اعداد در زبان بیشتر با دو تعبیر بکار می‌روند: شمارشگری (یک تا، دو تا، ...) و ترتیبی (یکم،
دوم، ... .) سرشت ریاضی اولی را در اعداد کاردینال
دیدیم. درواقع، عدد ترتیبی (اردینال) گونه‌ِ ترتیب یک مجموعه خوش-ترتیب است. این قسمت در باره سرشت ریاضی
این اعداد است. نیز در طی مسیر با مفهوم ایزومورفیسم (یکریختی:
نگاشتی که مجموعه و روابطه بین عناصر را نکه می‌دارد) روبرو می‌شویم که در بسیاری از
دانش‌ها اهمیت به سزا دارد. از جمله در فلسفه برای مثال در نظریه مطابقت جای خود را دارد.
■ ایزومورفیسم (یکریختی)
گیریم A یک مجموعه که در آن رابطه دوتایی R تعریف شده باشد. در این‌صورت و در این قسمت به دوتایی مرتب <A, R> یک ساختار و به Aجهان سخن (یا دامنه سخن) این ساختار می‌گوییم. به دو ساختار ایزومورفیک [یا یکریخت]، گوییم اگر یک نگاشت دوسویی بین جهان‌های سخن آنها باشد بقسمی که، تصاویر عناصر یک جهان تحت این نگاشت که در رابطه تعریف شده این جهان هستند در رابطه تعریف شده در جهان دیگر باشند. نگاشت دو سویی با این ویژگی که گفته شد به نگاشت ساختار نگهدار موسوم است. از این جهت است که می‌گویند. وجود یک ایزومورفیسم (یکریختی) بین دو عالم سخن (عالم-۱ و عالم-۲)، وجود نگاشتی دو سویی (به‌فرض نگاشت-۱) بگونه ساختار نگهدار بین ین دو عالم است. در واقع یک ایزومورفیسم از گونه‌ای یکسانی صوری بین جهان‌های سخن خبر می‌دهد.
i. Mendelson, E. "Introduction to Mathematical Logic." CRC Press., 2010. Page 105. ii. H· B. Enderton. "A Mathematical Introduction to Logic." Academic Press, 2001. Page 94.
■ تعریف. ایزومورفیسم (یکریختی):
گیریم (A, ⟡) و (B, ∆) دو ساختار باشند [مجموعه‌هایی که در آنها به ترتیب رابطه‌های دوتایی⟡ و ∆ تعریف شده]. بعلاوه گیریم f یک نگاشت دو سویی از A در B باشد. گوییم f یک ایزومورفیسم [یا یکریختی]، نسبت به ⟡ و ∆ است، اگر و فقط اگر برای هر دو عضو A که در رابطه ⟡ هستند آنگاه تصاویر آنها تحت f، در B در رابطه (B, ∆) باشند. به‌عبارت‌دیگر برای هر x, y∈A:
x⟡y⇔f(x) ∆f(y)
نماد یکریختی «≅» است و بنابراین می‌نویسیم:
(A, ⟡)≅(B, ∆)
و در صورت مشخص بودن رابطه‌ها فقط نوشته:
A ≅ B
■ تعریف. نگاشت ترتیب-نگهدار:
اگرA وB دو مجموعه مرتب جزئی به ترتیب با رابطه‌های≼A و ≼B باشند آنگاه به نگاشتf از A در B یک نگاشت ترتیب نگهدار [یا فقط ترتیبی) گویند اگر برای هر x,y∈A:
x≼A y⇔f(x) ≼Bf(y)
■ تعریف. یکریختی ترتیبی:
گیریم
(A, ≼A) ≅ (B, ≼B) و بعلاوه A و B به ترتیب با رابطه‌های ≼A و ≼Bمرتب جزئی باشند، آنگاه
به مجموعه‌های A و Bیکریخت ترتیبی گویند.
دو مجموعه فصل‌ها و جهت‌ها را به‌قرار: A={زمستان، تابستان، پاییز، بهار} و B={شمال، جنوب، خاور، باختر} را در نظر گرفته. در آنها رابطه‌های تقابل و تعامد را مطابق زیر تعریف می‌کنیم:
اکنون نگاشت f را از A در B به‌صورت زیر تعریف می‌کنیم.
f(زمستان) = شمال
f(تابستان) = جنوب
f(بهار) = خاور
f(پاییز) = باختر
ایزومورفیسم یا یکریختی بین فصل و جهت
به‌آسانی می‌توان بررسی کرد و دید نگاشت یک‌به‌یکf یک ایزومورفیسم بین A (فصول) و B (جهت‌ها) است. برای مثال زمستان و تابستان در عالم فصل‌ها در تقابل‌اند و تصویر آنها تحت f، شمال و جنوب، در عالم جهت‌ها نیز در تقابل‌اند. ➥
این مثال برگرفته از [1] است:
[1] Steinha Ericr.; More Precisely The Math You Need to Do Philosophy; Broadview Press; 2018.
