صورت‌های استدلال معتبر مقدماتی

هدف ما ساختن مجموعه‌ای از قواعد منطقی — قواعد استنتاج —  است تا بتوان بوسیله آنها اعتبار استدلال استنتاجی را در صورت اعتبار ثابت کرد. این رَوَند را با اندک تعداد صورت‌های استدلال معتبر مقدماتی که تاکنون معرفی شدند—  برای مثال قیاس استثنائی و قیاس شرطی— آغاز می‌کنیم. اینها درواقع ساده و رایج هستند، لیکن ما به مجموعه‌ قواعدی نیاز داریم تا از توان بیشتر برخوردار باشد.  این قواعد، یعنی قواعد استنتاج، را می‌توان بعنوان یک جعبه‌ابزار در نظر گرفت که از ابزارهای درون آن برای اثبات اعتبار، وقتی به آن‌ها نیازمندیم، بتوان استفاده کرد. اما، به چه چیزهای دیگری در این جعبه‌ابزار جز آن‌ها که گفته شد نیاز است؟ چگونه فهرست قواعد استنتاج را گسترش دهیم؟

قواعد موردنیاز استنتاج از دو مجموعه تشکیل‌شده‌ که هر یک از این دو شامل قواعدی از جنس متفاوت هستند. اولی آن‌ها مجموعه‌ای از صورت‌های استدلال معتبر مقدماتی است. مجموعه دوم شامل گروه کوچکی از هم‌ارزی‌های منطقی است. در این قسمت ما فقط صورت‌های استدلال معتبر مقدماتی را بحث خواهیم کرد.

همان‌طور که گفتیم تا اینجا با چهار  صورت‌ استدلال معتبر مقدماتی آشنا شده‌ایم:

برای کارآمدی این جعبه‌ابزار نیازمندیم پنج قاعده دیگر به آن افزوده. این صورت‌های افزوده را یک‌به‌یک بررسی می‌کنیم، صورت‌هایی که معتبرند و اعتبارشان به‌آسانی توسط جدول ارزش قابل اثبات است.

یک دو لمی (◅قیاس دو حدی) یک استدلال است که در آن باید یکی از دو گزینه انتخاب گردد. گزینه‌های این صورت استدلال عبارت‌اند از مقدم‌های دو گزاره شرطی p⊃q و  r⊃s. از قیاس استثنائی، M.P.، می‌دانیم که وقتی p⊃q و p داده‌شده‌، q را می‌توان  نتیجه گرفت و وقتی r⊃s و r داده‌شده‌، می‌توان s را می‌توان نتیجه گرفت. بنابراین وقتی p⊃q و r⊃s  و نیز p یا s(یعنی، یکی از مقدم‌ها) داده‌شده، می‌توان به‌طور معتبر q یا s(یعنی، تالی یکی یا دیگری) را نتیجه گرفت. بنابراین، دولمی سازنده در عمل ترکیبی از دو استدلال با صورت قیاس استثنائی، M.P.، است و  قطعاً معتبر است که یک جدول ارزش نیز می‌تواند گواه آن باشد. بنابراین دولمی سازنده را به جعبه‌ابزار خود می‌افزاییم.

هر گزاره‌ای همیشه مستلزم خودش است. بنابراین اگر بدانیم  p⊃q، می‌توانیم به‌طور معتبر نتیجه بگیریم که p مستلزم خودش و هم q است. این، همه آن چیزی است که قاعده جذب می‌گوید. (ممکن است کسی بپرسد) چرا به چنین قاعده‌ای نیاز داریم؟ همین‌طور که پیش می‌رویم نیاز به آن آشکار خواهد شد، ولی خیلی کوتاه، به آن نیازمندیم چون بردن p از سمت چپ نعل‌اسبی (⊂) به‌طرف دیگر، که گاهی هم لازم است، بسیار آسان خواهد شد. در عمل، قاعده جذب اصل این‌همانی را که از جمله اصول پایه‌ای منطقی است همیشه برای کار بستن میسر می‌کند. جذب را نیز به جعبه‌ابزار خود می‌افزاییم.

اگر رابط‌های منطقی را که قبلاً توضیح‌ آن آمد فهمیده‌ باشیم دو صورت استدلال معتبر مقدماتی بعدی به‌طور شهودی خیلی آسان‌تر درک‌‌شدنی خواهند بود.

ساده‌گردانی فقط می‌گوید اگر دو گزاره، p و q، وقتی درست هستند که باهم‌اند، آنگاه می‌توان نتیجه گرفت که یکی از آن‌ها ، p، نیز به‌تنهایی درست است. ما p را از ترکیب عطفی "استخراج" و آن‌ها به‌خودی‌خود برقرار می‌کنیم؛ در واقع عبارت داده‌شده را ساده می‌کنیم. ازآنجاکه p•q داده‌شده، پس می‌دانیم که p و q هردو باید درست باشند؛ بنابراین با قطعیت می‌دانیم که p درست است.

اما برای q چه؟ مگر نه اینکه  q هم به دلیل یکسان درست است؟ آری و چنین است. پس چرا این صورت استدلال مقدماتی فقط درستی p را استنتاج می‌کند؟ دلیل آن است که می‌خواهیم جعبه‌ابزارمان درهم‌ریخته نباشد. قواعد استنتاج باید دقیقاً و همیشه همان‌طور که هستند [با همان ظاهر] بکار روند. یقیناً، به قاعده‌ای نیاز داریم تا ما را قادر به استخراج‌های جداگانه از ترکیب عطفی نماید، ولی نیازمند به دو قاعده این‌چنینی نیستیم؛ یک قاعده کفایت می‌کند. وقتی نیاز است تا q را "استخراج" کنیم می‌توانیم آن‌ها درجایی که هم‌اکنون p در آن است قرار دهیم. بنابراین فقط یک قاعده ساده‌ گردانی که هم‌اکنون آن‌ها به جعبه‌ابزارمان می‌افزاییم را بکار خواهیم برد.

پیوست می‌گوید اگر دانسته است که دو گزاره، p و q، درست هستند می‌توان آن‌ها را با صورت یک ترکیب عطفی، p•q، کنار هم قرارداد. به‌عبارت‌دیگر، می‌توانیم آن‌ها را به هم پیوست کنیم. اگر آن‌ها به‌تنهایی درست‌اند، پس باید پیوست آن‌ها نیز درست باشد. در اینجا ترتیب کنار هم قرار دادن موجب مسئله‌ای نمی‌شود، زیرا همیشه می‌توانیم به یک طریق عمل کنیم و سعی کنیم تا آنچه را در سمت چپ می‌گذاریم به عنوان p و آنچه را در سمت راست می‌گذاریم به‌عنوان q بگذاریم. درستی توأمان چیزی است که ترکیب عطفی آن‌ها تصدیق می‌کند.

آخرین از نه صورت استدلال معتبر مقدماتی نیز مستقیماً نتیجه معنای رابط‌های منطقی— و در این حالت فاصل —است.

هر ترکیب فصلی وقتی هر یک از فصل‌هایش درست باشد باید درست باشد. یعنی، p∨q درست است اگر p درست باشد، یا q درست باشد، یا اگر هردو درست باشند. این چیزی است که ترکیب فصلی معنا می‌دهد. آشکارا از این به دست می‌آید که اگر ما بدانیم گزاره‌ای مانند p درست است، آن‌وقت خواهیم دانست که آن گزاره یا هر گزاره دیگری - هرچه باشد - درست است! بنابراین با استفاده از اینکه می‌دانیم گزاره‌ای مانند p درست است، می‌توانیم با افزودن (در برداشت فصلی، منطقی) یک گزاره به آن - هر هر گزاره که می‌خواهیم - یک ترکیب فصلی p∨q را برپا نماییم. ما این را افزایش (جمع زدن) منطقی می‌نامیم. گزاره افزوده ،q ، توأمان[پیوست] با  p نیست بلکه برای آن بکار رفته تا یک گزاره فصلی ساخته شود که با قطعیت می‌دانیم درست است، چراکه دانسته است یکی از فصل‌های آن ،p ، درست است. و بنابراین ترکیب فصلی را که ساخته‌ایم فارغ ازآنچه گزاره افزوده چه چیزی را تصدیق می‌کند - فارغ از آنکه چقدر می‌تواند مهمل یا عریان نادرست باشد - درست است! می‌دانیم گیلان غرب مازندران است. بنابراین، گیلان غرب مازندران است یا ماه از پنیر تازه درست‌شده! درواقع، ما نیز می‌دانیم گیلان غرب مازندران است یا 5=2+2. درستی یا نادرستی گزاره افزوده تأثیری بر درستی گزاره فصلی که می‌سازیم ندارد، زیرا، ترکیب فصلی قطعاً به‌وسیله درستی یکی از فصل‌هایش که با آن آغاز کرده‌ایم درست است. بنابراین، اگر p به‌عنوان درست داده‌شده باشد، می‌توانیم به‌طور معتبر  برای هر q هرچه می‌خواهد باشد  p∨q را نتیجه بگیریم. این اصل، یعنی افزایش(.Add) را به جعبه ابزار خود می‌افزاییم.

دو جنبه از این صورت‌ها باید مورد تأکید قرار گیرد. یکم، آن‌ها باید باکمال دقت بکار بسته شوند. وقتی برای اعتبار یک استدلال از قیاس استثنائی استفاده می‌شود باید دارای صورت دقیق:

 p ⊃ q ،p، بنابراین  q

باشد. جایگزین هر صورت استدلالی به‌وسیله گزاره دیگری (ساده یا مرکب) باید سازگار و به‌دقت انجام گردد. بنابراین، برای مثال، اگر (C∨D)⊃(J∨K) و (C∨D) داده ‌شود، می‌توان (J∨K) را با قیاس استثنایی استنتاج کرد. اما نمی‌توان (K∨J) را با قیاس استثنایی استنتاج کرد، حتی اگر درست هم باشد. صورت استدلال مقدماتی باید بتواند دقیقاً با استدلال موردبررسی جفت گردد. هیچ میانبر— هیچ نوع جعل از هرگونه— مجاز نیست، زیرا می‌خواهیم با قطعیت دانسته که حاصل دلیل‌آوری ما معتبر است و این وقتی دانسته است که بتوانیم ثابت کنیم هر حلقه در زنجیره دلیل‌آوری ما مطلقاً محکم و پابرجاست.

دوم، این صورت‌های استدلال مقدماتی باید به تمام خط‌های استدلال طولانی‌تر که موردبررسی است بکار بسته شوند. بنابراین و برای مثال، اگر X•Y)⊃Z]•T)] داده‌ شود، ما نمی‌توانیم X را بوسیله ساده‌ گردانی بطور معتبر استنتاج کنیم. گرچه X یکی از عطف‌های یک ترکیب عطفی است، ولی این ترکیب عطفی بخشی از عبارت مرکب‌تر است. حتی اگر آن عبارت بزرگ‌تر درست باشد X می‌تواند درست نباشد. ما فقط می‌توانیم استنتاج کنیم که اگر X و Y هردو درست باشند آنگاه Z نیز درست است. ساده‌ گردانی فقط به تمام خط که باید یک ترکیب عطفی باشد بکار بسته می‌شود؛ و نتیجه آن سمت چپ (و فقط) سمت چپ آن ترکیب عطفی است. بنابراین، از خط X•Y)⊃Z]•T)] می‌توانیم به‌طور معتبر X•Y⊃Z را به‌وسیله ساده‌ گردانی استنتاج کنیم. اما نمی‌توانیم T را حتی اگر درست هم باشد استنتاج نماییم.

برهان‌های صوری در منطق استنتاجی قدرت مقاومت‌ناپذیر دارند، ولی این توان را فقط بدین خاطر دارند که وقتی صحیح باشند کوچک‌ترین شکی در اعتبار هیچ استنتاج استخراج شده از آن نخواهد بود. کوچک‌ترین شکاف توان آن‌ها به‌تمامی درهم می‌کوبد.

نُه صورت استدلال معتبر مقدماتی را که گفتیم، باید در حافظه آماده داشت. همان‌طور که برای ساخت برهان‌های صوری پیش رویم، آن‌ها همیشه باید در ذهن آماده‌به‌خدمت باشند. فقط وقتی می‌توانیم امید به پیشرفت در تدوین برهان صوری اعتبار استدلال‌هایی با گستردگی بیشتر  داشته باشیم که درک صور استدلال معتبر مقدماتی را تماماً دریافته و بتوانیم آن‌ها را به‌سرعت و دقیق بکار بندیم.