19-infr ruls

جدول قواعد
استنتاج


گزاره‌ها
درآمد به منطق
فصل ۱۱:تئوری تسویر-قسمت ۵-اثبات اعتبار 
Introduction to Logic- Irving M. Copi, Carl Cohen-1953-2009

http://www.borhanname.blogfa.com    http://khccsc.ir/logic/copi/newcontents.htm

فصل یازدهم. قسمت: پنجم

۵.۱۱   اثبات اعتبار 

برای ساختن برهان صوری اعتبار آن استدلال‌هايی، كه اعتبارشان به ساختار داخلی گزاره‌های غيرمركب بكاررفته درآن‌ها وابسته‌است، بايد فهرست قواعد استنتاجی خود را گسترش دهيم. برای این‌کار، فقط به چهار قاعده بيشتر نیاز داریم. در ادامه این قسمت، هر یک از این چهار قاعده را در رابطه با استدلالی که نیازمند به‌آن است معرفی خواهیم‌کرد.

به اولين استدلال كه دراين فصل آمد توجه نماييد: «همه انسان‌ها فانی هستند. سقراط انسان است. بنابراين سقراط فانی است.» اين استدلال بصورت زير نمادين می‌شود:

 (x)(Hx Mx)
Hs
Ms

 

اولين مقدمه تصديق درستی سور عمومی تابع گزاره‌ای HxMx است. از آنجا كه سور عمومی يك تابع-گزاره‌ای درست است اگر و فقط اگر همه موردهای جانشينی آن درست باشند، بنابراین از مقدمه اول، هر مورد جانشينی دلخواه تابع گزاره‌ای HxMx را مي‌توان نتيجه‌گرفت. به‌ويژه مورد جانشين HsMs نیز نتیجه می‌شود.

از اين و مقدمه دوم Hs، نتيجه Ms بطور مستقيم بوسيله قياس استثنائی(M.P) بدست می‌آيد.

برتراند راسل/Bertrand Russell

 

برتراند راسل-Bertrand Russell 
برتراند آرتور ویلیام، لرد راسل ــ The Right Honourable The Earl Russellــ (1970-1872) از جمله قابل توجه‌ترین متفکران قرون اخیر است. پدر بزرگ وی نخست وزیر انگلستان بود و نیز مورد لطف ملکه ویکتوریا؛ والدینش که مذهبی شکاک و صحه گذار به دوستی آزاد بودند وقتی او چهار ساله بود فوت کردند. پس از آن وی در حمایت پدر و مادر بزرگ خود قرار گرفت. راسل بزودی در رده متفکران بسیار برجسته آن زمان جای گرفت .

 

 

 

وی که دارای ثروت شخصی بود در کالج ترینیتی کمبریج به تحصیل ریاضیات پرداخت و سرانجام دستیار آنجا گردید. ماجراهای خانوادگی و جنسی وی بسیار بی‌پروایانه بود؛ او بعد مدرسه‌ای را اداره کرد که درآن هیچ قانونی الزام آور نبود. وی چهار بار ازدواج کرد: در سال 1894 و سپس در 1921 و برای بار سوم در سال 1936، آخرین بار خوش و خرم در 80 سالگی  در سال 1952. آزادی رادیکالی که وی در روابط جنسی برآنها اظهار می‌کرد را نیز در عمل بشدت بدون هیچ شرمساری پیگیر بود.

در سالهای خیلی زود قرن بیستم راسل ملهم از فرگه منطق‌گرایی ویژه خود - این دیدگاه که ریاضیات از منطق نشات می‌گیرد- را گستراند و اولین بار آن را در اصول ریاضیات در 1903 پیکربندی کرد. در همکاری نزدیک با ریاضی‌دان آلفرد نورت واینهد وی سرسختانه پیگیر آن بود تا ثابت کند این سرچشمه گرفتن فی الواقع می‌تواند به انجام رسد، و از عهده آنچه برآید که فرگه در آن ناکام بود. ده سال تلاش سخت آنان منجر به انتشار یکی از آثار رفیع منطق جدید گردید، یعنی: اصول ریاضیات (در سه مجلد، 1910،1912،1913).