مجموعه توانی مجموعه {a, b, c} با رابطه ترتیبی ⊆ در آن و مجموعه {۱, ۲, ۳, ۵, ۶, ۱۰, ۱۵, ۳۰} با رابطه ترتیبی تقسیم‌پذیری به‌موجب نگاشت دو سویی آمده در دو نمودار هس زیر یکریخت (ترتیب-نگهدار) هستند:
یکریختی ترتیب نگهدار. ➥
این مثال برگرفته از [1] است:
[1] Steinha Ericr.; More Precisely The Math You Need to Do Philosophy; Broadview Press; 2018.
■ چند ویژگی برای یک ریخت‌ها :
اینجا چند ویژگی برای یکریخت‌های ترتیبی آمده است که برای هدف اصلی این قسمت، یعنی اعداد اردینال کاربرد دارند.
۱- اگر f یک یکریختی از مجموعه خوش-ترتیب A در یک زیرمجموعه آن باشد؛ آنگاه تصویر هر عضو A تحت f کوچکتر یا مساوی از تصویر خود است.
برهان:
۱-
فرض خلاف: تصویر بعضی عضو A بزرگتر از تصویر خود تحت f است. بنابراین مجموعه P در زیر تهی نیست:
P = {x ∈ A|x > f(x)} ≠ ∅
۲- a را اولین عنصر P میگیریم [هر زیرمجوعه ناتهی مجموعه خوش-ترتیب کوچکترین عنصر دارد] و بنا به فرض خلاف داریم:
f(a) < a.
◉f(f(a)) < f(a)؛
اما f ترتیب نگهدار است: پس بنابه فرض خلاف
● f(a) < a؛
از ◉ و ●: f(f(a)) < a؛
در نتیجه داریم:
f(a) ∈ P.
پس باید: f(f(a))<a که این ناشدنی است. در نتیجه P نمی‌تواند ناتهی باشد.
۲نتیجه: گیریم A یک مجموعه خوش-ترتیب. هیچ یکریختی بین A و زیرمجموعه‌ای از یک پارهی-آغازین A وجود ندارد.
برهان: فرض خلاف: فرض کنید Sa یک پاره-آغازین A و f یک یکریختی بین A و زیرمجموعه‌ای از Sa باشد. از ۱a<f(a) و بنابراین (a)∉Sa که این نشدنی است.
۳-
نتیجه: بین یک مجموعه خوش-ترتیب و پارهی-آغازینی در آن یکریختی وجود ندارد.
۴-
نتیجه: گیریم A و B مجموعه‌های خوش-ترتیب؛ اگر A با پارهی-آغازینی در B یکریخت باشد، آنگاه B با هیچ زیرمجموعه A یکریخت نیست.
از آنچه آمد قضیه مهم زیر قابل اثبات است:
۵-
قضیه سه بخشینگی: گیریم A و B مجموعه‌های خوش-ترتیب؛ آنگاه یک و فقط یکی از حالت‌های زیر برقرار خواهد بود:
آ- A و B یکریخت‌اند؛
ب- A با یک پارهی-آغازین B یکریخت است؛
ج- B با یک پارهی-آغازین A یکریخت است؛
۶-
نتیجه: گیریم A مجموعه خوش-ترتیب؛ آنگاه هر زیرمجموعه‌ی A با A یا یک پارهی-آغازین آن یکریخت است.
اعداد طبیعی [۱، ۲، ۳، ....] در زبان طبیعی هم با برداشت شمارشی برای گفتن اندازه [یکی، دوتا، سه‌تا، ...] و هم با برداشت ترتیبی برای گفتن ترتیب [یکم، دوم، سوم، ...] بکار می‌روند. این دو برداشت بسیار متفاوتند. برای نمونه گزاره‌های "تیم آ دو گل به تیم ب در بازی آخر زده" و "تیم آ در لیگ فوتبال دوم است" دو گزاره آشکارا متفاوت هستند. برداشت شمارشی برای مجموعه‌های متناهی و نامتناهی را در بحث اعداد کاردینال دیدیم. در این قسمت می‌خواهیم به هر مجموعه به‌طور سازگار عددی موسوم به اردینال نظیر کنیم آن‌گونه که گویای رتبه/Order (ترتیب) آن بین مجموعه‌ها باشد. گرچه برداشت ترتیبی و شمارشی وقتی مجموعه‌ها متناهی‌اند، یعنی وقتی کاردینال متناهی دارند، سازگار است، خواهیم دید این سازگاری برای مجموعه‌های نامتناهی، یعنی وقتی کاردینال نامتناهی دارند، برقرار نیست. برای مثال، گیریم X مجموعه‌ای نامتناهی باشد آنگاه Card(X)=Card(X)+۱ ولی چنین نیست کهOrd(X)=Ord(X)+1 گرچه ۱+Ord(X)=Ord(X). در این قسمت می‌خواهیم کندوکاو کوتاهی در باره برداشت ترتیبی از عدد، چه متناهی و چه نامتناهی، داشته باشیم و پای اعداد موسوم به اعداد اردینال [یا عداد ترتیبی] را به میان آورده تا سرشت ریاضی آنها را دریابیم.
می‌دانیم هر مجموعه نامتناهیخوش-ترتیب دارای اولین عنصر، دومین عنصر و نیز به ازای هر عدد طبیعی n دارای nامین عنصر است. اکنون فرض کنید مجموعه خوش-ترتیبنامتناهی، به فرض W، زیر وجود داشته باشد (فوری خواهیم دید که وجود دارد):
W = {x۱, x۲, x۳, . . . ,y۱, y۲, y۳, . . .}
x۱<x۲<x۳< . . .< y۱<y۲<y۳< . . .
در این مجموعه، x۱ عنصر یکم، x۲ عنصر دوم و برای n∈ ،xn عنصر nام است. y۱ نیز در جایگاه ترتیبی تعریف شده خود است. اما آیا به زبان طبیعی می‌توان گفت y۱ (و همین‌طور yn) عنصر چندم است؟ (موقعیت ترتیبی آن را گفت؟) یا خارج از دسترس است؟
در زیر نشان می‌دهیم مجموعه‌ای به ساخت W وجود دارد.
F۱ را مجموعه اعداد طبیعی، ّF۲ را مجموعه توانیF۱ و به همین ترتیب Fi را مجموعه توانی Fi-۱ (برای i بزگتر از ۰) گرفته. اکنون می‌نویسیم:
و نیز، کوچکترین عنصر آن، یعنی G۱، از همه عناصر F اکیداً بزرگتر است (با رابطه ترتیبی➥). به همین روش می‌توان مجموعه H و مانند آن را ساخت. سرانجام مجموعه خوش-ترتیب W را به قرار زیر می‌سازیم:
از قضیه کانتور داریم:
i. A ⊆ B ⇒ A Ƥ(B) ii. Ƥ(C) ⊆ D ⇒ C Ƥ(D)
W = {F۱, F۲, . . . ,G۱, G۲, . . .}
و نیز دنباله اکیداً افزایشی زیر را:
F۱F۲. . .G۱G۲. . .
در W همه اعضا دارای عضو بعد از خود هستند ولی بعضی اعضا مانند G۱ ،F۱، . . . عضو قبل از خودندارند. [همان‌طور که ۰ نیز در مجموعه اعداد طبیعی عضو قبل از خود ندارد.]
در ادامه می‌خواهیم به هر مجموعه خوش-ترتیب, به فرض X, عنصر یکتایی که آن را عدد اردینال [عدد ترتیبی]X می‌نامیم و با Ord(X) نشان می‌دهیم نسبت دهیم به قسمی که:
۱
برای هر مجموعه خوش-ترتیب دیگر مانندY داشته باشیم:
(X ≅Y)⇔(Ord(X) =Ord(Y)).
به عبارت دیگر، اردینال دو مجموعه مساوی باشد اگر و فقط اگر آن دو مجموعه یکریخت ترتیب-نگهدار باشند.
۲
و نیز کلاسی (با تعبیر دستگاه NBG) از عناصر خوش-ترتیب (تعریف کنیم)، به قسمی که برای هر مجموعه از اردینال‌ها، به فرض O، کوچکترین اردینالی که اکیداً از همه اعضای O بزرگتر است در کلاس مورد نظر باشد.
۰ را اردرینال تهی و مجموعه‌های اکیدا کوچکتر از آن، ۰، میگیریم. [این به‌طور ضمنی یعنی، ۰ کوچکترین اردینال است و ۰ نماینده چنین مجموعه‌هایی (یک-ریخت با تهی) است]:
۰={}=∅ ⇔ Ord(∅)=۰
۱ را اردرینال مجموعه توانی تهی و مجموعه‌های اکیدا کوچکتر از آن، ۱، میگیریم [۱ نماینده چنین مجموعه‌هایی (یک-ریخت با {∅}) است]:
۱={∅}={۰}⇔۰<۱ ⇔ Ord(۱)=۱
۲ را اردرینال مجموعه توانی ۱ و مجموعه‌های اکیدا کوچکتر از آن، ۲، میگیریم.
۲={∅, {∅}}={۰, ۱} ⇔۰<۱<۲ ⇔ Ord(۲)=۲
با ۳ نیز به روش بالا عمل می‌کنیم.
۳={∅, {∅},{∅, {∅}}}={۰, ۱, ۲} ⇔۰<۱<۲<۳⇔ Ord(۳)=۳
. . . . . . . .
نماد 𝜔 (امگا) را اردرینال و مجموعه‌های اکیدا کوچکتر از آن، 𝜔، میگیریم. 𝜔 اولین رتبه نامتناهی بعد از همه رتبه‌های متناهی خواهد بود.
سه بخشینگی: گیریم A و B مجموعه‌های خوش-ترتیب؛ اگر A و پارهی-آغازینی در B یکریخت باشد می‌نویسیم A<B. از قضیه سه بخشینگی داریم: اگر A و B دو مجموعه خوش-ترتیب باشند آنگاهA≅B یا A<B یا B<A. به گونه دیگر؛ اگر α و β دو مجموعه خوش-ترتیب باشند آنگاه α=β یا α<β یا β<α.
اکنون می‌توان گفت کلاس اردینال‌ها (در NBG) وجود دارد به‌قسمی‌که: اگر A عنصرخوش-ترتیب این کلاس و α و β اردینال باشند آنگاه:
A≅α و A≅β ⇒ α=β.
به عبارت دیگر: اردینال مجموعه خوش-ترتیبX، که با Ord(X) نشان داده می‌شود، عدد یکتای α است به قسمی که α≅X.
■ اردینال‌های متناهی، نامتناهی، حدی و تالی:
به ۰ کوچکترین رتبه (اردینال) و به اعداد طبیعی رتبه‌های متناهی و به بقیه رتبه‌های نامتناهی گفته. هر رتبه، بفرض 𝛼، دارای رتبه پی‌آمده بیواسطه که با 𝛼+۱ نشان می‌دهیم است. برای نمونه، رتبه ۳ دارای رتبه بیواسطه قبلی ۲ است و 𝜔+۱ دارای رتبه بیواسطه قبلی 𝜔 است. به چنین رتبه‌هایی رتبه تالی گفته. چنین نیست که هر رتبه‌ای دارای رتبه بیواسطه قبلی باشد. به این رتبه‌ها رتبه حدی گفته. برای نمونه
𝜔 , 𝜔.۲, 𝜔۲, 𝜔𝜔
همه رتبه‌های حدی هستند. ۰ نه رتبه بیواسطه قبلی و نه نه رتبه قبلی دارد.
بنابراین هر رتبه دارای رتبه بلافاصله بعدی استَ اما ممکن است دارای رتبه قبلی یا بلافاصله قبلی نباشد.
■ حساب اعداد اردینال:
■ جمع اعداد اردینال:
گیریم
A و B دو مجموعه خوش-ترتیب از هم جدا باشند، آنگاه جمع اردینالیA و B اجتماع A و
B است به قسمی که بگونه زیر مرتب شده باشد:
برای هر x و y متعلق به اجتماع
A و B؛ xy اگر و فقط اگر:
آ- xy و هر دو در
A؛ ب- xy و هر دو در
B؛ ج- x در
A و y در
B باشد.
مثال:
۱ + ω≅ {۰,۱ ,۱ ,۲ , . . .} = {۰,۱ ,۲ , . . .} ≅ ω
بزرگترین عنصر ندارد.
ω + ۱≅ {۰,۱ ,۲ , . . .;۱}
بزرگترین عنصر دارد.
۱ + ω
≠ ω + ۱ بنابراین:
۱ در {۰,۱ ,۲ , . . .;۱} رونوشت ۱ اما با رتبه متفاوت (نماد ; نیز برای همین آمده) است؛ و از اینجاست که جمع اردینالی ویژگی جابجایی ندارد.
■ ضرب اعداد اردینال:
گیریم
A و B دو مجموعه خوش-ترتیب از هم جدا باشند، آنگاه ضرب اردینالیA و B ضرب دکارتی
A و B است که به بگونه پادواژگانی مرتب شده باشد.
مثال:
فرض کنید مجموعه A={a, b, c} با a<b<c و نیز مجموعه B={۱, ۲, ۳} با ۱<۲<۳خوش-ترتیب باشند. ضرب اردینالی آنها بقرار زیر است:
