نظریه مجموعه‌ها-۷: بی‌نهایت‌ چیست؟

■ تاریخچه

یونانیان باستان برای بی‌نهایت واژه apeiron را بکار می‌بردند. برگردان این واژه به فارسی آمیزه‌ای از بی‌سرانجامی و بیکرانی که می‌تواند ناخوشایت باشد است. ارسطو apeiron را نقص و نه کمال می‌دانست. ازآنجاکه برخی ویژگی‌ها جهان مثل زمانمندی که همیشه رونده و فضا که همیشه تقسیم‌پذیر می‌نمود (زنو و پارادوکس‌های حرکت) یا پاره‌خط که بعد از هر تقسیم، هر قسمت بازهم تقسیم شدنی بود؛ ارسطو دو عبارت نامتناهی بالقوه و نامتناهی واقعی را اختراع کرد. وی می‌گفت ازآنجاکه بزرگترین عدد صحیح وجود ندارد [رشته اعداد بیکران-بی‌سرانجام (apeiron) است] این رشته بالقوه نامتناهی است ولی نمی‌پذیرد که رشته اعداد نامتناهی واقعی است؛ چراکه همچون شئی‌ای پایان‌یافته وجود ندارد. کانتور می‌گوید ". . . بی‌نهایت بالقوه، در حقیقت، فرض گرفتن (امانت گیری) نامتناهی واقعی است، چراکه انگاره نامتناهی بالقوه منطقاً وابسته به انگاره پیشین متناهی واقعی و وجودش وابسته به آن است."➥

■ مقایسه پذیری مجموعه‌ها

■. چند تعریف:

آ: دو مجموعه، به‌ فرض A و B، که اعضای آن‌ها جفت شدنی باشند را هم‌عدد می‌گویند. به‌عبارت‌دیگر، دو مجموعه هم‌عدد هستند اگر بین آن‌ها یک تناظر یک‌به‌یک وجود داشته باشد (یعنی، A⇌B.)

ب:

ب۱- گوییم A_CB؛ اگر یک تابع یک‌به‌یک، به‌ فرض f، از A در B تعریف‌شده باشد.

ب۲- بعلاوه گوییم A_CB؛ اگر f دو سویی نباشد. به‌عبارت‌دیگر، A با یک زیرمجموعه B هم‌عدد باشد ولی B با هیچ زیرمجموعه A هم‌عدد نباشد.

☚ ازآنجایی‌که تابع یک‌به‌یک و ناپوشای f(x)=x از در وجود دارد بنابراین:

_C .

پرسش: آیا به‌وسیله رابطه _C هر دو مجموعه دلخواه مقایسه پذیراند؟

پاسخ آری است، اما قبل از آن باید چند قضیه را ثابت کرد و اصل موضوع انتخاب را نیز پذیرفت. در ادامه این قضایا و نتایج آن‌ها را فهرست می‌کنیم.

■ قضیه کانتور

قضیه کانتور: برای هر مجموعه دلخواه X داریمX_CƤ(X) . به‌عبارت‌دیگر، یک تابع ۱:۱ (ولی نه هرگز دو سویی) از X در Ƥ(X) وجود دارد.

اثبات:

۱- اثبات وجود تابع یک‌به‌یک:

تابعg(x)={x} از X در Ƥ(X) را در نظر گرفته. آشکار است که این تابع ۱:۱ است. بنابراین داریم X_CƤ(X).

۲- اثبات وجود نداشتن تابع پوشا از X در Ƥ(X).

برای تابعی مانند f از X در Ƥ(X)، مجموعه

A={x∈X|x∉f(x)}

را در نظر بگیرید. (A چه تهی چه ناتهی باشد، زیرمجموعه X است و بنابراین تصویر عضوی از X تحت fخواهد بود.)

.۱- فرض کنید برای عضوی از X مثل a داشته باشیم f(a)=A.

۱- فرض کنید a∈A . اما بنا بر ۳ داریم A=f(a) و لذا a∈f(a). بنابراین a∉A.

۲- فرض کنید a∉A . اما بنا بر ۳ داریم A=f(a) و لذا a∉f(a). بنابراین a∈A.

۳- از ۴ و ۶ داریم a∈A⇔ a∉A که آشکار یک تناقض است. بنابراین، A تصویر عضوی نیست.

۳- از ۴ و ۶ داریم a∈A ⇔ a∉A که آشکار یک تناقض است. بنابراین، A تصویر عضوی نیست.

