■ مقدمه:

Introduction

این قسمت در ادامه قسمت قبل، اصول موضوعه در دستگاه ZF و پارادوکس راسل(۱)، سه اصل موضوع دیگر را مرور می‌کند که نقش عمده آنها مجموعه‌سازی بر مبنای مجموعه‌های موجود است. سه اصل قبلی به‌قرار ۱- گسترش؛ ۲- شمای جدایی؛ ۳- وجودی را می‌توان در قسمت قبل یافت.

۴. اصل موضوع دوگانه‌ساز توان مجموعه‌سازی را بطور متناهی توسعه می‌دهد. می‌گوید با داشتن دو مجموعه،‌ مجموعه دیگری هم ساختنی است، به قسمی که اعضای آن، آن دو مجموعه باشند➥؛
۵. اصل موضوع اجتماع توان مجموعه‌سازی را بطور متناهی بیشتر توسعه می‌دهد. می‌گوید با داشتن یک مجموعه،‌ مجموعه دیگری هم ساختنی است، به قسمی که اعضای آن، اعضای عناصر آن مجموعه باشند➥؛
۶. اصل موضوع مجموعه توانی توان مجموعه‌سازی را بازهم بطور متناهی بیشتر می‌گستراند. می‌گوید با داشتن یک مجموعه،‌ مجموعه دیگری هم ساختنی است، به قسمی که اعضای آن، زیرمجموعه‌های آن مجموعه باشند➥؛

■ اصل موضوع دوگانه‌ساز:

Pairing Axiom
اصل موضوع دوگانه‌ساز در ZF
.
Pairing axiom in zfc
.
برای هر مجموعه X و Y، مجموعه Z وجود دارد به قسمی که اعضای آن دقیقاً X و Y هستند. 
کلیک

■ اصل موضوع دوگانه‌ساز در ZF:

برای هر مجموعه X و برای  هر مجموعه Yمجموعه‌ای وجود دارد که اعضای آن دقیقاً  X و  Y هستند.

به‌عبارت‌دیگر:

 ∀X∀Y∃Z∀t[t ∈ Z ⇔ (t = X ∨ t = Y)]

↓•

این اصل خبر از وجود مجموعه‌ نمی‌دهد (دارای نهاده وجودی نیست.)

↓•

برای مثال اگر مجموعه‌های A و B موجود باشند آنگاه بنا بر اصل دوگانه‌ساز مجموعه C که اعضای آن فقط A و B هستند [که آن‌ را به‌صورت {A, B} نشان می‌دهیم] وجود دارد. اگر به‌جز C مجموعه دیگری، به فرض C'، با عضوهای فقط A و B وجود داشته باشد، آنگاه بنا به اصل گسترش C = C'، بنابراین مجموعه C [یعنی مجموعه برساخته از اصل دوگانه‌ساز) یکتا است و  بدون ابهام می‌توان نوشت:

C = {A, B} = {B, A}

■ اصل دوگانه سازی ضعیف:

اصل موضوع دوگانه ضعیف
.
Weak axiom of pairing
.
برای هر مجموعه A و B، مجموعه C وجود دارد به قسمی که A و B اعضای آن باشند. 
کلیک
Weakened axiom of pairing

می‌توان بجای اصل دوگانه‌سازی اصل موضوع: «برای هر مجموعه A و B، مجموعه C وجود دارد به قسمی که A∈C و B∈C» را جایگزین کرد. این جایگزین به اصل موضوع دوگانه ضعیف موسوم است. با کار زدن اصل جدایی می‌توان اصل موضوع دوگانه‌ساز را از اصل دوگانه ضعیف استنتاج کرد.

