تقابل، تناقض،تضادIntroduction to Logic

فصل ۶: گزاره‌های حملی؛  قسمت ۸: نماد و نمودار برای گزاره‌های حملی- بخش ۲: منطق صوری (کلاسیک قدیم)؛  کتاب درآمد به منطق. آخرین ویرایش:۱۳۹۴/۱۰/۰۱

۸.۶ نماد و نمودار برای گزاره‌های حملی

ازآنجاکه تعبیر بولی گزاره‌های حملی بستگی تام به تصور طبقه خالی دارد، برای آسانی کار نماد ویژه‌ای را برای نمایش آن— یعنی، طبقه خالی— انتخاب می‌کنیم. معمولاً برای این منظور نماد 0(نماد صفر) بکار می‌رود. برای آنکه بگوییم طبقه مشخص‌شده توسط S دارای عضو نیست، بین 0و S یک علامت مساوی قرار می‌دهیم.  بنابراین، معادله  S=0 نمایانگر آن است که sای(عضوی) در S وجود ندارد و به‌عبارت‌دیگر  این طبقه دارای عضو  نیست.

گفتن آنکه طبقه مشخص‌شده توسط S دارای عضو است، نفی خالی بودن S است. به عبارت دیگر، اظهار آنکه S دارای عضو است همان نفی  S=0 است. این نمادگذاری (نفی) را با قرار دادن یک خط  مورب روی علامت مساوی انجام می‌دهیم. بنابراین نابرابری S0 با نفی خالی بودن S درواقع بیان می‌کند که sای در S وجود دارد.

گزاره‌های حملی یکنوا-ساخت همیشه به دو طبقه ارجاع دارند، بنابراین معادله‌ای که قرار است آن‌ها را  نشان‌دهد قدری پیچیده‌تر خواهد بود. هرگاه دو طبقه هریک توسط یک نماد متمایز نشان داده شوند، طبقه همه‌چیزهایی که متعلق به هر دو هستند را می‌توان با کنار هم قرار دادن دو نماد اصلی نشان داد. برای مثال، اگر S نشان دهنده طبقه طنز و P نشان‌دهنده طبقه شعر باشد، آنگاه طبقه همه‌چیزهایی که هم طنز هستند و هم شعر را با نماد SP نشان می‌دهیم، که نمایانگر اشعار طنزآمیز خواهد بود. به بخش مشترک دو طبقه حاصل‌ضرب یا اشتراک دو طبقه می‌گویند. حاصل‌ضرب دو طبقه عبارت است از طبقه همه‌چیزهای متعلق به هر دویِ آن‌ها. طبقه همه آمریکائی‌ها و طبقه همه آهنگ‌سازان عبارت است از طبقه آمریکائی آهنگ‌ساز است. (باید مراقب بعضی ویژگی‌ها در یک زبان خاص بود.  برای مثال، حاصل‌ضرب طبقه رقصنده و طبقه اسپانیولی عبارت از رقصنده‌ای نیست که اسپانیایی باشد، بلکه رقصنده‌ای است که اسپانیایی می‌رقصد.)

این روش نمادگذاری جدید راه را برای نمادگذاری گزاره‌های E و  I به‌صورت معادله و نامعادله فراهم می‌سازد. گزاره "هیچ P  Sنیست" می‌گوید هیچ عضو از طبقه S عضوی از طبقه P نیست، به‌عبارت‌دیگر، چیزی نیست که عضو هر دو طبقه باشد. این را می‌توان به این صورت بازنویسی کرد که گفت، حاصل‌ضرب دو طبقه S و P خالی است و آن را به‌صورت  SP=0 نمادگذاری کرد. گزاره I "بعضی P S است" نیز می‌گوید حداقل یک عضو S عضو P هم است.  این یعنی، حاصل‌ضرب طبقه‌‌های S و P خالی نیست که می‌توان آن را با نامعادله:  SP0 نمادگذاری کرد. 

برای نمادگذاری گزاره‌های A و O کافی است تا روش جدیدی را برای نمایش طبقه متمم معرفی نماییم. متمم یک طبقه عبارت از گردآوردی از طبقه همه‌چیزهایی است که به طبقه اصلی تعلق نداشته باشند. همان‌طور که پیش‌تر در قسمت شش همین فصل شرح داده شد متمم طبقه سرباز عبارت است از طبقه همه‌چیزهایی که سرباز نیستند، یعنی غیر-سربازان. وقتی حرف S نماد طبقه همه سربازان باشد، طبقه همه غیر-سرباز را به‌وسیله  (که Sبار خوانده می‌شود) نمادگذاری می‌کنیم، یعنی نماد طبقه اصلی و یک علامت خط تیره بالای آن. گزاره A "همه P S است" می‌گوید، همه اعضای طبقه S اعضای طبقه P نیز هست؛ یا (توسط عکس متمم) "هیچ S غیر-P نیست".  این مانند هر گزاره نظیر دیگر می‌گوید حاصل‌ضرب طبقه‌های مشخص‌شده توسط حدهای موضوع و محمول خالی است.  این گزاره با معادله 0=SP̄ نمادسازی می‌شود. گزاره O "بعضی P S نیست" توسط عکس متمم به گزاره معادل I "بعضی S غیر-P است" برگردان می‌شود، که با نامعادله 0SP̄  نمادگذاری می‌گردد.

روابط بین چهار گزاره حملی در پیکربندی نمادگذاری‌شده آن‌ها آشکار می‌شوند. وقتی گزاره‌های A و O به‌صورت  0=SP̄ و  0SP̄  نمادگذاری شوند، آشکار است که آن‌ها متناقض‌های یکدیگر هستند. و به گونه معادل گزاره‌های E و I با توجه به پیکربندی‌های  SP=0 و  SP0 متناقض‌های یکدیگر خواهند بود.  اکنون می‌توان مربع تقابل بولی را، آن‌گونه که در شکل ۲ آمده است، نشان داد.

مربع تقابل بولی/Boolean Opposition Square

شکل ۲ -  مربع تقابل بولی

هنگام توضیح چهار گونه گزاره حملی یکنوا ساخت در قسمت سه همین فصل، روابط بین آن‌ها را با دو دایره متقاطع و با برچسب‌های S و P نشان دادیم. اکنون آن نمودار سازی برای گزاره‌های حملی را قدری بیشتر گسترش و نمادگذاری را توانمندتر می‌کنیم، به‌گونه‌ای که  برای آنچه بعد خواهد ‌آمد آسانی در تحلیل را فراهم آورد.

مرور کلی

نمایش نمادین گزاره‌های حملی
صورتگزارهنمایش نمادیشرح
Aهمه P  S است 0=SP̄ طبقه چیزهایی که S و غیرP هستند خالی است.
Eهیچ P  S نیست SP=0طبقه همه‌چیزهایی که S و P هستند خالی است.
Iبعضی P  S است SP0طبقه همه‌چیزهایی که S و P هستند خالی نیست.(SP حداقل یک عضو دارد.)
Oبعضی P  S نیست  0 SP̄  طبقه چیزهایی که S و غیر-P هستند خالی نیست. (SP̄ حداقل یک عضو دارد.)

 در ابتدا، هر طبقه را توسط یک دایره بدون علامت نشان می‌دهیم.  سپس هر دایره را با حدی که طبقه موردنظر را مشخص می‌کند برچسب دار می‌کنیم.  طبقه S توسط یک دایره ساده نمودار سازی می‌شود. بنابراین خواهیم داشت:

نمودار طبقه

شکل ۳

این نمودار یک طبقه و نه یک گزاره است.  برای نمایان کردن آنکه S دارای عضو نیست، داخل دایره نشان‌دهنده آن را سایه‌دار می‌کنیم، از این طریق نشان می‌دهیم که شامل چیزی نیست و خالی است. برای نمایان کردن آنکه S دارای عضو است، آن را چنین تعبیر می‌کنیم که S حداقل دارای یک عضو هست و برای این کار جایی درون دایره‌ای که S را نشان می‌دهد یک x قرار داده و از این طریق نشان می‌دهیم که چیزی درون آن هست و چنین نیست که خالی باشد. بنابراین دو گزاره "sای متعلق به S نیست" و "sای متعلق به S هست"، را می‌توان توسط دو نمودار مطابق شکل ۴ نشان داد.

نمودار طبقه

شکل ۴

توجه داشته باشید، دایره‌‌ای که طبقه S را نمودار سازی می‌کند، در عمل نمودار  S̄ نیز هست، زیرا، به همان ترتیب که داخل دایره نمایانگر همه اعضای S هست، بیرون دایره نمایانگر همه اعضای خواهد بود.

برای نمودار سازی گزاره‌های حملی یکنوا-ساخت، همان‌طور که پیش‌تر خاطرنشان کردیم، دو دایره موردنیاز است. بنابراین، کالبد یا چارچوب کار برای نمودار سازی هر گزاره حملی یکنوا-ساخت که حدهای موضوع و محمول آن به ترتیب با S و P کوتاه نویسی شده‌اند، به‌صورت نمودار زیر است که در آن نیز دو دایره متقاطع بکار گرفته‌شده‌اند (همان‌طور که در قسمت سه همین فصل توضیح آن آمد.)

نمودار طبقه

شکل ۵

شکل ۵ نمودار دو طبقه S و P را نشان می‌دهد، اما در ارتباط با هیچ گزاره‌ای نیست. این نمودار ادعایی درباره عضو داشتن یکی یا هردو یا انکار آن را نمی‌کند. ولی واقع مطلب آن است که در این شکل چیزی بیش از دو طبقه نمودار سازی ‌شده توسط دو دایره متقاطع وجود دارد. بخشی از دایره‌ برچسب‌دار S که همپوشانی با دایره برچسب‌دار P ندارد، نمودار همه Sهایی است که P نیستند، و می‌توان آن را به‌عنوان نمایش‌دهنده ضرب دو طبقه S و در نظر گرفت.  این بخش را می‌توان با  SP̄ برچسبدار کرد. ناحیه همپوشان دو دایره، ضرب دو طبقه S و P را نشان داده و نمودار همه آن چیزهایی است که به هر دو طبقه تعلق دارند. این ناحیه با  SP برچسب‌دار شده است. آن بخش که با P برچسب‌دار شده و همپوشان با دایره برچسب‌دار S نیست نمودار همه Pهایی است که  S نیستند، و ضرب طبقه   و P را نشان می‌دهد. این بخش با S̄P برچسب‌دار شده است. سرانجام، آن بخش از نمودار که بیرون هر دو دایره است نمایشگر همه‌چیزهایی است که نه در S و نه در P هستند، و نشان‌دهنده طبقه چهارمی است که با  S̄P برچسب‌دار شده است. با گذاشتن این برچسب‌ها، شکل ۵ به‌صورت شکل درخواهد آمد.

نمودار طبقه

شکل ۶

اگر در این شکل دو دایره آن، با طبقه ایرانی‌ها(S) و طبقه شاعران(P) برچسب‌دار و مشخص شوند، آنگاه این نمودار را می‌توان برحسب چندین طبقه مختلف تعبیر کرد.  SP ضرب این دو طبقه  است و شامل آن چیزهایی است که فقط و فقط به هر دویِ آن‌ها تعلق دارد. هر عضو باید عضو هر دو، یعنی S و P باشد؛ هر عضوی باید ایرانی و شاعر باشد. این طبقه شامل همه ایرانی‌های شاعر است که ازجمله و در میان بقیه شامل فردوسی و مولوی نیز است.  SP̄ ضرب طبقه اول و متمم طبقه دوم است، و شامل آن چیزهایی است که متعلق به طبقه S هستند ولی متعلق به طبقه P نیستند.  این ضرب طبقه ایرانیانی است که شاعر نیستند، یعنی ایرانی غیر-شاعر و دیگر فردوسی و مولوی در آن نیستند، اما در آن، ازجمله و در میان بقیه ریاضیدان جمشید کاشانی و شاه خشن آغامحمدخان قاجار هست. S̄P ضرب طبقه دوم و متمم طبقه اول است و شامل همه شاعرانی است که ایرانی نیستند.  در این طبقه، غیر-ایرانی شاعر و ازجمله و در میان بقیه رابیندرانات تاگور شاعر هندی و گوته شاعر آلمانی وجود دارد. سرانجام طبقه  S̄P̄ که ضرب متمم دو طبقه اصلی است. این طبقه شامل آن چیزها و فقط آن چیزهایی است که ایرانی و شاعر نیستند و درواقع این، یک طبقه بسیار وسیع هست که نه‌تنها شامل آدم‌های انگلیسی و کوهنوردهای سوئیسی است، بلکه شامل رودخانه کارون و قله اورست هم هست. همه این طبقه‌ها در شکل ۶ نمودار سازی شده‌اند که در آن طبقه S و Pمطابق آنچه در این پاراگراف قبل آمد تعبیر شده‌اند.

نمودارهایی از این نوع موسوم به نمودارهای ون هستند و نام خود را(همان‌طور که پیش‌تر گفته شد) از جان ون منطق دان انگلیسی گرفته‌اند، زیرا این روش برای نمایش طبقه‌ها و گزاره‌ها توسط وی ارائه‌شده. وقتی در این نمودارها، بخش‌های مختلف برچسبدار هستند اما دارای هیچ علامتی نیستند، آن‌ها صرفاً نشان‌دهنده طبقه هستند. شکل ۶ این نکته را نمایان می‌سازد. در این‌ نمودارها وقتی یک دایره یا بخشی از یک دایره خالی است، این خالی بودن نشان‌دهنده چیزی نیست— نه می‌گوید عضوی از طبقه در آن ناحیه نشان‌داده وجود دارد و نه می‌گوید عضوی از طبقه در آن ناحیه نشان داده  وجود ندارد.

