فهرست:

تاریخ منطق؛ بسیار کوتاه

منطق از ارسطو تا گدل

درآمد به منطق

این صفحه مرور کوتاهی دارد بر تاریخ منطق از ارسطو تا کورت گدل و فون نویمان و نیز پیوند به زندگینامه منطق دانانِ آمده در متن کتاب.

۷.۱ اعتبار و صدق

منطق، تاریخ و هنر
https://www.newyorker.com/magazine/2008/06/23/first-impressions

شگفتی آغاز فلسفه بود. جهان از چه ساخته شده؟ از کجا آمده‌ایم؟ چرا اینجاییم؟ انسان ابتدایی می‌‌نگریست و گمانه می‌زد، اما بدون مبنا و غیرعقلانی. فلسفه، آنگونه که آن را اکنون میشناسیم، تا قرن ششم پیش از میلاد، تا هنگامی که فیلسوفان یونانی در پی برپای‌داشتن نظریه‌های بنیادین در باره جهان شدند، هنوز نبود. آیا چیزی هست که جهان از آن ساخته شده؟ آیا اصلی بنیادین و سرتاسری هست؟

ما سقراط و افلاطون را چهره‌های بزرگ در پیدایش فلسفه غرب می‌دانیم و هنوز هم آنها را می‌خوانیم. بزرگی آنها تا اندازه‌ای در پیگیری آنها در ایجاد انتظام فکری - برای ارائه یا حداقل جستجوی یک دستگاه منسجم است تا توضیح دهد چرا چیزها آنگونه‌اند که هستند. اما حتی پیش از سقراط اندیشمندان ژرفی چون ـ تالس، پارمنیدس، هراکلیتوس، دموکریت و دیگران توصیف‌های گوناگون از موضوعات بنیادی جهان یا اصلی بنیادی که همه برگرد آنند را به میان آورده بودند.

آنها نظریه پردازی می‌کردند، و نه فقط گمانه‌زنی ـ لیکن علم (science) واقعی در گمانه‌زنی‌های ابتدایی آنها نبود. فرض‌های جزمی، نیروهای فراطبیعی، خدایان، اسطوره‌های باستانی و افسانه‌ها همیشه باید مورداستفاده قرار می‌گرفتند. همانطور که فلسفه به تدریج بالغ می‌شد، میل به دانستن و کشف اصولی که بتوان در ارائه توضیحات به آنها تکیه کرد نیز افزایش می‌یافت.

اینجاست که منطق آغاز می‌شود. آن توجیهات مورد نظر است که موحه باشند، به عبارت دیگر بتوانند آزموده و تایید شوند. روشهایی که هر آنچه را با آنها کشف و تایید می‌کنیم مشخص و پالایش کنند. ما می‌بایست درباره چیزها دلیل بیاوریم و بدنبال فهم اصول صحیح دلیل‌آوری باشیم.

اولین پرش از اندیشه آشفته به یک دستگاه استدلال خوش-ترتیب گذاری بود با سختی بسیار. ارسطو، معلم اول، که بدرستی نیز توسط اندیشمندان و خردمندان از زمان خود تا کنون بسیار مورد احترام بوده، دستگاهی گستراند که در آن اصول دلیل‌آوری را می‌توان به طور دقیق پیکربندی کرد، او اولین منطق‌دان بزرگ بود.

ارسطو به استدلال همچون فعالیتی می‌نگریست که در آن و در آغاز باید رده‌های چیزها را مشخص کرد. سپس باید روابط بین این رده‌ها را شناسایی کرد. پس آنگاه می‌توان با گزاره‌هایی که این روابط در آنها مشخص شده روبرو شد. به نظر او، عناصر اساسی استدلال خود این گروه‌ها، یعنی کتگوری‌هایی که می‌توانیم چیزها را در آن قرار دهیم، هستند. بنابراین وی به شناسایی و تمیز گونه‌های گزاره‌های کتگوریک (گزاره‌های حملی) پرداخت (برای مثال، «همه Xها Y هستند» ـ یک گزاره‌ موجب کلی؛ «برخی Xها Y هستند» ـ یک گزاره موجب جزئی؛ و مانند آن). اکنون با چنین دریافت بلافاصله می‌توان درباره روابط بین این گزاره‌ها نتیجه‌گیری کرد (برای مثال، «اگر برخی Xها Y هستند آنگاه این درست نیست که هیچ Yای X نباشد) و از این مهم‌تر با ترکیب گزاره‌های کتگوریک شامل این سه حد (به فرض X، Y و Z) به شیوه‌های مختلف می‌توان بطور دقیق توسط تشکیل قیاس‌های کتگوریک (قیاس‌های حملی) دست به نتیجه‌گیری زد (برای مثال، «اگر همه Xها Y هستند، برخی Xها Z هستند، باید چنین باشد که برخی Zها Y هستند»). با کار زدن چنین تکنیک‌ها می‌توان یک دستگاه بزرگ منطق استنتاجی ساخت و این چیزی است که آن را در فصل‌های ۶، ۷ و ۸ این کتاب نشان خواهیم داد.

یک قرن بعد از کارهای ارسطو فیلسوف رواقی کریسیپوس تحلیل منطقی را به سطحی بالاتر برد. دیگر عناصر بنیادین استدلال نه کتگوری‌های ارسطو بلکه گزاره‌ها بودند، واحدهایی که با آنها می‌توان برخی وضع واقع را قبول یا رد کرد. سپس می‌توان روابط منطقی بین گزاره‌ها را کشف کرد: « X در آتن است یا X در اسپارت است.» بعلاوه، می‌توان استدلال‌های ابتدایی را که به این روابط مختلف بستگی دارند، شناسایی کرد: «اگر X در آتن باشد آنگاه X در اسپارت نیست. X در آتن است. بنابراین X در اسپارت نیست.» صورت این استدلال ساده که به قیاس استثنایی موسوم است معمول و مفید است؛ بسیاری دیگر از این صورت‌های ابتدایی را می‌توان شناسایی و در مباحث عقلانی، همان‌طور که در قسمت‌های بعدی این کتاب خواهیم دید، به کار گرفت.

با این پیشرفت‌ها خیلی زود روشن شد که اعتبار یک استدلال استنتاجی، یعنی آن استحکام که با آن درستی نتیجه را می‌توان از درستی مقدمات بدست آورد، به صورت استدلال، به شکل آن وابسته است، و نه محتوای آن ـ یا آنطور که منطقدانان می‌گویند، به ویژگی‌های نحوی آن و نه معنای محتوای آن. قیاس استثنایی و هر چنین صورت استدلالی می‌تواند بطور نامحدود هستمندی یا مورد داشته باشد. با افول امپراتوری روم، کار منطقدانان یونانی توسط دانشمندان مسلمان از جمله فارابی (حدود ۸۷۲ تا ۹۵۰م ــ۲۵۱ تا ۳۲۹ ش)، که در بغداد تفسیر بر آثار ارسطو نوشت، پی گرفته شد. وی ـ فارابی ـ بعد از ارسطو در گستره و ژرفای دانش "معلم دوم" نام گرفت. کار وی با دانشمند بزرگ مسلمان، ابن سینا [منطقدان- فیلسوف- پزشک]، که در غرب با نام لاتین شده خود Avicenna، مشهور است، دنبال شد. دانش آنها سرانجام در اندیشه غربی نفوذ کرد و تازه شد. صورت های نحوی دوباره در قرن دوازدهم در فرانسه با کار راهب پیتر آبلارد (۱۰۷۹ - ۱۱۴۲) مورد توجه منطق قرار گرفت.