■ دوتایی نامرتب:

Unordered pairs

گیریم X و Y مجموعه باشند. در این صورت بنا به اصل دوگانه‌ساز {X,Y} وجود دارد و یکتا نیز است. به چنین مجموعه‌ها دوتایی نامرتب گفته. نامرتب ازاین‌جهت که: بنا به اصل گسترش {X,Y}={Y,X}

■ تکینه سازی:

Singleton Set

قضیه: گیریم X مجموعه؛ مجموعه‌ای وجود دارد که تنها عضو آن X است.

برهان:

ازآنجاکه X یک مجموعه ‌است، به‌موجب اصل دوگانه‌ساز مجموعه‌ای، به فرض U، وجود دارد که اعضای آن X و X است. پس U={X,X}. بنا به اصل گسترش U={X} و نیز U یکتا است.

X = Y ⇔ {X} = {Y}

به مجموعه‌ای چون {X} مجموعه تکینه می‌گویند.

•مثال↓

X = Y ⇔ {X} = {Y}

•مثال↓

از اصل وجودی داریم Ø یک مجموعه است. پس بنا بر تکینه سازی‌ ‌سازی {Ø} و نیز {{Ø}} مجموعه‌اند. بنا بر اصل دوگانه ‌سازی {Ø,{Ø}} و دوباره تکینه ‌‌سازی {{Ø,{Ø}}} نیز مجموعه‌اند.

•مثال↓

می‌توان با کار زدن پی‌درپی تکینه ‌‌سازی و دوگانه ‌سازی به هر تعداد متناهی مجموعه، که همه آنها صرفاً تکینه یا دوگانه نامرتب هستند، ساخت. برای نمونه:

Ø  اصل وجودی:

{Ø}  تکینه ‌سازی:

{Ø, {Ø}}  دوگانه سازی:

{Ø, {Ø, {Ø}}}

{Ø ,{Ø, {Ø, {Ø}}}}

{Ø ,{{Ø}, {Ø, {Ø}}}}

{Ø, {Ø ,{{Ø}, {Ø, {Ø}}}}}

•مثال. می‌توان نشان داد↓

۱- Ø ≠ {Ø}.

۲- Ø ∈ {Ø}.

۳- Ø ∉ Ø.

•مثال. ↓

 هر مجموعه عضو مجموعه‌ای است.

زیرا:

بنا به تکینه سازی برای هر مجموعه X مجموعه {X} وجود دارد.

■ اصل ضعیف وجودی و مجموعه تهی(۲):

Weakened axiom of pairing

در بند «اصل وجودی(۱)» به اصل ضعیف شده وجودی به‌قرار «مجموعه وجود دارد» اشاره شد. اکنون می‌توان از این اصل ضعیف شده وجود مجموعه تهی را به دست آورد. فرض کنید A، ازجمله، مجموعه‌ای باشد که بنا بر صورت ضعیف اصل وجودی وجود دارد. به‌موجب شمای جدایی مجموعه B به‌قرار زیر وجود دارد:

B={X∈A: X≠X}.

اما به‌موجب اصل گسترش هر مجموعه با خود مساوی است و درنتیجه Xای که دارای ویژگی X≠X باشد وجود ندارد. اما می‌دانیم B وجود دارد، پس B باید بدون عضو باشد. (اینجا را ببینید.)

■ دوتایی مرتب:

Ordered pair

•تعریف دوتایی مرتب↓

گیریم X‍ و Yمجموعه باشند، در این صورت به مجموعه {{X},{X, Y}}، که آن را با صورت (X,Y) [و نیز گاهی <X,Y>] نشان‌ می‌دهیم، دوتایی مرتب گفته.

↓•

به گونه دیگر به: 

 {x: x = {A} ∨ x = {A, B}}

یک دوتایی مرتب گفته.

↓•

بنا به اصل دوگانه‌سازی مجموعه (X,Y)، به‌شرط وجود X و Y، وجود دارد و بنا به اصل گسترش یکتا نیز است.

↓•

{A}={B,C} ⇔ A=B=C 

•ترتیب↓

مراد از نسبت دادن «مرتب» به مجموعه (X,Y) متمایز کردن (X,Y) از (Y,X) است. به‌عبارت‌دیگر، (A,B) و (X,Y) وقتی A≠X یا B≠Y از هم متمایزند. در بند بعد (ویژگی دوتایی مرتب) نشان داده دوتایی مرتب دارای ویژگی گفته‌شده است. بنابراین می‌توان در (X,Y) به X عنصر یکم دوتایی و به Y عنصر دوم دوتایی گفت.

•مثال↓

اگر دوتایی مرتب (X,Y) را مجموعه {X, {Y}} تعریف می‌کردیم آنگاه نمی‌توانستیم برای X و Y ترتیب قائل شویم.

• گردایه همه دوتایی‌های مرتب مجموعه نیست.↓

اگر گردایه همه دوتایی‌های مرتب مجموعه بود آنگاه می‌بایست، بنا به تعریف دوتایی مرتب، گردایه همه عناصر یکم آن مجموعه بود. این بنا به قضیه-پارادوکس راسل غیرممکن است. پس گردایه همه دوتایی‌های مرتب کلاس سره است.

■ قضیه. ویژگی دوتایی مرتب:

Property of ordered_pairs

گیریم  X, Y, U, V مجموعه، آنگاه:

 (X,Y) = (U,V) ⇔ X=U و Y=U.

برهان:

بنا به تعریف دوگانه مرتب نشان می‌دهیم:

[{{X}, {X, Y}} = {{U}, {U, V}}] ⇔ [X=U و Y=V].

در ادامه برهان برای کوتاه نویسی:

۱- از مجموعه سمت چپ = (داخل کروشه) با L و از مجموعه سمت راست آن با R یاد می‌کنیم؛

۲- از اصل موضوع گسترش با ا.گ یاد می‌کنیم.

بنا به ا.گ درستی فرمول زیر:

  [X=U و Y=V] ⇒ [{{X}, {X, Y}} = {{U}, {U, V}}]

فوری آشکار است. می‌ماند وارون آن یعنی شرطی

 [{{X}, {X, Y}} = {{U}, {U, V}}] ⇒ [X=U و Y=V]

 که در زیر آمده.

برهان را به شیوه برهان شرطی ادامه داده. پس مقدمه را فرض می‌گیریم. از این فرض و ا.گ داریم اعضای L و R باید یکسان باشند. می‌گوییم از دو حالت خارج نیست؛ یا {X}={U} است یا {X}={U,V} است. در هر دو حالت قضیه را ثابت می‌کنیم.

اگر {X} = {U}:

بنا به ا.گ داریم X=U. اکنون عنصر دیگر L، یعنی {X, Y}، باید یکی از دو عنصر {U} و {U, V} باشد.

اگر X=Y آنگاه بنا به ا.گ داریم {X, Y} = {X}. بنابراین می‌نویسیم:

L = {{X}, {X, Y}} = {{X}, {X}} = {{X}}    بنا به ا.گ:

ازآنجاکه {U,V} در R است باید در L نیز باشد، پس {U,V} = {X} و بنا به ا.گ:

{U,V}={X} ⇒ U=X و V=X

                ⇒ X=Y=U=V

                ⇒ X=U و Y=V.   همان‌که می‌خواستیم:

اگر X≠Y آنگاه بنا به ا.گ چنین نیست که {X,Y}={U}. چراکه در این صورت X=U و Y=U و درنتیجه X=Y خواهد شد، که این خلاف فرض اخیر است. اکنون ازآنجاکه در فرض اصلی U=X است پس {X,Y}={X,V}. بنا به ا.گ عنصر Y از {X,Y} باید یکی از عناصر {X,V}، یعنی مساوی X یا V باشد. اما Y≠X؛ پس به‌ناچار Y=V. سرانجام داریم: X=U و Y=V — یعنی همان‌که می‌خواستیم.

