احتمالات در زندگی روزانه

در سرمایه‌گذاری و شرط‌بندی مهم است نه‌تنها به احتمال مبلغ برگشتی یا برنده شدن توجه داشت، بلکه به اینکه چقدر در سرمایه‌گذاری مبلغ برگشتی می‌تواند باشد یا چقدر می‌توان در یک شرط‌بندی برد نیز توجه کرد. این دو ملاحظه یعنی ایمنی و سودمندی بیشتر اوقات در برخورد با یکدیگر هستند؛ مقدار سود بالقوه، متضمن ریسک بیشتر نیز هست. ممکن است ایمن‌ترین سرمایه‌گذاری بهترین آن نباشد و همین‌طور سرمایه‌گذاری به امید بیشترین برگشت در صورت موفقیت نیز بهترین نباشد. نیاز به وفق دادن ایمنی و بیشترین برگشت نه‌تنها در بازی‌ها و سرمایه‌گذاری پیش می‌آید بلکه در انتخاب میان گزینه‌ها در تحصیل، کاریابی، و جنبه‌های دیگر از زندگی هم وجود دارد. می‌خواهیم بدانیم آیا سرمایه‌گذاری — پول، زمان و انرژی — "ارزش خود را" دارد — یعنی آنگاه‌که همه‌چیز ملاحظه شوند آیا شرط‌بندی روی آینده خردمندانه است؟ آینده را نمی‌توان دانست، اما تخمین احتمالات ممکن است. وقتی فردی کوشش به مقایسه سرمایه‌گذاری‌ها، یا شرط‌بندی‌ها، یا تصمیم‌های "تصادفی" می‌نماید، آن‌وقت است که مفهومی موسوم به مقدار امید ابزاری بس توانمند برای کار زدن خواهد بود.

مقدار امید را درزمینهٔ شرط‌بندی‌هایی که احتمال پیشامد آن معلوم است بهتر می‌توان شرح داد. هر شرط‌بندی — به فرض، یک بازی شیر و خط که در آن شرط‌بند یک دلار به ‌پیش می‌گذارد و در صورت شیر آمدن در پرتاب یک سکه یک دلار از شرط‌گذار می‌ستاند و در غیر این صورت یک دلار به‌ پیش گذاشته به‌شرط‌گذار خواهد رسید — که در آن‌ بعد از شرط‌بندی پول هزینه شود را باید به‌صورت یک خرید در نظر گرفت. آن یک دلار را که شرط‌بند به میان می‌آورد قیمت خرید است؛ وی با آن مقداری امید می‌خرد. اگر نتیجه پرتاب سکه شیر باشد، شرط بند دو دلار برگشت خواهد داشت (یک دلار برای مقداری که پیش گذاشته بود و یک دلار دیگر برای مقدار بردن در شرط‌بندی)؛ اگر حاصل پرتاب سکه خط باشد مقدار برگشت شرط‌بند صفر دلار خواهد بود. در این شرط‌بندی فقط دو حالت، یک شیر یا یک خط وجود دارد و نیز دانسته است که احتمال هریک از آن‌ها ^۱/_۲ است. بعلاوه مقادیر برگشت (۲ دلار یا ۰ دلار) وابسته به هر پیش آمد مشخص است.

مقدار برگشت حاصل از هر پیشامد را در احتمال محقق شدن آن پیشامد ضرب می‌کنیم؛ حاصل جمع این ضرب‌ها مقدار امید (یا امید ریاضی) شرط‌بندی یا سرمایه‌گذاری خواهد بود. مقدار امید یک دلار شرط بر سر آمدن شیر وقتی یک سکه متوازن (منصفانه) پرتاب شود برابر است با:

(^۱/_۲ × ۲$)+(^۱/_۲ × ۰$)=۱$.

در این حالت همان‌طور که می‌بینیم "فرصت‌ها" تراز هستند — یعنی مقدار امید خرید برابر قیمت خرید است.

این‌چنین نیست که همیشه چنین حالتی باشد. ما به دنبال یک سرمایه‌گذاری هستیم که در آن مقدار امید خرید بیشتر از هزینه سرمایه‌گذاری ما باشد — می‌خواهیم فرصت به‌طرف مطلوبیت ما باشد. بااین‌وجود، به‌وسیله شرط‌بندی‌هایی که مقدار امید آن کمتر و گاهی بسیار کمتر از قیمت آن است وسوسه می‌شویم.

