صورت، معنی و مدل - منطق گزاره‌ها
منطق و فرامنطق
درآمد به منطق
__ TL. Wingensrein, On Certainty, 471
صورت، معنی و مدل در منطق گزاره‌ها
۱- خیلی کوتاه درباره نظریه‌های معنا | ۱۷- صورت‌های نرمال |
۲- تعبیر زبان | ۱۸- لیترال |
۳- فرمول و مدل آن | ۱۹- صورت فصلی سره |
۴- مدل مجموعه فرمول | ۲۰- صورت نرمال عطفی |
۵- مدل مجموعه تهی | ۲۱- صورت عطفی سره |
۶- صورت توتولوژیک | ۲۲- صورت نرمال فصلی |
۷- صورت نامعتبر | ۲۳- همزادی (Duality) |
۸- صورت متناقض | ۲۴- روند برگردان صورت گزاره‌ای به صورت نرمال |
۹- صدق پذیری و سازگاری معنایی | ۲۵- از مدل (تعبیر) به فرمول |
۱۰- رابطه استلزام منطقی | ۲۶- مثال. (فرمول تعیین اکثریت) |
۱۱- لم درخت | ۲۷- تمامیت رابط‌های تابع ارزشی |
۱۲- رابطه هم‌ارزی منطقی | ۲۸- قضیه: تمامیت گویاگر رابط‌ها |
۱۳- آزمون اعتبار یک استنتاج سمانتیکی، به‌وسیله مدل است. | ۲۹- معرفی دو رابط جدید |
۱۴- چند نتیجه | ۳۰- قضیه: تمامیت گویاگرانه {↓} و {↑}. |
۱۵- صورت و معنی در منطق قدیم (ارسطویی) | ۳۱- قضیه: ↓ و ↑ انجمنی نیستند. |
۱۶- کارآمدی استنتاج سمانتیکی | ۳۲- قضیه: انحصار رابط‌های دوتایی ↓ و ↑. |
■ خیلی کوتاه درباره نظریه‌های معنا
در فصل‌های ۱، ۲ و ۳ کتاب‌درآمد به منطق به تفصیل به زبان طبیعی پرداخته شده است و در همان ابتدا در ۱.۲ گفته شد جملات متفاوت می‌توانند محتوای گزاره یکسانی باشند. نیز گفته شد که هر گزاره خود مدعی برقراری موردی به‌طور واقع است یا مدعی برقراری موردی به‌طور واقع نیست. بنابراین هر گزاره درست (راست /true) یا نادرست (دروغ /false) است. در منطق کلاسیک به مجموعه دو عضوی {درست، نادرست} — {True, False}، {راست، دروغ}، {صادق، کاذب} یا مانند آنها — مجموعه مقادیر ارزش (یا مقادیر معنایی) دوتایی و به هر عضو آن، یک مقدار معنایی / مقدار سمانتیکی (Semantic value) می‌گویند. در فصل ۴، تعریف چیست و کاربرد آن، نیز معنای عبارت‌های عام به‌تفصیل شرح داده شد.
برای مثال، جمله‌های "برف سفید است." و "Snow is white." را در نظر بگیرید. در این دو جمله "برف" و "Snow" هر دو به طور متعارف، هم در فارسی و هم انگلیسی، بخار متراکمی هستند که به شکل بلورهای یخ از ابر می‌ریزند. و همین‌طور "سفید است" ("white")، به‌طور متعارف به نگاره سفیدی [Whiteness] یا به‌عبارت‌دیگر، به تابع گزاره‌ای:
سفید_است(شیء)
یا
White(x)
ارجاع دارد، به قسمی که برای هر شیء = برف [یا x = Snow] داریم:
سفید_است(برف) = درست [یا، White(Snow) = True].
و البته چنین است که سفید_است(شیء) و White(x) دو تابع مساوی هستند.
نظریه‌های معنا را می‌توان به دو رده به‌قرار: ۱- نظریه‌های سمانتیکی (Semantic theories)، ۲- نظریه‌های بنیادی معنا تقسیم کرد.
نظریه‌های سمانتیکی کوشش دارد تا به عبارات زبان، به‌طور سازگار، مقدار سمانتیکی نظیر کند. نظریه‌های بنیادی معنا کوشش دارد توضیح دهد چه روندی موجب شده تا عبارات زبان (طبیعی) دارای آن مقادیر سمانتیکی باشند. توضیح بیشتر را می‌توان در فصل ۳ (زبان و کارکردهای آن)، فصل ۴(تعریف) کتاب‌درآمد به منطق و نیز اینجا↱ دید.
1- Speaks, Jeff, "Theories of Meaning", The Stanford Encyclopedia of Philosophy (Spring 2021 Edition), Edward N. Zalta (ed.), URL = https://plato.stanford.edu/archives/spr2021/entries/meaning/.
■ تعبیر زبان LC:
در فصل ۹ کتاب‌درآمد به منطق و در قسمت‌های ۲ (نمادگذاری ترکیب عطفی، نقیض و ترکیب فصلی) و ۳ (گزاره شرطی) با بهره جستن از زبان طبیعی، یعنی آنچه عمدتاً در فصل‌های ۱ تا ۴ کتاب‌درآمد به منطق آمده است، مجموعه دو عضوی {درست، نادرست} همچون مجموعه مقادیر ارزش [همچنین: مقادیر معنایی یا مقادیر سمانتیکی] تعریف و تثبیت گردید. سپس کوشش شد تا صورت‌های گزاره‌ای برحسب این مقادیر تعبیر گردند.
