■ مقدمه:

مقدمه
Introduction
ازآنجاکه همه عبارت‌ها توسط عبارت‌های دیگر تعریف می‌شوند، اگر قرار است نقطه آغازین برای تعاریف خود داشته، دانش بشر همیشه باید پذیرای عبارت‌های قابل‌درکِ بدون تعریف باشد.
برتراند راسل
کلیک
سیستم اصل موضوعی ساختاری است که روند پیدایش آن از تعداد محدود انگاره‌ آغازین، اصل موضوع (گزاره‌های آغازین) و قواعد منطقی آغاز و گسترانده می‌شود. در این قسمت با ارائه یک نمونه از هندسه (هندسه اقلیدسی) و یک نمونه از حساب (دستگاه پئانو) به واکاوی این روند می‌پردازیم تا پیش‌زمینه باشد برای یادداشت‌های منطق و رایانش. نمونه‌های بیشتر را می‌توان در یادداشت‌های دستگاه‌های اصل موضوعی ZF و نیز NBG بیابید. مبادی شالوده‌ریزی چنین ساختارها در فصل‌های نه، ده و یازده کتاب درآمد به منطق و نیز در روند منطق آمده است.

■  انگاره‌‌های آغازین:

انگاره‌‌های آغازین
Primitive Notion

انگاره آغازی [نیز عبارت تعریف‌نشده] آن مفاهیم در یک میدان سخن است که معنی آن، بدون تعریف، قابل‌فهم انگاشته ‌شود. برای مثال در هندسه اقلیدسی انگاره‌هایی چون خط، دایره و مانند آن‌ها تعریف‌نشده هستند.

انگاره‌های تعریفی:

انگاره تعریفی (یا تعریف‌شده‌ها) آن مفاهیم در میدان سخن هستند که طبق قواعد مشخص (ساختار تعریف) از انگاره‌های تعریف‌نشده به‌دست‌آمده باشند.


■  اصل موضوع:

اصل موضوع:
Axiom

اصل موضوع [یا گزاره آغازی / بنداشت] یک عبارت گزاره‌ای در میدان سخن است، به قسمی که حدود آن انگاره‌های آغازی یا انگاره‌های تعریفی در میدان سخن باشند و درستی آن‌ها بدیهی انگاشته ‌شود. 

برای مثال گزاره ۱ تا ۵ در زیر اصول موضوعه هندسه اقلیدسی‌اند:

۱- از هر دونقطه می‌توان یک خط گذراند.

۲- هر پاره‌خط را می‌توان از دو سر نامحدود گستراند.

۳- یک دایره را می‌توان با مرکز و شعاع معلوم رسم کرد.

۴- همه گوشه‌های قائمه برابرند.

۵- اگر دو خط d و d' در صفحه با خط راست سومی قطع شوند، اگر اندازه جمع گوشه‌های داخلی در  یک‌طرف خط سوم کمتر از دو قائمه باشد آنگاه دو خط d و d' در صورت ادامه، در همان طرفی که جمع گوشه‌های داخلی کمتر از دو قائمه است، یکدیگر را قطع می‌کنند.

اصل پنجم اقلیدس
اصل پنجم اقلیدس.
این صورت از اصل پنجم با صورت مشهور آن به‌قرار :
از هر نقطه خارج از یک خط  حداکثر می‌توان یک خط موازی با آن رسم کرد.
هم‌ارز است.  صورت اخیر به اصل پلی فیر Playfair's axiom مشهور است.

■ قواعد استنتاج:

Rules of inference in axiomatic system

قواعد استنتاج در دستگاه اصل موضوعی  قواعدی هستند که امکان استنتاج معتبر‌ از گزاره‌هایی که به‌عنوان مقدمه مفروض‌اند را ممکن می‌سازند.

■ دستگاه اصل موضوعی:

دستگاه اصل موضوعی
Axiomatic System

یک دستگاه اصل موضوعی شامل:

۱- تعداد محدود انگاره‌های آغازی،

۲- اصول موضوعه،

۳- تعداد محدود قواعد استنتاج

 است.

برای مثال، در هندسه اقلیدسی بعد از بیان انگاره‌های آغازی، اصول موضوعه و به‌طور ضمنی قواعد استنتاج، به گستراندن آنچه هندسه اقلیدسی  نامیده پرداخته. یعنی: بر پایه انگاره‌های آغازی زنجیره‌وار مفاهیم جدید ساختن [تعریف کردن]؛ و نیز: کار زدن قواعد استنتاج منطقی، بر پایه بن‌ انگاشته‌ها، و زنجیره‌وار قضیه جدید استنتاج کردن.


■ برهان در دستگاه اصول موضوعه:

Proof in axiomatic system

یک برهان در دستگاه اصل موضوعی زنجیره‌ای متناهی ‌از عبارت‌های گزاره‌ای است، به قسمی که هر عبارت این زنجیره یک اصل موضوع آن دستگاه باشد یا از عبارت‌های قبلی زنجیره و توسط کار زدن قواعد استنتاج آن دستگاه به دست آمده باشد.


■ قضیه در دستگاه اصول موضوعه:

Theorem in Axiomatic System

یک عبارت-گزاره‌ای یک قضیه در  یک دستگاه اصل موضوعی است اگر و فقط اگر برهانی در آن دستگاه باشد که این عبارت-گزاره‌ای آخرین عنصر آن باشد.

بنا بر تعریف قضیه، هر اصل موضوع یک قضیه است.


■ استقلال اصول موضوعه:

Independency of Axioms

اصول موضوعه یک دستگاه اصل موضوعی را مستقل گویند اگر عضوی در هیچ زیرمجموعه‌ای از اصول موضوعه آن نباشد که بتواند، توسط قواعد استنتاج آن دستگاه، از اصول موضوعه آن دستگاه، که در این زیرمجموعه نیستند، به دست آید.


■ سازگاری دستگاه اصول موضوعه:

Consistency of Axioms

یک دستگاه اصل موضوعی سازگار است اگر یک عبارت گزاره‌ای و نقیض آن هردو در آن دستگاه قضیه نباشند.


دستگاه حساب پئانو:

جوزپه پئانو(۱۸۵۳-۱۹۲۰) /Giuseppe Peano
جوزپه پئانو (۱۸۵۳-۱۹۲۰) Giuseppe Peano ریاضیدان ایتالیایی که اصل موضوع سازی اعداد طبیعی به‌افتخار وی به اصول پئانو مشهور است.
کلیک

در کنار رهیافت اصل موضوعی هندسه اقلیدسی که در بالا دیدیم، کوتاه مفاهیم آغازی و اصول موضوع حساب را نیز مرور می‌کنیم.

حساب به‌صورت اصل موضوعی برای اولین بار توسط ددکیند (۱۸۹۷) ریاضی‌دان آلمانی ارائه و کمی بعد با اندک تصرف به اصول موضوعه پئانو معروف گردید.

(آ): انگاره‌های آغازی:

۱- 0 ۲- عدد طبیعی  ۳- تالی بی‌واسطه عدد طبیعی

[در اصول موضوعه زیر رابطه تساوی "=" با ویژگی‌های آن را پیش‌انگاشته گرفته.]

(ب): اصول موضوعه:

۱-  0 عدد طبیعی است.
۲- تالی بی‌واسطه هر عدد طبیعی عدد طبیعی است. (برای عدد طبیعی n، تالی آن را با S(n) نشان داده.)
۳-  0 تالی بی‌واسطه عدد طبیعی نیست.
۴- برای هر عدد طبیعی m و هر عدد طبیعی n، اگر تالی‌های بی‌واسطه m و n مساوی باشند آنگاه m=n.
۵-
اصل استقرای ریاضی:
گیریم Q یک ویژگی باشد.
اگر
آ: 0 دارای ویژگی Q باشد،
و
ب: اگر عددی طبیعی دارای ویژگی Q باشد آنگاه تالی بی‌واسطه آن نیز دارای ویژگی Q باشد؛
آنگاه
همه اعداد طبیعی دارای ویژگی Qاند.
اکنون نماد ۱ را برای تالی 0 گرفته، یعنی S(0) = ۱؛ نماد ۲ را برای تالی ۱ گرفته، یعنی S(۱) = ۲؛ و مانند آنها.

 

 

تعریف جمع اعداد طبیعی (عملگر +)    آ.   a + 0 = a
ب.  a + S(b) = S(a + b).

برای مثال:

۱ + 0 = ۱.

(۱ + ۱) = (۱ + S(0)) = S(۱ + 0) = S(۱) = ۲.

۱ + ۲ = ۱ + S(۱) = S(۱ + ۱) = S(۲) =۳.

 


 

تعریف ضرب اعداد طبیعی (عملگر .)    آ.   a . 0 = 0
ب.   a . S(b) = a + (a . b).

برای مثال:

a . ۱ = a . S(0) = a + (a . 0) = a + 0 = a.

(۳ . ۲) = (۳ . S(۱)) = (۳ + (۳ . ۱)) = ۳ + ۳ = ۶.

از همین چند اصل و انجام اعمال شرح داده در بالا می‌توان به نظریه اعداد (قضیه اساسی حساب)، به ساخت اعداد گویا، اعداد حقیقی و بیشتر  واصل شد [به‌صورت‌ قضیه‌های اول ناتمامیت گودل و دوم ناتمامیت گودل نگاه کنید]. نظریه اعداد را به‌تمامی دقیق می‌توان در مندلسون و اسمولین یافت.