حساب احتمالات

همان‌طور که در قسمت قبل دیدیم در بیشتر موارد احتمال رویدادهای منفرد قابل‌محاسبه‌اند. با دانستن (یا فرض کردن) آن‌ها می‌توان محاسبه را ادامه داد و احتمال بعض روادید مرکب — یعنی آن رویداد که بتوان آن را به‌عنوان یک کل در نظر گرفت، آن‌گونه که دارای مؤلفه‌هایی باشند و این مؤلفه‌ها خود رویداد‌های منفرد باشند — را حساب کرد. مشاهده کردیم که مطابق نظریه پیشینی، احتمال کشیدن یک کارت پیک از یک دسته کارت به هم‌آمیخته ^۱/_۴ است. حال درباره کشیدن دو پیک به‌صورت پی‌درپی از این دسته کارت چه می‌توان گفت؟ کشیدن اولین کارت پیک مؤلفه اول است؛ کشیدن دومین کارت پیک مؤلفه دوم است؛ کشیدن دو کارت پی‌درپی پیک رویداد مرکبی است که ممکن است بخواهیم احتمال آن را حساب کنیم. وقتی دانسته باشد که چگونه رویدادهای مؤلفه‌ای به هم ربط دارند احتمال رویداد مرکب را می‌توان از احتمال رویدادهای مؤلفه‌ای آن به دست آورد(حساب کرد).

حساب احتمال شاخه‌ای از ریاضیات است که امکان چنین محاسبه‌ای را میسر می‌سازد. در اینجا ما فقط طرح کلی مقدماتی آن را بررسی خواهیم کرد. دانستن احتمال بعضی پیشامدهای در زندگی روزانه می‌تواند بسیار مهم باشد و ازاین‌رو کاربرد حساب احتمال نیز می‌تواند فوق‌العاده مهم باشد. تسلط بر قضیه‌های بنیادین آن از جمله یکی از مهم‌ترین نتایج خواندن منطق است.

حساب احتمال را می‌توان با بیش‌ترین سادگی برحسب بازی‌های شانسی توضیح داد — مثل تاس، کارت و مانند آن‌ها — زیرا محدودیت عالم مصنوعی در این بازی‌ها توسط قوانینشان، کار زدن سرراست قضیه‌های احتمال را میسر می‌کند. در آنچه آمده نظریه پیشینی احتمال بکار گرفته‌شده، لیکن با اندک باز-تعبیر می‌توان همه نتایج را برحسب نظریه فراوانی نسبی احتمال نیز بیان کرد.

در اینجا ما دو قضیه مقدماتی را بحث خواهیم کرد.

اکنون به‌نوبت آن‌ها را شرح خواهیم داد.

آ. احتمال رخدادهای همراه

فرض کنید می‌خواهیم احتمال آمدن دو شیر در پرتاب دو سکه را حساب کنیم. این دو مؤلفه را آ و ب می‌نامیم، قضیه بسیار ساده‌ای وجود دارد که با استفاده از آن می‌توان احتمال آ و هم ب را حساب کرد. این قضیه به قضیه حاصل‌ضرب موسوم است و فقط مستلزم ضرب دو کسری است که احتمال هریک از دو مؤلفه را نشان می‌دهند. وقتی دو سکه پرتاب می‌شود چهار پیشامد متمایز وجود خواهد داشت. آن‌ها را به بهترین وجه می‌توان در یک جدول نشان داد.

دلیلی نیست تا انتظار یکی از این چهار حالت را بیشتر از دیگری داشته باشیم، بنابراین آن‌ها را به‌طور یکسان ممکن در نظر می‌گیریم. حالت (دو شیر) که رخداد آن موردنظر ماست فقط یکی از این چهار رویداد هم امکان است، بنابراین احتمال آمدن دو شیر در دو پرتاب ^۱/_۴ است. این مقدار را می‌توان مستقیماً حساب کرد:

 احتمال آمدن دو شیر در دو پرتاب برابر است با آمدن شیر در پرتاب اول، یعنی ^۱/_۲، ضرب‌در احتمال آمدن شیر در پرتاب دوم، یعنی ^۱/_۲، که به‌عبارتی می‌شود: ^۱/_۲ × ^۱/_۲=^۱/_۴.

توجه داشته باشید که این ضرب ساده فقط وقتی بکار می‌آید که دو رویداد رویدادهای نابسته باشند – یعنی رخ دادن یکی تأثیری بر رخ دادن دیگری نداشته باشد.

قضیه حاصل‌ضرب برای رویدادهای نابسته می‌گوید احتمال توأمان دو رویداد نابسته برابر حاصل‌ضرب احتمال رویدادهای جداگانه آن‌ها است. این را به‌صورت زیر می‌نویسند:

P(آ و ب) = P(آ) × P(ب)

که در آن (آ)P و (ب)P احتمال‌های جداگانه دو رویداد هستند و P(آ و ب)  نشان‌دهنده رویداد رخ دادن توأم آن‌ها است.

این قضیه را در مورد دیگری بکار می‌زنیم: احتمال به دست آوردن عدد ۱۲ در پرتاب دو تاس چقدر است؟

اگر روی یک میز تمام پیشامدهای هم امکان حاصل از پرتاب دو تاس را نمایش دهیم به نتیجه یکسانی خواهیم رسید. ۳۶ پیشامد ممکن وجود دارد که فقط یکی از آن‌ها مطلوب ما برای به دست آوردن ۱۲ است.

نیاز نیست تا خود را فقط به دو مؤلفه محدود کنیم. قضیه حاصل‌ضرب را می‌توان تعمیم داد، به‌طوری‌که شامل احتمال توأم هر تعداد رویداد نابسته باشد. اگر یک کارت از یک دسته کارت درهم‌آمیخته بکشیم، سپس آن را در دسته کارت قرار دهیم و مجدداً یک کارت بکشیم (با فرض این‌که بعد از هر برگردان کارت بلافاصله دسته کارت درهم آمیخته می‌شود) و این کار را برای بار سوم انجام دهیم، احتمال به دست آوردن یک پیک در هر بار کشیدن کارت تحت تأثیر موفقیت یا شکست در کارت کشیدن‌های دیگر نیست.

احتمال کشیدن یک کارت پیک در هر بار ^۱۳/_۵۴ یا ^۱/_۴ است. احتمال کشیدن سه کارت پیک در هر سه بار، چنانچه بعد از هر کشیدن کار به دسته کارت برگردانده شود عبارت است از

^۱/_۴ × ^۱/_۴ × ^۱/_۴=^۱/_۶۴.

بنابراین قضیه عام حاصل‌ضرب امکان محاسبه رخ دادن توأم هر تعداد رویداد را فراهم می‌سازد.

اما اگر رویدادها نابسته نباشند چه خواهد شد؟ اگر موفقیت در یک حالت در موفقیت حالت دیگر تأثیرگذار باشد چه روی خواهد داد؟ در مثال‌هایی که تاکنون آمد نیاز نبود تا رابطه میان رویدادهای مؤلفه‌ای لحاظ شود، ولی رویدادهای مؤلفه‌ای می‌توانند به طریقی به هم مربوط باشند، به قسمی که نیازمند به‌دقت بیشتر در محاسبه‌احتمال باشد. برای مثال به نسخه دیگری از همین مثال اخیر توجه نمایید. فرض کنید ما به دنبال احتمال کشیدن سه کارت پیک از دسته کارت درهم‌آمیخته هستیم، ولی بدون برگردان کارت کشیده شده. اگر کارت کشیده شده قبل از کشیدن کارت بعدی به دسته کارت برگردانده نشود، آنگاه پیشامد کشیدن کارت قبلی بر پیشامد کشیدن کارت‌های بعدی تأثیرگذار است.

