ساختن برهان صوری اعتبار

در این قسمت به یکی از وظایف اصلی منطق استنتاجی می‌پردازیم، یعنی: اثبات صوری اینکه استدلال‌های معتبر واقعاً معتبر هستند. در قسمت‌های قبل (مثال۱، مثال۲) آن برهان‌های صوری را بررسی کردیم که نیازشان فقط نوشتن توجیه گام‌های برداشته (در ستون توجیه) در آن‌ها بود. از اینجا به بعد، با استدلال‌هایی مواجه می‌شویم که باید برهان صوری آن‌ها را ساخت. این کار برای بسیاری از استدلال‌ها آسان و برای بعضی نیز چالش آور است. اینکه استدلال‌ها کوتاه و ساده باشند یا طولانی و سخت— در هر حالت تنها ابزار ما قواعد استنتاج خواهند بود. موفقیت در بنای برهان نیازمند به تسلط بر آن‌هاست.  داشتن فهرست قواعد کافی نیست. نیاز است تا همان‌طور که برهان را از کار درمی‌آوریم، توانمند به فراخوان این قواعد "از درون کار" باشیم. توانایی انجام این کار، به‌سرعت با انجام دادن به دست خواهد آمد و البته میوه آن نیز خرسندی فراوان خواهد بود.

حال، ساختن برهان برای استدلال‌های ساده را آغاز می‌کنیم. تنها قواعدی که نیازند (یا در دسترس ما برای استفاده هستند) همین نه صورت استدلال معتبر مقدماتی‌اند که با آن‌ها کارکردیم. گرچه از پس این محدودیت بعداً بر خواهیم آمد ولی حتی با این نه قاعده در جعبه‌ابزار منطقی می‌توان تعداد بسیار زیادی استدلال را ثابت کرد که معتبرند. ادامه را با استدلال‌هایی آغاز می‌کنیم که برهان صوری آن‌ها علاوه بر مقدمات به بیشتر از دو عبارت گزاره‌ای دیگر نیاز ندارند.

ابتدا به دو مثال نگاه می‌کنیم.

 برای اولین مثال، استدلال زیر را ملاحظه کنید:

۱. A 
۲. B
   ∴ (A ∨ C) • B

نتیجه این استدلال، A∨C)•B)، یک ترکیب عطفی است؛ سریع درمی‌یابیم که عطف دوم، B، خیلی سرراست به‌عنوان یک مقدمه در خط ۲ حاضر و آماده است. آنچه می‌ماند گزاره فصلی، (A∨C)، است که می‌تواند به  B پیوست شود و برهان را کامل کند. (A∨C) نیز به‌آسانی از مقدمه A در خط ۱ به دست می‌آید؛ یعنی با کار بستن قاعده افزایش،  C را به آن می‌افزاییم؛ این قاعده به ما می‌گوید وقتی p با مقدار ارزش درست داده‌شده، می‌توان هر q دلخواه را (به‌طور فصلی) به آن افزود. در این مثال به ما گفته‌شده A درست است و بنابراین با کار بستن این قاعده می‌توان نتیجه گرفت (A∨C) نیز باید درست باشد. خط سوم برهان:

 ۳. (A∨C) ۱, Add.

است. در خط ۴ می‌توانیم این ترکیب فصلی (خط ۳) را به مقدمه B (خط ۲) پیوست کنیم:

 ۴. (A∨C)) • B    ۳,  ۱, Conj.

این آخرین خط دنباله، نتیجه استدلالی است که ثابت شد و بنابراین برهان صوری کامل است.

۱.  A • B
۲.  (A ∨ C) ⊃ D
   ∴ A • D
۳.  A
۴.  A ∨C
۵.  D
۶.  A • D

 دومین مثال نیز یک استدلال است که برهان صوری آن فقط نیازمند به دو خط  اضافه در دنباله است:

۱.  D ⊃ E
۲.  D • F
   ∴E

نتیجه این استدلال، E، تالی گزاره شرطی D⊃E است که به‌عنوان اولین مقدمه داده‌ شده. می‌دانیم که می‌توانیم درستی E را با استفاده از قیاس استثنائی استنتاج کنیم چنانچه بتوانیم درستی D را ثابت کنیم. و البته که می‌توان درستی D را با کاربستن ساده‌ گردانی از مقدمه دوم، D•F، ثابت کرد. بنابراین برهان صوری کامل استدلال شامل چهار خط زیر خواهد شد:

۱.  D ⊃ E
۲.  D • F   /∴E
۳.  D          ۲,  Simp.
۴.  E          ۱, ۲,  M.P.

در هر یک از این مثال‌ها و در تمام تمریناتی که به دنبال می‌آیند، برهان صوری هر استدلال می‌تواند با افزودن فقط دو عبارت-گزاره‌ای بیشتر ساخته شود. و البته اگر نُه صورت استدلال معتبر مقدماتی در ذهن حاضر باشند، کار آسانی خواهد بود. به خاطر داشته باشید که آخرین خط در دنباله هر برهان همیشه نتیجه استدلال مورد اثبات است.