مراد از تعبیر در زبان صوری LC یک روند کارآمد است تا بتوان با آن فرمول‌های LC را به مقادیر معنایی برآوُرد. در این روند ابتدا به متغیرهای گزاره‌ای مقادیر سمانتیکی گمارده، سپس طبق قواعد معینِ تثبیت‌شده و برحسب مقادیر معنایی گمارده به متغیرهای گزاره‌ای، مقدار معنایی فرمول‌ها برآورد گردید. تعریف ساختار جداول ارزش رابط‌ها که در کتاب‌درآمد به منطق آمده است، همان قواعد معین تثبیت شده هستند.
برای مثال اگر متغیرهای گزاره‌ای LC فقط q، p و r باشند آنگاه:
تعبیر I۱ می‌تواند گمارش: درست←p، نادرست←q و درست←r؛
تعبیر I۲ می‌تواند گمارش: نادرست←p، درست←q و نادرست←r باشد.
در تعبیر I۱ مقدار معنایی صورت گزاره‌ای (p∨q)⊃p بنا به تابع تعبیر (جدول ارزش) «درست» برآورد می‌گردد. این برآورد را این‌گونه:
درست → ((p∨q)⊃p)I۱
نشان می‌دهند. و به همین ترتیب نیز می‌نویسند:
. نادرست → ((p∨q)⊃p)I۲
ازآنجاکه در هر تعبیر، کارکرد واژگان '≡' ,'~' ,'⊃' ,' '•,'∨' تعریف و تثبیت‌شده است، به آنها رابط‌های منطقی [همچنین ثابت‌های منطقی، رابط جمله گانی و واژگان منطقی ] در LC گفته می‌شود. و ازآنجاکه در هر تعبیر، به متغیرهای گزاره‌ای مقادیر سمانتیکی گمارده می‌شود، به آنها واژگان نامنطقی در LC می‌گویند.
در ادامه (در کتاب‌درآمد به منطق)، با توجه و بر مبنای تعبیر، آن‌گونه که شرح آن آمد، مفاهیمی چون صورت گزاره‌ای توتولوژی، تناقض، هم‌ارزی منطقی و استلزام منطقی معرفی گردید. اکنون چند تعریف را مرور می‌کنیم.
■ فرمول و مدل آن:
گیریم j یک تعبیر و α فرمول باشد. گوییم j برای α مدل است (یا α در j مدل است) اگر و فقط اگر درست=(α)j. برای مثال، تعبیر I۱ در بالا برای فرمول (p∨q)⊃p مدل است. حال‌آنکه تعبیر I۲ در بالا برای همین فرمول مدل نیست.
• نتیجه:
گیریم j یک تعبیر و α فرمول باشد. j برای α مدل است اگر و فقط اگر j برای ~α مدل نباشد.
■ مدل مجموعه فرمول:
گیریم j یک تعبیر و S مجموعه فرمول:
{α۱, α۲, . . ., αn}
باشد. گوییم j برای S مدل است اگر و فقط اگر برای:
α۱•α۲• . . .•αn
مدل باشد. به‌عبارت‌دیگر، j به‌طور هم‌‌زمان مدل فرمول‌های α۱, α۲, . . ., αn باشد. به بیان دیگر، اگر و فقط اگر تعبیری نباشد که برای فرمولی در S مدل نباشد.
■ صورت توتولوژیک:
یک فرمول را توتولوژی (یا صورت توتولوژیک) گوییم اگر و فقط اگر هر تعبیر آن، مدل آن نیز باشد. صورت توتولوژیک را، صورت معتبر (یا فقط معتبر) نیز می‌نامند.
■ صورت نامعتبر:
یک فرمول را نامعتبر (یا صورت نامعتبر) گوییم اگر و فقط اگر توتولوژی نباشد.
■ صورت متناقض:
یک فرمول را تناقض (یا صورت متناقض) گوییم اگر و فقط اگر مدل نداشته باشد.
■ صدق پذیری و سازگاری معنایی:
یک فرمول (و نیز مجموعه‌ای از فرمول) ر صدق پذیر گوییم اگر و فقط اگر حداقل یک مدل داشته باشد. به یک فرمول یا مجموعه فرمول صدق پذیر، منطقاً سازگار و همچنین به‌طور معنایی سازگار نیز گفته می‌شود.
■ رابطه استلزام منطقی:
گیریم β فرمول و S={α۱, α۲, . . ., αn} که در آن n عدد طبیعی دلخواه است، یک مجموعه فرمول باشد. گوییم بین S و β رابطه استلزام منطقی برقرار است اگر و فقط اگر هر مدل S مدل β نیز باشد - به‌عبارت‌دیگر، چنین نیست که تعبیر j باشد به قسمی که،
درست(α۱•α۲• . . .•αn)j= و نارست(β)j=.