در انگلستان چهره بزرگ منطقی آن روزگار جدید ویلیام اوکام (۱۳۴۸-۱۲۸۷) بود. او برخی از قضیه‌ها را شناسایی کرد که سال‌ها بعد توسط منطق‌دان و ریاضی‌دان، آگوستوس دمورگان، دقیق‌تر مشخص گردید؛ ما در قسمت دوم این کتاب با قضایای دمورگان روبرو خواهیم شد و آنها را به کار خواهیم گرفت. اوکام کوشش داشت تا متافیزیک، که دل‌مشغولی عمده وی بود، را از مفاهیم بیهوده خلاص کند. وی تأکید کرد وقتی یک اصطلاح یا مفهوم بی فایده است باید به تمامی حذف و دور انداخته شود. این اصل مهم، "تیغ اوکام"، اکنون بعنوان یک راهنما رایج است: در هر اندیشه عقلانی، هستمندها نباید بیش از ضرورت افزایش یابند.

منطق استنتاجی از مدتها پیش با ترجمه درس‌گفتارهای ارسطو، یعنی ارگانون، آغاز شده بود. این منطق، یعنی منطق استنتاجی، کار زدن آنچه از پیش شناخته شده است را، که بسیار نیز مفید است، ترغیب می‌کرد. اما، تجزیه و تحلیل‌های طولانی گزاره‌ها و روابط بین آنها مواد مورد نیاز برای دانش جدید را بدست نمی‌داد، و این چیزی بود، که در قرن‌های آغازین دوران مدرن،  به آن به شدت نیاز و بطور گسترده نیز مورد جستجو بود. آنچه جهان اندیشه بدان نیاز داشت یک ارگانون جدید بود. این ارگانون نو (Novum Organum) توسط فرانسیس بیکن (۱۶۲۶ـ ۱۵۶۱) در ۱۶۲۰ و در انگلستان انتشار یافت. هدف در روش بیکنی تدوین رویه‌هایی بود که دانشمندان هنگام بررسی هر چیزی در طبیعت از آن استفاده کنند. بیکن که "پدر تجربه گرایی (empiricism)" نامیده می‌شود، همراه با دیگر پیشگامان انقلاب علمی در نجوم و پزشکی، کار منطقدانان کلاسیک را رد نکرد، بلکه با تدوین روشهایی که دست‌آوری حقایق تجربی را ممکن می‌سازد، به تکمیل آن همت گماشت. راستینه‌ها (facts) ـ آنچه درباره جهان می‌آموزیم – مقدماتی را تشکیل می‌دهند که بر اساس آنها می‌توان استدلال‌های استنتاجی را بنا کرد. اینها اولین گامهای بزرگ در تدوین اصول منطق استقرایی بودند.

زمان آن رسیده بود که رشته‌های (threads) تحلیل‌های منطقی، استنتاجی و استقرایی، در چهارچوبی منسجم گرد آورده شود. اولین کتاب درسی منطق (منطق، یا هنر تفکر)، در سال ۱۶۶۲ به صورت ناشناس توسط گروهی معروف به منطق‌دانان پورت-رویال منتشر شد. نویسندگان اصلی آن، آنتوان آرنولد (Antoine Arnauld - مشهور بخاطر منازعات منتشر شده با دکارت) و پیر نیکول (Pierre Nicole)، به بلز پاسکال  (۱۶۶۲- ۱۶۲۳)، ریاضیدان بزرگ فرانسوی که در دوران نوجوانی یک ماشین حساب مکانیکی کارآمد اختراع کرده بود، پیوستند. پاسکال همچنین یکی از مبتکران نظریه احتمال بود - حوزه‌ای از منطق که در فصل پایانی این کتاب به آن خواهیم پرداخت. سایر کتاب‌های درسی که از پی آمدند از جمله عبارت‌اند از منطق یا کاربرد صحیح استدلال (۱۷۲۵) [Logick, or the Right Use of Reason] توسط Isaac Watts؛ و سپس منطق (۱۸۲۶) توسط ریچارد واتلی (Richard Whately). در ۱۸۴۳ یکی از بزرگترین همه کتاب‌های درسی منطق بنام دستگاه منطق (A System of Logic) نوشته جان استوارت میل (۱۸۷۳- ۱۸۰۶) در انگلستان منتشر شد. در این کار، برای اولین بار تکنیک‌هایی که ما با آنها روابط علی را در دنیای واقعی کشف و تأیید می‌کنیم با جزئیات دقیق بیان شد. روشهای میل را، که هنوز مرتبط و سهم‌دار در مطالعه منطق استقرایی‌اند، ما در بخش سوم این کتاب به طور مفصل بحث میکنیم.