راسل یک صلح‌طلب بود؛ و بخاطر فعال بودن علیه شرکت بریتانیا در جنگ اول جهانی از کالج ترینیتی اخراج گردید و به زندان افتاد. اما فعالانه در مبارزات علیه هیتلر در جنگ جهانی دوم شرکت کرد و بدین عقیده رسید که گرچه جنگ همیشه یک شر بسیار بزرگ است ولی وقت‌هایی است که شر کمتری در مواجه با آن است. وی علیه بیرحمی رژیم استالینیستی در اتحاد شوروی در سالهای بعد از جنگ دوم مبارزه کرد و نیز در اقدام عمدی در نافرمانی مدنی علیه درگیری امریکا در جنگ ویتنام بطور منظم شرکت می‌کرد. وی در سیتی کالج نیویورک، دانشگاه شیکاگو و در دانشگاه کالیفرنیا در لوس آنجلس تدریس کرد- اما در امریکا نیز بخاطر عقاید رادیکالش در موضوعات جنسی که آنرا بسیار عمومی بیان می کرد مورد رهگیری بود. او بخاطر نثر زیبا و روانش مشهور بود که تاریخ فلسفه غرب وی (1945) بیشتر از همه گواه آن است. در 1950 جایزه نوبل ادبیات به وی اهدا گردید. راسل در طول سالیان شاگردان زیاد و بسیار ممتازی داشت. کسانی که مورد تحسین او بودند و کسانی که کار وی را ادامه دادند. در میان آنان فیلسوف لودیک وینگنشتاین در کالج ترینیتی کمبریج و بعدا منطق‌دان ایروینگ کپی در دانشگاه شیکاگو بودند. تنوع، پرباری، خلاقیت، آتشین مزاجی و دلیری، آنچه که وی را نه تنها از جمله بزرگان منطق جدید ‌ساخت؛ بلکه او را یکی از شگفت آورترین چهره‌های روشنفکری عصر خود کرد.

 

اگر اين‌ را كه می‌گوید: هر مورد جانشين يك تابع گزاره‌ای می‌تواند بطور معتبر از سورعمومی آن استنتاج شود-- را به فهرست قوانين استنتاج خود اضافه كنيم، آنگاه می‌توانیم برهان صوری استدلال داده‌شده را با مراجعه به فهرست صورت‌های استدلالی معتبر مقدماتی گسترش‌يافته خود بیاوریم. اين قاعده جديد استنتاج، اصل تخصيص کلی/عمومی۵  با كوته‌سازی UI است. با كارگرفتن حرف يونانی نو(ν) بعنوان نشان‌دهنده هر نماد انفرادی هرچه‌ هست، می‌توان اين قاعده جديد را بصورت زير بيان كرد:

 

UI: (x)Φx
         ∴
Φν                        (یک نماد انفرادی استν)

 

اكنون می‌توان برهان صوری اعتبار را مطابق زير نوشت:

1.   (x)(Hx Mx)
2.   Hs
   
Ms
3.  Hx Mx     1, UI
4.  Mx                 3, 2, M.P.

 

گرچه با اضافه كردن UI ابزار برهانی ما بطور قابل ملاحظه قوی‌تر شده‌است ولی هنوز بيشتر ازاين نياز است. نياز به قوانين بيشتر برای اداره سورها که برخاسته از استدلال‌هايی چون -- «همه انسان‌ها فانی هستنند. همه يوناني‌ها انسان هستند. بنابراين همه يوناني‌ها فانی هستند» -- است. برگردان نمادين اين استدلال به صورت زير است:

(x)(H Mx)
(x)(Gx Hx)
(x)(Gx Mx)

 

در اينجا مقدمات و نتيجه هر دو بجای‌ گزاره انفرادی، گزاره‌های عام هستند و همين‌طور سورعمومی توابع-گزاره‌ای، بجای موردهای جانشينی‌شان حضوردارند. از دو مقدمه و کارزدن UI، می‌توان بطور معتبر زوج گزاره‌های شرطی زير را استنتاج كرد:

 

GaHa      GbHb      GcHc      GdHd ...
HaMa     HbMb     HcMc     HdMd ...

 

و با بكاربردن متوالی اصل قياس شرطی (H.S) می‌توان نتايج زير را بطور معتبر استنتاج نمود:

 

 Ga Ma,     Gb Mb,     Gc Mc,     Gd Md ...

 

اگر d , c, b, a, … همه افرادی بودند كه وجود داشتند، آنگاه پی‌آمد آن اين‌بود كه با توجه به درستی مقدمات، همه موارد جانشينی تابع گزاره‌ای GxMx  بطور معتبر قابل نتیجه‌گرفتن بود. از آنجايی كه سور عمومی يك تابع-گزاره‌ای درست است اگر و فقط اگر همه موردهای جانشين آن درست باشند، می‌توانيم در ادامه درستی (x)(GxMx) كه همان نتيجه استدلال داده شده است را نتيجه بگيريم.

پاراگراف قبل را می‌توان بعنوان يك برهان غيرصوری استدلال داده‌شده  درنظر گرفت، كه در آن اصل قياس شرطی (H.S) و دو اصل حاكم به سورها مورد استناد قرار گرفته‌اند. اما اين وصف دنباله طولانی نامعين از عبارت‌های گزاره‌ای است، یعنی: فهرست همه موردهای جانشينی دو تابع-گزاره‌ای در مقدمات، كه به طورعمومی سوردار شده‌اند. يك برهان صوری نمی‌تواند شامل وضعیت نامعين‌بودن باشد، كه ممکن است حتی دنباله‌ای نامتناهی از عبارات گزاره‌ای نيز باشد. لذا بايد درپی یک روش برای بيان اين دنباله بطور نامعين طولانی، به صورتی متناهی و بگونه معين بود.

یک تکنیک، که در رياضيات مقدماتی معمول است، روشی برای انجام این‌کار به ذهن می‌آورد. وقتی يك هندسه‌دان می‌خواهد ثابت‌كند همه مثلث‌ها دارای ويژگی‌های مشخصی هستند، وی ممکن است عبارات خود را اين‌گونه آغاز‌کند: «مثلث دلخواه ABC را در نظر می‌گيريم.» سپس وی آغاز به دليل‌آوردن درباره مثلث ABC نماید و ثابت‌كند این مثلث دارای ويژگی‌های مورد نظر است. از اين وی نتيجه می‌گيرد كه همه مثلث‌ها دارای اين ویژگی‌ها هستند. چه توضيح و توجيهی برای نتيجه پايانی وی است؟ ولو آنکه، بپذيريم اين مثلث بخصوص دارای آن ویژگی‌ها است، چرا از آن این‌كه همه مثلث‌ها دارای آن ویژگی‌ها هستند، بدست می‌آيد؟ پاسخ اين پرسش ‌آسان است. وقتی هيچ فرضی بجز مثلث بودن در باره مثلث ABC موردنظر نیست، آنگاه نماد "ABC" می‌تواند دلالت كننده به هر مثلث كه بخواهيد باشد. استدلال هندسه‌دان ثابت می‌کند که هر مثلث دارنده ویژگی‌های مطرح است، و اگر هر مثلث دارنده آنهاست آنگاه همه مثلث‌ها دارنده آنهایند. ما نیز متشابه هندسه‌دان در صحبت از «هر مثلث مفروض دلخواه ABC»، يك نشان‌گذاری را معرفی می‌كنيم. اين كار مانع از ادعای فهرست كردن تعداد نامعين يا نامتناهی موردهای جانشين برای يك تابع-گزاره‌ای می‌شود. چرا كه ما به‌جای آن، صحبت درباره هر مورد جانشين تابع-گزاره‌ای خواهيم‌كرد.

 ما حرف كوچك y(كه تاكنون بکارنرفته) را بكار‌می‌یریم تا نمايانگر هر شئی انفرادی مفروض/منتخب دلخواه باشد. ما آن را مشابه روشی كه هندسه‌دادن حروف ABC را بكار می‌برد بكار خواهيم برد. از آنجاكه درستی هر مورد جانشين يك تابع-گزاره‌ای قابل دست‌آوردن از تسوير عمومی آن است، می‌توانيم آن مورد جانشينی كه حاصل از جانشينی y بجای x  است را استنتاج نماييم، كه در آن y نمايانگر «هر» شئی انفرادی «مفروض/منتخب دلخواه» است. با توجه به آنچه گفته‌شد اكنون می‌توانيم برهان صوری اعتبار استدلال داده شده را آنگونه كه می‌آيد آغاز كنيم:

 

1.   (x)(Hx Mx)
2.   (x)(Gx Hx)
     (x)(Gx Mx)
3.   Hy My               1, UI
4.   Gy Hy               2, UI
5.   Gy My              4, 3, H.S.

 

در بالا از مقدمات، عبارت گزاره‌ای GyMy را نتيجه گرفتيم، كه در عمل با توجه به‌اينكه y نمايانگر «هر شئی مفروض(منتخب) انفرادی» است، درستی هر مورد جانشينی تابع-گزاره‌ای GxMx را تصديق می‌كند. از آنجا كه هر مورد جانشين درست است، همه موردهای جانشين بايد درست باشند و بنابراين تسوير عمومی تابع-گزاره‌ای نيز بايد درست باشد. می‌توان اين اصل را به فهرست قوانين استنتاج خود اضافه كنيم و آن را اينگونه بيان نماييم: از مورد جانشين هر تابع-گزاره‌ای برحسب نام هر شئی انفرادی مفروض دلخواه، می‌توان اعتبار تسوير عمومی آن تابع-گزاره‌ای را استنتاج نمود. چون اين اصل جديد مجوز تعميم به ما می‌دهد، يعنی انتقال از يك مورد جانشين مخصوص به تعميم يا عبارت مسور عمومی، از آن بعنوان اصل تعميم کلی/عمومی رجوع و آن را با "UG" كوته‌سازی می‌کنیم. اين اصل بصورت زير بيان مي‌شود.

UGΦy
         ∴
(x)Φx                  

y نمایانگر "هرشئی مفروض/منتخب دلخواه" است

 

حالا می‌توان خط ششم و پايانی برهان صوری را كه آغاز كرده بوديم مطابق

 

 6.  (x)(Gx Mx)      5, UG.

 

نوشت و آن را توجیه كرد.

 

برای ادامه، مروری به بحث پیشین کرده؛ در برهان هندسه‌دان تنها فرض گرفته‌شده برای ABC اين است كه آن يك مثلث است؛ و لذا آنچه كه ثابت شد برای ABC درست است، برای هر مثلث نيز درست است. در برهان ما، تنها مفروض‌ برای y شئی انفرادی بودن آن است، لذا آنچه كه ثابت‌شد برای y درست است، برای هر شئی انفرادی ديگر نيز درست است. نماد y يك نماد انفرادی اما بسيار مخصوص است. اين نماد نوعاً با كارزدن UI در يك برهان حضور می‌یابد، ولی فقط حضور y مجوز كارزدن UG را می‌دهد.

اينجا يك استدلال معتبر آمده است كه اثبات اعتبار آن به UG و بعلاوه به UI نیاز دارد: «هيچ انسان كامل نيست. همه يونانيان انسان هستند. بنابراين هيچ يونانی كامل نيست6».

برهان صوری اعتبار آن به صورت زير است:

1.  (x)(Hx Px)
2.  (x)(Gx Hx)
    ∴ (x)(Gx ~Px)
3.  Hy Py                      1, UI 
4.  Gy Hy                     1, UI
5.  Gy Py                     4, 3, H.S.
6.  (x)(Gx ~P(x)        5, UG

 

ممكن است به نظر در آنچه گفته‌شد تا اندازه‌ای مصنوعی بودن حضور داشته باشد. يعنی اصرار به قائل‌شدن تمايز دقيق بين x)Φx) و Φy، یعنی كه نباید با آنها يكسان رفتاركرد و هر يك بايد از ديگری بوسيله UI ,GI استنتاج شود، پافشاری به تمايزی است که در آن چیزی موجب ‌تفاوتی نیست. ولی قطعا‍ يك تمايز صوری بين آنها وجود دارد. گزاره (x)(HxMx) يك گزاره غيرمركب است حال آنكه گزاره HxMx يك عبارت گزاره‌ای مركب است. از دو عبارت گزاره‌ای غيرمركب:

                                                             (x)(HxMx) و  (x)(GxHx)

هيچ استنتاج مرتبطی با كارزدن فهرست اصلی نوزده قاعده نمی‌توان استخراج كرد. اما از گزاره‌های مركب GyHy و HyMy نتيجه نشان داده‌شده بوسيله قياس شرطی(H.S) حاصل می‌شود. اصل UI بكاربسته‌شده تا از عبارت‌های گزاره‌ای غيرمركب كه قواعد پيشين استنتاجی ما بطور مفيد به آنها كارزدنی نيستند، عبارت‌های-گزاره‌ای مركب را بدست آوریم، به‌قسمی كه به‌آنها قواعد استنتاجی پيشين، برای استخراج نتيجه موردنظر، بتوانند بكارزده شوند. از اين‌رو، اصول تعميم ابزارمنطقی ما را گسترده‌تر می‌سازد تا آن را توانمند به برآورد اعتبار استدلال‌هايی سازد كه بالضروره مستلزم گزاره‌های غيرمركب (عام‌شده) هستند و نيز بعلاوه انواع ديگر استدلال (ساده‌تر) كه در فصل پيشين به آنها اشاره شد. از سوی ديگر نيز بايد يك هم ارزی منطقی بين  x)Φx) و Φy وجود داشته باشد وگرنه قاعده‌های UI  و GI معتبر نمی‌بودند. هردو، يعنی هم تفاوت و نیز هم‌ارزی منطقی برای هدف ما كه برآورد اعتبار استدلال‌ها از طريق رجوع به يك فهرست از قواعد استنتاج است، مهم است. الحاق UI و GI به‌اين فهرست آنرا بطور قابل ملاحظه تواناتر می‌سازد.

وقتی متوجه استدلال‌های درگير با گزاره‌‌های وجودی می‌شويم، اين فهرست هنوز کافی نیست و بايد بيشتر گسترش یابد. مثال راحتی كه با آن آغاز می كنيم، به اين قرار است: «همه بزهكاران بدسگال هستند. بعضی انسان بزهكار است. بنابراين بعضی انسان بدسگال است». اين استدلال مطابق زير نمادين می شود.

(x)(Cx Vx)

(Ex)(Hx • Cx)

(Ex)(Hx • Vx)

تسوير وجودی يك تابع-گزاره‌ای درست است، اگر و تنها اگر يك مورد جانشين درست داشته باشد و لذا هرچه باشد ويژگی نشان‌داده توسط Φ، آنگاه

 (x)Φx

می‌گويد حداقل يك شئی انفرادی هست كه دارای ويژگی Φ است. اگر يك ثابت انفرادی قبلا در زمينه(=متن برهان) بكار نرفته باشد می‌توان آن را بكاربرد تا شئی‌ای انفرادی را نشان‌دهد كه دارنده ويژگی Φ است و يا در صورت تعداد بيشتر شیئ انفرادی، به عنوان نشان دهنده يكی از آنها باشد كه ویژگی Φ را دارد. وقتی بدانيم يكی از اين اشياء انفرادی به‌فرض a است آنگاه داریم Φa، که يك مورد جانشين درست تابع گزاره‌ای Φx است. از اين‌رو اصل زير را به فهرست قوانين استنتاج خودی اضافه می‌كنيم: از سور وجودی يك تابع گزاره‌ای می‌توان درستی مورد جانشين آن را برحسب هر ثابت انفرادی (بجز از y)، كه رويدادی پیشین در زمينه نداشته است، نتيجه گرفت. اين قاعده جديد استنتاج، اصل تخصيص وجودی است، كه كوته‌شده آن نيز EI است. اين اصل به گونه زير بيان می شود:

 

EI:  (x)Φx
         ∴
Φν                  

كه در آن νهر ثابت انفرادی (بجز y ) است، بقسمی‌كه هيچ رويداد پیشین در زمينه نداشته است.

 

با پذيرش قاعده استناج EI می‌توانيم اثبات اعتبار استدلال گفته شده را آغاز كنيم. 

 

1.   (x)(Cx Vx)
2.   (
x)(Hx Cx)
    
(x)(Hx Vx)
3.   Ha Ca                        2, EI
4.   Ca
Va                      1, UI
5.   Ca Ha                        3, Com.
6.   Ca                                 5, Simp.
7.   Va                                 4, 6, M.P.
8.   Ha                                 3, Simp
9.   Ha Va                         8, 7, Conj.

 

 

تا اينجا HaVa را نتيجه گرفتيم كه مورد جانشين تابع-گزاره‌ای است كه سور وجودی آن همان است که بوسيله نتيجه ادعا شده‌است. از آنجا كه مسور وجودی يك تابع-گزاره‌ای درست است، اگر و فقط اگر حداقل يك مورد جانشينی درست داشته باشد، اين اصل را نیز به فهرست قواعد می‌افزائیم، که می‌گويد -- از هر مورد جانشينی درست يك تابع-گزاره‌ای می‌توان تسویر وجودی آن تابع-گزاره‌ای را بطور معتبر استنتاج كرد. اين چهارمين و آخرين قاعده استنتاج، اصل تعميم وجودی با كوته‌شده EG است كه به گونه زير بيان مي‌شود.

EG:    Φν

            ∴ (x)(Φx)    

 (که در آن ν یک نماد انفرادی است)

دهمین و آخرين خط اثباتی را كه شروع كرده‌ايم، اكنون می‌توان به‌گونه زير نوشت و آنرا توجیه کرد:

 10.   (Ex)(Hx . Vx)a            9, EG

 

نياز به محدوديت در كاربرد EI، كه به آن اشاره شد، را می‌توان با ملاحظه استدلال آشكارا نامعتبر كه به دنبال آمده است دريافت. «بعضی تمساح‌ها در اسارت نگهداری می‌شوند. بعضی پرنده‌ها در اسارت نگهداری می‌شوند. بنابراين بعضی تمساح‌ها پرنده هستند». اگر غافل شويم و توجه به محدوديت اعمالی بر EI نكنيم كه می‌گويد –مورد جانشين يك تابع گزاره‌ای كه بوسيله EI از سور وجودی آن تابع استنتاج می‌شود، فقط می‌تواند شامل نماد انفرادی‌ای (بجز y) باشد، كه دارای رويداد پيشين در زمينه نباشد- آنگاه ممكن است ادامه دهيم و يك «برهان» برای اين استدلال نامعتبر بسازيم. اين چنين «برهان» خطادار می‌تواند به گونه زير باشد:

 

1.   (x)( Ax • Cx)
2.   (x)( Bx • Cx)
      (x)( Ax • Bx)
3.   Aa • Ca                      1, EI
4.   Ba • Ca                      2, EI  (!خطا)
5.   Aa                              3, Simp.
6.   Ca                              4, Simp.
7.   Aa • Ca                     5, 6,  Conj.
8.   (∃x)( Ax • Bx)       7, EG

 

خطا در اين برهان در خط چهارم رخ داده است. از مقدمه (فرمول) دوم می‌دانيم كه حداقل يك شئی هست كه هم پرنده است و نيز در اسارت نگهداری می‌شود. اگر آزاد بوديم تا در خط چهارم نام آنرا a بگذاريم، روشن است كه نيز می‌توانستيم مدعی Ba•Ca شویم. اما آزاد نيستيم تا گمارشی مثل «a» انجام دهيم، چرا كه هم اكنون، «a» پيش دستی كرده و در خط سوم وظيفه‌مند بعنوان نام يك تمساح كه در اسارت نگهداری می‌شود است. برای پرهيز خطاهايی از اين قسم بايد در هر جا كه EI را بكار می‌بريم محدوديت گفته‌شده را رعايت كنيم. بحث پيشترگفته، بايد روش ساخته باشد، در هر اثبات كه نيازمند بكار زدن EI و UI هر دو است، آنگاه هميشه EI بايد ابتدا بكارزده شود.

برای حالت های پيچيده‌تر استدلال، بخصوص آنها كه مستلزم حضور رابطه/نسبت/Relation هستند، محدوديت‌ها بيشتری براين چهار قاعده بايد اعمال شود. اما برای استدلال‌هايی از قسم حاضر، كه به طور سنتی قياس حملي/Categorical Syllogism ناميده می‌شوند محدوديت‌های گفته‌شده كفايت پرهيز از خطا را می‌كنند.

 

مرور کلی
قواعد استنتاج: تسویر
نامکوته‌سازی صورت/ساخت روش‌عمل
تخصیص کلی/ Universal Instantiation UI (x)Φx
Φν
هر مورد جانشينی يك تابع-گزاره‌ای می‌تواند از تسوير عمومی آن استنتاج شود
تعمیم کلی/ Universal Generalization UG Φy
(x)Φx
از مورد جانشينی يك تابع-گزاره‌ای نسبت به نام هر شئی انفرادی مفروض دلخواه می‌توان بطور معتبر تسوير عمومی آن صورت گزاره‌ای را استنتاج نمود.
تخصیص وجودی / Existential Instantiation EI (∃x)Φx
Φν
از تسوير وجودی يك تابع-گزاره‌ای می‌توان درستی مورد جانشينی آن‌‌را نسبت به‌هر ثابت انفرادی(بجز ازy)،  كه در زمینه هيچ‌جا پيشتر رخ نداده است، استنتاج نمود.
تعمیم وجودی / Existential Generalization EG Φν
(∃x)Φx
از مورد جانشينی يك تابع-گزاره‌ای می‌توان تسوير وجودی آن تابع گزاره‌ای را بطور معتبر استنتاج نمود.

 

پانوشت:

[5]- اين قاعده و سه‌تای ديگر كه خواهند آمد، گونه‌های قوانين استنتاج طبيعی هستند كه مستقلاً توسط گرهارد گنتزن/Gerhard gentzen استانيسلا جاسكوفسكی/jaskowski Stanislaw بطور مستقل در 1934 ميلادی ارائه گرديدند.

 

[6] - همينجا مناسب است خاطرنشان كنيم برای استدلال‌هايی از اين نوع، تحليل سنتی قياس می‌تواند اعتبار آن را به‌همان كارآمدی منطق مسور جديد ثابت كند. يك منطق دان كلاسيك می‌تواند سریع تشخیص دهد این قیاس دارای ضرب EAE و در شکل اول است-- لزوما به صورت کلارنت و بنابراین اعتبار آن  حاصل است. در فص7.قس4 می‌توانید شرح خلاصه قیاسات معتبر استاندارد ساخت را بینید]

تمرین

الفبرای هر يك از استدلال‌های زير يك برهان صوری اعتبار تشكيل دهيد.

مثال:

(x)(Ax⊃~Bx)
(∃x)(Cx•Ax)
(x)(Cx•~x)

 

حلنتيجه اين استدلال يك گزاره است كه مسور وجودی  است. از اينجا به آسانی روشن می‌شود كه آخرين مرحله عبارت از كار زدن EG (تعميم وجودي) خواهد بود. برای رسيدن به خط مورد نياز، باید برای مقدمات موردجانشین بسازیم(تخصيص برای مقدمات کنیم). اين كار را با كارزدن EI (تعميم وجودي) به مقدمه دوم و سپس كار زدن UI (تخصيص کلی) به مقدمه اول انجام می‌دهيم. محدوديت اعمالی بر كارزدن EI ما را ملزم می‌كند تا EI را قبل از UI بكار بزنيم، به قسمی كه بتوانيم يك ثابت انفرادی يكسان، بفرض a را، برای هر دو بكار ببريم. برهان به گونه زير می‌تواند ساخته‌شود:

{برهان }

 

 

ب-برای هر يك از استدلال های زير يك برهان صوری اعتبار تشكيل دهيد و در هر حالت نشانه گذاری پيشنهادی را بكار بريد.

1*-هيچ قهرمان كرم كتاب [خيلی كتابخوان] نيست. كاوه يك كرم كتاب است. بنابراين كاوه يك قهرمان نيست. (Ax,Bx,c)

2-همه رقصنده‌ها سرزنده هستند. بعضی شمشيربازها سرزنده نيستند. بنابراين بعضی شمشيربازها رقصنده نيستند. (Dx,Ex,Fx)

3-هيچ قماربازی خوشحال نيست. بعضی ايده‌آليستها خوشحالند. بنابراين بعضی ايده‌آليستها قمارباز نيستند. (Gx,Hx,Ix)

4-همه جوكرها پست هستند. هيچ پستی خوشبخت نيست. بنابراين هيچ جوكری خوشبخت نيست. (Jx,Kx,Lx)

5*-همه كوهنوردان دوست منش هستند. بعضی قانون گريزها كوهنورد هستند. بنابراين قانون گريزها دوست منش هستند. (Mx,Nx,Ox)

6-فقط صلح طلب‌ها طرفدار محيط زيست هستند. مذهبی‌هايی هستندكه طرفدار محيط زيست هستند. بنابراين صلح طلب‌ها گاهی مذهبی هستند.

7-گوشبری دزدی است. هيچ كس مگر محرومان دزد هستند. بنابراين گوشبرها هميشه محروم هستند.

8-هيچ ويولونيستی نيست كه ثروتمند نباشد. سه تار نواز ثروتمند وجود ندارد. بنابراين هيچ ويولونيست سه تارنواز نيست.

9-جوينده يابنده است. سارا چيزی نيافته است بنابراين سارا جوينده نيست.

10*-هيچ كس مگر شجاعان شايسته انصاف هستند. فقط سربازان شجاع اند بنابراين انصاف شايسته فقط سربازان است. (Ax,Rx,s)

11-آن:           هيچ جباری چنان درنده‌خو نيست كه چيزی از حس ترحم نداند.

     گلوكستر:   من چنين كسی را نمی‌شناسم بنابراين جبار نيستم. (Bx,Px,g) --- ويليام شكسپير-ريچارد سوم نمايش 1 صحنه 2

 

حل تمرین‌های ستاره‌دار

 

 

 

































تخصیص کلیUI /Universal Instantiation
یک قاعده‌استنتاج که مجوز استنتاج معتبر هر مورد جانشینی یک-تابع گراره‌ای را از تسویر کلی آن داده.




































































































تعمیم کلیUG /Universal Generalization
یک قاعده‌استنتاج که مجوز استنتاج معتبر یک عبارت مسور کلی/عمومی را از یک عبارت داده‌شده درست از هر شئی مفروض/منتخب دلخواه داده.















































































تخصیص وجودیEI /Existential Instantiation
یک قاعده‌استنتاج که مجوز استنتاج معتبر (با اعمال محدویت) درستی یک مورد جانشینی(برای هر ثابت انفرادی که پیشتر هیچ‌جا دز زمینه رخ نداده‌باشد) از تسویر وجودی یک تابع گزاره‌ای را داده.


















تعمیم وجودیEG /Existential Generalization
یک قاعده‌استنتاج که مجوز استنتاج  معتبر یک عبارت مسور وجودی یک تابع گزاره‌ای را  از یک مورد جانشینی درست آن داده.