مجموعه، کلاس و عضو

■ مجموعه، عضویت و کلاس

مجموعه‌ها و درواقع "نظریه مجموعه‌ها" یک نظریه استنتاجی است که به‌وسیله جرج کانتور پایه گذاری شده است. ریاضی‌دانان این نظریه را با چندین رویکرد‌ بیان می‌کنند. ازجمله این رویکردها, نظریه طبیعی مجموعه‌ها➥ است.

در این رویکرد، یعنی نظریه طبیعی مجموعه‌ها، استفاده از زبان طبیعی حداکثری است. اما بیان گوهری آن توسط دستگاه‌های اصل موضوعی است. ازجمله دستگاه‌های اصل موضوعی مجموعه‌ها می‌توان به دستگاه موسوم به زرملو-فرانکل / Zermelo-Fraenkel با کوته نام ZF اشاره کرد. این دستگاه به شمول اصلی موسوم به اصل انتخاب / Axiom of Choice (که در ادامه با همین عنوان آن را خواهیم دید) با کوته‌سازی ZFC و گاهی ZF+C، بنیاد ریاضیات جاری است. دستگاه دیگر موسوم به Neumann-Bernays-Godel با کوته‌سازی NBG است. دستگاه NBG و ZFC بسیار شبیه و همساز هستند. تفاوت عمده در مفهومی به نام "کلاس" در دستگاه NBG است که مجموعه به‌عنوان گونه‌ای از آن معرفی شده است. در بند ۲.۱، کلاس و مجموعه، کمی بیشتر دراین‌باره توضیح داده خواهد شد.

■ مجموعه و عضویت

داستان را از فرد معینی بنام پرویز آغاز می‌کنیم که هرروز صبح فرزند خود را از مسیر مشخص به مدرسه می‌رساند. وی درراه مدرسه هرروز چیزهای ثابتی، مانند تابلوی یک دندان‌پزشک، یک کیوسک مطبوعاتی، ماشین پارک شده مدیر مدرسه, خدمتگزار مدرسه، باجه تلفن و مانند آن‌ها را می‌بیند. وی می‌تواند برای همه این چیز‌ها یک نام انتخاب و ازآن‌پس با آن نام از آن‌ها یاد کند. فرض کنیم نام انتخابی وی "" باشد. اکنون می‌توان گفت نام یک مجموعه است و تعریف (تعریف مجموعه و نه تعریف مجموعه) می‌تواند "چیزهایی که پرویز در مسیر روزانه رساندن فرزند خود به مدرسه می‌بیند" باشد. گفته می‌شود که هر یک از این چیزها عضو هستند [یا عنصر یا در ، یا متعلق به هستند.]

در متونی که از زبان ریاضی برای گویایی و دقت بهره می‌برند، عبارت‌هایی کم‌و‌بیش مثل "فرض کنید ∑ یک مجموعه باشد ..." بسیار دیده می‌شود. در این موارد، اول و مهم‌ترین چیز این است که قرار است عناصری در میدان بحث بیایند که ازجمله عضو ∑ (یعنی عضو یک مجموعه) خواهند بود و بنابراین نقش اول آن‌ها عضویت در یک مجموعه است. اینکه، این عناصر کدام‌ها هستند، مسئله بعد است.

در ادامه این یادآور، تنها بر مبنای آنچه گفته شد و پس از بیان چند خاصیت مجموعه‌ها، ساختارهای ساخته‌شده‌ای (برای مثال در دانش کامپیوتر و رایانش) را می‌بینیم و مفاهیم بس مهمی چون شمارش، شمارش‌پذیری، مقایسه، مقایسه‌پذیری، انتخاب -اصل عجیب انتخاب، ترتیب، ترتیب‌پذیری، بی‌نهایت، بی‌نهایت‌ها و بسیاری دیگر را مرور خواهیم کرد.

■ کلاس و مجموعه

در بیشتر متون مقدماتی تا متوسط رده یا کلاس به معنای مجموعه است. با این اشاره ضمنی که اعضای آن خود هریک نام (یا نماینده) مجموعه‌های از پیش معینی می‌توانند باشند. یا اعضای آن اعضای یک مجموعه گسترده‌تر هستند ولی تأکید بر ویژگی یا ویژگی‌های مشخصی است که ممکن است همه اعضای آن مجموعه گسترده‌تر دارای این ویژگی(‌ها) نباشند.