در منطق استنتاجی هنوز کارهای خلاقانه زیادی برای انجام دادن باقی مانده بود. آشکار شد که استدلال در [و با] زبان طبیعی به علت وجود چندپهلویی، ابهام و نبود دقت [در زبان طبیعی] زیر بار بیش از توان است. یکی از بزرگترین متفکران مدرن، گاتفرید ویلهم لایب نیتس (۱۷۱۶-۱۶۴۶) چنین کاری، غلبه بر این کمبودها، را با گسترش یک زبان نمادین دقیق ریاضی عهده دار شد، زبانی که در آن مفاهیم بتوانند آشکارا بی‌ابهام و چندپهلو بیان شوند. لایب نیتس (همچنین یکی از مخترعان مستقل حساب بینهایت کوچک‌) گونه‌ای ماشین منطقی را در اندیشه داشت - دستگاهی که با آن بتوان اعمال با سرشت منطقی را بطور کارآمد و دقیق، آنگونه که در جبر انجام می‌شود و او به خوبی آن را می‌دانست، انجام داد. آن ماشین منطقی بزرگ، که او بدان دست نیافت، را می‌توان همچون پیشگویی کامپیوترهای الکترونیکی مدرن تلقی کرد.

جرج بول، منطق‌دان انگلیسی، پیشرفت بزرگی در جهت رسیدن به هدف لایب نیتس، در کار خود پژوهش در قوانین اندیشه (Investigation into the Laws of Thought - ۱۸۴۵)، انجام داد و آن ابداع یک دستگاه عام برای بیان دقیق و در نتیجه کارگیری روشمند گزاره‌ها بود. گزاره‌ها از زمان ارسطو و کریسیپوس عهده‌دار نقش اصلی در منطق بودند. اما، این تنها تحلیل جرج بول از گزاره‌ها - تعبیر بولی که در فصل ۶ این کتاب به تفصیل مورد بحث قرار گرفته - بود که در نهایت یک دستگاه به تمامی منطقی از منطق گزاره‌ها ممکن شد.

ریاضی‌دانان و منطق‌دانان دیگر پیشرفت‌های چشم‌گیر در حوزه منطق داشتند که ارمغان آن دقت و کارآمدی بیشتر در منطق استنتاجی بود. یکی از آنها آگوستوس دمورگان (۱۸۷۱-۱۸۰۶) بود، که پیشتر در بالا در رابطه با کارهای ویلیام اوکام به او اشاره شد. قضیه‌هایی که هنوز نام او را بر خود دارند و تا امروز ابزارهای منطقی بس مهمی در اثبات اعتبار استدلال‌های استنتاجی بوده‌اند. منطق‌دان انگلیسی دیگر، جان ون (۱۹۲۳-۱۸۳۴)، با طراحی یک سیستم زیبا و ساده برای نمایش شمایل‌گون گزاره‌های کتگوریک (حملی) به روند تعیین اعتبار استنتاجی کمک شایان کرد. نمودارهای ون، که اکنون هم بطور گسترده بکار می‌روند، از دایره‌های متقاطع تشکیل شده‌اند. با آنها همچون یک ابزار کاربردی آسان می‌توان توان دیداری به فهم گزاره‌ها، در تثبیت اعتبار یا بی‌اعتباری قیاس‌های کتگوریک، افزود. ما در بخش دوم این کتاب از نمودارهای ون بطور گسترده استفاده خواهیم کرد.