اگر اولین کارت کشیده پیک باشد آنگاه هنگام کشیدن دومین کارت فقط ۱۲ کارت از کل ۵۱ کارت پیک هستند، و اگر اولین کارت کشیده پیک نباشد آنگاه هنگام کشیدن دومین کارت ۱۳ کارت از کل ۵۱ کارت پیک هستند. اگر a را رویداد کشیدن یک کارت پیک بدون برگرداندن آن به دسته کارت و b را نیز رویداد کشیدن یک کارت پیک دیگر از میان باقیمانده دسته کارت بگیریم؛ در این صورت:

احتمال b اگر a، یا P(b| a اگر) برابر ^۱۲/_۵۱ یا ^۴/_۷ خواهد بود.

اگر a و هم b رخ دهند آنگاه سومین کارت از یک دسته کارت ۵۰ تایی که شامل ۱۱ پیک است کشیده خواهد شد. اگر c این آخرین رویداد باشد آنگاه احتمال c وقتی a و هم b رخ‌داده باشند، یعنی:

P(c|b وهم a اگر)  برابر ^۱۱/_۵۱ خواهد شد.

بنابراین احتمال آمدن اینکه هر سه پیک باشند، وقتی کارت‌ها کشیده برگردانده شوند، طبق قضیه حاصل‌ضرب برابر:

 ^۱۱/_۵۰ × ^۱۲/_۵۱ × ^۱۳/_۵۲ و به عبارتی ^۱۱/_۸۵۰ خواهد بود.

این کمتر از احتمال به دست آوردن سه پیک وقتی کارت کشیده شده به دسته کارت برگردانده شود است. انتظار نیز همین بود، چراکه برگرداندن پیک احتمال به دست آورد پیک در دور بعد را افزایش می‌دهد.

قضیه عام حاصل‌ضرب را می‌توان درباره پیامدهای عالم واقع، همان‌طور که در ادامه و در شرح واقعی یک مورد خواهید دید، بکار زد. در کالیفرنیا یک نوجوان مبتلابه سرطان خون/leukemia دیرینه در انتظار اهداکننده مناسب برای پیوند مغز استخوان بود که در غیر این صورت نه‌چندان دیر منجر به مرگ وی می‌گردید. وقتی تلاش‌ها برای پیدا کردن اهداکننده مناسب به شکست انجامید والدین وی به امید آنکه عمل پیوند مغز استخوان موفق میسر شود تصمیم به آوردن فرزند دیگری گرفتند. برای این کار ابتدا نیاز بود تا وازکتومی پدر دختر برگردانده شود که فقط ۵۰ درصد (۰/۵) شانس موفقیت آن بود. اگر این عمل موفقیت‌آمیز می‌بود امکان حاملگی مادر دختر در سن ۴۵ سالگی فقط ۰/۷۳ بود و فقط ۱ در ۴ (۰/۲۵) شانس آن بود که مغز استخوان نوزاد آینده مناسب برای پیوند به خواهرش باشد، و تازه اگر چنین جور بودنی حاصل می‌شد فقط ۰/۷ شانس زنده ماندن در دوران عمل و شیمی‌درمانی وجود داشت.

ب. احتمال رخدادهای جایگزینی

گاهی می‌پرسیم: احتمال رخ دادن حداقل یک رویداد از یک مجموعه رویداد — یعنی رخداد جایگزین پذیر — چقدر است؟ این محاسبه را وقتی می‌توانیم انجام دهیم که احتمال هر رویداد مؤلفه‌ای را بدانیم یا بتوانیم آن ‌را حساب کنیم. قضیه‌ای را که در این مورد بکار می‌بریم به قضیه حاصل جمع موسوم است.

برای مثال ممکن است پرسیده شود: احتمال کشیدن یک تک پیک یا تک گشنیز از یک دسته کارت چقدر است؟ آشکار است که حاصل شدن هر یک از این پیشامدها، هرکدام که می‌خواهد باشد. بیشتر از احتمال حاصل آمدن یکی از آن‌ها است و همچنین بزرگ‌تر از حاصل آمدن دوتای آن‌ها به‌صورت توأم است. در بسیاری حالات، مثل این‌یکی، احتمال رخداد جایگزینی آن‌ها صرفاً عبارت است از حاصل جمع احتمال مؤلفه‌ها. احتمال کشیدن یک تک ‌پیک ^۱/_۴ است، احتمال کشیدن یک تک گشنیز ^۱/_۴ است؛ احتمال کشیدن یک تک ‌پیک یا یک تک گشنیز ^۱/_۴+^۱/_۴=^۱/_۴است. وقتی پرسش درباره رخداد توأم است ضرب می‌کنیم؛ وقتی پرسش درباره رخداد جایگزین است جمع می‌کنیم.