رابطه استلزام منطقی را با نماد ⊩ نمایش داده و وقتی رابطه استلزام منطقی بین S و β برقرار باشد می‌نوسیم:
(آ):S ⊩ β
به بیان دیگر و معادل می‌توان گفت:
S ⊩ β اگر و فقط اگر چنین نباشد که تعبیر j باشد به قسمی که:
درست(α۱•α۲• . . .•αn)j= و نارست(β)j=.
اگر S⊩β، آنگاه نیز گفته می‌شود، S منطقاً مستلزم β است و نیز، β نتیجه منطقی S است.
می‌توان در S ⊩β به‌جای S اعضای آن را فهرست کرد و نوشت:
(ب): α۱, α۲, . . ., αn ⊩ β
به (ب) در بالا وقتی برقرار است یک استنتاج معتبر سمانتیکی یا استنتاج سمانتیکی نیز گفته می‌شود.
اگر S تهی باشد، معمولاً به‌جای ∅ ⊩ β فقط می‌نویسند:
⊩β :('آ).
اگر رابطه ('آ) برقرار باشد آنگاه β توتولوژی خواهد بود، زیرا با توجه به ↝ و تعریف استلزام منطقی، تعبیری نیست که مدل β نباشد.
پس می‌توان نوشت:
β توتولوژی است اگر و فقط اگر ⊩ β.
تعریف:
گیریم S مجموعه فرمول؛ بنابر تعریف می‌نویسیم S ⊩ اگر و فقط اگر S مدل نداشته باشد.
■ لم درخت:
گیریم α فرمول و S مجموعه فرمول، آنگاه داریم:
S ⊩ α ⇔ S, ~α ⊩
اثبات:
اگر S ⊩ α آنگاه تعبیری نیست که مدل S باشد و مدل α نباشد. بنابراین تعبیری نیست که مدل S باشد و در عین حال مدل ~α هم باشد. پس بنا به (ب).۹. ۰ داریم: S, ~α ⊩.
اگرS, ~α ⊩ آنگاه، بنابر (ب).۹. ۰، تعبیری نیست که مدل S و ~α باشد. اما، بنابر (ب).۱.۳. هر تعبیر که مدل S باشد مدل ~α نخواهد بود. باشد. پس بنابر (ب).۹. ۰ داریم: S, ~α ⊩.
■ رابطه هم‌ارزی منطقی:
گوییم فرمول‌های α و β هم‌ارز منطقی هستند اگر و فقط اگر هر مدل α مدل β نیز باشد. در این صورت می‌نویسیم:
α 
β.
(به‌آسانی می‌توان نشان داد 
یک رابطه هم‌ارزی است.)
■ آزمون اعتبار یک استنتاج سمانتیکی، به‌وسیله مدل است.
مثال ۱: نشان دهید: (p⊃q) ⊩ (~q⊃~p)
جدول ارزش زیر نشان می‌دهد هر تعبیر که برای p⊃q مدل است برای ~q⊃~p نیز مدل است. بنابراین ~q⊃~p نتیجه منطقی p⊃q است. به‌عبارت‌دیگر:
(p ⊃ q) ⊩ (~q ⊃ ~p)
یک استلزام منطقی معتبر است.
مثال ۲: نشان دهید:
p⊃(q⊃r), q⊃(p⊃r) ⊩ (p∨q)⊃r
یک استنتاج سمانتیکی معتبر نیست.
جدول ارزش زیر نشان می‌دهد: حداقل یک تعبیر (I4 ی I6) برای مقدمات مدل است ولی برای نتیجه مدل نیست
{p⊃(q⊃r), p⊃(q⊃r)} ⊩ (p∨q)⊃r
مثال ۳: نشان دهید:
I: ((p•q)⊃r)) ⊩ ((p⊃r)∨(q⊃r))
یک استلزام منطقی است.
۱- فرض خلاف: I یک استلزام منطقی نیست. به عبارت دیگر، تعبیر j یافت می‌شود، به قسمی که؛
j مدل (p⊃r)∨(q⊃r) نباشد و درعین‌حال مدل (p•q)⊃r باشد.
۲- اگر j مدل (p⊃r)∨(q⊃r) نباشد، آنگاه j نه مدل (p⊃r) و نه مدل (q⊃r) خواهد بود.
۳- اگر j مدل p⊃r نباشد آنگاه j مدل p است ولی مدل r نیست.
۴- گر j مدل q⊃r نباشد آنگاه j مدل q است ولی مدل r نیست.
۵- از۱، ۳ و ۴ داریم j مدل r و نیز مدل p•q است.
۶- از ۵ داریم j مدل (p•q)⊃r است، که خلاف فرض است.
نیز می‌توان نشان داد هر مدل (p⊃r)∨(q⊃r) مدل (p•q)⊃r نیز هست. بنابراین می‌توان نوشت:
((p•q)⊃r)) ((p⊃r)∨(q⊃r)).
■ چند نتیجه:
۱- α توتولوژی است اگر و فقط اگر ~α یک تناقض باشد.
۲- اگر α توتولوژی باشد آنگاه صدق پذیر است، ولی عکس آن می‌تواند درست نباشد (برای مثال، فرمول p صدق پذیر است اما توتولوژی نیست.)
۳- α نامعتبر است اگر و فقط اگر حداقل تحت یک تعبیر نادرست باشد.