■ قضیه شرودر برنشتاین

قضیه شرودر برنشتاین: گیریم A و B دو مجموعه، در این صورت داریم:

اگر B _C A و A _C B آنگاه بین A و B تناظر یک‌به‌یک وجود دارد.

(توجه: اثبات این قضیه وابسته به پذیرش اصل انتخاب نیست.)

■ مقایسه پذیری

قضیه مقایسه پذیری مجموعه‌ها : گیریم A و B دو مجموعه، در این صورت داریم:

B _C A یا A _C B

(توجه: اثبات این قضیه وابسته به پذیرش اصل موضوع انتخاب است.) به هم‌ارزی اصل انتخاب و قضیه خوش-ترتیبی نگاه کنید.

ارجاع به خود — برگرفته از : Quanta Magazine"
«هنر نازک‌آرای گمانه ریاضی»
یک گمانه، قله‌ای پی می‌افکند که باید از آن بالا رفت، دورنمایی توانشی که ریاضی‌دانان در آن توانایند جهان‌های سراسر نوین ریاضی را بیابند.

■ فرض‌های (حدس‌های) پیوستار و کاردینال

جرج کانتور دو گزاره (حکم/conjecture) زیر را در سال ۱۸۷۸ بدون اثبات ارائه کرد:

فرض پیوستار CH: هر زیرمجموعه ناشمارای

با

هم‌عدد است.

فرض پیوستار عام GCH: گیریم A یک مجموعه نامتناهی، آنگاه مجموعه B به قسمی که:

A _C B _C Ƥ(A)

وجود ندارد.

هم‌ارزی فرض پیوستار عام و اصل موضوع انتخاب:
فرض پیوستار عام هم‌ارز اصل موضوع انتخاب است، یعنی می‌توان یکی را پذیرفت و دیگری را اثبات کرد. تفصیل را می‌توان در این کتاب یافت.

هم‌ارزی فرض پیوستار عام، اصل موضوع انتخاب و قضیه خوش-ترتیبی:
با توجه به هم‌ارزی اصل انتخاب و قضیه خوش-ترتیبی می‌توان نوشت:

فرض پیوستار عام ⇐ اصل موضوع انتخاب ⇐ قضیه خوش-ترتیبی ⇐ فرض پیوستار عام

■ آیا فرض‌های پیوستار درست هستند؟

درستی یا نادرستی فرض‌های پیوستار: هرآینه هنوز درستی یا نادرستی فرض‌های پیوستار دانسته نیست. کورت گودل در ۱۹۳۰ نشان ‌داد که فرض پیوستار در دستگاه ریاضیات (دستگاه اصل موضوعی ZF) قابل رد نیست و سپس ریاضیدان پل کوهن/Paul Cohen در ۱۹۶۰ نشان ‌داد فرض پیوستار در همان دستگاه که قابل رد نیست، قابل‌اثبات نیز نیست. اصل موضوع انتخاب نیز چنین است. (در یادداشت‌های منطق خواهیم دید که اگر فرمولی در یک دستگاه اصل موضوعی سازگار اثبات پذیر نباشد آنگاه نقیض آن‌ را می‌توان بدون خدشه به سازگاری به اصول موضوعه دستگاه افزود.)

■ کاردینال و اعداد فراتر از بی‌نهایت

اکنون با توجه به موارد بالا و این‌که:

۱- A⇌A
۲- A⇌B ⇒ B⇌A
۳- A⇌B , B⇌C ⇒ A⇌C

می‌توان به هر مجموعه مثل A نماد |A| را، که به آن کاردینال A می‌گوییم، نسبت داد و گفت برای هر دو مجموعه A و B داریم؛

|A|=|B| ⇔ A⇌B

بنا به فرض پیوستار عام مجموعه‌ای که کاردینال آن بین کاردینال یک مجموعه و کاردینال مجموعه توانی آن باشد وجود ندارد.

برای مثال اگر کاردینال مجموعه اعداد طبیعی، یعنی ||، را X_º و کاردینال مجموعه توانی آن یعنیƤ() را X_۱ بگیریم آنگاه بنا بر قضیه کانتور داریم: X_º_{_C}X_۱ [می‌گوییم X_º از X_۱ کوچک‌تر و همین‌طور از Ƥ() (به‌طور کاردینالی) کوچک‌تر است] و نیز بنا به فرض پیوستار کانتور کاردینال دیگری بین X_º و X_۱ وجود ندارد.