اگر {X} = {U,V}:

بنا به ا.گ داریم U=X و V=X. درنتیجه U=V؛ بنا به ا.گ {U,V}={U}. بنابراین:

R={{U}, {U,V}} = {{U}, {U}} = {{U}}    بنا به ا.گ:

اکنون مقدمه قضیه به‌صورت زیر درخواهد آمد:

{X, {X,Y}}={{U}}

اعضای  L باید در R نیز باشند، پس:

{X}={X,Y}={U}

بنا به ا.گ: X=Y=U و X=V. سرانجام داریم: X=U و Y=V — یعنی همان‌که می‌خواستیم.

■ اصل موضوع اجتماع:

•تعریف. مجموعه اجتماع↓

بنا به تعریف ∪(A) را مجموعه همه عناصری که متعلق به عناصرِ مجموعه A هستند گرفته و آن را مجموعه اجتماع‌ A می‌نامیم.

نکته مهم: این تعریف چیزی درباره وجود مجموعه ∪(A) نمی‌گوید.

یا بگونه دیگر:

∪(A) :def: {X: (∃Y)[Y∈A ∧ X∈Y]}.

•مثال↓

 اگر A={{A}, {B}} آنگاه ∪(A)={A, B}.

•مثال↓

 اگر A={{A, B}, {B}} آنگاه ∪(A)={A, B}.

•مثال↓

∪(Ø) = Ø

•مثال↓

گیریم F مجموعه {<a, a۱>, <b, b۱>, <c, c۱>} باشد.

بنا به تعریف دوتایی مرتب داریم:

F = {{a, {a, a۱}}, {b, {b, b۱}},{c, {c, c۱}}}

∪(F) = {a, {a, a۱}, b, {b, b۱}, c, {c, c۱}}

 ∪(∪(F)) ={a, a۱, b, b۱, c, c۱}

•مثال↓

اگر A ∈ B آنگاه A ⊆ ∪(B).

■ اصل موضوع اجتماع در ZF:

اصل موضوع اجتماع در ZF
.
Axiom of Union
.
برای هر مجموعه،  مجموعه‌ای وجود دارد که اعضای آن، عضوهای عناصر آن مجموعه باشند.
کلیک
اصل اجتماع ضعیف
.
Weak union axiom
.
برای مجموعه دلخواه S مجموعه U وجود دارد به قسمی که اگر برای مجموعه‌‌ای مانند A داشته x∈A و A∈S آنگاه x∈U
کلیک

گیریم X مجموعه؛ مجموعه‌ای وجود دارد که عناصر آن متعلق به عناصر X است.

یا بگونه دیگر:

∀X ∃Y [Y = ∪(X)]

نیز به‌صورت:

∀X∃Y∀Z[Z∈Y ⇔ ∃W(Z ∈W ∧ W ∈ X)]

■ اصل اجتماع ضعیف:

می‌توان بجای اصل موضوع اجتماع اصل موضوع: «برای هر مجموعه S مجموعه U وجود دارد به قسمی که اگر x∈A و  A∈S آنگاه x∈U» را داشت و به آن اصل اجتماع ضعیف گفت. با کار زدن اصل جدایی می‌توان اصل موضوع اجتماع را از اصل اجتماع ضعیف دست آورد.

■ اجتماع مجموعه‌ها:

تعریف: گیریم A و B مجموعه؛ بنا به دوگانه‌سازی {A, B} وجود دارد و بنا اصل اجتماع مجموعه‌ای که اعضای آن اعضای A و B هستند نیز وجود دارد؛ به مجموعه  اخیر اجتماع مجموعه‌های A و B گفته و آن را به‌صورت A∪B نشان می‌دهیم. به‌موجب اصل گسترش چنین مجموعه‌ای یکتاست.

بنابراین می‌توان نوشت:

A ∪ B :def: {X: X ∈ A V X ∈ B}

↓•

گیریم A∘, A۱, A۲, ...,An, ... مجموعه باشند (یعنی، به تعداد نامحدود مجموعه داشته باشیم) و N همچون مجموعه اعداد طبیعی وجود داشته باشد. بجای نوشتن عبارت:

A∘ ∪ A۱ ∪ A۲ ∪ . . . ∪ An ∪ . . .

فقط می‌نویسند: ∪{An: n∈N} .

↓•

گیریم Y، X و Z مجموعه؛ بنا بر اصل دوگانه‌ساز {X, Y} و {Z} نیز مجموعه؛ بنا بر اصل اجتماع {X,Y}∪{Z} نیز مجموعه با عضوهای X، Y و Z است. اکنون بدون ابهام می‌نویسیم:

 {X, Y, Z} = {X,Y}∪{Z}

نیز گیریم X∘, X۱, X۲, . . . ,Xn مجموعه، آنگاه

 Y={X∘}∪{X۱}∪{X۲}∪ . . . ∪{Xn}

مجموعه است و بدون ابهام می‌نویسیم:

{X∘, X۱, X۲, . . . ,Xn} = Y.

↓•

∪{X} = X.

↓•

X∈Y ⇒ (X ⊆ ∪Y).

•تعریف تالی مجموعه↓

گیریم X مجموعه؛ آنگاه بنا به اصل اجتماع X ∪ {X}، که آن را مجموعه تالی بی‌واسطه X می‌نامیم، مجموعه و یکتا خواهد بود. بنابراین می‌نویسیم:

X+ :def: X ∪ {X}.

•مثال↓

∘:  ∅ =  {}
۱: ∅+ =  ∅ ∪ {∅} = {∅}  
۲: (∅+)+ =  ∅ ∪ {∅} = {∅, {∅}}  
۳: ((∅+)+)+=  ∅+ ∪ {∅+} = {∅, {∅}} ∪ {{∅, {∅}} =
{∅, {∅}, {∅, {∅}}}		  
  . . .
. . .		    

•آیا مجموعه عضو خود است؟↓

اگر مجموعه عضو خود باشد، یعنی داشته باشیم X ∈ X، داریم  {X} ⊆ X و چون هر مجموعه زیرمجموعه خود است خواهیم داشت:

X ∪ {X} ⊆ X

و از طرفی آشکار است که X ⊆ X  ∪ {X}. پس خواهیم داشت:

 X ∪ {X} ⊆ X .

در این صورت تعریف تالی بی‌واسطه مجموعه بیهوده خواهد بود. اما؛ آیا مجموعه می‌تواند عضو خود باشد؟ پاسخ خیر است و توضیح بیشتر را در معرفی اصل موضوع بنیاد خواهیم دید.

•تعریف مجموعه استقرایی↓

به مجموعه‌ای به فرض A یک مجموعه استقرایی گویند اگر:

آ. مجموعه تهی عضو A باشد؛

ب. برای هر عضو A تالی آن نیز در A باشد.

•مثال↓

مجموعه‌ زیر اگر وجود داشته باشد یک مجموعه استقرایی است:

A = {∅, ∅+,(∅+)+, ((∅+)+)+, . . .} =
= {∅, {∅}, {∅, {∅}}, {∅, {∅}, {∅, {∅}}}, . . .}

آشکارا روند ساختن مجموعه A و هر مجموعه‌ای که استقرایی باشد بی‌پایان است. آیا چنین مجموعه‌ای با تعداد نامحدود (بی‌نهایت) عضو وجود دارد؟ جواب و توضیح را در معرفی اصل موضوع بی‌نهایت خواهیم دید.

■ اشتراک مجموعه‌ها:

•تعریف↓

گیریم A مجموعه؛ آنگاه قدر مشترک‌ A را به قرار زیر تعریف می‌کنیم:

∩(A) :def: {z ∈∪A: ∀t∈A (z ∈ t)}

•تعریف↓

گیریم A و Bمجموعه؛ آنگاه اشتراک مجموعه‌های A و B را به قرار زیر تعریف می‌کنیم:

A ∩ B :def: {X∈(A∪B): X ∈ A ∧ X ∈ B}

•مثال↓

A ∩ B = ∩{A, B}

• برهان:

X∈A∩B  ⇔ [X∈A ∧ X∈B]
             ⇔ (∃Y)[X∈Y ∨ Y∈{A, B}]
             ⇔ X ∈ ∩{A, B}.

•تعریف↓

 به مجموعه‌های A و B ازهم جدا  گوییم اگر و فقط اگر A ∩ B = ∅.

↓•

تعریف اشتراک مجموعه‌ها وابسته به اصل جدایی و اجتماع و یکتایی آن وابسته به اصل گسترش، است.

↓•

تعریف اشتراک مجموعه‌های A و B به‌صورت {X: X ∈ A ∧ X ∈ B} مجموعه‌ای را تعریف نمی‌کند. چراکه این عبارت دست آمده از شمای {X: P(X)} است که هیچ اصل موضوعی آن را معرفی نکرده است.

•مثال↓             ito to aximtc st thry verlag aringer 82

A∪B = ∪{A, B}

• برهان:  

X∈A∪B  ⇔ [X∈A ∨ X∈B]
             ⇔ (∃Y)[X∈Y ∧ Y∈{A, B}]
             ⇔ X ∈ ∪{A, B}.

•مثال↓

گیریم X مجموعه؛ آنگاه {{Y}: Y ∈ X} نیز مجموعه است. 

•مثال↓

X ≠ ∅ ⇔ ∃Y(Y = ∩(X)).

•تعریف↓

گیریم A و B مجموعه؛ آنگاه تفاضل دو مجموعه‌ B از A را به قرار زیر تعریف می‌کنیم:

A \ B :def: {z∈A: z ∉ B}

•تعریف↓

گیریم A و B مجموعه؛ آنگاه تفاضل متقارن دو مجموعه‌ A و B را به قرار زیر تعریف می‌کنیم:

A ∆ B :def: (X \ Y) ∪ (Y \ X).  Set Theory for the Working mathematician pg9

•مثال↓

Introduction to Axiomatic Set Theory G. Takeuti w: M Zaring  pg 16

۱. A⊆B ∧ B ⊆ C ⇒ A ⊆ C;

۲. A⊆B ⇔ B=(A∪B);

۳. A⊆A∪B;

     ⇒x∈A

     ⇒x∈A ∨ x∈B    افزایش

     ⇒x∈A∪B               ∪ تعریف

۴. A∩B⊆B;

     ⇒x∈A ∧ x∈B         ∩ تعریف

     ⇒x∈B              کاهش

۵. A⊆B ⇒[∪(A)⊆∪(B)];

۶. X∆Y = Y∆X;

۷. X∆Y = (X ∪ Y) \  (X ∩ Y);

۸. (X∆Y)∆Z = X∆(Y∆Z).

■ اصل موضوع مجموعه توانی:

•تعریف۱↓

گیریم A مجموعه؛ آنگاه مجموعه توانی‌ A را، صرف‌نظر از وجود یا وجود نداشتن، به‌قرار زیر تعریف می‌کنیم:

Ƥ(A) :def: {z: z ⊆ A} Introduction to Axiomatic Set Theory G. Takeuti w: M Zaring p15

یا بگونه دیگر:

•تعریف۲↓

مجموعه توانی
.
Power set
.
برای هر مجموعه، مجموعه‌ای وجود دارد که اعضای آن، همه زیرمجموعه‌های آن مجموعه است.
کلیک
اصل توان ضعیف
.
Weak power axiom
.
برای هر مجموعه S مجموعه P وجود دارد به قسمی که اگر مجموعه‌ای بفرض x زیرمجموعه S  باشد آنگاه عضو P خواهد بود.
کلیک

گیریم A مجموعه؛ آنگاه مجموعه همه زیرمجموعه‌های آن را مجموعه توانی‌ A گوییم.

