مفهوم نگاشت‌های جایگزین احتمال

احتمال یک مفهوم سنجیدنی در همه منطق استقرایی است. نظریه احتمال آن‌گونه که فیلسوف آمریکایی چارلز ساندرز پیرس گفت «همان علم منطق است وقتی به گونه کمّی به آن نگریسته شود.» کاربردهای ریاضی این نظریه بسیار فراتر از دل‌مشغولی این متن است، لیکن سزاوار است تا بررسی منطق استقرایی را با تحلیل مفهوم احتمال و شرح خلاصه‌ای از کاربردهای آن به پایان رسانیم.

نظریه‌های علمی و قوانین علی درونِ آن‌ها نمی‌توانند چیزی بیش از احتمالی بودن باشند. استدلال استقرایی حتی در بهترین حالت فاقد قطعیتی هستند که در استدلال‌های استنتاجی هست. ما به نظریه‌ها یا به فرضیه‌ها از هر قسم که باشند درجه‌ای از احتمال را نسبت می‌دهیم که به گونه معقول [و نه دقیقاً محاسبه شده] بیان‌شده باشد. برای مثال، می‌توان بر اساس شواهد موجود تصدیق کنیم، نظریه نسبیت انیشتین "به ‌احتمال خیلی زیاد" صحیح است. یا گرچه نمی‌توانیم به‌طورقطع مطمئن باشیم که حیات در سایر سیارات منظومه شمسی وجود ندارد، اما می‌توانیم بگوییم هر نظریه که دال بر وجود چنین حیاتی باشد در پرتو دانسته‌های ما درباره این سیارات دارای احتمال بسیار پایین است. ما معمولاً در این برداشت یک مقدار عددی به‌ احتمال نظریه‌ها نسبت نمی‌دهیم.

لیکن، می‌توان به‌احتمال رویدادها در بسیاری از زمینه‌ها مقادیر عددی نسبت داد. مقداری که به‌ احتمال یک رویداد منسوب می‌شود به ضریب عددی احتمال موسوم است و چنین عددی می‌تواند بسیار مفید باشد. چگونه می‌توان به‌‌طور‌ قابل‌ اعتماد این عدد را نسبت داد؟ برای جواب به این پرسش باید بین دو برداشت بکار رفته از مفهوم احتمال تمیز قائل شد.

۱- مفهوم پیشینی احتمال

۲- مفهوم فراوانی نسبی احتمال

درواقع، نظریه پیشینی احتمال می‌پرسد، یک فرد عقلانی چه باورمندی باید درباره رویدادی مدنظر داشته باشد، و چه عدد بین ۰ و ۱ را به آن منسوب کند تا درجه‌ای از این باورمندی که عقلانی است را نشان دهد. اگر ما به‌تمامی متقاعد باشیم که آن رویداد رخ خواهد داد آنگاه مقدار ۱ را منسوب می‌کنیم. اگر باورمان این باشد که رخ دادن آن رویداد حتی ممکن هم نیست، آنگاه به باورمندی خود در رخ دادن آن رویداد عدد ۰ را منسوب می‌کنیم. و وقتی اطمینان نداریم آنگاه عدد منسوبی بین ۰ و ۱ خواهد بود. احتمال بیان یک گزاره بر اساس درجه‌ای است که فردی به تمام عقلانی به آن باور دارد.

چگونه (در این نظریه) عقلانی بودن را معین کنیم وقتی مطمئن نیستیم چه عددی بین ۰ و ۱ را باید نسبت دهیم؟ ما مطمئن نیستیم و این از منظر کلاسیک بدین خاطر است که دانش ما جزئی است؛ اگر همه‌چیز را درباره پرتاب یک سکه می‌دانستیم آنگاه می‌توانستیم با اطمینان مسیر و وضعیت سرانجامی ساکن آن را پیش‌بینی کنیم. ولیکن، آن‌چنان زیاد درباره سکه و پرتاب آن [عوامل] وجود دارد که ما نه می‌خواهیم و نه می‌توانیم آن‌ها را بدانیم. آنچه ما در اصل می‌دانیم چنین است: سکه دو طرف دارد و ما دلیلی در دست نداریم که آمدن یک طرف آن روی زمین از طرف دیگر بیشتر محتمل است. بنابراین همه پیشامدهای ممکن را (تا آنجا که می‌دانیم) به‌طور معادل محتمل در نظر می‌گیریم؛ و در حالت مورد نظر ما، یعنی پرتاب یک سکه، پیشامدها دو پیشامد شیر و خط است. از این دو، شیر فقط یکی از آن‌ها است. بنابراین احتمال آمدن شیر ۱ بر ۲ ، ^۱/_۲، است و می‌گوییم این عدد، یعنی ۰/۵، احتمال مورد پرسش است.

به گونه مشابه وقتی حالت موردنظر یک دسته کارت بازی باشد که به‌طور تصادفی درهم آمیخته‌ است نیز چنین است. کارت‌های کشیده از این دسته، دقیقاً مطابق همان دنباله‌ای هستند که به‌وسیله ماوقع درهم‌آمیختگی پیشین که ما آن را نمی‌دانیم معین‌شده است. چیزی که می‌دانیم این است که ۱۳ کارت جور (از ۵۲ کارت دسته) وجود دارد و بنابراین احتمال آنکه اولین کارت کشیده شده پیک باشد ^۱۳/_۵۴ یا دقیقاً ^۱/_۴ است.

به این، نظریه پیشینی احتمال می‌گویند زیرا ما قبل از هر آزمایشی با دسته کارت‌ها مقدار ^۱/_۴را نسبت داده بودیم. اگر کارت‌ها به‌قاعده و منصفانه درهم شده باشند، ما فکر می‌کنیم به انتخاب نمونه نیاز نیست و فقط ملاحظه شرایط پیشینی: ۱۳ پیک، ۵۲ کارت، و یک توزیع بی غل و غش کافی است. هر کارت (تا آنجا که ما می‌دانیم) همان‌قدر شانس توزیع در اول را دارد که هر کارت دیگری در دسته دارد.

برای محاسبه احتمال رخ دادن یک رویداد در ماوقع‌های داده‌شده‌ای، ما تعداد طریقه‌هایی که می‌تواند آن رویداد رخ دهد را به تعداد کل پیشامدهای آن ماوقع‌ها، به‌شرط آنکه دلیلی نباشد تا باور داشت هر یک از پیشامدها از دیگری بیشتر محتمل است، تقسیم می‌کنیم. بنابراین احتمال یک رویداد در نظریه پیشینی احتمال به‌وسیله یک کسر، که مخرج آن تعداد پیشامدهای به‌طور معادل ممکن است و صورت آن تعداد پیشامدهایی است که به گونه موفقیت‌آمیز به رویداد مورد پرسش منجر می‌گردند، بیان می‌گردد. چنین نسبت دادن‌های عددی (توفیق‌ها بر ممکن‌ها) عقلانی، راحت و بسیار مفید هستند.

دیدگاه جایگزین دیگری نیز از احتمال هست. در این دیدگاه احتمال منسوب شده به یک رویداد باید بر اساس فراوانی نسبی‌ای باشد که آن رویداد رخ می‌دهد. پیش‌تر گفتیم احتمال آنکه یک زن آمریکایی ۲۵ ساله یک سال بیشتر عمر کند ۰/۹۷۱ است. این را می‌توان فقط با بررسی کل رده زنان ۲۵ ساله آمریکایی دانست و بعلاوه تعیین اینکه واقعاً چقدر از آن‌ها حداقل یک سال است که بیشتر زندگی می‌کنند، و یا زندگی کرده‌اند. فقط بعد از دانستن نرخ مرگ‌ومیر آن رده از زنان می‌توانیم مقدار عددی را نسبت دهیم.

در این نظریه، ما رده مرجع (زنان ۲۵ ساله آمریکایی در مثال داده‌شده) و ویژگی موردنظر (زندگی حداقل یک سال بیشتر در مثال داده‌شده) را تمیز می‌دهیم. احتمال نسبت‌داده عبارت از اندازه فراوانی نسبی اعضای رده‌ای است که دارای ویژگی مورد پرسش هستند. در این نظریه نیز احتمال به صورت یک کسر (اغلب به‌صورت اعشاری) نشان داده می‌شود، ولی در این حالت، مخرج تعداد اعضای رده‌ای است که دارای ویژگی موردنظر هستند. اگر تعداد مردان راننده ۱۶ تا ۲۴ ساله در کالیفرنیا y و تعداد حادثه رانندگی این‌چنین راننده‌ها در طول یک سال x باشد، آنگاه به ‌احتمال وجود یک حادثه رانندگی در میان این رانندگان در هرسال داده‌شده عدد ^x/_y را نسبت می‌دهیم. رده مرجع در اینجا مجموعه رانندگانی است که به آن نحو مشخص شرح داده‌شده است و ویژگی مورد نظر درگیری در یک حادثه رانندگی در دوره‌ای مشخص است. در اینجا "باورمندی عقلانی" مطرح نیست. در نظریه فراوانی نسبی احتمال، احتمال بعنوان فراوانی نسبی اعضای یک رده که دارای ویژگی معینی هستند تعریف می‌شود.

توجه داشته باشید در هردو نظریه، احتمال‌ها نسبت به شواهد قابل‌دسترسی منسوب می‌شوند. برای نظریه فراوانی نسبی این بسی آشکار است: احتمال یک ویژگی داده‌شده باید نسبت به رده مرجع انتخابی برای محاسبه تغییر کند. اگر مردان راننده در رده مرجع دارای سن بین ۳۶ و ۴۴ باشند آنگاه فراوانی نسبی حوادث رانندگی پایین‌تر خواهد بود؛ رانندگان در این دامنه سنی کمتر دچار حادثه رانندگی می‌شوند و بنابراین احتمال محاسبه‌شده برای یک حادثه رانندگی پایین‌تر خواهد بود. اگر کلاً رده مرجع بجای مردان شامل زنان بود آنگاه مجدداً ضریب احتمال بازهم تغییر می‌کرد. احتمال همیشه نسبت به شواهد است.

این برای نظریه پیشینی احتمال نیز درست است. فقط بر مبنای شواهد قابل‌دسترس نزد فرد منسوب کننده می‌توان به یک رویداد یک احتمال نسبت داد. بعلاوه "باور عقلانی" فرد ممکن است همراه با تغییر دانش فرد تغییر کند. برای مثال، فرض کنید دو فرد ناظر به درهم آمیختن یک دسته کارت هستند و یکی از آن‌ها به علت خطای توزیع‌کننده متوجه می‌شود که کارت رویی سیاه است، ولی نوع آن را متوجه نمی‌شود. نفر دوم به‌جز عمل در هم آمیختن متوجه چیز بیشتری نمی‌شود. اگر از آن‌ها خواسته شود احتمال پیک بودن اولین کارت کشیده را برآورد کنند، ناظر اول احتمال ^۱/_۲ را نسبت می‌دهد زیرا می‌داند ۲۶ کارت سیاه وجود دارد که نیمی از آن‌ها پیک هستند. ناظر دوم احتمال ^۱/_۴ را نسبت خواهد داد زیرا فقط می‌داند ۱۳ پیک در دسته ۵۴تایی وجود دارد. این یعنی، احتمال‌های متفاوت به‌وسیله دو نفر به یک رویداد نسبت داده‌شده است. هیچ‌یک از آن‌ها خطا محاسبه نکرده‌اند؛ هر دو احتمال صحیح را نسبت به شواهد قابل‌دسترسی نسبت داده‌اند. در این برداشت هیچ رویدادی به‌خودی‌خود دارای احتمال نیست و بنابراین، با مجموعه‌های شواهد متفاوت، احتمال می‌تواند تغییر کند.

این دو شرح از احتمال – شرح فراوان نسبی و شرح پیشینی – در اینکه احتمال نسبت به شواهد است – در توافق بنیادی هستند. آن‌ها همچنین در اینکه به‌طورمعمول می‌توان به ‌احتمال یک رویداد داده‌شده مقدار عددی نظیر کرد موافق هستند. بنابراین در پرتاب بی‌طرفانه یک سکه احتمال آمدن شیر را می‌توان به‌عنوان فراوانی نسبی محاسبه کرد؛ این احتمال عبارت است از فراوانی نسبی آمدن شیر در پرتاب تصادفی سکه برای هزار بار، یا ده هزار بار. هرچه تعداد پرتاب‌های تصادفی سکه بیشتر شود (با این فرض که سکه واقعاً متوازن است) کسر نشان‌دهنده فراوانی نسبی آمدن شیر، هرچه بیشتر به سمت ۰/۵ نزدیک‌تر می‌شود و می‌توان گفت ۰/۵ حد فراوانی نسبی آن رویداد است. در پرتو این‌چنین بازتعبیر مقادیر نسبت داده‌شده، بعضی از نظریه‌پردازان بر این عقیده‌اند که نظریه فراوانی نسبی بنیادی‌تر این دو است. البته این نیز درست است که در بسیاری زمینه‌ها نظریه پیشینی احتمال ساده‌تر و کار با آن راحت‌تر است، در ادامه ما عمدتاً به دومی تکیه خواهیم کرد.