دستگاه استنتاج طبیعی

دو نقص ظاهری در این فهرست نوزده قاعده استنتاج شایان توجه است.

ممکن است کسی عیب بگیرد که چنین دستگاهی به این صورت بد ساخت است، و گاهی ممکن است مسیر برهانی که می‌تواند آسان و سرراست باشد باشد را به پیچ و خم اندازد. دلیل خوبی برای آنچه بدساختی نامیده شد وجود دارد. البته که ما می‌خواهیم مجموعه‌ای از قواعدی را داشته که تمام باشد، همانطور که این مجموعه ۱۹ قاعده‌ای است. اما نیز می‌خواهیم این مجموعه قواعد کوتاه و به آسانی دست یافتنی باشد. ما می‌توانیم قواعدی را به این مجموعه بیافزاییم - هم‌ارزی‌ها یا صورت استدلالی معتبر اضافی - اما با هر یک از این افزودن‌ها جعبه ابزار منطقی ما شلوغ‌ و شلوغ‌تر و اداره آن دشوارتر می‌شد. می‌توان برخی از قوعد را حذف کرد (برای مثال، قیاس اقترانی، همانطور که در بالا آمد). اما با هر حذفی از این گونه، گرچه مجموعه قواعد کوچک‌تر می‌شد اما خام دستانه‌تر و نیازمند به آوردن برهان‌های گسترده برای استدلال‌های بسیار ساده نیز می‌شد. تجربه طولانی نشان داده که این مجموعه از نوزده قاعده همچون یک بینابین ایده‌آل عمل می‌کند: فهرستی از قواعد استنتاج و به اندازه کافی کوتاه تا بتوان کامل بر آن چیرگی یافت، و در عین حال به اندازه کافی طولانی تا تمام آنچه را که ممکن است نیاز باشد با کارایی معقول انجام دهد.

بنابراین، هر پرسش درباره دنباله شماره‌دار از عبارتهای-گزاره‌ای که در بالا‌ آمد، مبنی بر اینکه آیا این دنباله یک برهان صوری اعتبار است را می‌توان به‌آسانی و به‌تمامی مطابق مدل مکانیکی رفع‌ورجوع کرد. مقدمه بودن خط‌های ۱ و ۲ و همین‌طور نتیجه بودن خط ۴ برای این استدلال آشکار است. به دست آمدن ۳ از خطوط پیشین آن طبق یکی از قواعد استنتاج در تعداد مرحله محدود تصمیم‌پذیر است، حتی وقتی یادآوری (۱، Com.) کنار آن نوشته نباشد. توضیحی که برای یادآوری در ستون دوم آمده صرفاً یک راهنماست و همیشه هم باید آورده شود، ولی اگر بخواهیم دقیق باشیم باید گفت بخش لازم از خود برهان نیست. برای هر خط فقط تعداد محدود خط قبلی وجود دارد و بعلاوه فقط تعداد محدود قاعده استنتاج و به عبارتی صورت‌های مرجع وجود دارد که ‌باید به آن‌ها رجوع نمود. گرچه زمان‌بر است ولی با وارسی و مقایسه قالب‌ها می‌توان دریافت که ۳ از ۱ و ۲ طبق قیاس استثنایی، یا قیاس اقترانی یا قیاس شرطی، . . . و مانند آن‌ها به دست نیامده، تا آنکه در ادامه این روند به این خواهیم رسید که آیا ۳ از خط ۱ و اصل جابجایی نتیجه شده یا نه، و در اینجا با نگاه به صورت درمی‌یابیم که چنین است. به همین ترتیب، حقانیت هر گزاره در هر برهان صوری را می‌توان در تعداد محدودی از مراحل آزمایش کرد، که هیچ کدام شامل چیزی بیش از مقایسه صورت یا صورت‌ها نیست.

برای حفظ این کارآمدی نیاز است فقط یک مرحله را در هر بار انجام دهیم. ممکن است کسی بخواهد برهان را با ادغام مراحل کوتاه‌تر کند، ولی زمان و جایی که صرفه‌جویی می‌شود اندازه قابل‌ملاحظه نیست و قابل‌چشم‌پوشی است. مهم‌تر، کارآمدی است که با محدود کردن هر قدم از برهان به یک اندریافت با استفاده از یک قاعده استنتاج به دست می‌آید.

گرچه یک برهان صوری کارساز است، به این معنی که طبق مدل مکانیکی می‌توان تصمیم گرفت هر دنباله‌ای یک برهان است یا نه، ولی ساختن یک برهان صوری، یک روند کارآمد نیست. در این رابطه یک برهان صوری متفاوت از جداول ارزش است. ساختن جدول ارزش به‌تمامی مکانیکی است: برای هر استدلال داده‌شده از آن نوع که در اینجا با آن سروکار داریم، همیشه می‌توان برای آزمون اعتبارشان با پیروی از قواعد ساده روندی که در فصل قبل ارائه شد، جداول ارزش آن‌ها را ساخت. اما قواعد کارآمد یا مکانیکی برای ساختن برهان صوری در اختیار نداریم. در اینجا باید فکر کنیم یا "کشف کنیم" [فکر کنیم تا دریابیم] از کجا شروع و چگونه ادامه دهیم. بااین‌وجود، ثابت کردن اعتبار استدلال از طریق برهان صوری برای اعتبار آن بسیار آسان‌تر از ساختن صرف مکانیکی جداول ارزش است که دارای صدها و حتی هزاران سطر باشد.

گرچه برای ساختن برهان صوری قواعد مکانیکی خالص وجود ندارد ولی می‌توان تعدادی قاعده بعنوان راهنما برای این روند پیشنهاد کرد. اولین آن‌ها این است که در آغاز، نتیجه‌ها را از مقدمات داده‌شده با کار بستن قواعد استنتاج داده‌شده استخراج کرد. همان‌طور که بیشتر و بیشتر از این نتایج فرعی (میان‌نتیجه) بعنوان مقدمه برای استنتاج بیشتر حاصل می‌شود، احتمال آنکه پی برده شود چگونه نتیجه استدلال مورد اثبات را به دست آورد بیشتر می‌گردد. راهنمایی دیگر آنکه، تلاش شود عبارت‌های-گزاره‌ای که در مقدمات آمده‌‌اند ولی در نتیجه نیامده‌اند را حذف نمود. البته این‌گونه حذف‌ها باید مطابق قواعد استنتاج انجام شود و ازجمله این قواعد تکنیک‌های فراوان برای حذف هستند. ساده‌ گردان یکی از این قواعد است که طبق آن، وقتی تمام خط یک ترکیب عطفی است مؤلفه سمت راست را می‌توان برداشت. جابجایی نیز قاعده‌ای است که تعویض مؤلفه سمت چپ ترکیب عطفی با مؤلفه سمت راست را ممکن می‌سازد، که در این صورت با ساده‌گردانی می‌تواند برداشته شود. عبارت "میانی" q وقتی دو عبارت گزاره‌ای با قالب p⊃q و q⊃p داده‌شده‌اند مطابق قیاس شرطی می‌تواند حذف شود. پخش‌پذیری قاعده مفیدی برای تبدیل یک ترکیب فصلی با قالب (p⋁(q•r به ترکیب عطفی (p⋁q)•(p⋁r) است، که مؤلفه سمت راست آن مطابق ساده‌گردان می‌تواند حذف شود. دیگر از این قاعده‌های راهنما معرفی یک عبارت-گزاره‌ای که درنتیجه آمده ولی در مقدمات نیست با کار بستن افزایش است. ازجمله روش دیگر که اغلب نیز مؤثر است انجام کار به روش پسگرد از نتیجه است، یعنی وارسی آنکه چه عبارت یا عبارات-گزاره‌ای می‌توانند از نتیجه استنتاج شوند، و سپس تلاش برای نتیجه‌گیری این عبارتهای-گزاره‌ای میانی از مقدمات. و البته هیچ جایگزین برای انجام-دادن بعنوان روش کسب سهولت و ابزار در ساختن برهان‌های صوری وجود ندارد.