در مثالی که آمد، دو رویداد مؤلفه‌ای دوبه‌دو ناسازگار [دارای ناسازگاری دوطرفه] بودند. به دست ‌آوردن یک تک پیک مستلزم آن بود که تک گشنیز به دست نیاید و همین‌طور به‌عکس. بنابراین قضیه حاصل جمع برای وقتی‌که رویدادها دوبه‌دو ناسازگارند سرراست و ساده به‌قرار زیر خواهد بود.

P(a یا b) = P(a) + P(b)

این را می‌توان به هر تعداد انتخاب مانند آ یا ب یا ج یا . . . تعمیم داد. اگر همه این جایگزین‌ها دوبه‌دو ناسازگار باشند آنگاه احتمال رخ دادن یکی یا دیگری از آن‌ها، برابر جمع احتمالات هر یک از آن‌ها خواهد بود.

گاهی نیاز است هم قضیه حاصل‌ضرب و هم قضیه حاصل جمع را بکار بزنیم. برای مثال، در بازی پوکر یک دست برگ تراز (پنج کارت از یک نوع) یک دست بسیار قوی است. می‌خواهیم بدانیم احتمال کشیدن چنین دستی چقدر است؟ ابتدا احتمال آمدن پنج برگ از یک نوع، به فرض پیک، را حساب می‌کنیم. این احتمال رخ دادن پنج رویداد توأم است که قطعاً نابسته نیستند، زیرا دست آوردن هر برگ پیک احتمال دست آوری برگ پیک بعدی را کاهش می‌دهد. با کار زدن قضیه حاصل‌ضرب برای رویدادهای وابسته داریم:

^۱۳/_۵۲ × ^۱۲/_۵۱ × ^۱۱/_۵۰ × ^۱۰/_۴۹ × ^۹/_۴۸ = ^۳۳/_۶۶۶۴۰

همین نیز احتمال به دست آوردن پنج برگ دل و همین‌طور احتمال به دست آوردن پنج برگ گشنیز و نیز به دست آوردن پنج برگ خشت هم است. این‌ها چهار رویداد جایگزین دو به دو ناسازگار هستند، بنابراین احتمال هرکدام از آن‌ها که می‌خواهد باشد جمع آن‌ها است:

^۳۳/_۶۶۶۴۰ × ^۳۳/_۶۶۶۴۰ × ^۳۳/_۶۶۶۴۰ × ^۳۳/_۶۶۶۴۰ = ^۳۳/_۱۶۶۶۰

که کمی کمتر از ۰/۰۰۲ است. پس عجیب نیست که یک دست تراز، یک دست برنده باشد.

رویدادهای قابل جایگزین اغلب دوبه‌دو ناسازگار نیستند و وقتی چنین نباشند محاسبه آن‌ها پیچیده‌تر خواهد بود. ابتدا به یک مثال ساده توجه کنید: احتمال به دست آوردن حداقل یک شیر در دو پرتاب یک سکه چقدر است؟ این مسلم است که دو مؤلفه (به دست آوردن یک شیر در پرتاب اول یا به دست آوردن یک شیر در پرتاب دوم) دوبه‌دو ناسازگار نیستند و هردو می‌توانند رخ دهند. اگر صرفاً احتمال‌های آن‌ها را باهم جمع کنیم آنچه به دست می‌آید ^۱/_۲ + ^۱/_۲=۱است، و این یعنی قطعیت- حال‌آنکه می‌دانیم پیشامد موردنظر ما قطعی نیست! این نشان از آن دارد که برای رویدادهای مؤلفه‌ای غیر دوبه‌دو ناسازگار قضیه حاصل جمع به‌طور مستقیم کار زدنی نیست. اما می‌توان آن را به‌طور غیرمستقیم به یکی از دو طریق به کار زد.