۴- اگر α تناقض باشد آنگاه نامعتبر است، ولی عکس آن می‌تواند درست نباشد(برای مثال، p⊃~p نامعتبر اما صدق پذیر است.)
۵- رابطه (ب) برقرار است اگر و فقط اگر (α۱• α۲• . . .• αn )⊃β توتولوژی باشد. ازاین‌جهت در منطق گزاره‌ای به رابطه استلزام منطقی رابطه استلزام توتولوژیک نیز گفته می‌شود.
۶- فرض کنید α≡β فرمول باشد. اگر این فرمول در (برای) تعبیری مدل باشد، فرمول α≡β در این تعبیر هم‌ارزی مادی است. برای مثال p•~q≡p∨~q در تعبیر j [نادرست(q)j=، درست(p)j=] هم‌ارزی مادی است. اما همین فرمول برای تعبیر i [درست(q)i=، درست(p)i=] هم‌ارزی مادی نیست.
۷- فرض کنید α≡β فرمول، گوییم این فرمول یک هم‌ارزی منطقی است اگر و فقط اگر در هر تعبیر مدل باشد، به‌عبارت‌دیگر توتولوژی باشد. <<مناسب است قسمت‌های ۸ و ۹ فصل ۱۰ کتاب‌درآمد به منطق مرور شود. >>
۸- اگر α و α⊃β توتولوژی باشند آنگاه β نیز توتولوژی خواهد بود. زیرا:
از آنجا که α و α⊃β توتولوژی هستند پس هر تعبیری برای آنها مدل است. اگر تعبیری برای β مدل نباشد آنگاه α⊃β توتولوژی نخواهد بود (چون طبق فرض α توتولوژی است) و این خلاف فرض توتوتولوژی بودن α⊃β است.
۹- α ⊩β اگر و فقط اگر ⊩α⊃β. گیریم ⊩α⊃β پس α⊃β توتولوژی است. ازاینجا، تعبیری نیست که مدل α باشد و مدل β نباشد. بنابراین داریم ⊩α⊃β ⇒ α⊩β و وارون آن نیز. به همین ترتیب می‌توان نوشت:
α, γ ⊩β اگر و فقط اگر ⊩α⊃(γ⊃β).
بند د: استدلال، گزارههای شرطی و توتولوژی را ببینید.
۱۰- قضیه:👁↝ ☚↧ گیریم 𝒯 یک توتولوژی شامل حروف گزاره‌ای:
Mendelson, Elliott. Introduction to mathematical logic. 6th,ed, CRC Press, Taylor & Francis Group. 2015. (1.3)
p۱, p۲, . . ., pn,
باشد. نیز، ℬ از جایگزینی صورت‌های گزاره‌ای:
ℬ۱, ℬ۲, . . ., ℬn,
در 𝒯 به ترتیب برای p۱, p۲, . . ., pn به دست آمده باشد. در این صورت، ℬ نیز توتولوژی است. به عبارت دیگر، جانشینی در یک توتولوژی یک توتولوژی را به دست می‌دهد.
مثال:
𝒯 را (p۱ ∧ p۲) ⊃ p۱ بگیرید. نیز، ℬ۱ و ℬ۲ را به ترتیب (P∨Q) و (Q∧S) بگیرید. در این صورت، ℬ به قرار زیر:
(ℬ۱ ∧ ℬ۲) ⊃ ℬ۱
⇓
((P ∨ Q) ∧ (Q ∧ S)) ⊃ (P ∨ Q)
توتولوژی است.
اثبات:
فرض کنید 𝒯 یک توتولوژی باشد. برای هر گمارش مقادیر ارزش به حروف گزاره‌ای در ℬ برای صورت‌های:
ℬ۱, ℬ۲, . . ., ℬn,
ین صورت‌ها به ترتیب دارای مقادیر ارزش:
v۱, v۲, . . ., vn,
هستند (که در آن هر xi 'د' یا 'ن' است). اگر این مقادیر v۱, v۲, . . ., vn را به ترتیب به:
p۱, p۲, . . ., pn,
بگماریم، آنگاه مقدار ارزش حاصل شده برای 𝒯 عبارت است از مقدار ارزش ℬ برای این مقایر ارزش. اما، 𝒯 یک توتولوژی است و برای هر گمارش به حروف گزاره‌ای آن درست است. بنابراین، ℬ همیشه مقدار درست را می‌گیرد.
۱۱- قضیه:👁↝☚↧
Mendelson, Elliott. Introduction to mathematical logic. 6th,ed, CRC Press, Taylor & Francis Group. 2015. (1.4)
فرض کنید C۱ از B۱ با جایگزینی ς به جای یک یا چند مورد از رویداد 𝔓 در B۱ به دست آمده باشد. در این صورت،
(𝔓 ≡ ς) ⊃ (B۱ ≡ C۱)
یک توتولوژی خواهد بود. (بنابراین اگر 𝔓 و ς منطقاً هم‌ارز باشند آنگاه B۱ و C۱ نیز چنین خواهند بود.)
مثال:
B۱ را (C∨D)بگیرید. 𝔓 را ς بگیرید. ς را (~(~ς)) بگیرید. در این صورت،
C۱ ← (~(~ς)) ∨ D).