این روند را می‌توان برای Ƥ(Ƥ()) و Ƥ(Ƥ. . .Ƥ(Ƥ()). . .) ادامه داد و نوشت:

X_º X_۱ X_۲. . . X_n . . .

و چنین مفروض دانست که بین (i∈∪{۰}) X_i+۱ و X_i کاردینال دیگری وجود ندارد.

در ریاضی از نماد ℵ (الف/Alef) به‌جای X در بالا استفاده می‌شود و با توجه به آنچه گفته شد می‌توان دنباله زیر را نوشت.

ℵ_º, ℵ_۱, . . .,ℵ_n, . . .

به هر عنصر این دنباله کاردینال نامتناهی [یا عدد ترانسفینی یا عدد بیکران یا ترامتناهی] می‌گویند.

اعداد ترامتناهی (ترانسفینی) و ترتیب آنها

■ کاردینال مجموعه‌های متناهی

نماد کاردینال مجموعه تهی را 0_º (یا ۰) و کاردینال مجموعه‌های n عضوی [کاردینال مجموعه متناهی] را n_º (یا n) می‌‌گیریم. در این صورت با توجه به ۲.۱۶.۱ ℵ_º کوچک‌ترین عدد ترانسفینی است که از کاردینال هر مجموعه متناهی بزرگ‌تر است. مرسوم است به اعداد طبیعی عدد کراندار [یا اعداد متناهی] نیز گفته.

■ پارادوکس کانتور

مجموعه کاردینال‌ها وجود ندارد. بعبارت دیگر:

۰, ۱, ۲, . . . ℵ_º, ℵ_۱, . . .,ℵ_n, . . .

یک مجموعه نیست.

☚ کلاس جهانی و جهان فون نویمان را ببینید.

۱- گیریم U یک مجموعه شامل همه عناصر ازجمله خود باشد. در این صورت بنا بر قضیه کانتور داریم:

|U| |Ƥ(U)|.

۲- از طرفی بنا به تعریف U داریم Ƥ(U)⊂U. پس به‌موجب قضیه کانتور:

|Ƥ(U)| |U|.

۳- اکنون بنا به قضیه شرودر برنشتاین از (۱) و (۲) داریم:

|U| = |Ƥ(U)|.

این نتیجه با |U||Ƥ(U)| ناسازگار است. این پارادوکس به پارادوکس کانتور مشهور است.

■ حساب اعداد کاردینال

■ جمع اعداد کاردینال:

گیریم A و B دو مجموعه از هم جدا باشند و نیز |B|=a و |A|=b، آنگاه جمع کاردینال‌های آن‌ها، نشان داده با a+b، به قرار زیر تعریف می‌شود:

a + b = |A ∪ B|

و از آنجاکه:

(A_۱ ⇌ A; B_۱ ⇌ B) ⇒ ( (A_۱ ∪ B_۱) ⇌ (A ∪ B))

پس تعریف جمع کاردینال‌ها خوش-بنیاد خواهد بود (نابسته به عمل‌وند‌ها است.)

■ ضرب اعداد کاردینال:

گیریم A و B دو مجموعه از هم جدا باشند و نیز |B|=a و |A|=b، آنگاه ضرب کاردینال‌های آن‌ها، نشان داده با ab، به قرار زیر تعریف می‌شود:

ab = |A × B| (ضرب دکارتی)

و از آنجاکه:

(A_۱ ⇌ A; B_۱ ⇌ B) ⇒ ( (A_۱ × B_۱) ⇌ (A × B))

پس تعریف ضرب کاردینال‌ها خوش-بنیاد خواهد بود (نابسته به عمل‌وند‌ها است.)

■ ویژگی‌های حساب کاردینال‌ها:

ویژگی‌های زیر را می‌توان با کارزدن تعریف جمع و ضرب کاردینال‌ها نشان داد:

i) a + b = b + a;
ii) ab = ba;
iii) a + (b+ c)= (a+ b)+ c;
iv) a(bc)= (ab)c;
v) a(b+ c)= ab + ac.

و نیز ویژگی‌های زیر را:

i) a^b+c = a^ba^c;
ii) (ab)^c = a^cb^c;
iii) (a^b)^c = a^bc.

مقایسه‌پذیری، فرض پیوستار و بی‌نهایت‌ها

یادآور نظریه مجموعه‌ها: قسمت ۷

درآمد به منطق و رایانش