یکم، می‌توانیم حالت‌های مطلوب را به مجموعه رویدادهای دوبه‌دو ناسازگار بشکنیم و سپس به‌سادگی احتمال‌های آن‌ها را باهم جمع کنیم. در مثال اخیر سکه، سه رویداد مطلوب ما است: شیر – خط، خط – شیر و شیر-شیر. احتمال هرکدام ( با کار زدن قضیه حاصل‌ضرب)^۱/_۴  است. به دست آوردن یکی از این سه رویداد دوبه‌دو ناسازگار (با کار زدن قضیه حاصل جمع) برابر جمع آن‌ها: ^۳/_۴ یا ۰/۷۵ است.

طریق دیگری برای رسیدن به نتیجه یکسان نیز هست. می‌دانیم که هیچ پیشامدی نمی‌تواند هم مطلوب باشد و هم مطلوب نباشد. بنابراین احتمال مرکب جایگزینی که ما دنبال آن هستیم برابر است با احتمال رخ ندادن هیچ‌یک از مؤلفه‌های جایگزین منهای از یک. احتمال خط–خط ^۱/_۴ است؛ بنابراین احتمال آمدن حداقل یک شیر در یکی از پرتاب‌ها برابر:

۱ - ^۱/_۴ = ^۳/_۴ یا ۰/۷۵ خواهد بود.

 یعنی همان‌که قبل نیز حساب کرده بودیم. با کار زدن نشانه a برای رویداد غیر مطلوب نسبت به a، می‌توانیم قضیه رویدادهای جایگزینی که در آن رویدادهای مؤلفه‌ای دو به دو ناسازگار نیستند را مطابق زیر پیکربندی نماییم.

P(a) = ۱ - P(a)

احتمال رخ دادن یک رویداد برابر است با ۱ منهای احتمال رخ ندادن آن رویداد.➥

استدلال پشت سر پیکربندی قضیه رخ‌دادهای جایگزین به این قرار است که: ضریب احتمال منسوب به یک رویداد قطعی ۱ است. برای هر رویداد قطعی است که رخ خواهد داد یا نخواهد داد؛ یعنی a یا a باید درست باشد. بنابراین احتمالP(a یا a)=۱ . آشکار است که a و a دو‌به‌دو ناسازگارند؛ بنابراین احتمال یکی با دیگری برابر جمع احتمال‌های آن‌هاست؛ یعنی: P(a یا a)=P(a)+P(a). بنابراین، P(a)+P(a)=۱. ب بردن P(a) به‌طرف دیگر و تغییر علامت آن، داریم: P(a)=۱-P(a).

گاهی روش اول و گاهی روش دوم ساده‌تر است. این دو روش را می‌توان با استفاده از مثالی که به دنبال می‌آید مقایسه کرد: فرض کنید دو گلدان داریم که در اولی دو مهره سفید و چهار مهره سیاه وجود دارد، دومی دارای سه مهره سفید و چهار مهره سیاه است. اگر یک مهره از هر گلدان به‌تصادف بکشیم، مطلوب است احتمال کشیدن حداقل یک مهره سفید. با استفاده از روش اول حالت‌های مطلوب را به سه گزینه دوبه‌دو ناسازگار تقسیم می‌کنیم و سپس احتمال‌های آن‌ها را باهم جمع می‌کنیم:

(۱) یک مهره سیاه از یک گلدان و یک مهره سیاه از دومی (^۲/_۶×^۱/_۱۲=^۱/_۴)؛
(۲) یک مهره سیاه از گلدان اول و یک مهره سفید از دومی (^۴/_۶×^۳/_۱۲=^۱/_۶)؛
(۳) یک سفید از هر دو گلدان (^۲/_۶×^۳/_۱۲=^۱/_۱۲).

