراین مقدمات باید AI یا IA باشند، پس تنها ضرب‌های ممکن با نتیجه I عبارت‌اند از AII و  IAI.

AII در شکل‌های دوم و چهارم نمی‌تواند معتبر باشد، زیرا حد وسط باید حداقل در یک مقدمه توزیع‌شده باشد. بنابراین تنها صورت‌های معتبر برای ضرب AII عبارت‌اند از AII-۱( به نام سنتی دری) و AII-۳(به نام سنتی داتیسی). اگر ضرب IAI را در نظر بگیریم، آنگاه صورت‌های IAI-۱ و IAI-۲ نمی‌توانند معتبر باشند، زیرا در هر دو ، این قاعده که می‌گوید حد وسط باید حداقل در یک مقدمه توزیع‌شده باشد، رعایت نشده. آنچه باقی می‌ماند IAI-۴(به نام سنتی دیماریس) و IAI-۳(با نام سنتی دیسامیس) است.

خلاصه حالت ۳: اگر نتیجه قیاس I باشد، تنها چهار صورت ممکن معتبر وجود خواهد داشت: IAI-۳ ،AII-۳ ،AII-۱ و IAI-۴،  که به‌ ترتیب عبارت‌اند از: دری-Darii، داتیسی-Datisi، دیسامیس-Disamis و دیماریس-Dimaris.

حالت ۴. وقتی نتیجه قیاس گزاره O است:

در این حالت مقدمه مِهاد نمی‌تواند گزاره I باشد، زیر هر حد توزیع‌شده درنتیجه باید در مقدمات نیز توزیع‌شده باشد. بنابراین مقدمه مِهاد باید یک گزاره، A یا E یا O باشد.

فرض کنید مقدمه مهاد A باشد. در این حالت مقدمه کِهاد نمی‌تواند یک A یا E باشد، زیرا وقتی نتیجه، یک گزاره جزئی است (یک O) هردو مقدمه نمی‌توانند کلی باشند. علاوه بر آن مقدمه کِهاد نمی‌تواند یک I باشد، زیرا در این صورت حد وسط هرگز توزیع‌شده نبود(قاعده ۲)، یا اینکه یک حد در نتیجه توزیع‌شده بود که در مقدمات توزیع‌شده نبود. بنابراین اگر مقدمه مهاد A باشد، مقدمه کهاد O خواهد بود و در این صورت ضرب قیاس AOO می‌شد. اما AOO در شکل چهارم معتبر نیست، زیرا در این صورت حد وسط توزیع‌شده نخواهد بود. AOO در شکل اول و سوم نیز معتبر نخواهد بود زیرا منجر به این خواهد شد که حدهای نتیجه توزیع‌شده باشند و در مقدمات توزیع‌شده نباشند. بنابراین برای ضرب AOO فقط یک شکل، یعنی شکل دوم، باقی می‌ماند که می‌تواند معتبر باشد، یعنی AOO-۲ (نام سنتی باراکو).

اکنون فرض کنید (وقتی نتیجه یک O است) مقدمه مهاد یک E باشد. در این حالت مقدمه کهاد نمی‌تواند یک E یا یک O باشد، زیرا حضور دو مقدمه سلبی مجاز نیست. بعلاوه مقدمه کهاد A هم نمی‌تواند باشد، زیرا در این صورت دارای دو مقدمه کلی با نتیجه جزئی خواهیم بود (قاعده ۶). آنچه باقی می‌ماند ضرب EIO است، که در این ضرب هر چهار شکل آن معتبر هستند. این چهار شکل همراه به نام‌های سنتی خود به این قرارند: EIO-۱ (فریوEIO-۲ (فستینو)، EIO-۳ (فریسنEIO-۴ (فرسیسون).

سرانجام، فرض کنید (وقتی نتیجه یک O است) مقدمه مهاد نیز یک گزاره O است. در این حالت نیز مقدمه کهاد نمی‌تواند یک E یا یک O باشد، زیرا حضور دو مقدمه سلبی ممنوع است بعلاوه مقدمه کهاد یک I هم نمی‌تواند باشد، زیرا حد وسط توزیع‌شده نخواهد بود، یا یک حد که در نتیجه توزیع‌شده است در مقدمات توزیع‌شده نخواهد بود. بنابراین اگر مقدمه مهاد یک O باشد، مقدمه کهاد نیز باید یک A باشد، و ضرب عبارت خواهد بود از OAO. اما OAO-۱ را باید حذف کرد، زیرا در آن حد وسط توزیع‌شده نیست. OAO-۲ و OAO-۴ نیز باید حذف شوند زیرا در این دو  حد توزیع‌شده در نتیجه در مقدمات توزیع‌شده نیست. آنچه برای معتبر بودن باقی می‌ماند OAO-۳ خواهد بود (به نام سنتی بکاردو-Bokardo).

خلاصه حالت ۴: اگر نتیجه قیاس یک O باشد، در این صورت فقط شش شکل ممکن معتبر خواهند بود: EIO-۴ ,EIO-۳ EIO-۲ ,EIO-۱ ,AOO-۲ و OAO-۳. که به‌ ترتیب از  عبارت‌اند از: باراکو- Baroko، فر‌یو- Ferio، فستینو- Festino، فریسون- Ferison، فرسیسون- Fresison، بکاردو- Bokardo.

با این تحلیل و از طریق حذف نشان داده شد به‌طور دقیق پانزده صورت معتبر قیاس حملی وجود دارد: یک صورت وقتی نتیجه یک گزاره A است، چهار صورت وقتی نتیجه یک گزاره E است، چهار صورت وقتی نتیجه یک گزاره I است، و شش صورت وقتی نتیجه یک گزاره O است. از این پانزده صورت چهار صورت به شکل اول، چهار صورت به شکل دوم، چهار صورت به شکل سوم و سه صورت به شکل چهارم هستند. در اینجا استنتاج پانزده صورت معتبر قیاس‌ها حملی استاندارد-ساخت پایان می‌یابد.

تمرین

برای دانشجویان مشتاق به پیچیدگی‌های تحلیل‌های قیاسی، در اینجا تعدادی پرسش نظری آورده شده، که جواب آنها را می‌توان از طریق کار زدن ۶ قاعده انتاج قیاس، آمده در قسمت ۴ این فصل، به دست آورد. چنانچه فرد توانا بر استنتاج‌های قیاسی معتبر آن‌گونه که دراینجا آمده باشد، جواب دادن به آن‌ها بسیار آسانتر خواهد شد. دقت نمایید تا همه حالات در نظر گرفته شود.

۱. آیا یک قیاس حملی استاندارد-ساخت معتبر‌ می‌تواند دقیقاً دارای سه حد باشد به قسمی که هر حد در دو رویداد توزیع‌شده باشد؟
حل:
 نه؛
چنین قیاسی نمی‌تواند معتبر باشد، اگر هر سه حد هرکدام در دو رویداد خود توزیع‌شده باشند، آنگاه هر سه گزاره قیاس گزاره E خواهند شد و بنابراین ضرب قیاس EEE خواهد بود. در این ضرب قاعده ۴ که ممنوعیت حضور دو گزاره سالب است رعایت نشده است.

۲. در چه ضرب یا ضرب‌هایی، یک قیاس حملی استاندارد-ساخت می‌تواند معتبر باشد، به‌شرط آن‌که دارای یک مقدمه جزئی باشد.

۳. در کدام شکل یا اشکال از قیاس‌ها حملی استاندارد-ساخت و معتبر، مقدمات می‌توانند دو حد کِهین(اصغر) و  مِهین(اکبر) را توزیع نمایند؟

۴. کدام شکل یا اشکال قیاس‌ها حملی (استاندارد-ساخت) معتبر می‌توانند دارای دو مقدمه جزئی باشند؟

 

۵. کدام شکل یا اشکال قیاس‌ها حملی استاندارد-ساخت معتبر می‌توانند فقط دارای یک حد توزیع‌شده دریک رویداد باشند؟

حل:

این در شکل اول ممکن است، یعنی در AII-۱ که معتبر نیز است. همچنین، در شکل سوم نیز ممکن است، یعنی در IAI-۳ (و همین‌طور در AII-۳) که معتبر و فقط دارای یک حد توزیع‌شده آن‌هم در یک رویداد هستند. در شکل چهارم نیز ممکن است، یعنی در IAI-۴ که معتبر و فقط دارای یک حد توزیع‌شده آن‌هم در یک رویداد است. اما وقتی، حد وسط حد محمول هر دو مقدمه باشد، در شکل دوم ممکن نیست.

:    برای آنکه قاعده ۲ (حد وسط حداقل در یک مقدمه باید توزیع‌شده باشد) شکسته نشود، یکی از این مقدمات در این شکل باید سلبی باشد. اما در این صورت با توجه به قاعده ۵ نتیجه باید سلبی بوده و محمول خود را توزیع نماید. بنابراین در شکل دوم حدی که توزیع‌شده دریک رویداد است باید در نتیجه باشد، اما اگر حد توزیع‌شده در نتیجه و آن‌هم یک‌بار (در همان رویداد) توزیع‌شده باشد آنگاه قاعده ۳ شکسته خواهد شد، زیرا اگر درنتیجه توزیع‌شده باشد باید در مقدمات هم توزیع‌شده باشد.

۶. کدام ضرب یا ضرب‌های قیاس‌های حملی استاندارد-ساخت معتبر می‌توانند فقط دارای دو حد توزیع‌شده و هرکدام در دو رویداد باشند؟

۷. کدام ضرب یا ضرب‌های قیاس‌ها حملی استاندارد-ساخت معتبر می‌توانند دو مقدمه موجب و نتیجه سالبه داشته باشند؟

۸. کدام شکل یا اشکال قیاس‌ها حملی استاندارد-ساخت معتبر می‌توانند یک مقدمه کلی و یک نتیجه جزئی داشته باشند؟

۹. شکل دوم در چه ضرب یا ضرب‌هایی از قیاس‌ها حملی استاندارد-ساخت می‌تواند دارای یک مقدمه کلی داشته و معتبر نیز باشد؟

۱۰. کدام شکل یا اشکال قیاس‌ها حملی استاندارد-ساخت معتبر می‌توانند در هر دو مقدمه حد وسط توزیع‌شده داشته باشند؟

حل:

هیچ‌کدام؛
 اگر حد وسط در هر دو مقدمه توزیع‌شده بود، آنگاه، در شکل اول، مقدمه کهین(صغرا) می‌بایست سالب می‌بود، چراکه، (بنا به‌قاعده ۵) نتیجه می‌بایست یک سالب بود، و ازاینجا، بنا به‌قاعده ۳ مقدمه مهاد(کبرا) می‌بایست یک سالب ‌بود که آن‌وقت خلاف قاعده ۴ بود. در شکل دوم، دو مقدمه می‌بایست سالب بودند که این خلاف قاعده ۴ بود. در  شکل سوم هردو مقدمه می‌بایست کلی بودند و با توجه به‌قاعده ۳ مقدمه کهین می‌بایست سالب بود، و در این صورت بنا به‌قاعده ۵ نتیجه باید سالب بود—بنابراین بنا به‌قاعده ۳ مقدمه مهین نیز می‌باید سالب بود که این خلاف قاعده ۴ بود. در شکل چهارم، مقدمه مهین می‌بایست سالب بود. بنابراین، (بنا به‌قاعده ۵) نتیجه می‌بایست سالب باشد (E یا O)) و حد مهین خود را توزیع می‌کرد، که این یعنی (بنا به‌قاعده ۳) مقدمه مهین نیز می‌بایست حد مهین خود را توزیع می‌کرد و بنابراین کلی بود ( یک گزاره E). مقدمه کهین نیز باید کلی می‌بود، و ازآنجاکه حد وسط را توزیع می‌کرد، بنا به‌قاعده ۴ نمی‌توانست سالب باشد، بنابراین باید گزاره A بود (همه S  M است.) اکنون قاعده ۶ مانع امکان یک گزاره O به‌عنوان نتیجه می‌شود، و قاعده ۳ مانع امکان یک گزاره E می‌گردد.

۱۱. آیا یک قیاس حملی استاندارد-ساخت معتبر می‌تواند دارای یک حد توزیع‌شده دریک مقدمه و غیر توزیع‌شده در نتیجه باشد؟

© 1987 - 2017 KHcc Sc.