■ مقدمه

کلید واژه این قسمت که در ادامه قسمت قبل، یعنی مجموعه و اعمال روی آن، می‌آید  «رابطه» است. بنابراین واکاوی دقیق مفهوم رابطه آماج این قسمت است. گونه‌ای هستی شناسی یک مجموعه مفهوم نگاری هندسه وارانه (اصل موضوعی) رابطه‌مندی بین عناصر آن مجموعه است. حاصل چنین مفهوم نگاری به ساختار آن مجموعه موسوم است. به چنین مجموعه‌ای عالم سخن نیز گفته می‌شود.  به دیگر سخن، مراد از یک ساختار، به فرض U، عبارت است از (۱): یک مجموعه، به فرض D، موسوم به عالم سخن و (۲): مجموعه دیگری، به فرض R، شامل روابط مفهوم نگاری شده در D. ساختار U را به صورت دوتایی مرتب:

U = <D, R >
R
= {R۱, R۲, . . . }

 که در آن Ri یک رابطه در D است می‌نمایانند.

 اکنون، آنچه باقی می‌ماند اینکه رابطه چیست، انواع آن کدام است و اعمال روی آن چگونه است؟

جهان فون نویمان را ببینید.


■ دوتایی‌ مرتب

گاهی نیاز است برای دو عنصر به فرض  a و b به گونه‌ای ترتیب قائل شویم و برای مثال a را عضو اول و b را عضو دوم بنامیم. در این مواقع ترتیب مورد نظر را به‌صورت <a, b> بیان کرده و به آن دوتایی مرتب (یا زوج مرتب) گفته. بنابراین وقتی a و b مساوی نباشند <a, b> و  <b, a> نیز متمایزاند. به عبارت دیگر:

<a, b> = <b, a> a = b.

دوتایی مرتب - نظریه مجموعه ها (۳) -  (ریاضیات)  

به‌جا است پرسید سرشت <x, y> چیست؟ پاسخ آن است که یک دوتایی مرتب مجموعه‌ای است که به گونه زیر تعریف (ساخته) می‌شود:

 <x, y> = {{x}, {x, y}}

 <y, x> = {{y}, {x, y}}

به همین نحو می‌توان پای سه‌تایی مرتب مانند <b, a, c> و به‌طورکلی n تایی‌ مرتب مانند:

 را به میان آورد <a۱, a۲, ...,an>.


توضیح

 دوتایی مرتب <x, y> را به‌صورت (x,  y) نیز می‌نویسند.


در بحث اعداد اردینال با مفهوم دقیق رتبه در ریاضی روبرو خواهیم شد.



■ ضرب دکارتی مجموعه‌ها

اگر X و Y مجموعه باشند آنگاه ضرب دکارتی X در Y مجموعه همه دوتایی‌های مرتب است، به قسمی که عنصر اول آن‌ها در X و عنصر دوم آن‌ها در Y باشد.

به‌عبارت‌دیگر، ضرب دکارتی دو مجموعه X و Y، که با X×Y نشان می‌دهیم، به‌قرار زیر تعریف می‌شود:

X×Y={(x,y)| xX yY}.

 

 

مثال:  فرض کنید A و B به ترتیب {a ،b ،c} و {۱ ،۰} باشند، آنگاه

A×B={(a, ۰), ( b, ۰), (c, ۰), (a, ۱), (b, ۱), (c, ۱)};
B×A={(۰, a), (۰, b), (۰, c), (۱, a), (۱, b), (۱, c)}.

   BA                        ×B  
/\  \ 
 ۰   ۱ a b c
/|\/|\/\ /\ /\
abb abb۰ ۱ ۰ ۱ ۰ ۱
            

 

مثال

خط، صفحه و فضای اقلیدسی نمایش هندسی(اقلیدسی) مجموعه‌های زیر هستند ( به ترتیب از چپ به راست):

R۱= RR۲ = R × R;   R۳=R × R × R.


اگر مجموعه A دارای n عضو و مجموعه B دارای m عضو باشد، آنگاه A×B دارای n×m عضو خواهد بود.


ضرب دکارتی دو مجموعه، خلاف ضرب اعداد، خاصیت جابجایی ندارد. یعنی، چنین نیست که همیشه A×B مساوی B×A باشد.


مثال

 ∅ × X =  X × ∅ = ∅


قضیه

گیریم A و B مجموعه؛ آنگاه:

A × B = B × A (A = ∅ B = ∅) A = B.

برهان:

(از چپ به راست) فرض کرده A × B = B × A. اگرA = ∅ B = ∅  آنگاه نتیجه حاصل است. پس فرض کرده:

(A ≠ ∅ B ≠ ∅)

x اختیاری را متعلق به A گرفته و چون B تهی نیست پس عنصری به فرض y‌ در آن هست. از آنجا که (x, y)∈A×B و A×B=B×A پس x متعلق به B است. به همین شیوه می‌توان نشان داد اگر x متعلق به B آنگاه x متعلق به A نیز خواهد بود و در نتیجه A=B.

(از راست به چپ) سه حالت زیر ممکن است.

۱- A = ∅. در این حالت:

A × B = ∅ × B = ∅ = B × ∅ = B × A .

۲- B = ∅. که مانند حالت ۱ است.

۳- A = B. در این حالت:

 A × B = A × A = B × A.



■ رابطه

از اصل موضوع جدایی می‌دانیم کارزدن ویژگیِ دلخواهی روی هر مجموعه به پیدایش زیرمجموعه‌ای یکتا از آن مجموعه خواهد شد؛ به ویژه اگر مجموعه مورد نظر حاصل ضرب دکارتی دو مجموعه به فرض A در B، یعنی A × B، باشد آنگاه به زیرمجموعه دست آمده یک رابطه از A در B گفته. 


مثال

دو مجموعه A و B به فرض، {a ،b ،c} و {۱ ،۰} را در نظر بگیرید. هریک از دو مجموعه زیر:

 R۱ = {(۰, a), (۱, b), (۰, c)}A × B 
 R۲ = {(۰, ۱), (۱,۰), (۱,۱)} A × A  

دو رابطه متمایز را تعریف می‌کنند. می‌توان نوشت:

 (۱, b) R۱

و خواند:

۱ در رابطه R۱ با b است.

 هم‌چنین ‌نوشت:

  (۱, b) R۲

و خواند:

۱ در رابطه R۲ با b نیست.


مثال

فرض کنید S مجموعه همه دانشجویان، C مجموعه همه درس‌های ارایه شده، R مجموعه همه اتاق‌های خوابگاه و P مجموعه همه استادان دانشگاه آبان باشد. در این صورت روابط زیر در این عالم سخن قابل تمیز‌اند:

۱.  L = {(s, r) S × R | دانشجوی s در اتاق r ساکن است}.

۲.  E = {(s, r) S × C | دانشجوی s در درس c ثبت نام کرده}.

۳.  T = {(c, p) C × P | درس c توسط استاد p تدریس می‌شود}.


توضیح

وقتی مجموعه B همان A باشد آنگاه به جای گفتن رابطه از A در A فقط گفته رابطه در A.


توضیح

علاوه بر نوشتن (x, y)R  برای نشان دادن در رابطه R بودن x با  y، آن را به‌صورت xRy نیز می‌نویسند.


رابطه nتایی

بطور کلی، هر مجموعه‌ای از n تایی‌های‌ مرتب بیان کننده یک رابطه nتایی است. برای مثال، مجموعه سه‌تایی‌های مرتب:

 (x, y, z)R×R×R به قسمی که x بین y و z باشد،

 بیان رابطه به فرض R به قرار:

{(x, y, z)|x, y, z R & y < x < z} 

در R است و برای مثال داریم:

(۱۳, ۱۱, ۲۱) R ; (۱۳, ۱۴, ۲۱) R

■ مثال‌هایی از رابطه:

فرض کنید E مجموعه انسان‌ها و Rz و Rm رابطه‌های یکتایی ازهم جدای زن بودن و مرد بودن در E باشند:

دوتایی‌هایی که اولی زن و دومی مرد است:

 

R۱ = {(x, y)|Rz(x) Rm(y)}

زن‌ و‌ شوهری:

R۲ = {(x, y)|(x R۱ y یا y R۱ x) (است x همسر y یا y همسر x)}

پدر/مادر فرزندی:

R۳ = {(x, y)| x, y(Rz Rm)  (است x فرزند y)}

زن‌ و شوهر‌های با حداقل یک فرزند دختر:

R۴ = {(x, y, z)|x R۲ y x R۳ z y R۳ z z Rz}

زن و شوهرهای با حداقل دو فرزند دختر:

R۵ = {(x, y, w, z)|(x, y, w) R۴  (x, y, z) R۴ wz}

مثال

 فرض کنید A مجموعه انسان‌ها و R رابطه:

 {(x, y)|x, yA است y برادر x}

باشد. نیز فرض کنید پرویز آقایی برادر پروین خانمی باشد؛ در این صورت (از چپ به راست) می‌نویسیم:

(پروین, پرویز)R

 یا

پروین R پرویز

  نیز

(پرویز, پروین) R

یا

پرویز R پروین


رابطه وارون

فرض کنید مجموعه R یک رابطه از A در B، یعنی RA×B، باشد. از آنجا که، به ضرورت A×B و B×A مساوی نیستند، پس به ازای تعریف R رابطه دیگری از B در A موسوم به رابطه وارون R که آن را با R نشان می‌دهند را نیز خواهیم داشت. روشن است که: RB×A. بنابراین:

R = {(b, a) B × A: (a, b) R}.


 

■ رابطه تهی

مجموعه تهی زیرمجموعه هر مجموعه‌ای‌ است، بنابراین مجموعه تهی یک رابطه است و می‌توان از آن بدون ‌ابهام  همچون رابطه تهی نام ‌برد زیرا فقط یک رابطه تهی وجود دارد.


■ دامنه رابطه

فرض کنید R یک رابطه در A باشد. دامنه رابطه  R، که آن را با Dom(R) نشان می‌دهیم، مجموعه xهای متعلق به A است، به قسمی که برای حداقل یک yA داشته باشیم: (x, y)R .

Dom(R)={x A|a A, x R a}


مثال

 اگر R رابطه برادر بودن در مجموعه انسان‌ها باشد، آنگاه دامنه R مجموعه همه انسان‌هایی است که دست کم برادر یک نفر هستند. [آشکار است که هیچ مادری در دامنه این رابطه نیست.]


■ قلمرو رابطه

فرض کنید R یک رابطه در A باشد. قلمرو رابطه R، که آن را با Rng(R) نشان می‌دهیم، مجموعه yهای متعلق به A است، به قسمی که برای حداقل یک xA داشته باشیم: (x, y)R .

Rng(R)={y A|bA, b R x}


مثال

اگر R رابطه برادر بودن در مجموعه انسان‌ها باشد آنگاه قلمرو R مجموعه همه انسان‌هایی است که دارای حداقل یک برادر هستند. [یک مادر ممکن است در قلمرو این رابطه باشد.]


■ میدان رابطه

فرض کنید R یک رابطه در A باشد. اجتماع دامنه و قلمرو  R را میدان رابطه  R می‌نامند.

Field(R)=Dom(R) Rng(R)

مثال

اگر R رابطه برادر بودن در مجموعه انسان‌ها باشد آنگاه میدان R مجموعه همه انسان‌هایی است که برادر کسی هستند یا دارای برادر هستند. برای مثال اگر پرویز برادر پروین باشد آنگاه هر دو عضو میدان R هستند.


■ ترکیب رابطه‌ها

فرض کنید R یک رابطه از A در B و S یک رابطه از B در C باشد. ترکیب رابطه‌های  R با S که آن را به صورت SR می‌نویسند رابطه‌ای است که مطابق زیر تعریف می‌شود.

S R = {(a, c) ∈ A × C|b B; (a, b) R, (b, c) S}.


