■ تابع (نگاشت)

تابع یا نگاشت - نظریه مجموعه‌ها (۵) - (ریاضیات)
فرض کنید S و T دو مجموعه باشند. بسیار پیش می‌آید که می‌خواهیم به S از منظرهای ممکن T نگاه کنیم. به‌عبارت‌دیگر می‌خواهیم S را مصور در T ببینیم. مثال ساده آن یافتن معادل واژه‌ فارسی "باران" در واژه‌نامه فارسی-انگلیسی، و به‌عبارت‌دیگر دیدن تصویر واژه "باران" به‌عنوان عضوی از مجموعه واژگان فارسی در مجموعه واژگان انگلیسی است. یا نگاه کردن به نماد ارقام ده دهی از دید رومیان باستان. به این مفهوم به‌طور عام یک تابع [یا نگاشت وقتی زمینه بحث بیشتر مفاهیم گسسته است] از S به(در) T گفته می‌شود.
تابع یا نگاشت (ریاضیات)
در یک تابع [کامل] همه عناصر مجموعه آغازی دارای تصویر در مجموعه انجامی هستند.

 یک تابع [یا نگاشت نیز تابع کامل] وقتی از S در T تعریف می‌شود که برای هر عضو S یک و فقط یک عضو از T مصور ‌باشد (عضوی در S بدون تصویر باقی نماند و فقط هم یک تصویر در T داشته باشد). با توجه به تعداد عضوهای S و T می‌توان چندین تابع از S به T تعریف کرد (از چندین نظرگاه در S به T نگاه کرد.) بنابراین، با تعریف هر تابع از S به T یک تصویر S را در T خواهیم داشت. معمولاً توابع را با حروفی کوچک لاتین مانند g ،f و مانند آن‌ها نام‌گذاری می‌کنند. وقتی تابعی از S در T بنام f تعریف شود، این تعریف را به‌صورت شماتیک:

f : S→T

<f, S, T> و نیز

نشان می‌دهند. S را دامنه تابع و نیز مجموعه آغازی تابع نامیده [نشان داده با Dom(f)]. زیرمجموعه‌ای‌ از Tکه اعضای آن تصویر عضوی از S هستند را برد تابع می‌نامند [نشان داده با Rng(f)]. خود مجموعه T قلمرو تابع و نیز مجموعه انجامی تابع نام دارد [نشان داده با Cod(f)].

مهم اول در تعریف یک تابع این نیست که چگونه تصویر یک عضو دامنه را باید پیدا کرد، مهم اول شناسایی مجموعه‌های آغازی و انجامی و نشان دادن یا فرض کردن اینکه: «همه عناصر مجموعه‌ آغازی تحت تابع تعریف‌شده دارای یک و فقط یک تصویر در مجموعه‌ انجامی است».

تابع و اجزای آن - نظریه مجموعه‌ها (۵) - (ریاضیات)
تابع و اجزای آن

 عبارت داخل گیومه را معمولاً این‌گونه می‌نویسند:

برای هر x∈S اگر،x آنگاه f(x)∈T

در عبارت بالا به (f(x مقدار تابع p;f برای x یا تصویر x تحت تابع f می‌گویند.

مسئله بعد می‌تواند این باشد که برای یک x خاص در  S چگونه می‌توان (f(x را یافت. روش‌های مختلف برای این کار هست که بستگی به مجموعه‌های انجامی و آغازی و مهم‌تر قصد تعریف تابع دارد. ازجمله نوشتن یک عبارت جبری است که به آن ضابطه تابع نیز می‌گویند. برای مثال فرض کنید S و T هردو N باشند، آنگاه:

e :N → N ; e(x)=۲x-۱.

یک بیان از e می‌تواند این باشد که، برای هر عدد طبیعی یک عدد فرد نظیر وجود دارد (توجه: ما صفر را عدد طبیعی فرض نکرده‌ایم.) طریقه‌های دیگری ازجمله رسم نمودارهای مختلف و همین‌طور جداول مرسوم است.

به تابع f یک تابع یک‌به‌یک [انژکتیو - درونی / اندرونی / جاسازی شده / Injective / one to one / Embedded] (به‌صورت نمادین ۱:۱) می‌گویند اگر و فقط‌ اگر عضوی در Tنباشد که تصویر دو عضو متمایز Sباشد. به‌عبارت‌دیگر، اگر a و b دو عضو متمایز S باشند، آنگاه (f(a  و (f(b، یعنی تصاویر آن‌ها، نیز متمایز باشند. [برای مثال، تابع e در بالا ۱:۱(یک‌به‌یک) است.]

 اگر برد تابع همه T باشد (عضوی در T نیست که تصویر عضوی از S نیست) آنگاه به f یک تابع پوشا / Onto [سابجکتیو Surjective / Subjective /] گفته می‌شود. [تابع e در بالا پوشا نیست.] اما تابع :

d:N ↦ E ; d(x)=۲x-۱

که در آن E مجموعه اعداد فرد است پوشا است.

تابعی که هم ۱:۱ و هم پوشا باشد را تابع دو سویی [بیژکتیو / جاسازی شده / Bijective] می‌گویند.

تابع یک به یک، پوشا و دوسویی (ریاضیات)
گونه‌های تابع [نگاشت]

اگر f دو سویی باشد آنگاه به‌خودی‌خود یک تابع دیگر از T در S تعریف می‌شود. برای نشانه‌گذاری این تابع از حرف جدیدی استفاده نمی‌شود و آن را با f -۱ نشانه‌گذاری می‌کنند و به آن تابع وارون f گفته می‌شود [در ادامه همین قسمت از تابع وارون بیشتر میگوییم.]

اگر f دو سویی باشد میگوییم بین S و T یک تناظر یک‌به‌یک (به‌واسطه f) برقرار است.

فرض کنید A و  B دو مجموعه، گوییم بین این دو یک رابطه تناظر وجود دارد اگر حداقل یک تابع دو سویه از یکی از آن‌ها در دیگری وجود داشته باشد. تناظر بین دو مجموعه را با نماد '⇌' نشان داده و مراد از نوشتن A⇌B وجود حداقل یک تابع دو سویی بین A و B است.

توابع را همان‌طور که در بالا گفته شد ازجمله می‌توان با استفاده از یک جدول دو سطری (یا دو ستونی) نمایش داد. در جداول زیر به ترتیب سه تابع t و v ،g تعریف شده‌اند.

g تعریف تابع g : S ↦ B; S={۰, ۱, ۲, ۳, ۴, ۵}; B={۰, ۱}
g(e)∈B۰۱۲۳۴۵
g(e)∈B۰۱۰۱۰۵

تابع g پوشا است ولی یک‌به‌یک نیست

v تعریف تابع v : B ↦ Σ; B={۰, ۱}; Σ={ ۰, ۲, ۴, . . .}
e∈B ۰۱
v(e)∈Σ۰۱

تابع v پوشا نیست ولی یک‌به‌یک است.


t تعریف تابع t: B ↦ Γ; B= {۰,۱}; Γ={{۰, ۲, ۴, ... }, {۱, ۳, ۵, ۷, ۹, . . .}}
e∈B ۰۱
t(e)∈Γ{۱, ۲,  ۴, . . .}{۱, ۳, ۵, ۷, ۹, . . .}
تابع t پوشا و یک‌به‌یک است، لذا بین B و Γ تناظر یک‌به‌یک به‌واسطه t برقرار است و می‌توان نوشت B⇌Γ.

◄ اگر تابع  f از S در T پوشا باشد، آنگاه هر زیرمجموعه ناتهی T تصویر یک زیرمجموعه S است.

◄ ازجمله توابع معروف تابع همانی است که برای او قصد هر عزمی خودش است یا به‌عبارت‌دیگر مجموعه آغازی و انجامی آن‌یکی و تصویر هر عضو، خود آن عضو است (دنیا را از چشم خودش می‌بیند و نیز در آن فقط خودش را). این تابع را با idS نشان می‌دهند (S هم مجموعه آغازی و هم انجامی است)، بنابراین idS(x)=x. آشکار است که این تابع یک‌به‌یک و پوشا است و (حتی!) وارون آن نیز خودش است.

◄ تابع معروف دیگر تابع ثابت نام دارد که تصویر هر عضو مجموعه آغازی فقط یک عضو از مجموعه انجامی است(مرغ یک پا دارد). اگر مجموعه آغازی بیش از یک عضو داشته باشد آنگاه این تابع وارون ندارد. اگر این تابع پوشا باشد آنگاه مجموعه انجامی تک ‌عضوی است.

◄ گیریم A و B دو مجموعه؛ مجموعه همه توابع از A در B را با نماد گذاری BA نشان داده.

■ تابع وارون

در بالا از تابع وارون گفتیم. اکنون آن را به قرار زیر تعریف می‌کنیم:

■ تعریف: گیریم f: A → B یک تابع دو سویی. تابع وارون - [یا نگاشت وارون] f تابعی به قرار زیر:

f -۱ : Rng(f) = A

و تعریف شده مطابق زیر است:

f -۱(a)=a :A∋a برای هر

تابع و تابع وارون - نظریه مجموعه‌ها (۵) - (ریاضیات)
تابع و تابع وارون

■ ۱: برای هر تابع دو سویی f دایم:

۱- f -۱ دو سویی است
۲- (f -۱)-۱ = f

■ تابع و رابطه

مفاهیم دوتایی مرتب، ضرب دکارتی و رابطه که تاکنون معرفی شدند همه طبق تعریف گونه‌ای از مجموعه هستند. به‌عبارت‌دیگر، جنس پایه آن‌ها مجموعه است. تابع نیز چنین است. درواقع تابعی مانند f از مجموعه A در مجموعه B یک رابطه از A در B است به قسمی که:

۱- هر عضو A در رابطه f با عضوی از B باشد؛
۲- هیچ عضو A در رابطه f با دو عضو متمایز B نباشد.

به عبارت دیگر: ∀x, ∀y۱, ∀y۲ (xfy۱ و xfy۲ ⇒ y۱ = y۲)

■ از تابع به رابطه (گراف تابع)

گیریم f یک تابع n متغیری از Nn در N باشد.

[برای نمونه تابع دو متغیری جمع sum(x,y)=x+y از N۲ در N]

در این صورت می‌توان نوشت:

f(x۱ , . . . ,xn) = b ⇔ Gf(x۱ , . . .,xn, b)

که در آن Gf یک رابطه n+۱تایی در N است. به رابطه Gf گراف تابع f گفته می‌شود.

[برای نمونه:

[N۲⇾ N: sum(x , y) = x + y ⇔ Rsum(x, y, x+y)

■ توابع سازگار

دو تابع f و g را توابع سازگار گوییم اگر همه اعضای دامنه مشرک آن‌ها دارای تصاویر یکسان باشند. به عبارت دیگر:

برای هر x متعلق به Domainf∩Domaing داشته باشیم f(x)=g(x).

■ توابع هم‌ارز

گیریم A و B دو مجموعه و نیز f و g دوتابع به قرار زیر باشند:

f : A→‌‌B; g : A→‌‌B.

دو تابع f و g را توابع هم‌ارز گوییم و می‌نویسیم f≡g اگر برای هر x∈A داشته باشیم f(x)=g(x).

برای مثال توابع f و g در زیر هم‌ارز هستند:

f : ℤ۵→‌‌ℤ۵; g : ℤ۵→‌‌ℤ۵.

f(x) = (x + ۱) Mod ۵; g(x) = (x - ۴) Mod ۵.☚

■ تابع مشخصه (مجموعه)

گیریم A و B مجموعه و B زیرمجموعه A باشد. تابع مشخصه (نیز تابع نشانگر) B در A را تابع χB به قرار زیر تعریف می‌کنیم (معمولاً تابع مشخصه را با نماد χ نشان می‌دهند):

χB : A → {۰, ۱}


برای هر x متعلق به A: 		اگرx ∈ BآنگاهχB(x) = ۱
اگرx ∉ BآنگاهχB(x) = ۰

■ رابطه و تابع مشخصه آن

فرض کنید R(x, y) یک رابطه در A باشد. در این صورت می‌توان نوشت:

χR : A → {۰, ۱} ; χR(x, y) =
۱ xRy اگر
۰ ~(xRy) اگر

به χR تابع مشخصه رابطه R گفته می‌شود.

■ تابع جزئی

تابع جزئی f از X در Y عبارت از زیرمجموعه‌‌ای از X×Y است بقسمی که برای هر x∈X و y, y′∈Y  داشته باشیم:

(x, y) ∈ f و (x, y′) ∈ f ⇒ y = y′.

در این صورت می‌نویسیم:

f: X ⇀ Y.

☚ به نماد ⇀ بجای → در تابع جزئی توجه نمایید.

☚ با توجه به تعریف تابع جزئی می‌توان گفت هرتابع یک تابع جزئی است، اما وارون آن لزواً درست نیست.

☚ اگر در تابع جزئی f برای هر عضو مجموعه Y عضوی در X باشد بقسمی که f(x)=y آنگاه تابع f یک تابع (که به تابع کامل نیز موسوم است) خواهد بود.

☚ فرض کنید f یک جزئی از X در Y و x∈X باشد. در این صورت (وقتی معین بودن تابع مورد توجه است): اگر f(x) تعریف شده باشد، یعنی  y∈Y وجود داشته باشد به قسمی که y=f(x) آنگاه می‌نویسیم f(x)=↓ ، وگر نه می‌نویسیم f(x)=↑.

☚ دامنه تابع جزئی f از X در Y مجموعه‌ اعضای معین X‌ است. به عبارت دیگر:

Dom(f) = {x: x ∈ X ∧ f(x)=↓}.

تابع جزئی

برای مثال توابع زیر از N۲ در N جزئی هستند:

تابع جزئی تفریق کوتاه شده
تابع جزئی تقسیم صحیح

■ تحدید تابع

گیریم f: A → B یک تابع و C زیرمجموعه A باشد. مراد از تحدید تابع f به C تابع f[C] به قرار زیر است:

برای هر x متعلق به C:

f[C](x) = f(x);

به عبارت دیگر:

f[C] = {(x, y): (x, y) ∈ f و x ∈ C}.

می‌توان نشان داد:

f : B ∪ C → A ⇒ f = f[B] ∪ f[C]

■ گسترش تابع

گیریم g و f تابع، به g گسترش تابع [توسیع تابع] گوییم اگر  f ⊂ g.

می‌توان نشان داد g گسترش f است اگر و فقط اگر:

Dom(f) ⊂ Dom(g) و ∀x∈Dom(f), f(x) = g(x);

■ تعمیم اجتماع و اشتراک

گیریم F تابعی از مجموعه ناتهی T در خانواده مجموعه G (مجموعه‌ای از مجموعه‌ها) باشد. در این موارد رسم است برای گفتن مقدار تابع بجای F(t) عبارت‌های {Ft: t∈T} یا {Ft∈T} را بکار ببرند. در این صورت به Ƒ={Ft}t∈T خانواده فهرست‌شده و به T فهرست‌گر خانواده مجموعه گفته می‌شود.

خانواده مجموعه و توابع فهرست گر - نظریه مجموعه ها (۵) - (ریاضیات)
فهرست کردن خانواده مجموعه

با این نماد سازی که انجام شد اکنون اجتماع و اشتراک در خانواده مجموعه فهرست شده را به شیوه زیر نمایش داده:

⋃t∈T Ft = ⋃Ƒ
⋂t∈T Ft = ⋂Ƒ

وقتی مجموعه T ثابت است نمادگذاری را کوتاه‌تر می‌نویسند:

⋃t Ft = ⋃Ƒ, ⋂t Ft = ⋂Ƒ

و مانند آن. {Ft}t بجای {Ft}t یا {Ft}

تعمیم اجتماع و اشتراک
تعمیم اجتماع و اشتراک

■ ترکیب توابع

فرض کنید f و g توابع زیر باشند:

f : S ↦ T; g : T ↦ V;

ترکیب توابع - نظریه مجموعه ها (۵) - (ریاضیات)
ترکیب توابع

ترکیب توابع g با f تابعی از S به V است، که آن را به‌صورت  gf نشان داده و مطابق زیر تعریف می‌کنیم:

g f : S ↦ T;

g f(x)=f(g(x)) به‌گونه‌ای که:

ترکیب توابع - نظریه مجموعه ها (۵) - (ریاضیات)
ترکیب توابع
مثال ترکیب توابع
 gf تعریف تابع

f:V ↦S; g: S ↦B; V={p, q, r, s };
S={a, b, c, d}; B={0, 1}

x∈Vpqrs
f(x)∈Sf(p)=badc
g∘f(x) =g(f(x))∈Bg∘f(p)=g(b) =0101

در جدول بالا، I، یعنی gf، نگاه به  B است از منظر V با واسطه‌گری S.

■ ویژگی‌های ترکیب توابع

■ ۱: ترکیب توابع انجمنی است. یعنی: f∘(g∘h)=(f∘g)∘h

■ ۲: گیریم f ∶ A → B, g ∶ B → C دو نگاشت دلخواه باشند. آنگاه:

◆آ: اگر f و g انژکتیو باشند g∘f نیز انژکتیو است.

◂ اثبات:

فرض کنید a۱‚ a۲∈A بقسمی‌که g(f(a۱))=g(f(a۲)). نشان میدهیم a۱=a۲.
بنابر فرض، g انژکتیو است، پس f(a۱)=f(a۲). اما بنابفرض، g نیز انژکتیو است؛ پس  a۱=a۲.

◆ب: اگر f و g سوژکتیو باشند g∘f نیز سوژکتیو است.

◆ج: (آ و ب): اگر f و g بیژکتیو باشند g∘f نیز بیژکتیو است.

◆د: اگر g∘f انژکتیو باشند f نیز انژکتیو است.

◆ه: اگر g∘f سوژکتیو باشند g نیز سوژکتیو است.

■ ۲: گیریم f ∶A→B, g ∶B→C دو نگاشت بیژکتیو باشند. آنگاه:

(gf)-۱ = f -۱g-۱.

◂ اثبات: از (◆ج) میدانیم gf بیژکتیو و وارون، یعنی (gf)-۱، دارد و نیز

Dom(f-۱g-۱) = C = Dom((gf)-۱) و Rng(f -۱gf-۱) = A = Rng((gf)-۱).

باید نشان دهیم برای هر c∈C داریم:

f -۱g-۱(c) = (gf)-۱(c)

ازآنجاکه gf سوژکتیو است a∈A وجود دارد بقسمی‌که gf(a)=c. و از تعریف تابع وارون:

(gf)-۱(c) = (gf)-۱(gf(a)) = a.

و

f -۱g-۱(c) = f-۱g-۱(gf(a)) = f -۱g-۱(g(f(a))) = f-۱(g-۱(g(f(a)))).

بنابه ویژگی انجمنی ترکیب توابع سمت راست بالا:

f-۱(g-۱(g(f(a)))) = f-۱((f(a))= a.

◂ نتیجه: اگر f بیژکتیو باشد:  ((f)-۱)-۱ = f.

■ دنباله

فرض کنید S مجموعه و D زیرمجموعه N* باشد. به یک تابع از D در S یک دنباله گفته می‌شود. اگر S⊆Z دنباله را صحیح و اگر S⊆R دنباله را حقیقی گویند.

برای مثال، اگر S={a, c, f}؛ آنگاه تابع u در زیر یک دنباله‌ را تعریف می‌کند.

u : {۱, ۲, ۳} ↦ S; تعریف دنباله u
۳۲۱e∈U
u۳=au۲=au۱=cu(e)∈S
به u۱, u۲, u۳ عناصر دنباله U۳ می‌گویند.

ازآنجاکه مجموعه آغازی یک دنباله همیشه زیرمجموعه N است، معمولاً عناصر یک دنباله را به‌صورت:

v۱, v۲, . . ., vn یا <v۱, v۲, . . ., vn>

نمایش می‌د‌هند تا بتوان به عنصر خاصی از دنباله با توجه به موقعیت آن اشاره کرد. وقتی مجموعه عزیمت دنباله N باشد دنباله را نامتناهی می‌گویند. عناصر یک دنباله نامتناهی را معمولاً با جمله عمومی دنباله تعریف می‌کنند. در زیر چند مثال از دنباله نامتناهی آمده است:

دنبالهجمله عمومی
<۱, ۴, ۸, . . .>Un=n۲
<۱, ۲, ۶, . . .>Vn=۱×۲×...×n

به‌آسانی می‌توان دریافت که هر فهرست از اعداد نشان‌دهنده یک دنباله (تابع) است.

در مثال زیر تعریف دنباله اعداد موسوم به فیوتاتچی آمده است.

تعریف دنباله دنباله فیبوناچی
Fib۱ = ۱
Fib۲ = ۱
Fibn = Fibn - ۲ + Fibn - ۱
هفت عنصر اولیه دنباله فیبوناتچی
<Fi۱, Fi۲, Fi۳, Fi۴, Fi۵, Fi۶, Fi۷, . . .>
<۱, ۱, ۲, ۳, ۵, ۸, ۱۳, . . .>
<۱ ۱ ۱+۱=۲ ۱+۲=۳ ۲+۳=۵ ۳+۵=۸ ۵+۸=۱۳, . . .>