چون ς و (~(~ς)) هم‌ارز منطقی هستند، (ς∨D) و (~(~ς))∨D نیز هم‌ارز منطقی خواهند بود.
اثبات:
اگر 𝔓 و ς در هر گمارش مقادیر ارزش به حروف گزاره‌ای دارای مقادیر ارزش مخالف باشند، آنگاه (𝔓≡ς) مقدار نادرست خواهد داشت و بنابراین،
(𝔓 ≡ ς) ⊃ (B۱ ≡ C۱)
دارای مقدار درست خواهد شد.
اگر 𝔓 و ς در هر گمارش مقادیر ارزش به حروف گزاره‌ای دارای مقادیر ارزش یکسان باشند، آنگاه مقدار ارزش B۱ و C۱ در گمارش نیز چنین است. چرا که، تفاوت C۱ از B۱ فقط در این است که در جاهایی که 𝔓 در B۱ رخ داده است ς جایگزین شده است. بنابراین، در این حالت نیز (𝔓≡ς) دارای ارزش درست و (B۱ ⇔ C۱) نیز دارای مقدار ارزش درست است. و از اینجا،
(𝔓 ≡ ς) ⊃ (B۱ ≡ C۱)
■ صورت و معنی در منطق قدیم (ارسطویی)
در نزد ارسطو و منطق (قدیم) صورت/Form و صوری/Formal متفاوت از صورت، صوری و معنی در منطق جدید است. در منطق ارسطویی هیچ تفکیک روشنی بین صورت و معنا وجود ندارد. نزد ارسطو صورت و صوری واژه‌ای متافیزیکی و نه منطقی و بحث آن نیز در مبحث متافیزیک (ماده و صورت) است↧.
Ainsworth, Thomas, "Form vs. Matter", The Stanford Encyclopedia of Philosophy (Summer 2020 Edition), Edward N. Zalta (ed.), URL = https://plato.stanford.edu/archives/sum2020/entries/form-matter/.
معنا یا سمانتیک در منطق ارسطو به محتوای واقعی یا موضوع استدلال اشاره دارد. این شامل مفاهیم، ایده‌ها و گزاره‌هایی است که در مورد آنها استدلال می‌شود. ارسطو بر این باور است که آنچه می‌توانیم «صحت متافیزیکی» بنامیم، شکل علمی دقیق‌تری از بیان منطقی ایجاد می‌کند. او دیدگاهی همه جانبه و از جمله متافیزیکی به منطق دارد و در عین حال معتقد است که این «صحت متافیزیکی» (Metaphysical correctness) به گزارههای درست منجر می شود.↧
Louis F. Groarke. Internet encyclopedia of internet. URL = https://iep.utm.edu/aristotle-logic#H3"
■ کارآمدی استنتاج سمانتیکی
روند تعبیر در منطق گزاره‌ها یک روند کارآمد است. به این معنی که روش جدول ارزش، روندی را در اختیار می‌گذارد که به‌وسیله اجرای آن، ماشین می‌تواند درباره اعتبار یک استنتاج سمانتیکی دلخواه تصمیم‌گیری و پاسخ آری یا نه را در زمان محدود ارائه کند. اما این روند گرچه کارآمد است (در زمان محدود به پایان می‌رسد) ولی کارآمدی آن کارآمدی چندجمله‌ای نیست — یعنی، میانگین نسبت رشد زمان مصرفی توسط اجرای ماشینی این روند نسبت به رشد تعداد ورودی‌ها (متغیرهای گزاره‌ای متمایز در استنتاج معنایی) نمایی و نه چندجمله‌ای [فصل.۹، قسمت.۷ کتاب‌درآمد به منطق (رشد جدول ارزش) را ببینید.] توضیح بیشتر این است که، نسبت رشد تعداد ورودی‌ها به زمان مصرفی برای یک الگوریتم، درجه پیچیدگی زمانی نامیده می‌شود. الگوریتم‌های با درجه پیچیدگی-زمانی بالاتر از چندجمله‌ای در عمل (اجرای ماشینی) مفید نیستند. زیرا مسائل واقعی که با این الگوریتم‌ها و توسط سریع‌ترین ماشین‌ها چه در حال و چه آینده اجرا شوند برای به پایان رسیدن (ارائه جواب) به‌طور میانگین به زمانی گرچه محدود ولی بیش از طاقت بشری - گیریم که ماشین بتواند نامحدود کار کند - نیاز خواهند داشت. ازاین‌جهت، در دانش کامپیوتر، اغلب اوقات، مراد از یک الگوریتم کارساز، یک روند کارآمد است که درجه پیچیدگی آن حداکثر چندجمله‌ای باشد.
در نمودار زیر - شکل ۳ - چند پیچیدگی-زمانی الگوریتم‌ها نشان داده‌شده و مثل این را می‌توان برای مقدار حافظه مصرفی نیز در نظر گرفت و از پیچیدگی فضایی صحبت کرد.
■ صورت‌های نرمال
■ لیترال
به یک اتم یا نقیض آن یک لیترال (Literal) می‌گوییم. برای نمونه p, ~p, q و مانند آنها لیترال هستند.
■ صورت فصلی سره
به فرمولی با صورت F۱ ∨ F۲ ∨ ...∨ Fn که در آن هر Fi یک لیترال باشد یک صورت فصلی سره می‌گوییم. (n عدد طبیعی بزرگتر از صفر).
مثال:
p • ~q • s
■ صورت نرمال عطفی
به فرمولی با صورت
A۱•A ۲• . . . •Am
به قسمی که در آن هر Ai صورت فصلی محض باشد یک صورت نرمال عطفی (Conjunctive Normal Form /CNF) می‌گوییم (m عدد طبیعی بزرگتر از صفر).
مثال:
(p ∨ ~q) • (q ∨ p) • (~q ∨ ~s ∨ q)
در این مثال m = ۳ است و صورت‌های فصلی سره به قرار زیر هستند:
A۱: (p ∨ ~q), A۲: (q ∨ p), A۳: (~q ∨ ~s ∨ q).
■ صورت عطفی سره
به فرمولی با صورت
F۱ • F۲ • ...• Fn
که در آن هر Fi یک لیترال باشد یک صورت عطفی سره می‌گوییم. (n؛ عدد طبیعی بزرگتر از صفر).
■ صورت نرمال فصلی
به فرمولی با صورت
A۱∨A۲∨ . . . ∨Am
به قسمی که در آن هر Ai صورت عطفی سره باشد یک صورت یک صورت نرمال فصلی (Disjunctive Normal Form /DNF) می‌گوییم. (m؛ عدد طبیعی بزرگتر از صفر).
برای مثال صورت:
(p • ~q) ∨ (q • p) ∨ (~q • ~s)
یک صورت نرمال فصلی است که در آن
A۱: (p • ~q), A۲: (q • p), A۳: (~q • ~s)
صورت‌های عطفی سره هستند.
■ همزادی (Duality)
اگر در صورت نرمال عطفی A
۱- هر رویداد یک لیترال را با نقیض آن لیترال،
۲- هر رویداد • را با ∨،
۳- هر رویداد ∨ را با • تعویض کنیم
آنگاه فرمول حاصل یک صورت نرمال فصلی است که منطقاً هم‌ارز A خواهد بود و نیز بر عکس این.■
اثبات:
اثبات همزادی با استفاده از قضایای دمورگان به سادگی میسر است.
مثال:
((p ∨ ~q) • (q ∨ p)) ≡
≡ ((~p • q) ∨ (~q • ~p))
■ روند برگردان صورت گزاره‌ای به صورت نرمال
هر فرمول گزاره‌ای قابل برگردان به صورت‌های نرمال عطفی و فصلی است. روند زیر که به آسانی می‌توان کارآمد بودن آن را نشان داد، این برگران (برگردانی به صورت نرمال) را ممکن می‌کند:
۱.
با کارزدن هم‌ارزی‌های مادی و استلزام مادی رویدادهای رابط‌های '≡' و '⊃' در فرمول را حذف کنید.
۲.
با کارزدن چرخه‌ای نفی دوگانه و قضایای دمورگان رویدادهای رابط '~' در فرمول را به بلافاصله قبل از اتم‌ها ببرید.
۳.
☚:
با توجه به همزادی در عمل برگردان به یکی از صورت‌های نرمال برگردان به صورت دیگر هم هست.■
مثال:
▢
≡
≡
≡
≡
(p v ~q) ⊃ r
~(p ∨ ~q) ∨ r
(~p • ~(~q)) ∨ r
(~p • q) ∨ r
(p ∨ ~q) • ~r
مثال:
▢
≡
≡
≡
≡
≡
≡
≡
≡
≡
(p • (q ⊃ r) ⊃ s)
(p • (~q ∨ s)) ⊃ s
~(p • (~q ∨ s)) ∨ s
(~p ∨ ~(~ q v r )) ∨ s
(~p ∨ ( q • ~r)) ∨ s
((~p ∨ q) • (~p ∨ ~r)) ∨ s
s ∨ ((~p ∨ q) • (~p ∨ ~r))
(s ∨ (~p ∨ q) • (s v (~p ∨ ~r))
(s V ~p V q) • (s V ~p V ~r)
(~s • p • ~q) V (~s • p • r)
■ از مدل (تعبیر) به فرمول
در این یادداشت (نیز در فصل نهم کتاب درآمد به منطق) دیدیم که چگونه می‌توان توسط جدول ارزش، تعبیرهایی را که مدل‌های یک فرمول (صورت گزاره‌ای) هستند یافت. در اینجا می‌خواهیم وارون این روند را شرح دهیم، یعنی روند یافتن صورت (فرمول) یک جدول-ارزش داده شده را. مثال زیر صورت مسئله را بیشر روشن می‌کند.
مثال:
می‌خواهیم فرمول x را بیابیم آن گونه‌ای که فقط از دو اتم تشکیل شده و بعلاوه فقط دارای دو مدل به ازای گمارش مقادیر ارزش 'ن' برای هر دو اتم یا 'د' برای هر دو اتم آن، باشد.