این‌ها دوبه‌دو ناسازگارند و می‌توان به‌سادگی آن‌ها را جمع کرد:

^۱/_۴ × ^۱/_۶ × ^۱/_۱۲ = ^۱/_۲.

حاصل جمع عبارت از کشیدن حداقل یک مهره سفید است.

در روش دوم احتمال شکست را معین می‌کنیم که برابر است با احتمال کشیدن یک مهره سیاه از هر دو گلدان (^۴/_۶×^۹/_۱۲) و آن را از ۱ کسر می‌کنیم. آنچه به دست می‌آوریم (۱-^۱/_۲=^۱/_۲) است. و البته که دو روش نتیجه یکسان به دست می‌دهند.

کاربرد حساب احتمال گاهی به نتایجی منجر می‌شود که گرچه صحیح، ولی متفاوت از آنچه‌اند که ما فی‌الجمله با توجه به راستینه‌های در دست پیش‌بینی می‌کنیم. این‌گونه نتیجه را نتیجه غیر متوقع می‌نامند. وقتی حل یک مسئله غیر متوقع است ممکن است فرد آن را اشتباه برآورد نماید و این به وی دلیری دهد در بازی‌ها درگیر شود؛ مثل این شرط‌بندی: دریکی از غرفه‌های شهربازی سه تاس انداخته می‌شود و متصدی غرفه (با ریسک یک دلار و برگشت یک دلار بیشتر در صورت بردن) شرط می‌بندد که هیچ‌یک از پرتاب سه تاس یک نیاید. هر تاس شش وجه دارد و شما سه شانس برای آمدن یک دارید؛ به‌ظاهر بازی منصفانه‌ای می‌آید.

درواقع این بازی منصفانه‌ای نیست و طرف طرار که بر واقعیت غیر متوقع سرمایه‌گذاری می‌کند مبالغ هنگفت را درو می‌کند. این بازی وقتی منصفانه بود که فقط اگر ظاهر شدن هر عددی روی یکی از این تاس‌ها مانع از آمدن آن روی دو تاس دیگر می‌شد. آشکارا در این بازی این‌چنین نیست. بازیگر با راحتی خیال ولی به‌اشتباه (و ناخودآگاه) به‌وسیله و با تصور ناسازگاری دوطرفه(دو‌به‌دو ناسازگار) به گمراهی افتاده است. البته که شماره‌ها دو‌به‌دو ناسازگار نیستند و بعضی پرتاب‌ها منجر به آمدن یک عدد یکسان روی دو یا سه تاس خواهد شد. سعی بر شناسایی و شمارش همه پیشامدهای ممکن و سپس شمارش پیشامدهایی که در آن‌ها حداقل عدد یک آمده باشد به‌سرعت خستگی‌آور و نتیجتاً ناتوان‌کننده می‌گردد. چراکه، آمدن هر عددی مانع از آن نمی‌شود که آن عدد برای بقیه تاس‌ها نیاید. و این چنین است که این بازی یک گوش‌بری است — و وقتی بهتر آشکار می‌شود که شانس بردن را ابتدا با تعیین شانس باختن و سپس کسر آن از عدد ۱ محاسبه کرد. احتمال آمدن یک غیر ۱ (یک ۲، یک ۳، یک ۴، یک ۵، یک ۶) مساوی ^۵/_۶ است. احتمال باختن، یعنی به دست آمدن سه غیر ۱ به‌قرار:

^۵/_۶ × ^۵/_۶ × ^۵/_۶

است (زیرا پرتاب تاس‌ها نابسته به هم هستند.) این برابر ^۱۲۵/_۲۱۶ یا ۰/۵۷۹ است! بنابراین، احتمال آنکه بازیکن حداقل در یک پرتاب یک بیاورد برابر:

۱-^۱۲۵/_۲۱۶=^۹۱/_۲۱۶ یا ./۴۲۱

است.