یکی از بزرگترین فیلسوفان آمریکایی، چارلز سندرس پیرس (۱۹۱۴-۱۸۳۹)، که بیشتر بعنوان بنیانگذار جنبش معروف به پراگماتیسم شناخته می‌شود، در درجه اول خود را منطقدان می‌دانست. منطق برای وی موضوع بررسی بسیار گسترده‌ شامل روش‌های همه‌ی پرس و جو بود. منطق استنتاجی صوری، که او در آن سهم قابل توجه داشت، یکی از شاخه های آن بود. پیرس می‌گفت ما با نمادها می‌اندیشیم و منطق نظریه صوری نماد است. او برخی مفاهیم جدید، مانند شمول (پیراگیری – درخود داری) و جمع منطقی را معرفی کرد. پیرس نمادهایی را برای بیان اَعمال منطقی جدید ابداع کرد. او منطق رابطه‌ها (نسبت‌ها - relations) را کاوید ـ و در آنچه بعد در بیان عملیات بولی (جبر بول) با استفاده از ویژگی‌های مدارهای سوئیچینگ (مدارهای روشن/خاموش ساز ـ switching) الکتریکی انجام یافت ـ پیشقدم بود که گامی کلیدی درجهت گسترش واقعی ماشین‌های منطقی چند-منظوری (all-conquering)، برای آنچه در اندیشه لایب نیتس حضور داشت، بود.

توسط منطقدان آلمانی گوتلوب فرگه (۱۹۲۵-۱۸۴۸) دستگاه دقیق و صوری منطق گزاره‌ای ایجاد شد. این دستگاه و ابداع مفهوم سور گذاری (Quantification)، او را بعنوان یکی از بزرگترین منطقدانان مدرن برپای کرد. با سور گذاری – آنطور که در فصل ۱۰ این کتاب به تفصیل توضیح داده‌ایم - می‌توان بطور دقیق با انبوه بسیار بزرگ از استدلال‌های استنتاجی کار کرد، که در غیر این‌صورت نمی‌توانستیم به آسانی توسط سازواره منطق نمادین مدرن به آنها راه یابیم.

برتراند راسل (۱۹۷۰-۱۸۷۲) و آلفرد نورث وایتهد (۱۹۴۷-۱۸۶۱) برآن شدند تا همه این کارهای نو در منطق استنتاجی را در یک رساله گسترده و چشمگیر گردبیاورند. حاصل اصول ریاضی (Principia Mathematica) بود که در سه جلد در سالهای ۱۹۱۰، ۱۹۱۲، ۱۹۱۳ منتشر شد. راسل و وایتهد با استفاده از نمادهایی که توسط منطق‌دان ایتالیایی جوزپه پئانو (و با برخی تعدیل) (۱۹۳۲-۱۸۵۸) ابداع شده بود و نیز دستگاه منطقی که قبلاً توسط فرگه و راسل و وایتهد گسترش یافته بود، تلاش کردند نشان دهند که تمام ریاضیات را می‌توان از چند اصل موضوع منطقی مبنایی بدست آورد. بسیاری از آنچه در فصل های ۹، ۱۰ و ۱۱ این کتاب آمده برگرفته از کار آنها و بطور غیرمستقیم بیشتر از کار گوتلوب فرگه است.

منطق استنتاجی به گسترش ادامه‌داد. تحت هدایت ریاضی‌دانان بزرگی چون دیوید هیلبرت (۱۹۴۳-۱۸۶۲)، تمامیت و تصمیم-پذیری دستگاههای اصل موضوعی در قرن بیستم مورد توجه بسیار قرار گرفت. کورت گودل (۱۹۷۸-۱۹۰۶) در پایان‌نامه دکتری (Ph.D.) خود در سال ۱۹۲۸ تمامیت منطق محمولات مرتبه اول را ثابت کرد (فصل ۱۱). یک سال بعد گدل نشان داد برای هر دستگاه اصل موضوعی به آن اندازه توانمند که حساب اعداد طبیعی را توصیف کند، گزاره‌های تصمیم-ناپذیری، به فرض B، وجود دارد، به قسمی که نه B و نه نقیض آن B~ در این دستگاه دست‌آمدنی باشند. این [قضیه اول ناتمامیت و قضیه دوم ناتمامیت] همان بود که در آن موقع جهان منطق و ریاضی را دچار شوک کرد. در دوران جدیدتر جنبه‌های دیگر منطق استنتاجی مورد بررسی قرار گرفته است: تمایز منطق "فازی" و "crisp" واکاوی شد؛ منطق مدال(Modal logic)، که در آن به مفاهیم امکان و ضرورت پرداخته می‌شود، بسیار گسترش یافت.

اما شاید هیچ چیزی که منطق‌دانان مدرن انجام داده‌اند تأثیری ژرف‌تر از آنچه توسط آلن تورینگ (۱۹۵۴-۱۹۱۲)، جان فون نویمان (۱۹۵۷-۱۹۰۳) و دیگران گسترش یافت - یعنی مفهوم دقیق محاسبه-پذیری (رایانش، Computing) و معماری اندیشور مدارهای کامپیوترهای دیجیتال ـ را نداشته باشد. دیر نگذشت که با ساخت واقعی و تکمیل تدریجی کامپیوترهای دیجیتال الکترونیکی در طول قرن بیستم، چشم انداز بزرگ لایب نیتس سرانجام واقعی شد.

آنچه در بالا آمده تاریخ منطق را در غرب، عمدتاً در اروپا و آمریکای شمالی ترسیم میکند. البته در جاهای دیگر این سیاره منطق موضوع بررسی بوده - اما ما اسناد قابل دسترسی و دقیقی از کشفیاتی که مدتها پیش در چین و هند انجام شده نداریم. ما می‌دانیم در هند کارهای زیادی روی اصول منطق انجام شده است. دمورگان تحت تأثیر آن بود؛ قضایایی که نام او دارند، که در فصل ۱۰ این کتاب توضیح آن آمده، بطور مستقل در هند گسترش یافته است. جورج بول نیز متأثر از متفکران هندی بود. به نظر میرسد قواعد استنتاج بی‌واسطه، که در این کتاب در فصل ۶ مورد بحث قرار گرفته، در هند سازوار شده است، لیکن در آنجا منطق، از جمله عناصر استنتاجی و استقرایی، بر استدلال فلسفی تاثیر داشته تا دستگاه‌های صوری. در چین، در زمان فیلسوف موزی(Mozi) (۴۷۰-۳۹۱ پ.م)، اصول استدلال آنالوژیک، که در فصل ۱۲ این کتاب مورد بحث قرار گرفته، گسترده شد. اما نمی‌توان از این تاریخ مطمئن بود، زیرا در سال‌های ۲۱۳-۲۰۶ پیش از میلاد، سلسله شین (Qin)، برای از بین‌بردن تمام نشانه‌های سلسله‌های پیشین، بسیاری از کتاب‌ها را سوزاند و بسیاری از دانشمندان را کشت. بنابراین، بسیاری آثار پیشین برای همیشه نابود شد.

از زمان ارگانون ارسطو تا قرن بیست و یکم، بیشتر مردم منطق را فقط از یک کتاب خوانده تا کتابهای دیگر. آن کتاب، که اکنون در دستان شماست، درآمد به منطق است که در اصل توسط یکی از تواناترین و متفکران ژرف اندیش قرن بیستم، زنده‌یاد ایروینگ ام.کپی(Irving M. Copi) (۱۹۱۷-۲۰۰۲) نوشته و به بار نشانده شده.

توجه: