برهان صوری اعتبار
روش‌های استنتاج
درآمد به منطق فصل ۱۰ قسمت ۱
فصل پیشین معرفی انگاره‌های بنیادین منطق جدید بود و در قسمت پایانی آن آنچه بطور سنتی به سه قانون اندیشه مشهوراند به توضیح درآمده بود. این فصل توضیح روش‌های گوناگونی است که با آنها می‌توان اعتبار یا بی‌اعتباری استدلال‌های استنتاجی را ثابت کرد. این قسمت نگاه نزدیک به قواعد استنتاج، دستگاه استنتاج طبیعی و تعریف برهان صوری است.
۱.۱۰ برهان صوری اعتبار
قواعد استنتاج
Rules of inference
قواعدی که امکان اندریافت (استنباط) معتبر از گزاره‌هایی که به‌عنوان مقدمه مفروض‌اند را ممکن میسازند. در این کتاب بیست و سه قاعده استنتاج معرفی گردیده:
آ- نه صورت استدلالی معتبر مقدماتی،
ب- ده هم‌ارزی منطقی؛که می‌توانند جایگزین یکدیگر گردند؛
ج- چهار قاعده برای تخصیص و تعمیم در منطق محمولات.
برهان صوری اعتبار
Formal proof of validity
دنباله‌ای از عبارت‌های گزاره‌ای که هر کدام یا مقدمه برای استدلال داده شده‌ای هستند، یا بر اساس یکی از قواعد استنتاج از گزاره‌های قبلی دنباله دست آمده باشند، بقسمی که آخرین گزاره در دنباله، نتیجه استدلالی باشد که اعتبار آن مورد اثبات است. برهان صوری اعتبار، اثبات دقیقی است مبنی بر اینکه یک استدلال نمی‌تواند دارنده همه مقدمات درست و یک نتیجه نادرست داشته باشد.
استدلال معتبر ابتدایی
استدلال معتبر مقدماتی
Elementary valid argument
هریک از اعضای مجموعه استدلال‌های استنتاجی مشخص که عهده‌دار به‌عنوان یک قاعده استنتاج باشند و بنابراین بتوانند برای ساختن یک برهان صوری اعتبار بکار بسته شوند.
همانطور که در ابتدای این کتاب آمده، منطق درباره استدلال است و خواندن منطق یادگیری دلیل‌آوری صحیح در مقابل دلیل‌آوری خطا است. در این فصل خواهیم دید که یک استدلال استنتاجی معتبر یک برهان را می‌سازد، و اینکه برهان‌ها در منطق در مرکز قرار و نقش حیاتی در آن دارند.
در منطق گزاره‌ای (و در منطق محمولات، همانطور که در فصل ۱۱ خواهد آمد)، می‌توان یک استدلال را با دست آوری نتیجه از مقدمات آن با دنباله‌ای از اندریافت‌های استنتاجی معتبر اثبات کرد. یک برهان صوری اعتبار، اثبات دقیقی است مبنی بر اینکه یک استدلال نمی‌تواند دربردارنده همه مقدمات درست و یک نتیجه نادرست باشد. اگر مقدمات یک استدلال درست باشد، برهان اعتبار آن استدلال ثابت می‌کند که نتیجه آن نیز درست است.
برای مثال به استدلال زیر توجه نمایید:
(م-۱): اگر اندرسون معرفی می‌شد، آنگاه به بوستون می‌رفت.
(م-۲): اگر او به بوستون می‌رفت، آنجا مبارزات انتخاباتی را آغاز می‌کرد.
(م-۳): اگر آنجا مبارزات انتخاباتی را آغاز می‌کرد آن‌وقت با داگلاس ملاقات می‌کرد.
(م-۴): اندرسون با داگلاس ملاقات نکرد.
(م-۵): یا اندرسون معرفی شد یا فرد شایسته‌تری برگزیده شد.
بنابراین فرد شایسته‌تر برگزیده شد.
گرچه اثبات اعتبار این استدلال می‌تواند شهودی آشکار باشد، اما از جهت موضوعیت خود برهان آن را بررسی خواهیم کرد. برای تسهیل در ادامه بحث، استدلال را آنگونه که در زیر آمده نمادین می‌کنیم:
(P۱): A ⊃ B
(P۲): B ⊃ C
(P۳): C ⊃ D
(P۴): ~D
(P۵): A ∨ E
∴ E
می‌توان اعتبار این استدلال را با بدست آوردن نتیجه آن بوسیله اندریافت‌های پیاپی و با کارزدن دنباله‌ای از استدلال‌های مقدماتی اثبات کرد.
برای درک سرشت برهان صوری اعتبار و استفاده آن از استدلال‌های معتبر ابتدایی، ابتدا چند انگاره اساسی و اصطلاحات فنی را معرفی می‌کنیم.
ابتدا با اندریافت معتبر A⊃C، اثبات استدلال بالا را آغاز می‌کنیم. A⊃C از دو مقدمه اول، یعنی A⊃B و B⊃C، بدست می‌آید. صورت این استدلال به قرار است:
A⊃B
B⊃C
∴ A⊃C
این استدلال (اندریافت) مقدماتی مورد جانشین صورت استدلال قیاس شرطی (H.S) است که آن را در فصل قبل (قسمت ۷) معرفی و اثبات کردیم.
p⊃q
q⊃r
∴ p⊃r
ما یک صورت استدلال معتبر ابتدایی را بعنوان یک صورت استدلال معتبر ساده در فهرستی از نه صورت استدلال معتبر خاص تعریف می‌کنیم و از آنها بعنوان قواعد استنتاج استفاده خواهیم کرد.➥ یک قاعده استنتاج یک صورت استدلالی معتبر یا هم‌ارزی منطقی است که همچون یک قاعده استنتاج صراحت یافته شده باشد. یک استدلال معتبر ابتدایی بعنوان استدلالی تعریف می‌شود که مورد جانشین از یک صورت استدلال معتبر ابتدایی باشد. توجه داشته باشید که هر مورد جانشین از یک صورت استدلال معتبر ابتدایی یک استدلال معتبر ابتدایی است. بنابراین
(A • B) ⊃ [C ≡ (D ∨ E)]
A • B
C ≡ (D ∨ E)
یک صورت استدلال معتبر مقدماتی است زیرا مورد جانشین صورت استدلال مقدماتی معتبر قیاس استثنائی (M.P.) است. و دست آمده از صورت
p ⊃ q
q
∴ q
با جانشینی A•B برای p و C≡(D∨E) برای q است و بنابراین از آن صورت است گرچه قیاس استثنایی صورت نوعی استدلال داده شده نیست.
یک برهان صوری اعتبار یک استدلال معین، دنباله‌ای از اندریافت‌های استنتاجی معتبر است که مطابق با قواعد استنتاج انجام می‌شود. یک برهان اعتبار با نوشتن مقدمات و گزاره‌هایی که از آنها دست می‌آوریم در یک ستون (ستون گزاره‌ای)، و نوشتن توجیه استنتاجی آنها در ستون راهنما (نمایه توجیه) برای هر عبارت استنتاج شده در برهان، ستونی در سمت راست ستون گزاره‌ها، ساخته می‌شود. آسان‌تر است ابتدا همه مقدمات را فهرست کنید و نتیجه را در یک ردیف جداگانه یا در ابتدای ستون توجیهی بنویسید که با یک خط مورب و نماد (∴) از مقدمات جدا شده باشد. تمام گزاره‌های ستون گزاره‌ای شماره گذاری شده و "توجیه" [موجه کردن] برای هر عبارت-گزاره‌ای شامل شماره عبارات-گزاره‌ای قبلی است که از آنها اندریافت شده‌اند، همراه با کوتاه شده قاعده استنتاجی که توسط آن اندریافته شده.
اثبات کامل استدلال فوق مستلزم چهار استنتاج معتبر با استفاده از سه قاعده استنتاج متمایز است که هر یک از آنها یک صورت استدلال معتبر ابتدایی است.
| برهان اعتبار استدلال | ||
| ردیف | ستون گزاره‌ها | ستون راهنما (موجه کرن) |
| ۱. | A ⊃ B | |
| ۲. | B ⊃ C | |
| ۳. | C ⊃ D | |
| ۴. | ~D | |
| ۵. | A ∨ E | |
| ∴ E | ||
| ۶. | A ⊃ C | ۱, ۲, H.S. |
| ۷. | A ⊃ D | ۶, ۳, H.S. |
| ۸. | ~A | ۷, ۴, M.T. |
| ۹. | E | ۵, ۸, D.S. |
این برهان اعتبارِ این استدلال را با اندریافت معتبر نتیجه آن، از پنج مقدمه آن با توالی چهار اندریافت استنتاجی معتبر اثبات می‌کند. چهار عبارت-گزاره‌ای در ستون گزاره‌ها در خطوط ۶ تا ۹ هر کدام بطور معتبر از گزاره‌های پیشین (یعنی مقدمات و/یا گزاره‌های اندریافت شده معتبر) و با استفاده از یک صورتِ استدلالِ معتبرِ ابتدایی، که به عنوان قاعده استنتاج تعیین شده است، استنتاج می‌شوند.
یکم: در ردیف ۶ گزاره A⊃C را بطور معتبر از A⊃B و B⊃C (مقدمه ۱ و ۲) و قاعده استنتاج قیاس شرطی نتیجه گرفته. در ستون راهنما و در سمت راست گزاره A⊃C ردیف‌هایی که برای این اندریافت بکار رفته‌اند (یعنی ۱ و ۲) و کوتاه شده قاعده بکار رفته (یعنی "H.S." برای قیاس شرطی) نوشته شده‌اند.
دوم: در ردیف ۷ گزاره A⊃D را بطور معتبر از A⊃C (ردیف ۶) و C⊃D (ردیف ۳) و قاعده استنتاج قیاس شرطی نتیجه گرفته. در ستون راهنما و در سمت راست گزاره نتیجه شده می‌نویسیم «۶, ۳, H.S. » تا نشان دهیم گزاره A⊃D از ردیف‌های ۶ و ۳ با کارزدن قیاس شرطی بدست آمده است.
سوم: در ردیف ۸، بطور معتبر ~A را از A⊃D (ردیف ۷) و ~D (ردیف ۴) بوسیله قیاس اقترانی (M.T.) بدست آورده و با نوشتن «۷, ۴, M.T.» در ستون راهنما، گزاره‌ها و قاعده بکار رفته را یادآور می‌شویم.
چهارم: سرانجام نتیجه استدلال، یعنی E، را بطور معتبر از A∨E (ردیف ۵) و ~A (ردیف ۸) توسط قیاس فصلی (D.S.) بدست می‌آوریم و با نوشتن « ۵, ۸, D.S.» در ستون راهنما گزاره‌ها و قاعده بکار رفته را یادآمور می‌شویم.
اکنون می‌گوییم چون توانستیم نتیجه اصلی استدلال را از پنج مقدمه آن و چهار استدلال مقدماتی به دست آوریم پس ثابت شد که استدلال معتبر است. آنچه انجام دادیم عبارت بود از کار بستن صورت‌های منطقی معتبر قیاس شرطی (.H.S)، قیاس اقترانی (.M.T) و قیاس فصلی (.D.S) به‌عنوان قواعد استنتاج که نتایج آنها به‌طور معتبر از مقدمات آنها به‌دست‌آمده.
این روش دست‌آوردن نتیجه از مقدمات در یک استدلال استنتاجی— یعنی کار بستن متوالی قواعد استنتاج برای اثبات اعتبار استدلال، چنانچه دقیق انجام شود، به همان اندازه جدول ارزش که در فصل قبل گفته شد اطمینان‌بخش است. این روش این توانایی را می‌آورد تا بتوان استنتاج را از مقدمات تا نتیجه ره‌گیری کرد، و از این جنبه بسیار روشن‌تر و دارای بداهت بیشتر نیز است. ایت روش به استنتاج طبیعی موسوم است. با استفاده از استنتاج طبیعی می‌توان برهان صوری یک استدلال معتبر را تشکیل داد.
یک برهان صوری اعتبار برای یک استدلال داده‌شده معتبر، مانند همین برهانی که ارائه شد، دنباله‌ای از عبارت‌های-گزاره‌ای است که با مقدمات آغاز و در پی آن عبارت‌های-گزاره‌ای اندریافته‌یِ معتبر آمده، آنگونه که در پایان نتیجه نیز بطور معتبر اندریافته شده حضور داشته باشد.
قیاس استثنایی یک صورت منطقی بسیار مقدماتی است و پرسش این است که چه صورت‌های منطقی مقدماتی دیگر را می‌باید به‌عنوان قاعده‌های استنتاج معرفی کرد؟ کار را با فهرست نه‌گانه‌ای از قاعده‌های استنتاج که می‌باید در ساختن برهان صوری اعتبار بکار بسته شوند آغاز می‌کنیم. با کمک آنها می‌توان برای گستره بزرگی از استدلال‌های پیچیده‌تر برهان صوری ساخت. نام‌های آمده برای آنها در بیشتر جاها استاندارد هستند و کار بردن کوتاه‌شده آنها این امکان را می‌آورد تا برهان‌های صوری با حداقل نوشتن پیاده‌سازی شوند.
|
|