■ بازی کرپ [Craps]

اکنون روی مسئله به نسبت سخت‌تری در احتمال کار می‌کنیم. بازی کرپ [craps]  با دو تاس بازی می‌شود. تاس انداز و وقتی برنده می‌شود که در دور اول ۷ یا ۱۱ بیاید و بازنده خواهد شد اگر عدد در دور اول عدد ۲، ۳ و یا ۱۲ بیاید. اگر در دور اول یکی از بقیه اعداد ۱۰ ،۹ ،۸، ۶، ۵، ۴ بیاید، تاس انداز دور بعدی را آغاز می‌کند تا اینکه یا همان عدد بیاید که در این صورت تاس انداز برند می‌شود یا ۷ بیاید که در این صورت تاس‌انداز خواهد باخت. به‌طور گسترده عقیده بر این است که کرپ یک بازی "منصفانه" است – یعنی یک بازی که در آن تاس‌انداز شانس مساوی برای بردن دارد. آیا همین‌گونه است؟ اکنون احتمال آنکه تاس‌انداز برنده شود را محاسبه می‌کنیم.

برای این کار، ابتدا باید احتمال‌های رخ دادن شماره‌های مختلف را به دست آوریم. به ۳۶ طریق ممکن، با احتمال مساوی، دو تاس می‌توانند فرود آیند. فقط دریکی از این طریقه‌ها می‌تواند یک ۲ ظاهر شود، بنابراین احتمال این پیش آمد ^۱/_۳۶ است. فقط دریکی از این طریقه‌ها می‌تواند یک ۱۲ ظاهر شود، بنابراین احتمال این پیش آمد نیز ^۱/_۳۶ است. به دو طریق، ۲-۱ و ۱-۲، می‌تواند حاصل آمدن ۳ باشد، بنابراین احتمال آمدن یک ۳ برابر ^۲/_۳۶ است. به همین طریق احتمال آمدن یک ۱۱ نیز ^۲/_۳۶ است. به سه طریق می‌تواند یک ۴ به دست آید:

(۱-۳، ۲-۲، ۳-۱)،

بنابراین احتمال آمدن یک ۴ برابر ^۳/_۳۶ است. به همین طریق احتمال آمدن یک ۱۰ نیز ^۳/_۳۶ است. به چهار طریق می‌تواند یک ۵ بیاید

(۱-۴، ۲-۳، ۳-۲، و ۴-۱)،

بنابراین احتمال آمدن یک ۵ برابر ^۴/_۳۶ است و بعلاوه همین احتمال آمدن ۹ نیز هست. یک ۶ می‌تواند به یکی از ۵ طریق

(۴-۲، ۳-۳، ۲-۴، ۵-۱، و ۱-۵)

به دست آید، بنابراین احتمال یک ۶ برابر ^۵/_۳۶ است و بعلاوه همین احتمال برای آمدن ۸ نیز هست. شش ترکیب مختلف هست که ۷ را به دست می‌دهد

( ۶-۱، ۵-۲، ۴-۳، ۳-۴، ۲-۵، ۱-۶)،

بنابراین احتمال آمدن ۷ برابر ^۶/_۳۶ است.

احتمال برنده شدن تاس‌انداز در دور اول برابر است با حاصل جمع احتمال آمدن ۷ و احتمال آمدن ۱۱ که برابر است با ^۶/_۳۶+^۲/_۳۶=^۸/_۳۶ یا ^۲/_۹ احتمال باخت در دور اول برابر حاصل جمع احتمال آمدن یک ۲، یک ۳، و یک ۱۲ که برابر است با

^۱/_۳۶+^۲/_۳۶+^۱/_۳۶=^۴/_۳۶ یا ^۱/_۹.

احتمال برد تاس‌انداز در دور اول دو برابر احتمال باخت تاس انداز در دور اول است، اما به‌احتمال بیشتر هیچ‌کدام از این‌ها در دور اول نیاید و در عوض اعداد ۴، ۵، ۶ ،۸، ۹ یا ۱۰ ظاهر شوند. اگر یکی از این شش عدد بیاید تاس‌انداز مجبور است تاس اندازی را ادامه دهد تا اینکه مجدداً آن عدد بیاید که در این حالت تاس‌انداز برنده خواهد شد یا اینکه یک ۷ بیاید که در این صورت بازنده خواهد بود. آن حالت‌ها که نه عدد بار اول و نه عدد ۷ به دست آید قابل‌چشم‌پوشی هستند زیرا نقش تعیین‌کننده ندارند. فرض کنید تاس‌انداز در بار اول یک ۴ به دست آورد. در دور بعد حالت تعیین‌کننده [decisive] آمدن یک ۴ یا یک ۷ است. در دور تعیین‌کننده سه ترکیب با امکان مساوی ۴ را می‌سازد

(۳-۱، ۲-۲، ۱-۳)

و شش ترکیب ۷ را خواهند ساخت. بنابراین امکان آمدن یک ۴ در دور بعدی تعیین‌کننده ^۳/_۹ است. احتمال به دست آوردن یک ۴ در دور اول ^۳/_۳۶ بود، بنابراین احتمال بردن، آمدن یک ۴ در دور اول و سپس به دست آورد یک ۴ دیگر قبل آمدن ۷ برابر:

^۳/_۳۶×^۹/_۳۶=^۱/_۳۶ است.

به طریق مشابه احتمال برنده شدن تاس‌انداز به‌وسیله آمدن یک ۱۰ در دور اول و سپس به دست آوردن یک ۱۰ دیگر قبل از آمدن یک ۷ نیز ^۳/_۳۶×^۹/_۳۶=^۱/_۳۶ است.

با همین نحو استدلال می‌توانیم برندگی تاس انداز را وقتی در اولین دور یک ۵ به دست می‌آید و سپس یک ۵ دیگر قبل از آمدن ۷ به دست می‌آید را حساب کنیم. در این حالت، ۱۰ وضعیت با احتمال مساوی برای دور تعیین‌کننده وجود دارد: به چهار طریق

(۴-۱، ۳-۲، ۲-۳، ۱-۴)

ساخته می‌شود و به شش طریق نیز یک ۷ ساخته می‌شود. بنابراین احتمال برنده شدن با یک ۵ برابر:

^۴/_۳۶×^۴/_۱۰=^۲/_۴۵ است.

احتمال بردن با یک ۹ نیز ^۲/_۴۵ است. عدد ۶ نیز با احتمال بیشتر ممکن است در دور اول رخ دهد که احتمال آن ^۵/_۳۶ است و همین‌طور احتمال آمدن دوباره آن‌که از بقیه حالت های گفته‌شده قبل بیشتر است قبل از آمدن یک ۷ به‌قرار ^۵/_۱۱ است. بنابراین احتمال برنده شدن با ۶ برابر ^۶/_۳۶×^۵/_۱۱=^۲۵/_۳۹۶ است. و به همین شیوه احتمال برنده شدن با یک ۸ برابر ^۲۵/_۳۹۶ است.

هشت طریق متفاوت برای برنده شدن تاس‌انداز وجود دارد: اگر در دور اول یک ۷ یا ۱۱ بیاید، یا یکی از شش عدد ۴، ۵، ۶، ۸، ۹، یا ۱۰ در دور اول بیاید و دوباره این عدد قبل از یک ۷ بیاید. همه این حالت‌ها ناسازگارند، بنابراین احتمال کل برنده شدن تاس‌انداز برابر خواهد شد با حاصل جمع احتمال طریقه‌های جایگزینی که برای بردن ممکن است و این برابر است با

^۶/_۳۶+^۲/_۳۶+^۱/_۳۶+^۲/_۴۵+ ^۲۵/_۳۹۶+^۲۵/_۳۹۶+^۲/_۴۵+^۱/_۳۶=^۲۴۴/_۴۹۵.

که اگر آن را به اعشاری نشان دهیم داریم ۰/۴۹۳. این نشان می‌دهد که در بازی کرپ تاس انداز شانس کمتر از برابر برای بردن دارد — و اگر بخواهیم مطمئن بگوییم، شانس فقط کمی کمتر، ولی در به‌هرحال کمتر از ۰/۵.