■ اصل موضوع مجموعه توانی در ZF:

مجموعه‌ توانی هر مجموعه وجود دارد.

به‌عبارت‌دیگر:

    ∀X∃Y∀Z(Z∈Y ⇔ Z ⊆ X) Classic Set Theory A guided independent study pg 82 Power set axiom

•مثال↓

۱. Ƥ(Ø) = {Ø}.

۲. Ƥ({A}) = {Ø, {A}}.

۳. Ƥ({A, B}) = {Ø, {A}, {B}, {A, B}}

۴. گیریم A و B مجموعه؛

 اگر برای هر Ƥ(A)∋X داشته باشیم B ⊆ X آنگاه B ⊆ ∩Ƥ(A)).

۵. گیریم A و B مجموعه؛

 اگر برای هر Ƥ(A)∋X داشته باشیم X ⊆ B آنگاه ∪Ƥ(A) ⊆ B.

■■ اصل توان ضعیف:

می‌توان بجای اصل مجموعه توانی اصل «برای هر مجموعه S مجموعه P وجود دارد به قسمی که اگر x⊆S آنگاه x∈P» را داشت و به آن اصل توان ضعیف گفت. با کار زدن اصل جدایی می‌توان اصل مجموعه توانی را از اصل توان ضعیف دست آورد.

■ ضرب دکارتی مجموعه‌ها:

•تعریف↓

گیریم A و B مجموعه؛ آنگاه ضرب دکارتی مجموعه‌های A در B، که آن را A×B می‌نامیم، مجموعه همه دوتایی مرتب (x,y) است به قسمی که x∈A و y∈B. [این تعریف نه درباره وجود A×B و نه در صورت وجود از یکتایی آن چیزی می‌گوید.]

تعریف بالا گرچه قابل‌فهم، اما نادقیق (غیر صوری) است. در ادامه نشان داده ضرب دکارتی دو مجموعه وجود دارد و نیز یکتاست، بعلاوه تعریفی صوری برای آن می‌آوریم.

فرض کنیم z عضوی از A×B باشد. بنابراین z که یک دوتایی مرتب است باید به‌صورت:

 {{x}, {x, y}} باشد به قسمی که x ∈ A و y ∈ B.

درنتیجه x و y هردو متعلق به A ∪ B خواهند بود که می‌دانیم وجود دارد.

از طرفی {x, y} ⊆ A ∪ B، پس: {x, y} ∈ Ƥ(A ∪ B).

به همین شیوه داریم:

 z = {{x}, {x, y}} ⊆ Ƥ(A ∪ B)

بنابراین:

 z = {{x}, {x, y}} ∈ Ƥ(Ƥ(A ∪ B)).

در رابطه بالا Ƥ(A∪B) و Ƥ(Ƥ(A∪B)) بنا بر اصل مجموعه توانی وجود دارند. اکنون ضرب دکارتی مجموعه‌ها را به‌قرار زیر تعریف می‌کنیم:

A×B = {z ∈ Ƥ(Ƥ(A ∪ B)): ∃x ∈A ∃ y  ∈ B (z = (x, y))}Classic Set Theory A guided independent study pg 86

اکنون می‌توان گفت بنا به شمای گیرایش A×B وجود دارد و بنا به اصل گسترش یکتاست.

■ تابع  در ZF(۱):

• ↓

گیریم F مجموعه‌ای از دوتایی‌های مرتب باشد. گوییم F یک تابع است اگر:

∀x∀s∀t[((x, s)  ∈ F ∧ (x, t)  ∈ F) ⇒ s = t]

•به‌عبارت‌دیگر↓

مجموعه  F یک تابع است اگر:

 (آ) اگر اعضای آن دوتایی‌ مرتب باشند؛

(ب) اگر دو عضو آن به فرض <x, t> و <x, s> مساوی باشند، آنگاه s = t.

