(فرا) قضیه استنتاج

منطق محمولات و نظریه مدل

درآمد به منطق


روند منطق محمولات: زبان، تعبیر و مدل (۲)

۱- مقدمه

۹- قضیه ۲.۴

۲- ویژگی‌های تئوری‌های مرتبه اول

۱۰- قضیه ۲.۵: قضیه استنتاج

۳- قضیه ۲.۱

۱۱- نتیجه ۲.۶: پیامد استنتاج (۱)

۴- قضیه ۲.۲

۱۲- نتیجه ۲.۷: پیامد استنتاج (۲)

۵- تعریف: سازگاری تئوری

۱۳- گسترش قضیه‌های ۲.۴ تا ۲.۷

۶- نتیجه ۲.۳. سازگاری حساب محمولات مرتبه اول

۱۴- مثال: کارزدن قضیه استنتاج

۷- درباره قضیه استنتاج

۱۵- تمرین

۸- وابستگی فرمولی

توجه: مگر در مواردی که با نماد "توجه:" مشخص شده باشد، محتوای ارائه شده در این یادداشت از مرجع زیر برگرفته و برگردان شده است.

Mendelson, Elliott. Introduction to mathematical logic. 6th, ed, CRC Press, Taylor & Francis Group. 2015. p. ۶۹-۷۳.


۱- مراد از مجموعه شمارا (Denumerable set) یک مجموعه‌ شمارای نامتناهی است مگر آنکه با صراحت قید شده باشد.

عضو- عضویت و نظریه مجموعه ها (۱) -  (ریاضیات)

توجه: ■ مقدمه

x(Man(x)Mortal(x))

در یادداشت (منطق محمولات: نظریه‌های مرتبه اول) در باره تئوری‌های مرتبه اول (حساب محمولاتبنداشت‌های منطقی، بنداشت‌های سره و قواعد استنتاج شرح درخور آمده است. در این یادداشت به ویژگی‌های این دستگاه‌ه و معرفی و اثبات (فرا)قضیه استنتاج برای این دستگاه‌ها می‌پردازیم.


■ ۲.۴ ویژگی‌های تئوری‌های مرتبه اول

همه نتایج در این بخش به یک تئوری مرتبه اول دلخواه K اشاره می‌کند. بجای نوشتن KB، گاهی اوقات تنها B را می‌نویسیم، افزون بر این، به تئوری‌های مرتبه اول صرفاً با عنوان تئوری اشاره خواهیم کرد، مگر اینکه چیزی خلاف آن گفته شود.


■ قضیه ۲.۱

هر فرمول B در K که موردی از یک توتولوژی است یک قضیه K است و می‌توان آن را فقط با کارزدن بنداشت‌های (A۱) تا (A۳) و MP ثابت کرد.

اثبات:

فرض کنید فرمول B از توتولوژی C توسط جانشین سازی بدست آمده باشد. بنا بر تمامیت ، برهانی برای C در وجود دارد. در چنین برهانی، از همان جانشین سازی فرمول‌های K برای حروف محمولی استفاده کنید که در بدست آوردن B از C استفاده شده است. و هر حرف گزاره‌ای در برهان که در C نیست را با فرمول دلخواهی از K جانشین کنید. در این صورت، دنباله حاصل از فرمول‌ها برهان B است، و این برهان فقط از بنداشت‌های (A۱) تا (A۳) و MP استفاده می‌کند.


■ قضیه ۲.۲

هر قضیه یک حساب محمولات مرتبه اول منطقاً معتبر است.

اثبات:

بنداشت‌های (A۱) تا (A۳) بنا به ویژگی (VII) انگاشت صدق منطقاً معتبر هستند. (صفحه ۵۸ را ببینید). و بنا بر (X) و (XI) بنداشت‌های () و () منطقاً معتبر هستند.

بنا بر ویژگی‌های (III) و (VI)، قواعد استنتاج MP و Gen اعتبار منطقی را حفظ می‌کنند، بنابراین، هر قضیه یک حساب محمولات منطقاً معتبر است.

مثال:

فرمول

(x۲)(x۱)A۱۲(x۱,x۲)(x۱)(x۲)A۱۲(x۱,x۲)

یک قضیه برای هر حساب مرتبه اول نیست، چراکه منطقاً معتبر نیست. (مثال ۵ صفحه ۶۳ را ببینید.)


■ تعریف: سازگاری تئوری

تئوری K سازگار است اگر هیچ فرمول B و نقیض آن ¬B هر دو در K قابل اثبات نباشند. یک تئوری ناسازگار است اگر سازگار نباشد.


■ نتیجه ۲.۳: سازگاری حساب محمولات مرتبه اول

هر حساب محمولات مرتبه اول سازگار است.

اثبات:

اگر فرمول B و نقیض آن ¬B هر دو قضیه یک حساب محمولات مرتبه اول باشند، از قضیه ۲.۲ داریم هر دو B و نقیض آن ¬B منطقاً معتبر خواهند بود، که ممکن نیست.

توجه داشته باشید که در یک تئوری ناسازگار K، هر فرمول از K در K اثبات شدنی است. در واقع، فرض کنید که فرمول B و ¬B هر دو در K اثبات شدنی باشند. از آنجا که فرمول

B(¬BC)

موردی از یک توتولوژی است() از قضیه ۲.۱ می‌دانیم که این فرمول در K اثبات شدنی است. از اینجا با دو بار کاربرد MP خواهیم داشت C.

از این ملاحظه برمی‌آید که، اگر برخی فرمول تئوری K قضیه K نباشد آنگاه K سازگار است.


■ درباره قضیه استنتاج

قضیه استنتاج (قضیه ۱.۹) برای حساب گزاره‌ها را نمی‌توان بدون اصلاح به تئوری‌های مرتبه اول آورد. برای نمونه، برای هر فرمول B داریم

BK(xi)B,

اما همیشه چنین نیست که

KB(xi)B.

اکنون، دامنه‌ای را در نظر بگیرید که شامل حداقل دو عنصر c و d باشد. فرض کنید K یک حساب محمولات باشد و B را به قرار A۱۱(x۱) بگیرید. A۱۱ را به عنوان یک ویژگی که فقط برای c برقرار است تعبیر کنید.

در این صورت A۱۱(x۱) با هر دنباله s=(s۱,s۲,) که در آن s۱=c برآورده می‌شود.

اما (x۱)A۱۱(x۱) با هیچ دنباله‌‌ای برآورده نمی‌شود. از این رو، فرمول:

A۱۱(x۱)(x۱)A۱۱(x۱)

در این تعبیر درست نیست و بنابراین منطقاً معتبر هم نیست. از اینجا، بنا به قضیه ۲.۲، A۱۱(x۱)(x۱)A۱۱(x۱) یک قضیه K نیست.

با این حال، ممکن است صورتی اصلاح شده، اما همچنان سودمند، از قضیه استنتاج را بدست ‌آورد.


■ وابستگی فرمولی

فرض کنید B یک فرمول در مجموعه فرمول Γ باشد و فرض کنید که یک استنتاج D۱,...,Dn از Γ به همراه توجیه برای هر مرحله در استنتاج به ما داده شده است. می‌گوییم: Di در این برهان بستگی به B دارد اگر و تنها اگر:

  1. Di همان B است و توجیه Di تعلق آن به Γ است، یا

  2. Di به عنوان یک نتیجه مستقیم کارزدن MP یا Gen به برخی از فرمول‌های قبلی دنباله توجیه می‌شود، جایی که حداقل یکی از این فرمول‌های قبلی به B بستگی دارد.

مثال:

B,(x۱)BC(x۱)C

فرضB(D۱)
(D۱), Gen(x۱)B(D۲)
فرض(x۱)BC(D۳)
(D۲), (D۳), MPC(D۴)
(D۴), Gen(x۱)C(D۵)

در اینجا، (D۱) و (D۲) به B بستگی دارند. (D۳) به (x۱)BC بستگی دارد. (D۴) به B و (x۱)BC بستگی دارد. (D۵) به B و (x۱)BC بستگی دارند.


■ قضیه ۲.۴

اگر C به B در استنتاج Γ,BC بستگی نداشته باشد آنگاه ΓC.

اثبات:

فرض کنید D۱،Dn استنتاج C از Γ و B باشد، که در آن C به B بستگی ندارد. (در این استنتاج Dn همان C است.)

اکنون بنا بر استقرا فرض می‌کنیم این قضیه برای همه استنتاج‌های با طول کمتر از n برقرار است.

گر C یک بنداشت باشد یا عضو Γ باشد آنگاه ΓC.

اگر C نتجه مستقیم یک یا دو فرمول قبلی توسط MP یا Gen باشد آنگاه، از آنجا که C به B بستگی ندارد، این فرمول‌های قبلی نیز وابستگی ندارند.

بنا بر فرض استقرا، این فرمول‌های قبلی تنها از Γ قابل استنتاج هستند.

در نتیجه، C هم چنین است.


■ قضیه ۲.۵: قضیه استنتاج

فرض کنید، در برهانی که نشان دهنده استنتاج Γ,BC است، هیچ موردی از قاعده Gen (تعمیم) برای فرمولی که به B بستگی دارد و در آن متغیر سوردارشده یک متغیر آزاد در B است، کارزده نشده باشد. در این صورت داریم ΓBC.

اثبات:

گیریم D۱,,Dn استنتاج C از Γ و B باشد، که فرض قضیه را برمی‌آورد. (در این استنتاج Dn همان C است.)

می‌خواهیم با استقرا نشان دهیم که برای هر in داریم ΓBDi.

اگر Di یک بنداشت یا متعلق به Γ باشد، از آنجا که Di(BDi) یک بنداشت است داریم ΓBDi.

اگر Di همان B باشد، پس ΓBDi، زیرا، بنا به قضیه ۲.۱، BB.

اگر j و k کوچکتر از i وجود داشته باشد به قسمی که Dk همان DjDi باشد، آنگاه، با فرض استقرا ΓBDj و ΓB(DjDi).

اکنون بنا به بنداشت () داریم:

(B(DjDi))((BDj)(BDi)).

بنابراین، با دوبار کارزدن MP داریم ΓBDi.

سرانجام، فرض کنید j کوچکتر از i وجود دارد به قسمی که Di عبارت باشد از (xk)Dj.

در این صورت، بنا به فرض استقرا، یعنی ΓBDj، و فرض قضیه یا Di به B بستگی ندارد یا xk یک متغیر آزاد B نیست.

اگر Dj به B بستگی نداشته باشد، بنا به قضیه ۲.۴، ΓDj و در نتیجه با کار زدن Gen داریم Γ(xk)Dj. بنابراین، ΓDi.

اکنون با بنداشت () داریم Di(BDi).

بنابراین بنا بر MP داریم ΓBDi.


از طرف دیگر، اگر xk یک متغیر آزاد B نباشد، با توجه به بنداشت (

(xk)(BDj)(B(xk)Dj).

از آنجا که ΓBDj، از Gen داریم Γ(xk)(BDj). و اکنون از MP داریم ΓB(xk)Dj. یعنی ΓBDi.

این استقرا را کامل می‌کند، و قضیه ما دقیقاً حالت خاص i=n است.


فرض قضیه ۲.۵ تا اندازه‌ای دست و پا گیر است. نتایج ضعیف‌تر زیر اغلب مفیدتر هستند.

■ نتیجه ۲.۶: پیامد استنتاج (۱)

اگر در استنتاج Γ,BC از قاعده تعمیم با متغیرهای سوردارشده که در B آزاد هستند استفاده نشده باشد آنگاه ΓBC.

توجه: به عبارت دیگر، اگر بتوانیم برای Γ,BC بدون استفاده از قاعده تعمیم بر روی متغیرهای آزاد B برهان بیاوریم، می‌توانیم برای ΓBC نیز برهان بیاوریم.


■ نتیجه ۲.۷: پیامد استنتاج (۲)

اگر B یک فرمول بسته باشد و داشته باشیم Γ,BC آنگاه خواهیم داشت ΓBC.


■ گسترش قضیه‌های ۲.۴ تا ۲.۷

در قضیه‌های ۲.۴ تا ۲.۷ نتیجه افزون زیر را می‌توان از اثبات‌ها بدست آورد.

اثبات جدید ΓBC (که در قضیه ۲.۴، دیدیم، یعنی ΓC) از قاعده Gen در فرمولی استفاده می‌کند که به برخی فرمول مانند ε در Γ بستگی دارد. این در صورتی است که در اثبات اصلی ΓBC قاعده Gen برای همان متغیر سوردار شده و بر روی فرمولی که به ε بستگی دارد کار زده شود.

(در اثبات قضیه ۲.۵، باید توجه داشت که Dj به یک مقدمه ε از Γ در اثبات اصلی بستگی دارد اگر و فقط اگر BDj در اثبات جدید به ε وابسته باشد.)

این نتیجه‌گیری تکمیلی زمانی مفید خواهد بود که بخواهیم قضیه استنتاج را چندین بار پشت سر هم به یک استنتاج معین اعمال کنیم - برای مثال، برای به دست آوردن

ΓD(BC)

از

Γ,D,BC.

که از این پس بخش جدایی ناپذیر بیان قضیه‌های ۲.۴ تا ۲.۷ در نظر گرفته خواهند شد.


■ مثال: کارزدن قضیه استنتاج

(x۱)(x۲)B(x۲)(x۱)B

فرض(x۱)(x۲)B۱.
(A۴)(x۱)(x۲)B(x۲)B۲.
۱, ۲, MP(x۲)B۳.
(A۴)(x۲)BB۴.
۳, ۴, MPB۵.
Gen(x۱)B۶.
Gen(x۲)(x۱)B۷.

بنابراین، از ۱ تا ۷ داریم:

(x۱)(x۲)B(x۲)(x۱)B

و این در حالی است که در این استنتاج کاربردی از تعمیم وجود ندارد که در آن متغیر سوردار شده یک متغیر آزاد (x۱)(x۲)B باشد. بنابراین، بنابر نتیجه ۲.۷ داریم:


تمرین (۷۳) (۲.۲۷ - ۲.۲۹):

قضیه‌های زیر را بدست آورید.

۲.۲۷:

a. (x)(BC)((x)B(x)C

حل:

فرض(x)(BC)۱.
فرض(x)B۲.
(A۴)(x)(BC)(BC)۳.
۱, ۳, MPBC۴.
(A۴)(x)BB۵.
۲, ۵, MPB۶.
۴, ۶, MP(x)C۷.
۷, Gen cc"C"۸.
۱-۸(x)(BC),(x)B(x)C۹.
۱-۲, ۲.۶(x)(BC)(x)B(x)C۱۰
۱, ۱۰, ۲.۶(x)(BC)((x)B(x)C)۱۱.

b. (x)(BC)((x)B(x)C

c. (x)(BC)((x)B(x))C

d. (y1)(yn)BB

e. ¬(x)B(x)¬B

۲.۲۸:

فرض کنید K یک تئوری مرتبه اول باشد و K# یک تئوری بنداشتی با بنداشت‌های زیر باشد:

a. (y1)(yn)B,

که در آن B (هر) بنداشی از K است و y۱,,yn(n۰) (هر) متغیر هستند (برای n=0 هیچ متغیر).

b. (y۱)(yn)(BC)[(y۱)(yn)B(y۱)(yn)C]

که در آن B و C فرمول و y۱,yn متغیر هستند.

علاوه بر این، تنها قاعده استنتاج K# قیاس استثنایی دارد.

نشان دهید که K# قضایای یکسان با K دارد. بنابراین، به قیمت اضافه کردن بنداشت‌های بیشتر، می‌توان از قاعده تعمیم صرف نظر کرد.

راهنمایی:

فرض کنید KB. با استقرا روی تعداد گام‌های برهان B در K نشان دهید که برای هر متغیرهای

y۱,,yn(n۰)

داریم:

K#(y۱)...(yn)B.

۲.۲۹:

گسترش قضیه‌های ۲.۴ تا ۲.۷ در بالا را اثبات کنید.


توجه: