بنای گسترده‌تر برهان‌های صوری

تمرین

تمرین ۱۰.۵:

(ج) استدلال‌های زیر را که به فارسی هستند می‌توان به شیوه بالا برگردان کرد و سپس برهان صوری هریک را تشکیل داد. این برهان‌ها در اندازه متفاوت هستند، بعضی تا سیزده عبارت-گزاره‌ای(به شمول مقدمات) نیاز دارند تا کامل ‌شوند. کوته‌سازی‌های پیشنهادی ‌باید برای وضوح به‌کاربرده شوند. به خاطر داشته باشید برای برهان صوری یک استدلال که در زبان طبیعی آمده بسیار دارای اهمیت است که برگردان عباراتی که به‌طور پراکنده در استدلال ظاهرشده‌اند با دقت کامل انجام شود، در غیر این صورت با استدلالی کار خواهد شد که متفاوت از اصل آن است، و در این حالت هر برهان آورده‌شده بی‌فایده است، چراکه به استدلال اصلی قابل کار زدن نیست.

۱: اگر جمال و هادی هرکدام برنده شوند، ژاله و کریم هردو بازنده هستند. جمال برنده است. بنابراین ژاله بازنده است. (G-- جمال برنده است؛ H--هادی برنده است؛ J-- ژاله بازنده است؛ K-- کریم بازنده است.)

۲: اگر آرمان عضو شود اعتبار اجتماعی باشگاه افزایش پیدا می‌کند؛ و اگر بابک عضو شود موقعیت مالی باشگاه امن‌تر می‌شود. آرمان یا بابک عضو خواهند شد. اگر اعتبار اجتماعی باشگاه افزایش یابد بابک عضو خواهد شد؛ و اگر موقعیت مالی امن‌تر شود آنگاه وحید عضو خواهد شد. بنابراین بابک یا وحید عضو خواهند شد. (A-- آرمان عضو شود ؛ S-- اعتبار اجتماعی باشگاه افزایش پیدا می‌کند ؛ B-- بابک عضو می‌شود ؛ F-- موقعیت مالی باشگاه امن‌تر می‌شود ؛ W-- وحید عضو خواهد شد.)

۳: اگر بابک تلگرام را دریافت کند، آنگاه به هواپیما می‌رسد؛ و اگر به هواپیما برسد به جلسه دیر نخواهد رسید. اگر آدرس گیرنده تلگرام درست نباشد آنگاه بابک دیر به جلسه خواهد رسید. بابک تلگرام را دریافت می‌کند یا آدرس گیرنده تلگرام درست نیست. بنابراین بابک به هواپیما می‌رسد یا به جلسه دیر خواهد رسید. (R—بابک تلگرام را دریافت می‌کند؛ P-- بابک به هواپیما می‌رسد ؛ L--بابک دیر به جلسه خواهد رسید ؛ T—آدرس گیرنده تلگرام درست نیست.)

۴: اگر ناهید زمین را بخرد آنگاه یک ساختمان اداری ساخته می‌شود؛ و چنانچه پروین زمین را بخرد آن به‌سرعت دو بار فروخته می‌شود. اگر رحیم زمین را بخرد آنگاه یک فروشگاه ساخته می‌شود و اگر یک فروشگاه ساخته شود آنگاه تیمور برای خرید آن پیشنهاد می‌دهد. ناهید یا رحیم زمین را خواهند خرید. بنابراین یک ساختمان اداری یا یک فروشگاه ساخته می‌شود (N--ناهید زمین را می‌خرد ؛ O--یک ساختمان اداری ساخته می‌شود ؛ P--پروین زمین را می‌خرد ؛ Q--زمین به‌سرعت دو بار فروخته می‌شود؛ R–رحیم زمین را می‌خرد؛ S--یک فروشگاه ساخته می‌شود؛ T--تیمور برای خرید آن پیشنهاد می‌دهد.)

۵*: اگر باران ادامه یابد رود بالا می‌آید. اگر باران ادامه یابد و رود بالا بیاید پل بسته می‌شود. اگر ادامه باران موجب بسته شدن پل شود، آن‌وقت داشتن فقط یک مسیر برای شهر کافی نخواهد بود. داشتن فقط یک مسیر برای شهر کافی است یا مهندسان ترافیک اشتباه کرده‌اند. بنابراین مهندسان ترافیک اشتباه کرده‌اند. (C—باران ادامه می‌یابد؛ R—رود بالا می‌آید؛ B—پل بسته می‌شود؛ S—داشتن فقط یک مسیر برای شهر کافی است؛ M—مهندسان ترافیک اشتباه کرده‌اند.)

۱. C ⊃ R
۲. (C ⋁ R) ⊃ B
۳. (C ⊃B) ⊃ ~S
۴. S ⋁ M
∴ M
۵. C ⊃ (C • R)۱, Abs.
۶. C ⊃ B۵, ۲, H.S.
۷. ~S۳, ۶, M.T.
۸. M۷, D.S.

۶: اگر ژاله به جلسه برود آنگاه یک گزارش کامل تهیه خواهد شد؛ اما اگر ژاله به جلسه نرود آنگاه تقاضای یک انتخابات ویژه اعلام خواهد شد. اگر یک گزارش کامل تهیه شود تحقیقات آغاز می‌شود. رفتن ژاله به جلسه منجر به تهیه یک گزارش کامل خواهد شد، و تهیه یک گزارش کامل آغاز یک تحقیقات را در پی خواهد داشت، بهر حال یا ژاله به جلسه می‌رود و تحقیقات آغاز می‌شود یا ژاله به جلسه نمی‌رود و تحقیقات آغاز نمی‌شود. اگر ژاله به جلسه برود و تحقیقات آغاز بشود آنگاه بعضی از اعضا به دادگاه فراخوان می‌شوند. اما اگر ژاله به جلسه نرود و تحقیقات آغاز نشود آنگاه سازمان به‌سرعت از هم خواهد پاشید. بنابراین بعضی از اعضا به دادگاه فراخوان می‌شوند یا سازمان به‌سرعت از هم خواهد پاشید. (J-- ژاله به جلسه می‌رود؛ R--یک گزارش کامل تهیه می‌شود؛ E--تقاضای یک انتخابات ویژه اعلام می‌شود؛ I-- تحقیقات آغاز می‌شود؛ T-- بعضی از اعضا به دادگاه فراخوان می‌شوند ؛ D--سازمان به‌سرعت از هم خواهد پاشید.)

۷: اگر آذر حاضر باشد آنگاه بهرام نیز حضور خواهد داشت. اگر آذر و بهرام هردو حاضر باشند آنگاه منوچهر یا داوود انتخاب خواهند شد. اگر منوچهر یا داوود انتخاب شوند آنگاه الهه به‌راستی باشگاه را در دست نخواهد داشت. اگر حضور آذر موجب شود الهه به‌راستی باشگاه را در دست نداشته باشد در این صورت فریدون رئیس جدید خواهد شد. بنابراین فریدون رئیس جدید خواهد شد. (A--آذر حاضر است؛ B—بهرام حاضر است؛ C—منوچهر انتخاب خواهد شد؛ D—داوود انتخاب خواهد شد؛ E—الهه به‌راستی باشگاه را در دست خواهد داشت؛ F--فریدون رئیس جدید خواهد شد.

۸: اگر جمال همسایه کناری سوزنبان باشد آنگاه درآمد سالانه جمال دقیقاً به 3 بخش‌پذیر است. اگر درآمد سالانه جمال دقیقاً به 3 بخش‌پذیر باشد آنگاه 40,000 دلار دقیقاً به 3 بخش‌پذیر است. اما 40,000 دلار دقیقاً به 3 بخش‌پذیر نیست. اگر رحیم همسایه کناری سوزنبان باشد آنگاه رحیم در نیمه‌راه اصفهان و تهران زندگی می‌کند. اگر رحیم در اصفهان زندگی کند آنگاه او در نیمه‌راه اصفهان و تهران زندگی نمی‌کند. رحیم در اصفهان زندگی می‌کند. اگر جمال همسایه کناری سوزنبان نباشد آنگاه رحیم یا ساسان همسایه کناری سوزنبان هستند، بنابراین ساسان همسایه کناری سوزنبان است. (J—اگر جمال همسایه کناری سوزنبان است؛ E--درآمد سالانه جمال دقیقاً به 3 بخش‌پذیر است ؛ T--40,000 دلار دقیقاً به 3 بخش‌پذیر است ؛ R--رحیم همسایه کناری سوزنبان است؛ H--رحیم در نیمه‌راه اصفهان و تهران زندگی نمی‌کند؛ D--رحیم در اصفهان زندگی می‌کند؛ S--ساسان همسایه کناری سوزنبان است.)

۹: اگر ساسان همسایه کناری سوزنبان باشد آنگاه ساسان در نیمه‌راه تبریز و تهران زندگی می‌کند. اگر ساسان در نیمه‌راه تبریز و تهران زندگی کند آنگاه وی در تهران زندگی نمی‌کند. ساسان همسایه کناری سوزنبان است. اگر رحیم در تبریز زندگی کند آنگاه وی در تهران زندگی نمی‌کند. رحیم در تهران زندگی می‌کند. ساسان در تهران زندگی می‌کند وگرنه رحیم یا جمال در تهران زندگی می‌کنند. اگر جمال در تهران زندگی کند آنگاه سوزنبان جمال است. بنابراین سوزنبان جمال است. (S--ساسان همسایه کناری سوزنبان است؛ W--ساسان در نیمه‌راه تبریز و تهران زندگی می‌کند؛ L--ساسان در تهران زندگی می‌کند؛ D--رحیم در تبریز زندگی می‌کند؛ I--رحیم در تهران زندگی می‌کند؛ C--جمال در تهران زندگی می‌کند؛ B--سوزنبان جمال است.)

۱۰*: اگر ساسان یک‌بار از آتش‌نشان در بیلیارد برده آنگاه ساسان آتش‌نشان نیست. ساسان یک‌بار در بیلیارد از آتش‌نشان برده. اگر سوزنبان جمال باشد آنگاه جمال آتش‌نشان نیست. سوزنبان جمال است. اگر ساسان آتش‌نشان نباشد و جمال آتش‌نشان نباشد آنگاه رحیم آتش‌نشان است. اگر سوزنبان جمال باشد و رحیم آتش‌نشان باشد آنگاه ساسان موتوریست است. بنابراین ساسان موتوریست است.

(O: ساسان یک‌بار از آتش‌نشان در بیلیارد برده ؛ M: ساسان آتش‌نشان است؛ B: سوزنبان جمال است؛ N: جمال آتش‌نشان است؛ F: رحیم آتش‌نشان است؛  G: ساسان موتوریست است.)

۱. O ⊃ ~M
۲. O
۳. B ⊃ ~N
۴. B
۵. (~M • ~N) ⊃ F
۶. (B • F) ⊃ G
∴ G
۷. ~M                  ۱, ۲, M.P.
۸. ~N                  ۳, ۴, M.P.
۹. ~M • ~N        ۷, ۸, Conj.
۱۰. F                   ۵, ۹, M.P.
۱۱. B • F             ۴, ۱۰, Conj.
۱۲. G                   ۶, ۱۱, M.P.