_______________

مثال (تکرار برای یادآوری)

فرض کنید S مجموعه همه دانشجویان، C مجموعه همه درس‌های ارایه شده، R مجموعه همه اتاق‌های خوابگاه و P مجموعه همه استادان دانشگاه آبان باشد. در این صورت از جمله روابط زیر در این عالم سخن قابل تمیز‌اند:

۱.  L = {(s, r) S × R | دانشجوی s در اتاق r ساکن است}.

۲.  E = {(s, c) S × C | دانشجوی s در درس c ثبت نام کرده}.

۳.  T = {(c, p) C × P | درس c توسط استاد p تدریس می‌شود}.

_______________
رابطه چیست؟ - نظریه مجموعه ها (۳) -  (ریاضیات)
نظریه مجموعه‌ها: مجموعه و رابطه
_______________

مثال

 اگر E و T رابطه‌های آمده در مثال بالا باشند، آنگاه ترکیب TE که رابطه‌ای از C به P است به قرار زیر خواهدبود:

T E = {(s, p) S × P: cC; (s, c) ∈ E, (c, p) ∈ T}

مجموعه همه دوتایی های مرتب (دانشجو، استاد) به قسمی که، دانشجو در درسی که استاد تدریس میکند ثبت نام کرده.

_______________

مثال

E = {(c, s) C × S: (s, c) ∈ E}

= {(c, s) C × S: دانشجوی s ثبت نام شده در درس c است}

مجموعه همه دوتایی های مرتب (درس، دانشجو) به قسمی که، دانشجو در آن درس ثبت نام کرده.

_______________

مثال

E L = {(r, c) R × C: s S; (r, s) L, (s, c) E}

= {(r, c) R × C: s S; (s, r) L, (s, c) E}

= {(r, c) R × C: دانشجویی هست در اتاق r ساکن است و در درس c ثبت نام شده }

مجموعه همه دوتایی های مرتب (اتاق، درس) به قسمی که، دانشجو ساکن اتاق در آن درس ثبت نام کرده.

_______________

مثال

E E = {(s, t) S × S: c C; (s, c) E, (c, t) E}

= {(s, t) S × S| درسی هست که دانشجوی s و دانشجوی t هردو در آن ثبت نام کرده‌اند}

مجموعه همه دوتایی های مرتب (دانشجو۱، دانشجو۲) به قسمی که، درسی باشد که دانشجو۱ و دانشجو۲ در آن درس ثبت نام کرده.

_______________

مثال

E E = {(c۱, c۲) C × C: s S; (c۱, s) E, (s, c۲) E}

= {(c۱, c۲) C × C: دانشجویی هست که در هر دو درس c۱ و  c۲ ثبت نام شده‌ }

مجموعه همه دوتایی های مرتب (درس۱، درس۲) به قسمی که، دانشجویی باشد  که در درس۱ و درس۲ ثبت نام کرده.

 

______________

توضیح

همانطور که در مثال پیش دیده می‌شود، چنین نیست که همیشه:

 R۱ ◦ R۲ = R۲ ◦ R۱.

_______________

مثال

T (E L) =

= {(r, p) R × P: c C; [(r, c)E L, (c, p)T]}

= {(r, p) R × P|s S; بعضی دانشجو که در اتاق r ساکن است در درس c ثبت نام شده و c تدریس شده توسط p است}

= {(s, t) S × S| دانشجویی هست که در اتاق r ساکن است و در بعض درس تدریس شده توسط p ثبت نام شده}

_______________

مثال

( T E) L == {(r, p) R × P: s S; [(r, s)L, (s, p)T R]}

= {(r, p) R × P: s S; دانشجو s در اتاق r ساکن است و در بعضی درس تدریس شده توسط p ثبت نام شده}

= {(r, p) R × P: دانشجویی که در اتاق r ساکن است و در بعض درس تدریس شده توسط p ثبت نام شده}

_______________

■ چند ویژگی

فرض کنید R یک رابطه از A در B و S یک رابطه از B در C و T یک رابطه از C در D باشد. در این صورت داریم:

۱. ((R)) = R.

۲. Dom(R) = Rng(R).

۳. Rng(R) = Rng(R).

۴. T ◦ (SR) = (TS) ◦ R.

۵. (SR)RS.


■ رابطه همانندی

 برای مجموعه دلخواه A به رابطهEA={(x, x) | x A}  رابطه همانندی [نیز رابطه تساوی و رابطه قطری] گفته. رابطه همانندی هر عنصر A را به خود آن عنصر ربط می‌دهد.


