فهرست:
۱.۰ روند منطق نوین
۱.۱ روند
۲.۱ روند کارآمد
۳.۱ تصمیم پذیری
آ زبان و فرازبان
۱.آ زبان صوری
۲.آ معرفی زبان صوری LC
۳.آ زبان شاهد و زبان موضوع
۴.آ متغیرهای نحوی
۵.آ صورت گزاره‌ای و فرمول
ب تعبیر
۱.ب خیلی کوتاه درباره نظریه‌های معنا
۲.ب تعبیر زبان LC
۳.ب مدل و فرمول
۴.ب مجموعه فرمول و مدل آن
۵.ب صورت توتولوژیک
۶.ب صورت نامعتبر
۷.ب صورت متناقض
۸.ب صدق پذیری و سازگاری معنایی
۹.ب رابطه استلزام منطقی
۱.۹.ب رابطه هم‌ارزی منطقی
۱۰.ب آزمون اعتبار یک استنتاج سمانتیکی
۱۱.ب چند نتیجه
۱۲.ب کارآمدی استنتاج سمانتیکی
ج بنای دستگاه استنتاج طبیعی
۰.ج مقدمه
۱.۰.ج زندگی‌نامه کوتاه گرهارد گنتزن
۱.ج استنتاج
۲.ج خاصیت این‌همانی
۳.ج هم‌ارزی نحوی
۴.ج قاعده جایگزینی نحوی
۵.ج اثبات اعتبار استنتاج نحوی
۶.ج ناسازگاری نحوی
۷.ج قضیه در دستگاه استنتاجی
۱.۷.ج تعریف قضیه در دستگاه استنتاجی
۸.ج قاعده برهان شرطی
۹.ج مثال قضیه
د فرامنطق
۰.د مقدمه
۱.د استواری دستگاه CND
د.۱.۰ طرح سردستی اثبات فرا-قضیه استواری
۲.د تمامیت دستگاه CND
۳.د استواری و تمامیت
د.۳.۱ زندگی‌نامه مختصر لایبنیتس
۴.د صدق منطقی
۵.د سازگاری دستگاه:CND
۶.د (فرا)قضیه  ناتمامیت
۷.د تصمیم پذیری دستگاه CND

روند منطق مدرن

منطق و فرامنطق

 درآمد به منطق

روند منطق در چهار گام است که آغاز آن صورت و سرانجام آن فرامنطق که در میانه مدل یا برهان (یا هر دو) باشد.

در ادامه این یادداشت و چهار یادداشت بعد به قرار: زبان صوری و فرازبان؛ تعبیر و معناشناسی؛ دستگاه صوری؛ منطق و فرامنطق؛ این چهار گام را پی‌گرفته.


روند .۱  روند منطق نوین

منطق و فرامنطق

هدف از این یادداشت و چهار یادداشت بعدی پرتوافکنی بر تمایز بنیادین بین صورت و معنا، و  رابطه آن‌ها و مفهوم فرامنطق در منطق نوین است. این را با نگاه نزدیک‌تر به  فصل‌های نهم، منطق نمادین، و دهم، روش‌های استنتاج، کتاب درآمد به منطق، مطابق روندی که زین پس آن را روند منطق می‌نامیم به انجام خواهیم رساند. گرچه آنچه می‌آید منطق گزاره‌ای و درباره آن است ولی چه منطق کلاسیک جدید و در ادامه آن منطق محمولات و چه منطق‌های غیر کلاسیک مانند منطق شهودی (Intuitionistic Logic)، منطق‌ سه ارزشی (Ternary logics) و چند ارزشی، منطق مدال (Modal Logic) و مانند آن‌ها گام با چنین روندی دارند. این روند، که آن را روند منطق می‌نامیم، خود شامل چهار گام به‌قرار زیر است که در ادامه شرح آن خواهد آمد. 

۱- صورت: زبان صوری،
۲- معنا: مدل،
۳- برهان: دستگاه صوری، 
۴- پیوند صورت و معنا: فرامنطق.

 شِمای زیر  فشرده‌ای ازآنچه در پیش رو داریم را به نمایش می‌گذارد. 

زبان صوری (Formal Language)
فرمول (فرمول خوش-ساخت) ( Well-Formed Formula / wff)
در دوستون زیر عبارات مشخص شده به رنگ سبز در رابطه با صورت و به رنگ سبزآبی در رابطه با معنا هستند.
دستگاه صوری
Formal System
نظریه بر مبنای برهان
Proof Theoretic Approach
استنتاج طبیعی (نیز رویکردهای اصل موضوعی)
Natural Deduction
قواعد استنتاج
Rules of Inference
برهان
Proof
قضیه
Therorm
ناسازگاری
Inconsistency
تصمیم‌پذیری
Decidability
  نظریه مدل
Model theory
نظریه بر مبنای مدل
Model Theoretic Approach
تعبیر
Interpretation
مدل
Model
استلزام منطقی
Logical implication
اعتبار منطقی (توتولوژی در منطق گزاره‌ای)
Logical Validity (Tautology in propositional logic)
تناقض
Contradiction
فرازبان و فرامنطق (Metalanguage and Metalogic)
رسامندی (Soundness)   تمامیت (Completness)
آیا هر استنتاج یک استلزام منطقی نیز است؟   آیا هر استلزام منطقی یک استنتاج نیز است؟
به‌عبارت‌دیگر، آیا یک قضیه منطقاً معتبر نیز است؟   به‌عبارت‌دیگر، آیا یک منطقاً معتبر  قضیه نیز است؟
به‌عبارت‌دیگر، آیا آنچه منطقاً معتبر نیست اثبات نشدنی هم است؟   به‌عبارت‌دیگر، آیا آنچه اثبات نشدنی منطقاً معتبر نیست؟
به‌عبارت‌دیگر:  ?   به‌عبارت‌دیگر:  ?
فقط و فقط یک منطقاً معتبر یک قضیه است؟
  ??

نمودار ۱. روند منطق (گزاره‌ای کلاسیک) که در ادامه و در چهار یادداشت بعد شرح آن خواهد آمد.

پیش از آن برای آنچه منظور نظر ما از عبارت‌های "روند"، "روند کارآمد" و نیز "تصمیم پذیری" است تعاریفی مقدماتی، گرچه نه دقیق ولی فعلاً کارساز، به دست ‌می‌دهیم.

روند کارآمد / الگوریتم

image۱.۱  روند

بک روند دنباله‌ای متناهی از اعمال مطابق قواعد معین برای دستیابی به یک نتیجه معین است، مانند روند‌ دریافت یک مدرک تحصیلی، گرفتن گواهی‌نامه رانندگی، ساختن خانه و مانند آن‌ها. گرچه برای دست‌یابی به "نتیجه معین" باید روند آن اجرا گردد ولی اجرای روند الزاماً در زمان محدود به دستیابی "نتیجه معین" منجر نمی‌شود.

image۱.۲ روند کارآمد

مراد از یک روند کارآمد [یا الگوریتم] روندی است که الزاماً در زمان محدود (گرچه به هر اندازه زیاد) به نتیجه منجر گردد. به‌عبارت‌دیگر، الگوریتم دنباله‌ای‌ متناهی از اعمال (دستورالعمل‌ها / قواعد) است به قسمی که اجرای آن در زمان محدود منجر به حل یک مسئله نوعی گردد. برای مثال، روند‌های معمول در حساب برای جمع اعداد، ضرب اعداد، تقسیم دو عدد با تقریب دلخواه و جذر اعداد مثبت با تقریب دلخواه روند‌های کارآمد هستند.

image۱.۳ تصمیم پذیری

یک مسئله نوعی را تصمیم پذیر گوییم اگر برای حل آن، یک روند کارآمد وجود داشته باشد. برای مثال، برای هر عدد داده‌شده و هر دو عدد دلخواه یک روند کارآمد (یا الگوریتم) وجوددارد که با کارزدن آن می‌توان تصمیم گرفت آیا عدد داده‌شده حاصل جمع آن دو عدد دلخواه است یا نیست.

توجه: