exsrz10 2

جدول قواعد
استنتاج


گزاره ها
درآمد به منطق
فصل ۱۱::تئوری تسویر-قسمت  ۴
Introduction to Logic- Irving M. Copi, Carl Cohen-1953-2009
http://www.borhanname.blogfa.com         http://www.borhanname.blogfa.com

فصل یازدهم. قسمت چهارم

۴.۱۱    گزاره‌های سنتی موضوع - محمول

با كاربرد سورهای عمومی و وجودی و با فهميدن جدول تقابل كه در شكل ۱۱.۱ آمده است، اكنون در موقعيتی هستيم تا چهار گزاره عام را كه بطور سنتی در خواندن منطق بدان تاكيد می‌شد تحليل و بطور دقيق در استدلال بكار بريم. نمايش استاندارد اين چهار نوع در زير آمده‌اند:

همه انسان‌ فانی است.                  [موجب/تٱییدی كلی: Universal affirmative/A ]
هيچ انسان فانی نيست.                 [سالب/انکاری كلی: Universal negative/E ]
بعض انسان فانی است.                 [موجب جزئی: Particular affirmative/I ]
بعض انسان‌ فانی نیست.                [سالب جزئی: Particular negative/O ]

 

 به هر یک از اين چهار نوع معمولاً با حرف آن رجوع می‌شود: دو گزاره موجب با I ,A (از واژه لاتين affirmo - من تصديق می‌كنم) و دو گزاره سلبی با O ,E (از واژه لاتين nego - من انكار می‌كنم.)4

 نمادسازی برای اين گزاره‌ها  بوسیله سورها، ما را به مفهوم بیشتر گستردهِ  یک تابع گزاره‌ای می‌رساند.  در ابتدا  به گزاره A «همه انسان‌ها فانی هستند» متوجه و كار را با بازنویسی‌های متوالی آن و با شروع از:

هرچه که باشد شئی داده شده‌ای، اگر آن انسان است آنگاه آن فانی است

 آغاز می كنيم.

دو مورد ضمير اشاره «آن» آشكارا به مقدم مشترك خود، يعنی واژه «شئی»، رجوع می‌كنند.  مانند اوايل قسمت پیش، اين واژه دارای سه مورد رجوع يكسان (نامعین) است. آنها می‌توانند بوسیله حرف x جایگرین شوند و گزاره به صورت زير بازنويسی شود:

 برای هر x مفروض(داده‌شده‌ای) اگر x انسان باشد آنگاه x فانی است.

 

حال اگر نمادگذاری پیشتر معرفی شده برای "اگر - آنگاه" را بکار ببریم، می‌توان آنرا بصورت زیر نوشت:

برای هر x   ‌،x فانی است  x انسان است .

سرانجام چنانچه نمادسازی خود را برای توابع گزاره‌ای و سورها بكاربريم آنگاه گزاره اصلی A بصورت زير نوشته می‌شود:

(x)(Hx Mx)

 

 

در اين برگردان به نماد، گزاره A به‌عنوان سور عمومی يك قسم تابع گزاره‌ای جديد ظاهر می‌شود. عبارت
 Hx Mx  یک تابع گزاره‌ای است كه موردهای جانشینی را دارد كه نه گزاره‌های ايجابی(موجب) و نه سلبی انفرادی هستند، بلكه آنها عبارت‌های گزاره‌ای شرطی هستند كه مقدم و تالی آنها گزاره‌های انفرادی با حد موضوع يكسان است. از جمله موردهای جانشینی تابع گزاره‌ای

(x)(HxMx)

 عبارت های گزاره‌ای شرطی

 .و مانند آن‌ها هستند  HaMa, HbMb, HcMc, HdMd

همچنين توابع گزاره‌ای وجود دارد كه موردهای جانشینی آنها عبارتند از عطف  گزاره‌های انفرادی با حد موضوعی یکسان است. بنابراین Ha•Ma, Hb•Mb, Hb•Mb, Hb•Mb و مانند آنها موردهای جانشین تابع گزاره‌ای

 .هستند  Hx • Mx

 همچنين تابع گزاره‌ای

Hx Mx

 

وجوددارد كه موردهای جانشین آن تركيب فصلی HaMa و HbMb و مانند آن‌ها است. در واقع گزاره‌های مركب تابع ارزش، كه گزاره‌های مولفه‌ای ساده آن گزاره‌های انفرادی با حد موضوع يكسان هستند، را می‌توان به‌عنوان مورد جانشینی تابع گزاره‌ای درنظر گرفت كه شامل بعضی يا همه رابط‌های تابع-ارزش مثل ~، •، ≡، ⊂، ∨، و به علاوه محمول‌های ...,  Ax, Bx, Cx, Dx  است. در برگردان گزاره  A به

 

(x)(Hx Mx)

 

 پرانتزها نشان‌های نگارشی (علامت گذاري) هستند. آنها دال بر اين هستند كه سور (x)  "كارزده به" يا "دارنده دردامنه خود" همه(مجتمع) تابع گزاره‌ای Hx Mx است.

قبل از آنكه به سراغ بحث درباره صورت‌های سنتی گزاره‌های حملی برويم بايد گفت كه فرمول نمادين ما (x)(Hx Mx) نه‌تنها برگردان گزاره استاندارد ساخت «همه M  H است»، بلكه برگردان هر جمله ديگر فارسی كه دارای معنای يكسان است نيز هست. ليستی جزئی از آنها را می توان اينگونه نوشت(H را ب و M را ج می‌گیریم): «يك ب يك ج است»، «هر ب‌ای ج است»، «هر ب ج است»، «هيچ ب غیرج نيست»، اينگونه نيست كه «ب‌ای ج نباشد» «هرچيز كه ب است ج هم است»، «اگر چيزی ب است آن چيز ج است» ، «هرچه است ب ج هم هست»، «فقط چيزی كه ج است ب است»، «هيچ چيز مگر ج ب نیست» و «چيزی نيست كه ب باشد ولی ج نباشد». در بعضی عبارات فارسی كه حد زمانی بكاربرده می‌شود، قصد از آن ارجاع به زمان نيست و می‌توانند گمراه كننده باشند. بنابراين گزاره «ب‌‌ها هميشه ج هستند» بطور معمول معنی سرراست «همه ب‌ها ج هستند» را می‌دهد. همينطور یک معنی يكسان می‌تواند با كاربرد اسامی مجرد بيان‌شود: «انسانيت مستلزم فناپذيری است» كه بطور صحيح به عنوان يك گزاره A برگردان می‌شود. می‌توان اين را كه زبان منطق نمادين دارای يك عبارت تك برای تعداد قابل ملاحظه‌ای جمله فارسی است را يك امتياز از جهت مقاصد گزارش‌ورزی و شناختی به حساب آورد -- گرچه قطعاً يك نقص از نقطه‌نظر صناعت كلام و بيان شاعرانه است. 

تسویر گزاره A

گزاره A «همه انسان‌ها فانی هستند» مدعی است، اگر چيزی يك انسان است آنگاه آن فانی است. به عبارت ديگر برای هر شئی داده‌شده x، اگر x يك انسان است آنگاه x فانی است. با جانشینی نماد نعل اسبی(⊂) برای «اگر – آنگاه» خواهيم داشت:

برای هر  x  ،x فانی است ⊂ x انسان است

با نمادگذاری برای توابع گزاره ای و سورها عبارت بالا بصورت زير  نوشته می‌شود:

(x)(Hx Mx)

 

 

گزاره E "هیچ انسان فانی نیست"  را می‌توان در پی‌هم بصورت‌های زیر بازنویسی کرد:

 

برای هرشئ انفرادی داده‌شده، هرچه‌که‌باشد، اگر آن انسان است آنگاه آن فانی نیست.

برای هر x  داده‌شده، اگر x انسان است آنگاه x فانی نیست.

برای هر x ،x فانی نیست ⊂ x انسان است

 

و سرانجام

(x)(Hx ~Mx)

 

 

 

 

برگردان نمادین پیشین نه‌تنها صورت سنتی E را  به فارسی بیان‌می‌کند، بلکه همچنین روش‌های گوناگون گفتن یک‌چیز یکسان هم‌چون (H را ب و M را ج می‌گیریم)، "ب‌هایی وجود ندارند که ج باشند،"هیچ‌چیز هم ب و هم ج نیست،" و  "ب‌ها هیچ‌گاه ج نیستند."

 

تسویر گزاره E

گزاره E «هيچ انسان فانی نيست» مدعی است، اگر چيزی انسان است آنگاه آن فانی نيست. به عبارت ديگر برای هر شئی داده‌شده x، اگر x يك انسان است آنگاه x فانی نيست. با جانشینی نماد نعل اسبی برای «اگر – آنگاه» خواهيم داشت:

برای هر x ،x  فانی نیست  x انسان است

با نماد گزاره ای برای توابع گزاره و سورها عبارت بالا بصورت زير  نوشته می‌شود:

(x)(Hx ~Mx)

 

 

بطور مشابه گزاره I «بعضی انسان‌ها فانی هستند» را می‌توان درپی‌هم به‌صورت‌های زیر بازنویسی کرد

حداقل يك چيز هست كه انسان است  و فانی است.
حداقل يك x هست بقسمی كه x انسان است  و x فانی است.
حداقل یک x هست که x انسان است • x فانی است.

 

و سر انجام بصورت

()(Hx • Mx)

 

 

تسویر گزاره I

گزاره I «بعض انسان فانی است» مدعی است، که حداقل یک چیز وجود دارد که انسان است و فانی است. به عبارت دیگر حداقل یک x وجود دارد که x انسان است و x فانی است. با جانشینی نماد ترکیب عطفی خواهیم داشت؛

حداقل یک x وجود دارد، به قسمی که x انسان است • x فانی است :

با نماد گزاره ای برای توابع گزاره و سورها عبارت بالا بصورت زير  نوشته می‌شود:

(x)(Hx • Mx)

 

 

و سرانجام گزاره O "بعض انسان ها فانی نیست" که درپی‌هم بصورت زیر بازنویسی می‌شود.

حداقل یک چیز وجود دارد که انسان است ولی فانی نیست.
حداقل یک x وجود دارد به قسمی که x انسان است و فانی نیست.
حداقل یک x وجود دارد به قسمی که x انسان است  • ~ x فانی است

 که به صورت زیر کامل نمادین می‌شود

(x)(Hx • ~Mx)

 

 

تسویر گزاره O

گزاره O «بعض انسان فانی نیست» مدعی است، که حداقل یک شئی هست که انسان است و فانی نیست. به عبارت دیگر حداقل یک x وجود دارد که x انسان است و x فانی نیست. با جانشینی نماد ترکیب عطفی خواهیم داشت؛

حداقل یک x وجود دارد، به قسمی که x انسان است • x فانی نیست :

با نماد گزاره ای برای توابع گزاره و سورها عبارت بالا بصورت زير  نوشته می‌شود:

(x)(Hx • ~Mx)

 

چنانچه حروف یونانی فی(φ) و سای(ψ) برای نمایش محمولات، هرچه که باشند، بکار روند آنگاه چهار گزاره عام سنتی موضوع – محمول را می‌توان در یک آرایه مربع‌ای مطابق شکل ۲ نشان داد.

 

نمودار مربع تقابل فصل2- 11 

 

 

از این چهار گزاره,  A و O متناقض هستند، یعنی هریک دیگری را انکار می کنند؛ و همینطور I ,E نیز متناقض هستند.

ممکن است تصور شود(با توجه به شرط  ضعیف وجود حداقل یک شئ انفرادی) یک گزاره I از گزاره نظیر خود A و یک گزاره O از گزاره نظیر خود E بدست می‌آید، حال آنکه این‌گونه نیست. گزاره A می‌تواند خیلی خوب درست باشد و حال آنکه گزاره نظیر آن I نادرست باشد. وقتی Φx یک تابع گزاره‌ای است که موارد جانشین درست ندارد، آنگاه اهمیتی ندارد که تابع گزاره‌ای ψx چه قسم از موردهای جانشینی می‌تواند داشته باشد و در این صورت تسویر عمومی تابع گزاره‌ای(مرکب)  HxMx درست خواهد بود. برای مثال فرض کنید  Cx کوتاه‌شده تابع گزاره ای «x یک قنطورس است» باشد[centaurs  موجود اساطیری یونانی.]  از آنجاکه قنطورس وجود ندارد هر مورد جانشین Cx نادرست است یعنی Cc ,Cb ,Ca... همه نادرست هستند. بنابراین هر مورد جانشین تابع گزاره‌ای مرکب CxBx یک عبارت گزاره‌ای است که مقدم آن نادرست است. بنابراین موردهای جانشینی CcBc ,CbBb ,CaBa, ... ، همه درست هستند، زیرا هر عبارت‌گزاره‌ای شرطی که تصدیق یک استلزام مادی است، چنانچه مقدم آن نادرست است ‌باید درست باشد. و چون همه موردهای-جانشینی آن درست هستند، بنابراین سور عمومی تابع گزاره‌ای CxBx، که یک گزاره A، یعنی:

(x)(Cx Bx)

 

است درست خواهد بود. اما گزاره I نظیر آن یعنی:

(x)(Cx Bx)

  نادرست است، زیرا تابع گزاره‌ای Cx•Bx دارای مورد جانشین درست نیست. اینکه Cx•Bx مورد جانشین درست ندارد حاصل این واقعیت است‌که Cx مورد جانشین درست ندارد. موارد جانشین گوناگون Cx•Bx عبارتند از: CcBc, CbBb, CaBa ....  که همه آن‌ها گزاره عطفی با مولفه اول نادرست هستند، زیرا  Cc ,Cb ,Ca... همگی نادرست هستند.  چون همه موارد جانشینی آن نادرست هستند، پس سور وجودی تابع گزاره‌ای CxBx که گزاره I یعنی:

(x)(Cx Bx)

 

است نادرست خواهدبود. بنابراین یک گزاره A ممکن است درست باشد، حال‌آنکه گزاره نظیر I آن نادرست باشد.

این تحلیل نیز نشان می‌دهد که چرا ممکن است گزاره E درست باشد، حال آنکه گزاره نظیر آن O نادرست باشد. چنانچه در بحث قبل تابع گزاره‌ای Bx را با تابع گزاره ای Bx~ تعویض کنیم آنگاه

 

(x)(Cx ⊃~Bx)

 

نادرست خواهد بود و البته روشن نیز است که قنطورسی وجود ندارد.

نکته اصلی مطلب این است که گزاره A و گزاره E مدعی نیستند یا مفروض نمی‌گیرند که شیئی وجود دارد؛ ادعای آنها این‌است که اگر یک شئی، آنگاه اشیاء دیگری نیز برقرارهستند. اما گزاره I و گزاره O مفروض می‌گیرند که اشیائی هست؛ آنها مدعی هستند که (این و نیز بقیه) برقرار است. سور وجودی در گزاره‌های I و O موجب یک تفاوت بسیار عمده می‌شود؛ که خیلی راحت می‌تواند موجب شود  از گزاره‌ای که مدعی وجود شئی یا مفروض گرفتن آن نیست، وجود هر شیئی از آن نتیجه گرفته شود.

اگر این فرض عام که حداقل یک شیئ انفرادی وجود دارد را مفروض بگیریم، آنگاه

 

 (x)(Cx Bx)

نتیجه می‌دهد که

 (x)(Cx Bx)

 

اما این گزاره آخری یک گزاره I نیست. گزاره «بعضی قنطورس‌ها زیبایند» بصورت نمادین عبارت است از

 

 (x)(Cx Bx)

 

اما آنچه که بصورت

 

(x)(Cx Bx)

 

نمادین شده‌است، به زبان فارسی می‌تواند مطابق با «حداقل یک شئی وجود دارد، به قسمی که اگر آن یک قنطورس باشد آنگاه آن زیباست» باشد. این نمی‌گوید که یک قنطورس وجود دارد، بلکه فقط می‌گوید یک شئی انفرادی هست که یا یک قنطورس نیست یا زیباست. این گزاره فقط در دو حالت نادرست است. یکم اگر اصلاً شئی انفرادی وجود نداشته باشد و دوم اگر همه اشیاء انفرادی قنطورس زیبا نباشند. حالت اول با تصریح این فرض (آشکارا درست)، که حداقل یک شئی انفرادی در جهان هست، منتفی می‌شود و حالت دوم یعنی هر گزاره  به صورت

(x)(Cx Bx)

 

 که چنین به معنی‌دار نبودن گره خورده، در مقابل با گزاره معنی‌دار  I

 

  (x)(Cx Bx)

 

 به شدت غیرمتحمل است. آنچه‌که گفته‌شد باید روشن ساخته‌باشد که گرچه در زبان فارسی گزاره های I ,A «همه انسان فانی است» و «بعض انسان فانی است» فقط در واژه‌های آغازی خود «همه» و «بعض» متفاوتند، تفاوتشان در معنی صرفاً منحصر به حضور سور عمومی و وجودی نیست، بلکه ژرف‌تر از آن است. توابع گزاره‌ای مسور که گزاره‌های A و  O را بدست داده‌اند، فقط بطور متفاوت سوردار نشده‌اند، آنها توابع گزاره‌ای متفاوت هستند یکی شامل "" و دیگری شامل «•» است. به‌عبارت دیگر گزاره‌های A و I آنگونه که در زبان فارسی به نظر می‌رسند شبیه نیستند. تفاوت آنها در نشان‌گذاری توابع گزاره‌ای و سورها  به وضوح هویدا می‌شود.

به‌قصد انجام اعمال منطقی با فرمول‌ها، که در پیش داریم، چنانچه نشان نقیض در آنها باشد، ساده‌تر خواهندشد اگر فقط به محمولات ساده کارزده باشد. این‌کار را به آسانی می‌توان انجام داد. بنابراین، می‌خواهیم به طریقی جایگزینی(تعویض) در فرمول‌ها انجام دهیم، به‌قسمی‌که این نتیجه حاصل شود. این کار را می‌توان به‌آسانی انجام داد. از قانون تعویض که در فصل 10 تاسیس‌شد می‌دانیم که همیشه مجاز هستیم یک عبارت را با عبارت دیگری که منطقاً با آن هم ارز است تعویض نکرد و برای اینکار چهار هم‌ارزی منطقی (فهرست‌شده در قسمت 11 فصل 3) در دسترس است که در هرکدام از گزاره‌ها نمایان است که سور نقض‌شده هم‌ارز با گزاره دیگری است که در آن نشان نقیض مستقیماً به محمول کارزده است. با کارزدن قواعد استنتاج، که آشنای قدیمی هستند، می‌توان نشان نقیض را طوری انتقال داد که در پایان، آنها[نشان‌های نقیض] دیگر به عبارت‌های مرکب بکارزده نباشند و فقط به محمولات ساده کارزده باشند. برای مثال فرمول

 

~(x)(Fx~Gx)

 

می‌تواند درپی‌هم بازنویسی شود. اول، وقتی که هم‌ارزی منطقی سوم (فهرست شده در قسمت 11 فصل 3) را بکار ببندیم، فرمول به صورت زیر درخواهد آمد

 

(x)~(Fx~Gx)

 

سپس قضایای دمورگان را بکار می‌بندیم، که خواهد شد:

 

(x)(~Fx~~Gx)

 

 و بعد اصل نقض مضاعف فرمول

 

 (x)(~Fx Gx)

 

را برای ما حاصل می‌کند.

و سرانجام با فراخوان تعریف استلزام مادی فرمول اصلی به گزاره A

 

(x)(Fx Gx)

بازنویسی می‌شود.

یک فرمول که در آن نشان نقیض فقط به محمولات ساده بکارزده باشد را یک فرمول صورت–نرمال/ normal form formula می‌گویند.

 

 

~[(x)(Φx Ψx)] LgEqv (x)(Φx ~Ψx)

 

~[(x)(Φx Ψx)] LgEqv (x)(Φx ~Ψx)

 

~[(x)(Φx ~Ψx)] LgEqv (x)(Φx Ψx)

 

~[(x)(Φx ~Ψx)] LgEqv (x)(Φx Ψx)


به‌روش گفته‌شده در بالا, می‌توان  هم‌ارزی‌های منطقی سمت چپ را ثابت کرد.  این چهار هم‌ارزی منطقی بیان فرمولی شکل قبل(۲.۱۱) است، که روابط بین گزاره‌های I, E, A و O هستند.

<فصل 11-قسمت 4>

قبل از اینکه به مبحث استنتاج‌های گزاره‌های غیرمرکب وارد شویم، خواننده باید تا اندازه‌ای، در عمل، به ترجمه از فارسی به نمادگذاری منطقی ما مهارت کسب کرده‌باشد. زبان فارسی و کلاً زبان‌های طبیعی، آنچنان دارای سازه‌های اصطلاحی و بی‌قاعده هستند که قواعد سرراستی برای برگردان جمله‌ای از آن به نمادگذاری منطقی وجود ندارد. آنچه در هرحالت مورد نیاز است معنی جمله است، که باید فهمیده‌شود و سپس برحسب توابع گزاره‌ای و سورها بیان شود.

 

جان فون نویمان/John von Neumann

 

جان فون نویمان- John von Neumann
منطق به تمام در طراحی کامپیوترها مرکزیت دارد. جان فون نویمان (1957-1903) یک ریاضی‌دان ومنطق‌دان مجاری–امریکایی کمک کرد تا از طریق کار بر مبنای ساختار ذهنی در معماری کامپیوتر منطق را به تمام به زندگی ما بیاورد.

 

توان ذهنی فون نویمان بگونه مثال‌زدنی قابل ملاحظه بود؛ او درمیان همکاران خود هیبتی بر می‌انگیخت، همانان که وی را درمیان بزرگترین ریاضیدان تاریخ جدید می‌جستند. آن هنگام که بسیار جوان بود، در مجارستان تحت نظر آموختاران در خانه به کارآمدی در حساب، جبر، هندسه تحلیلی و مثلثات رسید. وی حساب دیفرانسیل و انتگرال را به خود آموخت. او مهارت حیرت آور در خود آموزی زبان‌ها، از جمله یونانی کلاسیک و لاتین، را به نمایش گذاشت و نیز حفظ گستره وسیعی از ساختار مواد را. سرعت و عمق محاسبات ذهنی وی حتی به عنوان یک جوان بهت آور بود.

او در سن 22 سالگی پی اج دی ریاضیات را در مجارستان و نیز در همان سال دیپلم مهندسی شیمی را از سوئیس اخذ کرد. او در دانشگاه برلین و سپس هانور تدریس کرد. بعد از مرگ پدر در 1929 خانواده وی به ایالات متحده مهاجرت کردند و آنجا نام خود را به حروف و آوای انگلیسی (از یانوش/ Janosبه جان) برگرداند. وی به دانشگاه پرینستون دعوت شد و در 1933 بعنوان یکی از چهار استاد آغازین برای بنیاد پژوهشهای پیشرفته برگزیده شد ( دو دیگر آنان دیگر آلبرت انیشتین و کورت گودل بودند.) فون نویمان تا مرگ زودهنگام خود از سرطان در 1957 در آنجا بعنوان استاد باقی ماند. وی یک زندگانی اجتماعی پرجنب و جوش را در پرینستون گذراند. او علاقه وافر به خوش‌پوشی و اتومبیل‌های گران قیمت داشت، خوردن و نوشیدن را وافر و نیز لطیفه گفتن را دوست داشت. وی پارتی‌های بزرگ برپا می‌کرد و از یک زندگی خوب لذت می‌برد. همکاران و دوستانش وی را بگرمی دوست داشتند و فوق‌العاده مورد تحسین آنها بود.

ورود او در منطق با کارش در اصل موضوعی کردن نظریه مجموعه‌ها آغاز شد. اما هنگامی که گودل ثابت کرد چنین دستگاه‌های اصل موضوعی لزوما ناتمام هستند، یعنی آن ها نمی‌توانند همه درستی‌های قابل بیان در زبان خود آن دستگاه‌ها را اثبات نمایند، گسترش نظریه مجموعه‌ها با یک وزش باد نامساعد مقابل گردید. فون نویمان به گودل نوشت و توجه وی را بدین جلب کرد که اثبات سازگاری دستگاه‌های اصل موضوعی معمولی نیز غیرممکن است؛ این همان چیزی شد که اکنون به قضیه دوم ناتمامیت گودل موسوم است.

فون نویمان بعنوان یک ریاضی‌دان نظری به اندازه مهم در توسعه بمب اتمی در جنگ جهانی دوم همکاری کرد. در زمان جنگ، اولین کامپیوتر الکترونیکی چند منظوره انیاک/ENIAC (انتگرال‌گیر عددی و حسابگر الکترونیکی/Electronic Numerical Integrator and Computer) در دانشگاه پنسیلوانیا طراحی گردید. منطق‌دانان (از جمله منطق‌دان ممتاز آرتور برکز/ Arthur Burks) پدیدآورندگان آن بودند. بعد از پایان جنگ پروژه EDVAC (حسابگر خودکار الکترونیکی متغیر(های) گسسته /Electronic Discrete Variable Automatic Computer) بعنوان دومین کامپیوتر پیشرفته‌تر پی‌گرفته شد. از جان فون نویمان خواسته شد تا در گسترش آن کمک نماید. او چنین کرد و طراحی منطقی کامپیوتر را در "پیش نویس یکم یک گزارش در باره ادواک/First Draft of a Report on the EDVAC" خلاصه کرد و نیز آن را بهبود بخشید. سرانجام کامپیوتر واقعاً ساخته شد(با اندازه فیزیکی بسیار بزرگ و نیز ضعف فوق‌العاده زیاد در مقایسه با کامپیوترهای الکترونیکی که هم‌اکنون معمول و در اختیار است.) ساخت این کامپیوتر در آزمایشگاه پژوهشی پرتابه‌ای ارتش امریکا در 1949 در مریلند به پایان رسید و بطور موفق شب و روز به مدت ده سال از 1951 تا 1961 مشغول بکار بود. جان فون نویمان بعنوان یک منطقدان دارای نقش کلیدی در ظهور عصر کامپیوتر است. آخرین کار وی که همزمان با بستری شدنش در بیمارستان بود و پس از مرگ وی منتشر شد دارای عنوان کامپیوتر و مغز است.

 

 

 

 

تمرینات 1. 11 -- 4. 11

 

الف)هریک از موردهای زیر را به توابع گزاره‌ای و سورها ترجمه کنید، در هر مورد کوته‌سازی پیشنهادی را بکار ببندید و فرمول‌ها را طوری درآورید که با سور شروع شوند و نه با نماد نقیض.

 

 

مثال:  هیچ انسان بی‌رحم بدون اندازه‌ای حس همدردی نیست. (x:Bx یک بیرحم است؛ x:Px  تااندازه‌ای حس هم‌دری دارد.)

 

حل:

(x)(BxPx)

 

 2-گنجشک‌ها پستاندار نیستند (x:Sx گنجشک است،  x:Mx پستاندار است).

 3-خبرنگاران حاضرند (x:Rx یک خبرنگار است؛ x:Px حاضر است).

 4-پرستارها همیشه ملاحظه کارند. (x:Nx پرستار است؛ x:Cx ملاحظه کار است).

 5*-سیاستمداران همیشه ثروتمند نیستند. (x:Rx سیاستمدار است؛ x:rx ثروتمند است).

 6-شناکردن پنگوئن بودن است. (Sx شناگری؛ x:Px یک پنگوئن است).

 7-هیچ پیشاهنگی هرگز تقلب نمی کند (x:Bx پیشاهنگ ا ست؛ x:Cx تقلب می کند).

 8-فقط پزشکان مجوزدار می‌توانند برای معالجات پزشکی پول دریافت کنند. (x:Lx یک پزشک مجوزدار است؛ x:Cx می تواند معالجات پزشکی پول دریافت کند).

 9-نیش مار بعضی وقت‌ها کشنده است. (x:Sx یک نیش مار است؛ x:Fx کشنده است).

 10*-سرماخوردگی معمولی هرگز کشنده نیست. (x:Cx یک سرماخوردگی معمولی است؛ x:Fx کشنده است). 11-یک کودک انگشتش را به سمت امپراطور نشانه کرده است. (x:Cx کودک است؛ x:Px انگشتش را به سمت امپراطور نشانه کرده است).

 12-چنین نیست که هر کودکی انگشتش را به سمت امپراطور اشاره کرده باشد. (x:Cx یک کودک است؛ x:Px انگشتش را به سمت امپراطور اشاره کرده است).

 13-همه درخشان ‌ها طلا نیستند. (x:Jx درخشان است؛ x:Ix طلا است).

 14-هیچکس مگر شجاعان شایسته انصاف هستند.

 (x:Bx شجاع است؛ x:Dx شایسته انصاف است).

 15*-فقط شهروندان آمریکا می‌توانند در آمریکا رأی دهند. (x:Cx یک شهروند آمریکا است؛ x:Vx می تواند در انتخابات آمریکا رأی دهد).

 16-شهروندان آمریکا می‌توانند فقط در انتخابات آمریکا رای دهند. (x:Ex انتخاباتی است که شهروندان آمریکا می‌توانند رای بدهند؛ x:Ux یک انتخابات آمریکا است).

 17-چنین نیست که همه متقاضی‌ها استخدام شده باشند. (x:Jx متقاضی ا ست؛ x:Hx استخدام شده است).

18- چنین نیست که هر متقاضی‌‌ای استخدام شده باشند. (x:Jx متقاضی ا ست؛ x:Hx استخدام شده است).

19- هیچ چیز مهمی گفته نشد.  (x:Lx مهم است؛ x:Sx گفته شد).

20*- کسانی حق به شهروندان دارند کسانی‌اند که دل کمک کردن دارند.  (x:Cx حق شهروند شدن دارد؛ x:Hx  دل کمک کردن دارد).

 

حل ستاره دار‌ها

5- (x)(Dx•~Rx)         10- (x)(Cx~Fx)        15- (x)(VxCx)        20- (x)(CxHx)

 

ب) هریک از موردهای زیر را به توابع گزاره‌ای و سورها ترجمه کنید، در هر مورد فرمول‌ها را طوری درآورید که با سور شروع شوند و نه با نماد نقیض.

 

1- هیچ از جنگ بدست نمی‌اید مگر با حسابگری ــناپلئون بناپارت

2- هیچ‌کس عقیده به قانون طبیعت ندارد. ــ

3- او که هستی و آزادی خویش را می‌جوید، کسی است که هر روز از نو فتحی در پیش دارد.

4- هیچ بشری بدبخت نیست مگر محکوم به زندگی در ایرلند باشد.

5*- چنین نیست که هر چیز سالم خوب باشد و چنین نیز نیست که هر چیز خطرناک بد باشد.

7- یک مساله خوب بیان‌شده مساله‌ای نیم حل‌شده است.

8- یک جادوگر یا ساحره تک نیست که به غلط رفته باشد و او در اسلایترین/Slytherin نبوده باشد.ــ

9- هرکس چیزی را دوست ندارد، اما همه ویلی نلسون را دوست ندارند.

*10-هیچ کس مگر یک کله سنک همیشه بجز برای پول نوشت.

 

 

حل ستاره دار‌ها

 

1.  [(x)(Gx•~Sx)][(x)(Dx•~Bx)]

 

10.  (x)(~Bx~Wx)

 

 

 

ج) برای هر یک ار فرمول‌های زیر فرمول ص.رت-نرمال منطقا‍ً هم‌ارز با آن را بیابید.

 

 

حل ستاره دار‌ها

1.  (x)(Ax~Bx)        5. (x)(Ix~Jx)         10. (x)(Sx~Tx)

 

پانوشت:

[4] - تحليل سنتی اين چهار گونه گزاره در فصل ششم آمده است.