تفاوت بین قیمت و مقدار امید در شرط‌بندی به‌ آسانی در یک بخت‌آزمایی، که در آن برای خرید یک بلیت، شانس "کمی" در برابر برگشتی زیاد ارائه می‌شود، قابل ملاحظه است. اینکه یک بلیت بخت‌آزمایی واقعاً چقدر می‌ارزد بستگی دارد به اینکه چقدر شانس کوچک است و چقدر مقدار برگشت زیاد است. فرض کنید جایزه بخت‌آزمایی یک اتومبیل به ارزش ۲۰,۰۰۰ دلار و قیمت بلیت ۱ دلار باشد. اگر ۲۰,۰۰۰ بلیت فروخته‌شده و ما یکی از آن‌ها را خریده‌ایم، احتمال بردن ما ^۱/_۲۰,۰۰۰است. بنابراین شانس برنده شدن خیلی کم است، لیکن برگشتی، چنانچه برنده شویم، خیلی زیاد است. در این مثال فرضی مقدار امید برای خرید یک بلیت بخت‌آزمایی برابر

(^۱/_۲۰,۰۰۰ × ۲۰,۰۰۰$) + (^۱۹,۹۹۹/_۲۰,۰۰۰ × ۰$) = ۱$.

دقیقاً یک دلار ، یعنی قیمت خرید بلیط است. اما معمولا هدف بخت‌آزمایی‌ها جمع آوری پول برای برخی علل ارزشمند است و این وقتی می‌تواند حاصل شود که پول جمع شده از قیمت جایزه بیشتر باشد. بنابراین تعداد بسیار بیشتر بلیط — ۴۰,۰۰۰ یا ۸۰,۰۰۰ یا ۱۰۰,۰۰۰ — فروخته خواهد شد. فرض کنید ۴۰,۰۰۰ بلیت فروخته شود. در این صورت مقدار امید یک بلیت ۱ دلاری به قرار زیر:

(^۱/_۴۰,۰۰۰ × ۲۰,۰۰۰$) + (^۳۹,۹۹۹/_۴۰,۰۰۰ × ۰$) = ./۵$.

یعنی ۵۰ سنت است. اگر ۸۰,۰۰۰ بلیت فروخته شود مقدار امید بلیط ۱ دلاری به ۲۵ سنت کاهش می‌یابد و نیز به همین ترتیب. می‌توان مطمئن بود در هر پیشنهاد خرید بلییت بخت‌آزمایی، مبلغ مقدار امید بلیتی که از ما خواسته شده بخریم به طور قابل ملاحظه از قیمت پرداختی برای آن کمتر است.

بازار بلیت های بخت آزمایی به خاطر جوایز بسیار بزرگ، که ممکن است برنده شد، بسیار گرم است. در این بخت‌آزمایی‌ها خریدار با خریدن هر بلیت مقداری امید می‌خرد که فقط کسری از قیمت پرداختی آن است. کسانی که آن را برگزار می‌کنند مبالغ هنگفتی را می‌ربایند.

برای نمونه در بخت‌آزمایی میشیگان[ایالتی در آمریکا] بیش از دو سوم شهروندان آن ایالت شرکت می‌کنند. انواع متفاوت شرط‌بندی را به رخ می‌کشند. در یک شرط‌بندی موسوم به "روزانه ۳[Daily 3]" هر بازیکن باید یک عدد سه رقمی از ۰۰۰ تا ۹۹۹ را انتخاب کند. بعد از آنکه شرط‌‌ها بسته شدند، موسسه بخت آزمایی یک عدد به تصادف استخراج شده را اعلام می‌کند و کسی که بلیت خریداری شده وی این شماره را داشته باشد ۵۰۰ دلار برنده خواهد شد. احتمال جور بود شماره بلیت خریداری شده یک دلاری ۱ در ۱۰۰۰ است. بنابراین مقدار امید در این شرط‌بندی برابر:

(^۱/_۱,۰۰۰ × ۵۰۰$) + (^۹۹۹/_۱,۰۰۰ × ۰$)

یعنی ۰/۵ دلار خواهد بود➥.

بخت‌آزمایی‌ها نمونه‌هایی با تفاوت زیاد بین قیمت خرید قمارباز و مقدار امید هستند. گاهی این تفاوت کم است، اما خرید زیاد آن سود فروش را تضمین می‌کند، مانند قمارهای کازینویی که در آن‌ها در یک شرط‌بندی عادی قیمت خرید بیشتر از مقدار امید خریداری‌شده است. در قسمت قبل دیدیم که در بازی تاس معروف به کرپ [craps] شانس برنده شدن تاس‌انداز ۰/۴۹۳ — یعنی فقط کمی کمتر از مساوی است. اما به طور گسترده به اشتباه عقیده چنین است که تاس‌انداز شانس برابر دارد و بنابراین شرط بستن روی تاس‌انداز با شرط مساوی منجر به جذابیت این بازی در کازینوهای قماربازی می‌شود. هر شرط یک دلاری خریدن مقدار امید برابر

(۰/۴۹۳ × ۲$) + (۰/۵۰۷ × ۰$)=۰/۹۸۶$

و به عبارتی ۹۸.۶ سنت است. تفاوت تقریبی یک پنی و نیم به نظر جزئی می‌آید، اما کازینوها مؤسسات بسیار سودآوری‌اند، زیرا آن‌ها این مزیت (و حتی مزیت بیشتر از دیگر شرط‌ گذاران ) را هر روز از هزاران تاس روی میزها دریافت می‌کنند. در صنف قماربازی به‌طور تناقض‌آمیز به آن‌ها که برای بردن پیوسته روی تاس‌انداز شرط می‌بندد "شرط‌گذار عاقل" گفته می‌شود و میان قماربازان حرفه‌ای معروف است که "شرط‌گذارهای درست حسابی[عاقل] روزی از بی‌چیزی می‌میرند."

مفهوم مقدار امید در تصمیم‌گیری عاقلانه‌تر پس‌انداز (یا سرمایه‌گذاری) پول کاربرد عملی دارد. بانک‌ها نرخ‌های بهره متفاوت برای حساب‌های مختلف دارند. فرض کنید بانک‌های موردنظر ما همگی تضمین‌شده دولتی هستند و لذا احتمال نقصان در اصل پول وجود ندارد. در پایان یک سال کامل مالی مقدار امید پس‌انداز سرمایه گزاری ۱۰۰۰ دلار با نرخ ۵ درصد برابر با

(۱,۰۰۰$[اصل پول که می‌دانیم برگشت خواهد شد]) + ۱۰۰۰$ × ۰/۰۵))

یعنی ۱,۰۵۰$ دلار در کل است. برای تکمیل محاسبه باید این مقدار برگشت را در احتمال به دست آوردن آن ضرب کرد – اما چون حساب را تضمینی فرض کردیم، آن را در ۱ یا ^۱۰۰/_۱۰۰ ضرب می‌کنیم. اگر نرخ بهره ۶ درصد باشد نرخ برگشتی ۱,۰۶۰$ دلار است و همین‌طور مانند آن. درواقع، مقدار خرید امید بیشتر از سپرده است، ولی برای دریافت بهره باید پول خود را برای مدت‌زمانی رهاشده بگذاریم. بهره‌ای که بانک در این مدت به ما می‌دهد به خاطر تصمیم بانک به سرمایه‌گذاری آن با نرخ‌های برگشت بیشتر است.

امنیت و سودآوری ملاحظاتی هستند که همیشه در تنش‌اند. اگر آماده‌باشیم از مقدار خیلی کمی امنیت در پس‌انداز چشم‌پوشی کنیم، ممکن است به افزایش مناسب در نرخ برگشت دست‌یافت. می‌توان با ۱,۰۰۰ دلار از شرکت‌های تضامنی با نرخ ۸ درصد و شاید ۱۰ درصد خرید کرد تا آن‌ها پول را به شرکت‌های طرف قراردادشان وام دهند. دریافتی از شرکت‌های تضامنی می‌تواند تا دو برابر دریافتی حساب سپرده‌گذاری بانگ باشد، اما با برگشتی دارای ریسک – گرچه کوچک ولی واقعی – برای وقتی‌که شرکت‌های طرف قرارداد نتوانند حساب خود در شرکت تضامنی را پر کنند. محاسبه مقدار امید ۱,۰۰۰ دلار سرمایه‌گذاری در یک شرکت تضامنی، به فرض با نرخ ۱۰ درصد، دقیقاً به همان روش انجام می‌شود که برای محاسبه سپرده‌گذاری بانک انجام گردید. ابتدا مقدار برگشتی را که فکر می‌کنیم قرار است به دست آوریم حساب می‌کنیم:

(۱,۰۰۰$[اصل پول که می‌دانیم برگشت خواهد شد]) + ۱۰۰۰$ × ۰/۰۵))

که حاصل آن به‌قرار ۱,۱۰۰ دلار برای کل برگشتی است. اما در این مورد احتمال دست آوردن برگشتی ^۱۰۰/_۱۰۰ نیست؛ گرچه می‌تواند بالا باشد اما ۱ نیست. بنابراین برگشتی ۱,۱۰۰ دلار باید در یک کسر، یعنی احتمال ضرر، ضرب شود. این احتمال باید با بیشترین دقت، با توجه به استواری وضعیت مالی شرکت تضامنی در موعد پرداخت ضمانت‌هایش، تخمین زده شود. اگر فکر کنیم احتمال آن بالاست، به فرض ۰/۹۹، می‌توان نتیجه گرفت این شرکت با نرخ پیشنهادی ۱۰ درصد مقدار امید (۱,۰۹۸$) بیشتری از سپرده بانکی (یعنی ۱,۰۵۰$) با نرخ ۵ درصد عرضه می‌کند و بنابراین سرمایه‌گذاری عاقلانه‌تری است. در زیر مقایسه به همراه جزئیات آمده است.

اما، اگر نتیجه بگیریم این شرکت تضامنی چندان زیاد مطمئن نیست و برآورد احتمال برای برگشت نهایی کاهش یابد، به فرض ۹۵/۰ شود، مقدار برگشت هم به‌قرار زیر کاهش می‌یابد.

اگر برآورد آخری معیار ما باشد، قضاوت ما چنین است که نرخ سود کمتر با امنیت خیلی بیشتر یک سرمایه‌گذاری عاقلانه‌تر است.

نرخ بهره در شرکت‌های تضامنی و بانک‌ها با توجه به نرخ تورم و علل دیگر بالا و پائین می‌رود، اما نرخ در شرکت‌های بازرگانی همیشه از سپرده‌های بانکی بالا‌تر است و این به ریسک بیشتر در شرکت‌های تضامنی، یعنی احتمال پیشی گرفتن مقدار کمتر برگشتی، مربوط است. هرقدر ریسک شناخته بیشتر باشد، نرخ بهره نیز برای جذب سرمایه‌گذاران باید بیشتر باشد. مقدار امید در بازارهای مالی مثل همه جای دیگر را باید با توجه به دو عامل احتمال (ریسک) و درآمد (برگشتی) در نظر گرفت.

وقتی استحکام یک شرکت در محاسبه مقدار امید دخیل است باید بعض مفروضات احتمال مدنظر قرار گیرد. ما، به‌طور ضمنی یا صریح، کسرهایی را برآورد می‌کنیم که فکر کرده بهترین نماینده احتمال رخدادهای ممکنی که پیش‌بینی می‌شوند هستند. این‌ها کسرهایی هستند که باید در مقدار برگشت از پیش درنظرگرفته برای رویدادن آن رخدادها، قبل از جمع حاصل‌ضرب‌ها، ضرب شوند. همه پیش‌بینی‌ها، لزوماً، نظری و حدسی‌اند و بنابراین پیشامدهای محاسبه‌شده هم غیرقطعی‌اند.

وقتی می‌توان مقدار تقریبی یک برگشتی مفروض را تعیین کرد که بدان دست‌یافت؛ محاسبات از آن‌ گونه‌ که شرح آن‌ها اینجا آمد ما را به تعیین احتمال مورد نیاز برای آن پیشامدها (با توجه به شواهد موجود) که نشان دهنده ارزشمندی سرمایه‌گذاری باشد توانا می‌کند. بسیاری از تصمیمات مالی و همین‌طور بسیاری گزینه‌ها در زندگی عادی (اگر بخواهیم عقلانی باشیم) وابسته به همین تخمین‌های احتمال و مقادیر امید برآمده از آن‌ها است. وقتی‌که باید روی آینده قمار کرد، حساب احتمالات می‌تواند به کار آید.

قماری نیست که بتواند از چهارچوب حساب احتمال گریز بزند. برای نمونه، گاه پافشاری می‌شود در آن بازی‌ها که سهم مساوی پول بر مبنای جایگزین‌های تقریباً هم احتمال پرداخت می‌شود (مثل پرتاب سکه، یا شرط بستن روی سیاه در مقابل قرمز رو چرخ رولت)، فرد می‌تواند با شرط‌گذاری پیوسته و ثابت - همیشه شیر یا همیشه یک رنگ مشخص – و دو برابر کردن مقدار شرط بعد از هر دور باخت مطمئن به بردن شود. ازاین‌قرار، اگر من ۱ دلار روی آمدن شیر شرط‌بندی کنم و اگر خط آمد در دور بعدی ۲ دو دلار روی شیر شرط‌بندی کنم و اگر خط آمد به همین‌گونه ۴ دلار روی شیر شرط‌بندی کنم و مثل این در ادامه، دورهای (آمدن خط یا رنگی که من روی آن شرط نبسته‌ام) بسیار غیرمحتمل خواهد شد. و چون گفته می‌شود طولانی‌ترین بازی باید زمانی به پایان خود برسد، و وقتی چنین شد کسی که مرتب شرط را دو برابر کرده همیشه همه پول را خواهد داشت ➥.

شگفتا! وقتی قمارباز می‌تواند به چنین دستگاه سرراست و قطعی روی میز قمار دل بسپارد، چرا باید در زندگی کار کند. بگذریم از اینکه بیشتر قمارخانه‌ها حدی را برای شرط‌بندی تعیین می‌کنند، حد بالایی که مانع از کار زدن سیستم دو برابر سازی می‌شود. اما، واقعاً چه مغالطه‌ای در این نسخه تجویزی دو برابر سازی نهفته است؟ گرچه هرقدر آمدن خط طول بکشد دیر یا زود بازی به آخر می‌رسد، ولی ممکن است به‌جای زودتر دیرتر به آخر برسد. بنابراین ممکن است دورهای ناساز بازی آن‌قدر طول بکشد که پول محدود شرط‌گذار را به آخر برساند. برای آنکه مطمئن بود می‌توان در هر نوبت شرط را دو برابر کرد، فارغ از آنکه چه قدر دورهای ناساز طول بکشد یا چقدر زیان ناشی از این دوره باشد، شرط‌گذار باید با مقدار نامحدود پول آغاز کند. در این صورت بازیکن با مقدار نامحدود پول – ازاین‌جهت که افزایشی در ثروت خود نخواهد دید، امکان برنده شدن نخواهد داشت.

سرانجام مغالطه خطرناکی چه در شرط‌بندی و چه در سرمایه‌گذاری وجود دارد که حساب احتمالات می‌تواند در پرهیز از آن کمک نماید. شکست ناگزیر تکنیک دو برابر سازی بر حقیقتی تکیه می‌کند که احتمال شیر (یا خط) در دور پرتاب بعدی تحت تأثیر پیشامدهای حاصل از پرتاب‌های قبلی نیست؛ یعنی، هر پرتاب یک رویداد نابسته است. بنابراین در پرتاب یک سکه، اشتباه بی‌خردانه‌ای است که نتیجه گرفت چون ده بار پی‌درپی شیر آمده است پس اکنون "موعد" خط است، یا تصور کرد، چون برخی ارقام در شماره‌های برنده بلیت بخت‌آزمایی تکرار شده‌اند پس این ارقام، رقم‌های "روی شانس" هستند. کسی که بر این پیش‌فرض – یعنی، بعضی رویدادهای آینده بنا به فراوانی رخ دادن رویدادهای نابسته پیشین بیشتر یا کمتر محتمل هستند – شرط می‌بندد یا سرمایه‌گذاری می‌کند مرتکب بی‌فکری چنان شایعی شده که بدان نام ساختگی "مغالطه قمارباز" داده‌اند.

از طرف دیگر اگر یک وسیله مکانیکی در طولانی‌مدت و مطابق الگوهای تکراری، فراوانی بعضی پیشامدها را از بعضی دیگر بیشتر نشان دهد، می‌توان نتیجه گرفت این وسیله آن‌گونه طراحی نشده (یا عمل نمی‌کند) که پیشامدهای هم احتمال را به دست دهد. وجوه یک تاس ممکن است متوازن نباشد یا چرخ رولت (وقتی توپ اغلب در نقطه یکسانی متوقف می‌شود) به‌درستی تنظیم‌نشده باشد. نظریه پیشینی احتمال (توفیق‌ها بر پیشامدها) برای زمانی که مطمئن هستیم مجموعه نمایندگی شده توسط مخرج کسرها – مجموعه همه پیشامدها – مجموعه رویدادهایی با امکان واقعاً مساوی هستند دارای کاربرد عقلانی است. بااین‌حال ممکن است شواهد انباشته موجب شود تا فرد نتیجه بگیرد اعضای مجموعه هم امکان نیستند. چنین موارد می‌تواند توصیه‌ مناسب برای برگشت به نظریه فراوانی احتمال باشد که استدلال می‌کند احتمال پیشامدهای معین عبارت از کسری است که نشان‌دهنده حد آن فراوانی است که طبق آن مجموعه کوچک‌تر پیشامدها رخ‌داده است. اینکه باید نظریه پیشینی احتمال یا نظریه فراوانی احتمال را بکار زد بستگی به شواهد جمع شده دارد و نیز وابسته است به فهم ما از حساب احتمالات در آن زمینه که بکار بسته خواهد شد.

پایان کتاب: درآمد به منطق، ویراست ۲۰۲۱