■ تحدید رابطه

فرض کنید R یک رابطه در A و نیز BA باشد؛ آنگاه به رابطه تعریف شده در زیر، که آن را با R|B نشان داده، تحدید رابطه R به B گویند:

R|B = R(B×B) = {(x, y)|(xy)∈R xyB}


■ رابطه بازتابی

رابطه دوتایی R را رابطه بازتابی گویند اگر:

 برای هر عضو میدان  R مانند x داشته باشیم: xR x.

رابطه  (بزرگ‌تر یا مساوی) و نیز (کوچک‌تر یا مساوی) در Z بازتابی‌اند ولی > (کوچک‌تر) و < (بزرگ‌تر) چنین نیستند.


■ رابطه متقارن

رابطه دوتایی  R را رابطه متقارن گویند اگر و فقط اگر:

برای هر دو عضو میدان R مانند x, y، اگر xR y آنگاه yR x.

رابطه برادری در انسان‌ها یک رابطه متقارن نیست؛ زیرا از این‌که a برادر b است لزوماً به دست نمی‌آید b برادر a است. همچنین رابطه در Z متقارن نیست. رابطه تساوی در هر میدان متقارن است.


■ رابطه پادمتقارن

رابطه دوتایی  R را  رابطه پادمتقارن گویند اگر و فقط اگر :

برای هر دو عضو میدان  R مانند x, y، اگر xR y و  yR x آنگاه  y = x.

به‌عبارت‌دیگر:

 برای هر x و y در میدان R به قسمی که yx چنین نیست که xR y و yR x.

 رابطه < در Z پادمتقارن است. رابطه‌های:

 {(۱,۲) ,(۲, ۳),(۴, ۱)}

و

  {(۱,۱), (۳, ۳)}

در{۱, ۲, ۳, ۴}  پادمتقارن هستند.


■ رابطه ترایایی

رابطه دوتایی R را رابطه ترایایی گویند اگر اگر و فقط اگر برای هر سه عضو میدان  R مانند x, y, z:

  xR y yR z xR z.

 رابطه   و  در Z ترایایی‌اند. رابطه برادری در انسان‌ها ترایایی نیست.


■ مجموعه مرتب جزئی

به مجموعه‌ای، به فرض A، که در آن، یک رابطه ترتیبی، به فرض R، تعریف شده، یک مجموعه مرتب جزئی  گفته. در این صورت می‌گوییم R مجموعه A را مرتب شده.

 مرتب جزئی بودن مجموعه‌ای مانند A توسط رابطه‌ای به فرض R را به‌صورت (A, R) یا <A, R> نشان می‌دهند. بنابراین می‌توان نوشت (Z, ≤)، (Z, ≥)، (Ƥ(A),) و نیز نوشت (Z+,|) که در آن | رابطه شمردن است (x|y؛ اگر y ،x را بشمرد).

به یک مجموعه مرتب جزئی یک Poset  (Partially ordered set) نیز گفته می‌شود.

   مجموعه {۴، ۳، ۲، ۱} با رابطه تقسیم‌پذیری، |، یک مجموعه مرتب جزئی است

■ کوچک‌ترین عنصر


فرض کنید (A, R) یک مجموعه مرتب جزئی باشد. در این صورت، اگر a در A وجود داشته به قسمی که برای هر عنصر مثل x در  A داشته باشیم  aRx، آنگاه به a کوچک‌ترین عنصر [نیز: اولین عنصر ] A گفته.

به‌آسانی می‌توان نشان داد که اولین عنصر برای هر مجموعه، در صورت وجود، یکتا است (با بهره بردن از پادمتقارن بودن رابطه ترتیبی جزئی.)


■ بزرگ‌ترین عنصر

فرض کنید (A, R) یک مجموعه مرتب جزئی باشد. در این صورت، اگر  b در A وجود داشته به قسمی که برای هر عنصر مثل x در  A داشته باشیم  xRb، آنگاه به b بزرگ‌ترین عنصر [و نیز:  عنصر آخرین] A گفته.

به‌آسانی می‌توان نشان داد که آخرین عنصر برای هر مجموعه، در صورت وجود، یکتا است (با بهره بردن از پادمتقارن بودن رابطه ترتیبی.)


■ نمایاندن رابطه (نمودار هس)

ممکن است بتوان یک رابطه ترتیبی جزئی در یک مجموعه را توسط نموداری موسوم به نمودار هس  نمایش داد. در مثال‌های زیر از نمودار هس برای نمایش رابطه استفاده شده.

مثال ۱- رابطه  x|y، در مجموعه {۴، ۳، ۲، ۱}:

رابطه و نمودار هس hass - نظریه مجموعه ها (۳) -  (ریاضیات)
نمودار هس برای مثال ۱.  در این مثال اولین عنصر وجود دارد ولی آخرین عنصر وجود ندارد.

مثال ۲- رابطه کوچک‌تری، >، در مجموعه {۴، ۳، ۲، ۱}:

رابطه و نمودار هس hass - نظریه مجموعه ها (۳) -  (ریاضیات)
نمودار هس برای مثال ۲.  در این مثال اولین عنصر و هم آخرین عنصر وجود دارد.

مثال ۳- رابطه R در مجموعه {۱۲، ۶، ۵، ۴، ۳} به قسمی که: xRy اگر و فقط اگر x مقسوم‌علیه y یا y مقسوم‌علیه x باشد (رابطه R یک رابطه ترتیبی جزئی نیست، زیرا پادمتقارن نیست.)

رابطه و نمودار هس hass - نظریه مجموعه ها (۳) -  (ریاضیات)
نمودار هس برای مثال ۳.   در این مثال نه اولین عنصر و نه آخرین عنصر وجود ندارد.

مثال ۴- رابطه Rدر مجموعه {۲۴، ۱۵، ۱۲، ۱۰، ۸، ۶، ۵، ۳، ۲} به قسمی که:  xRy اگر x  ،y را بشمرد.

رابطه و نمودار هس hass - نظریه مجموعه ها (۳) -  (ریاضیات)
نمودار هس برای مثال ۴.   در این مثال نه اولین عنصر و نه آخرین عنصر وجود ندارد.

مثال ۵- رابطه در مجموعه توانی مجموعه {a, b, c}.

رابطه و نمودار هس hass - نظریه مجموعه ها (۳) -  (ریاضیات)
نمودار هس برای مثال ۵.   در این مثال نه اولین و نه  آخرین عنصر وجود دارد.

■ ترتیب واژه نویسی (الفبایی)

فرض کنید (A, <) و (B, <) دو مجموعه مرتب جزئی باشند. مراد از ترتیب واژه نویسی) در A×B وجود رابطه ترتیبی > در A×B است، به قسمی که، برای  (a۱, b۱)∈A×B و (a۲, b۲)∈B داشته باشیم:

   (a۱, b۱) ∈A×B < (a۲, b۲) ∈B 

اگر و فقط اگر:

  a۱ < a۲ یا (a۱ = a۲ و  b۱ < b۲)


■ مقایسه پذیری:

فرض کنید که (A, R) یک مجموعه مرتب جزئی و a و b دو عضو آن باشند. می‌گوییم  a و b مقایسه پذیراند اگر aRb یا bRa؛ در غیر این صورت آن‌ها را مقایسه ناپذیر می‌گوییم.


■ مجموعه مرتب کامل

فرض کنید که (A, ) یک مجموعه مرتب جزئی باشد. اگر هر دو عضو دلخواه A توسط رابطه مقایسه پذیر باشند

 (یعنی:  xA, yA: xy yx

آنگاه به A یک مجموعه مرتب کامل به وسیله رابطه و نیز به یک رابطه ترتیبی کامل در مجموعه یا ترتیب خطی در مجموعه A می‌گویند.


■ مجموعه خوش-ترتیب

یک مجموعه مرتب کامل را مجموعه خوش‌-ترتیب گویند اگر و فقط اگر هر زیرمجموعه ناتهی آن دارای کوچک‌ترین عضو باشد. برای مثال، مجموعه Z خوش‌ترتیب نیست.


■ اصل خوش‌ترتیبی

اصل خوش‌ترتیبی می‌گوید: مجموعه اعداد طبیعی، R؛ خوش-ترتیب است. یعنی، هر زیرمجموعه اعداد طبیعی دارای کوچک‌ترین عضو است.


■ رابطه هم‌ارزی

رابطه دوتایی R را رابطه هم‌ارزی گویند اگر  R:

باشد. [با رابطه ترتیبی مقایسه کنید.]

رابطه تساوی (=) یک رابطه هم‌ارزی است. ولی رابطه‌های برادری در انسان‌ها، در Z و همشهری(آ و ب همشهری‌اند اگر تابعیت حداقل یک کشور را داشته باشند) هم‌ارزی نیستند.

به شیوه‌ای که در پی می‌آید خواهیم دید، با بهره‌گیری از رابطه هم‌ارزی به‌جای پرداختن به یک مجموعه‌‌ نامتناهی (تعریف دقیق نامتناهی در ادامه همین یادداشت آمده)، وقتی مورد توجه رابطه هم‌ارزی ‌خاصی در آن است، می‌توان با یک مجموعه‌ متناهی سروکار داشت و پیچیدگی‌های بیهوده در این زمینه را فرو کاهید.

هر رابطه هم‌ارزی، به فرض ، میدان خود را افراز می‌کند، به قسمی که:

۱- هر دو عضو متعلق به هر یک از این زیرمجموعه‌های (حاصل افراز) باهم در رابطه هستند؛
۲- هیچ دو عضو متعلق به دو زیرمجموعه متمایز (حاصل افراز) در رابطه نیستند؛

این زیرمجموعه‌ها (حاصل افراز) را کلاس‌های هم‌ارزی رابطه می‌گویند. ازآنچه گفته شد برمی‌آید، اگر C۱ و C۲ دو کلاس هم‌ارزی باشند و دارای حداقل یک عضو مشترک باشند لزوماً داریم C۱=C۲.

به‌عبارت‌دیگر، فرض کنید یک رابطه هم‌ارزی و D میدان آن باشد. در این صورت به:

CaD = [a] = {xD: ax} [نمایندگی کلاس هم‌ارزی]

که یک زیرمجموعه D است کلاس هم‌ارزی در D به نمایندگی a می‌گوییم.

می‌توان نشان داد برای هر x, y D داریم:

۱:   x y [x] [y] =

۲:   xy [x] = [y]

و اگر تعداد کلاس‌های هم‌ارزی را  n بگیریم:

۳:  CDCD . . .CxnD = D


رابطه هم‌نهشتی (Congruence relation) در ℕ

مثال: فرض کنید رابطه R۵ را در مجموعه ℕ این‌گونه تعریف کنیم: xR۵y اگر و فقط اگر باقی‌مانده‌های حاصل از تقسیم صحیح x و y به ۵ مساوی باشند (به‌عبارت‌دیگر، تفاضل آن‌ها به ۵ بخش‌پذیر باشد). بنابراین داریم:

۰ R۵ ۵  

۵ R۵ ۱۰

۱۰ R۵ ۵

۵ R۵ ۵

۰ R۵ ۱۵

۱ R۵ ۶

۶ R۵ ۱۱

۱ R۵ ۱۱

و مانند آن‌ها.

به‌آسانی می‌توان نشان ‌داد R۵ یک رابطه هم‌ارزی است و را به پنج کلاس هم‌ارزی ۰ ,۱, ۲, ۳, ۴ به‌قرار زیر:

۰ = {x |به ۵ بخش‌پذیر باشد.  x-۰}= {۰, ۵, ۱۰, ۱۵, ۲۰, . . .}

 ۲ = {x |به ۵ بخش‌پذیر باشد.  x-۱}= {۱, ۶, ۱۱, ۱۶, ۲۱, . . .}

. . . . . . .

. . . . . . .

 ۴ = {x |به ۵ بخش‌پذیر باشد.  x-۴}= {۴, ۹, ۱۴, ۱۹, ۲۴, . . .}

افراز می‌کند. می‌توان دید:

= ۰ ۱ ۲ ۳ ۴

به R۵ رابطه هم‌نهشتی (به سنج ۵/سنجیدن) گفته و می‌نویسند:

۱[۵ به سنج] = ۶[۵ به سنج]  

و نیز مانند آن برای بقیه.

رابطه هم‌نهشتی را می‌توان برای nR تعمیم داد. می‌گوییم k, lR به سنج n هم‌نهشت هستند و می‌نویسیم:

k [n به سنج] = l [n به سنج]

اگر و فقط اگر k-l ،n را بشمارد.