ج■ مقدمه
در قسمت قبل در مثالهای ۱، ۲ و ۳ به ترتیب نشان دادیم:
مثال.۱- (p⊃q)⊩(~q⊃~p) یک استنتاج معتبر سمانتیکی است.
مثال.۲- p⊃(q⊃r), p⊃(q⊃r)⊩(p∨q)⊃r یک استنتاج سمانتیکی نامعتبر است.
مثال.۳- ((p•q)⊃r))⊩((p⊃r)∨(q⊃r)) یک استنتاج سمانتیکی معتبر است.
آنطور که دیدیم، روند اثبات در مثالهای بالا بدین قرار بود که، نشان دهیم هر تعبیر که برای مقدمات مدل است برای نتیجه نیز مدل است و برای خلاف آن بدین قرار که، نشان دهیم دستکم یک تعبیر وجود دارد که برای مقدمات مدل است ولی برای نتیجه مدل نیست (مثال ۲). ازاینجهت، اینگونه روند گسترش به نظریه مبتنی بر مدل [نیز معناشناختی مبتنی بر مدل] موسوم است که در آن واژه بنیاد بر تعبیر (مدل) است. در این قسمت بر آنیم تا برای مثال (~q⊃~p) را از (p⊃q) نه در یک روند تعبیری که در یک روند نحوی (لفظی) به دست آوریم نماییم (اشتقاق نحوی). این روند به نظریه برهان (برهان شناختی / نظریه مبتنی بر برهان / معناشناختی مبتنی بر نظریه برهان] موسوم است.
درواقع، این روند بر این فرض بنیادی استوار است که مفهوم اصلی، ازاینجهت که چه معنایی به عبارتهای زبان (در اینجا LC) نظیر شود، همانا بهجای تعبیر، برهان خواهد بود. بهعبارتدیگر، در این روند برهان صوری اعتبار بجای تعبیر خواهد نشست. بنابراین، در این قسمت آنچه از تعبیر، به شمول مقدار معنایی، مدل و جدول ارزش گفته موقتاً به کنار نهاده و آنچه خواهیم داشت زبان صوری و فرمول است و بس➥.
آنچه خواهد آمد هماکنون در فصل ده کتاب، قسمت ۷، دستگاه استنتاجی، بر پایه زبان نمادین LC بهتفصیل گسترانده شده. در ادامه، آنچه گسترانده شده را موجز و کمی متفاوت مرور میکنیم. این دستگاه، که به شمول مفاهیمی چون قواعد استنتاج، برهان صوری، افزونگی و کارآمدی است، را از اینپس دستگاه CND [برای:Copi's Natural Deduction] خواهیم نامید.
برای یادآوری، در جدول ۱ در زیر نه قاعده استنتاج آمده است.
فرض کنید: f مجموعه فرمولهای LC باشد. یک قاعده استنتاج نحوی [یا فقط قاعده استنتاج] در یک دستگاه نحوی، یک رابطه به صراحت تعریفشده بین فرمولها (یعنی، f) و مجموعههای فرمول (یعنی، مجموعه توانی f) است، به قسمی که، بتوان تصمیم گرفت آیا هر فرمول در این رابطه با هر مجموعه فرمول دلخواه (یعنی، هر عضو دلخواه مجموعه توانی f) است یا نه؟ بنابراین هر قاعده استنتاج یک رابطه تصمیم پذیر است.
۹ قاعده استنتاج نحوی | |||
~β, α ⊃ β —————R۲ ~α | ۲. | α , α ⊃ β ———————R۱ β | ۱. |
(α∨β ) , ~α ———————R۴ β | ۴. | (α ⊃ β), (β ⊃ γ) —————————R۳ α ⊃ γ | ۳. |
α ⊃ β ———————R۶ α ⊃ (α • β) | ۶. | (α ⊃ β)•(γ ⊃ λ), (α∨γ ) ————————————R۵ β∨λ | ۵. |
α , β ————R۸ α • β | ۸. | α • β ————R۷ α | ۷. |
α ————R۹ α∨β | ۹. |