•مثال↓

مجموعه F به‌قرار F = {<a, a۱>, <b, b۱>,<c, c۱>} یک تابع در خود است

•مثال↓

مجموعه F به‌قرار F = {<a, a۱>, <b, b۱>,<c, b۱>} یک تابع در خود است

•مثال↓

مجموعه F به‌قرار F = {<a, c۱>, <b, c۱>,<c, c۱>} یک تابع در خود است

•مثال↓

مجموعه F به‌قرار F = {<a, a۱>, <b, b۱>,<a, b۱>} یک تابع در خود نیست.

•مثال↓

به همان روش که در درستی تهی آمد می‌توان نشان داد که ∅ یک تابع است.

•تعریف دامنه تابع↓

گیریم F یک تابع باشد. دامنه تابع F را که به‌صورت Dom(F) می‌نویسیم به‌قرار زیر تعریف می‌شود:

Dom(F)={x ∈ ∪(∪(F)): ∃y <x, y> ∈ F}

•مثال↓

گیریم F تابع {(a, a۱), (b, b۱), (c, c۱)} باشد.

بنا به تعریف دوتایی مرتب داریم:

F = {(a, a۱), (b, b۱), (c, c۱)>}

F = {{a, {a, a۱}}, {b, {b, b۱}},{c, {c, c۱}}}

∪(F) = {a, {a, a۱}, b, {b, b۱}, c, {c, c۱}}

 ∪(∪(F)) ={a, a۱, b, b۱, c, c۱}

Dom(F)={a, b, c}

•تعریف برد تابع↓

گیریم F یک تابع معین  باشد. برد تابع F را که به‌صورت Range(F) می‌نویسیم به‌قرار زیر تعریف می‌شود:

Range(F)={y ∈ ∪(∪(F)): ∃x <x, y> ∈ F}

•مثال↓

گیریم F تابع {<a, a۱>, <b, b۱>, <c, c۱} باشد.

بنا به تعریف دوتایی مرتب داریم:

F = {<a, a۱>, <b, b۱>,<c, c>}

F = {{a, {a, a۱}}, {b, {b, b۱}},{c, {c, c۱}}}

∪(F) = {a, {a, a۱}, b, {b, b۱}, c, {c, c۱}}

 ∪(∪(F)) ={a, a۱, b, b۱, c, c۱}

Range(F)={a۱, b۱, c۱}

■ تابع  در ZF(۲):

•تعریف تابع↓

↓•

تعریف تابع را دیدیم. اکنون با گسترش تعریف آن، مفهوم کلی‌تر تابع را معرفی می‌کنیم. خواهیم دید این تعریف دربرگیرنده تعریف قبلی است.

گیریم X، Y و F مجموعه به قسمی که  F ⊆ X × Y. گوییم F یک تابع با دامنه X و هم‌ دامنه Y است، اگر:

∀x(x∈X ⇒ ∃y(y∈Y ∧ <x, y>∈F ∧ ∀s(<x, s>∈F ⇒ s=y))

•مثال↓

هر تابع در خود یک تابع است.

•نمادگذاری↓

چنانچه رسم است تابع F با دامنه X و هم دامنه Yرا (با در نظر داشت سرشت مجموعه‌ای آن) به‌صورت زیر نشان می‌دهیم:

f : X → Y

و بجای (x, y) ∈ F می‌نویسیم: f (x) = y.

• تصویر یک مجموعه تحت تابع↓

به گردایه همه f (x) ها، تصویر X تحت f گفته.

•تعریف. مجموعه توابع↓

گیریم X، Y مجموعه؛ XY را مجموعه همه توابع  از Y در X تعریف می‌کنیم. ازآنجاکه هر چنین تابعی زیرمجموعه Y × X است و بنابراین یک عضو Ƥ(Y × X) است، بنا به اصل جدایی مجموعه XY می‌تواند وجود داشته و نیز بنا به اصل گسترش یکتا باشد.