حل:
چون x فقط دو اتم، به فرض p و q، دارد خلاصه جدول ارزش آن باید به گونه زیر باشد (یعنی فقط تعبیرهای I۱ و I۴ برای x مدل باشند):
| s تابع گمارش | ۱ | ۲ | ۳ |
| تعبیر(ها) | p | q | (x)I |
| I۱ | s(p) = د | s(q) = د | د |
| I۲ | s(p) = د | s(q) = ن | ن |
| I۳ | s(p) = ن | s(q) = د | ن |
| I۴ | s(p) = ن | s(q) = ن | د |
جدول بالا را می‌توان به فارسی این گونه بازگو کرد:
x را بیاید به قسمی که x فرمول LC و فقط تحت آن تعابیر مدل باشد که:
s(p) = د و s(p) = د
یا
(p) = ن و s(p) = ن
برای پیدا کردن x یک ستون به جدول اضافه می‌کنیم (ستون ۴). در این ستون و در آن سطرها که مدل هستند صورت عطفی سره متشکل از دو اتم را به قسمی می‌نویسیم که اگر مقدار ارزش هر یک از اتم‌ها در آن سطر درست است خود آن اتم وگرنه نقیض آن اتم حضور یافته باشد. در این مثال اگر چنین کنیم جدول زیر به دست می‌آید (ε در این سطر هیچ‌چیز است):
| s تابع گمارش | ۱ | ۲ | ۳ | ۴ |
| تعبیر(ها) | p | q | (x)I | صوت‌های عطفی |
| I۱ | د | د | د | p • q |
| I۲ | د | ن | ن | ε |
| I۳ | ن | د | ن | ε |
| I۴ | ن | ن | د | ~p • ~q |
اکنون صورت نرمال عطفی ستون ۴ را می‌نویسیم:
x = (p • q) ∨ (~p • ~q)
این روش، یعنی ساختن فرمول از روی جدول ارزش را می‌توان برای هر جدول ارزش دلخواه ثابت کرد. روش اثبات را برای همین جدول دو اتمی نشان می‌دهیم و همین روش را می‌توان برای جدول nاتمی (با ۲n سطر) تعمیم داد.
برای هر گمارش ارزش (یعنی در هر سطر) که مقدار ارزش x درست است مقدار ارزش ترکیب عطفی به دست آمده برای این سطر نیز درست است، زیرا اگر در این ترکیب عطفی مقدار گمارش اتمی نادرست می‌بود آنگاه نقیض آن اتم را قرار داده بودایم و اگر درست می‌بود خود آن اتم را قرار داده بودیم. بنابراین برای این گمارش، صورت نرمال فصلی به دست آمده درست خواهد بود. اما این ترکیب عطفی برای هر گمارش دیگر نادرست است زیرا حداقل یک اتم آن دارای ارزش نادرست خواهد بود. بنابراین وقتی مقدار ارزش x مطابق جدول نادرست باشد همه فصل‌های صورت نرمال فصلی حاصل نادرست خواهند بود.
برای جدول ارزشی که ستون آخر آن برای همه سطرها 'ن' است x را همیشه (p • ~q) می‌گیریم.
نتیجه:
برای هر جدول ارزش فرمولی در که در آن تنها رابط‌های ~, •, ∨ به کار رفته باشند هست که آن را می‌نویسد. این فرمول می‌تواند به صورت نرمال (عطفی یا فصلی) باشد.
■ مثال. (فرمول تعیین اکثریت)
می‌خواهیم فرمول x را بیابیم آن گونه‌ای که فقط از سه اتم تشکیل شده و بعلاوه مدل‌های آن تعبیرهایی باشد که در آنها به اکثریت اتم‌ها مقدار ارزش درست گمارده باشند.
| s تابع گمارش | ۱ | ۲ | ۳ | ۴ | ۵ |
| تعبیر(ها) | p | q | r | (x)I | صوت‌های عطفی |
| I۱ | د | د | د | د | p • q • r |
| I۲ | د | د | ن | د | p • q • ~r |
| I۳ | د | ن | د | د | p • ~q • r |
| I۴ | د | ن | ن | ن | ε |
| I۵ | ن | د | د | د | ~p • q • r |
| I۶ | ن | د | ن | ن | ε |
| I۷ | ن | ن | د | ن | ε |
| I۸ | ن | ن | ن | ن | ε |
اکنون صورت نرمال عطفی را با توجه به ستون ۵ می‌نویسیم و خواهیم داشت:
x = (p•q•r) ∨ (p•q•~r) ∨ ( p•~q•r) ∨ (~p•q•r)
■ تمامیت رابط‌های تابع ارزشی
تعریف. تمامیت گویاگر / Expressive Completeness (نیز تمامیت کارکردی / Expressive Completeness):
مجموعه‌ای از رابط‌های تابع-ارزش را بگونه گویاگر تمام گوییم اگر و تنها اگر هر جدول ارزش را بتوان با آنها ساخت.
■ قضیه: تمامیت گویاگر رابط‌ها
قضیه. هر یک از مجموعه‌های:
{~, •}، {~, ∨} و {~, ⊃}
مطابق تعریف تمامیت گویاگر تمام هستند.
اثبات:
یکم؛ از برگردانی به صورت نرمال می‌دانیم که هر جدول ارزش توسط {~, •, ∨} قابل ساختن است و دوم؛ توتولوژ‌ی‌های زیر اثبات را به پایان می‌رساند:
۱. (A • B) 
~(~A ∨ (~B)),
۲. (A • B) ~(A ⊃ (~B)),
۳. (A ∨ B) ~A ⊃ B.■
:☚
مجموعه {⊃, •, ∨} تمامیت بگونه گویاگر تمام نیست.
■ معرفی دو رابط جدید
دو رابط تابع-ارزش '↓' (نفی الزامی / Joint denial) و '↑' (نفی اختیاری / Alternative Denial) را مطابق جداول ارزش زیر معرفی می‌کنیم.
|
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| جدول‌های ارزش رابط‌ها '↓' و '↑'. | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||
■ قضیه: تمامیت گویاگرانه {↓} و {↑}.
قضیه: هر یک از دو مجموعه {↓} و {↑} دارای تمامیت کارکردی هستند.
اثبات:
با توجه به توتولوژ‌ی‌های زیر قضیه ثابت شده است.
۱. (~A) (A ↓ A),
۲. (A • B) (( A ↓ B ) ↓ (A ↓ B)),
۳. (A ∨ B) (( A ↑ B) ↑ (A ↑ B)).■
در زیر جدول ارزش برای توتولوژی ۱ در بالا آمده است.
| p | ~p | p ↓ p | (~p) (p ↓ p) |
| د | ن | ن | د |
| ن | د | د | د |
از این قضیه بر می‌آید که هر فرمول منطق گزاره‌ای (کلاسیک) را می‌توان فقط با رابط ↓ یا ↑ نوشت. البته در این صورت، خواندن آنها برای انسان گرچه دشوار است ولی همان طور که یادداشت‌های بعد خواهیم دید، انتخاب یکی از این دو به عنوان عنصر پایه در مدل فیزیکی کارگشا است.
■ قضیه: ↓ و ↑ انجمنی نیستند.
قضیه: رابط‌های ↓ و ↑ ویژگی انجمنی تمامیت کارکردی هستند.
اثبات:
تعبیرهای زیر قضیه را ثابت می‌کند.
| p | q | r | p ↓ q | q ↓ r | (p ↓ q) ↓ r | p ↓ (q ↓ r) |
| ن | ن | د | د | ن | ن | د |
| p | q | r | p ↑ q | q ↑ r | (p ↑ q) ↑ r | p ↑ (q ↑ r) |
| د | د | ن | ن | د | د | ن |
■ قضیه: انحصار رابط‌های دوتایی ↓ و ↑.
قضیه: تنها رابط‌های دوتایی ↓ و ↑ هستند که هر یک به تنهایی تمامیت کارکردی هستند.
اثبات:
فرض کنید '⋈' یک رابط دوتایی باشد که به تنهایی تمام است. می‌خواهیم جدول ارزش آن، یعنی جدول ارزش:
p ⋈ q
را تشکیل دهیم. بنابراین سطرها و ستون‌های راهنمای جدول را تشکیل می‌دهیم:
| تعبیر(ها) | p | q | p ⋈ q |
| I۱ | د | د | |
| I۲ | د | ن | |
| I۳ | ن | د | |
| I۴ | ن | ن |
(آ). اگر
(p ⋈ q)I۱ = د
آنگاه تعبیر هر فرمول به ازای هر گمارش درست برای همه اتم‌های آن درست خواهد بود. در این صورت فرمول ~p برحسب ⋈ تعریف پذیر نخواهد بود. پس باید
(p ⋈ q)I۱ = ن
باشد. بنابراین در سطر اول مقدار ارزش ن را می‌گذاریم.
(آ.۱). به همین ترتیب
(p ⋈ q)I۴
باید نادرست باشد (چون در غیر این صورت تعبیر هر فرمول به ازای هر نسبت دهی نادرست برای همه اتم‌ها آن نادرست برآورد خواهد شد). بنابراین در سطر چهارم مقدار ارزش د را می‌گذاریم.
(ب). اگر برای
(p ⋈ q)I۳ و (p ⋈ q)I۲
هر دو مقدار ارزش 'د' برآورد شود آنگاه ⋈ همان ↑ خواهد شد و اگر برای هر دو مقدار ارزش 'ن' برآورد شود آنگاه ⋈ همان ↓ خواهد شد.
(ج). اگر برای
(p ⋈ q)I۳ و (p ⋈ q)I۲
به ترتیب مقادیر ارزش 'ن' و 'د' بر آورد شود آنگاه _ p⋈q منطقاً با ~p هم‌ارز خواهد شد (فارغ از آن چه که به q نسبت داده شود).
(ج.۱). اگر برای
(p ⋈ q)I۳ و (p ⋈ q)I۲
به ترتیب مقادیر ارزش 'د' و 'ن' بر آورد شود آنگاه _ p⋈q منطقاً با ~p هم‌ارز خواهد شد (فارغ از آن چه که به p نسبت داده شود).■
جدول زیر ثبت مراحل اثبات را نشان می‌دهد:
| تعبیر(ها) | p | q | p ⋈ q | |
| I۱ | د | د | ن | ن |
| I۲ | د | ن | ن | د |
| I۳ | ن | د | د | ن |
| I۴ | ن | ن | د | د |
■ ■ ■ ■ ■