اما با افزونه‌های مشخص، نمودارهای ون می‌توانند علاوه بر نشان‌دادن طبقه‌ها، گزاره‌ها را نیز نمایش دهند. با سایه‌دار کردن برخی نواحی یا قرار دادن یک x در برخی بخش‌ها می‌توان به‌طور دقیق ۴ نوع گزاره حملی یکنوا-ساخت را نمودار سازی کرد. با توجه به آنکه نمودارهای ون(همراه با علامت‌گذاری مناسب) گزاره‌های حملی را به‌طور کامل و بسیار دیداری نشان می‌دهند، از آن‌ها به‌عنوان یکی از ابزارهای بسیار توانمند و گسترده برای ارزیابی استدلال‌های قیاسی استفاده می‌شود. اکنون نشان می‌دهیم که چگونه هر یک از گزاره‌های حملی با کاربرد این تکنیک‌ها نشان داده می‌شوند.

برای نمودار سازی گزاره اره A "همه P Sاست" که به‌صورت  0=SP̄ نماد‌گذاری شد ناحیه SP̄ را سایه‌دار کرده و به‌این‌ترتیب نشان می‌دهیم که  در آن قسمت عضوی وجود ندارد و به‌عبارت‌دیگر خالی است. برای گزاره E "هیچ P S نیست" که به‌صورت  SP=0 نمادگذاری شده، آن بخش از نمودار که نشان‌دهنده  SP است را سایه‌دار کرده و به‌این‌ترتیب نشان می‌دهیم که در آن قسمت عضوی وجود ندارد و به‌عبارت‌دیگر خالی است. برای نمودار سازی گزاره I "بعضی P Sاست" که به‌صورت  SP≠0 نمادگذاری شد، یک x در بخشی از نمودار که نشان‌دهنده طبقه SP است قرار می‌دهیم. این دلالت بر آن دارد که طبقه حاصل‌ضرب خالی نیست و حداقل دارای یک عضو است؛ و سرانجام برای گزاره O "بعضی P S نیست" که به‌صورت  0≠SP̄  نمادگذاری شده یک x در بخشی که طبقه را نشان می‌دهد قرار داده.  این x دلالت بر آن دارد که طبقه حاصل‌ضرب خالی نیست و حداقل دارای یک عضو است.  آن‌گونه که در شکل ۷ نشان داده‌شده‌ با کنار هم قرار دادن نمودارهایی که ۴ گزاره حملی یکنوا-ساخت را نشان می‌دهند، بسیار گویا و آشکار تفاوت تعبیر آن‌ها نمایان می‌گردد.

نمودار گزاره کلیه موجبه    نمودار گزاره کلیه سالبه   نمودار گزاره جزئیه موجبه   نمودار گزاره جزئیه سالبه

شکل ۷

اکنون‌که نمودارهای "هیچ "هیچ P S نیست" و "بعضی P S نیست،" ساخته شدند و ازآنجاکه آن‌ها هم‌ارز(معادل) با عکس مستوی خود یعنی "هیچ S P نیست" و "بعضی S P است" هستند، نمودار این گزاره‌ها نیز هم‌اکنون نشان‌داده هستند.  برای نشان دادن گزاره A "همه S  P است" که به‌صورت  0=PS̄  نمادگذاری می‌شود، باید با همین چهارچوب بخشی از نمودار را که طبقه را نشان می‌دهد سایه‌دار کرد.  گرچه نه بلافاصله ولی آشکار است که طبقه  PS̄ و طبقه S̄P یکسان هستند. در این صورت، هر عضو متعلق به طبقه همه شاعران و طبقه همه غیر-ایرانیان باید متعلق به طبقه همه غیر-ایرانیان و طبقه همه شاعران نیز باشد. همه شاعران غیر-ایرانی همه غیر-ایرانیان شاعر هستند و برعکس آن نیز برقرار است. برای نمودار سازی گزاره O "بعضی S  P نیست"، که به‌صورت  0PS̄ نمادگذاری شده، یک x داخل بخشی از نمودار که طبقه PS̄ (مساوی با S̄P) را نشان می‌دهد قرار می‌دهیم.  نمودارهای این گزاره‌ها در شکل ۸ نشان داده شده.

نمودار گزاره کلیه موجبه    نمودار گزاره کلیه سالبه   نمودار گزاره جزئیه موجبه   نمودار گزاره جزئیه سالبه

شکل ۸

این توانمندی بیشتر نمودارهای دو دایره‌ای ازآن‌جهت اینجا گفته شد که در فصل بعدی اهمیت فراوان می‌یابند.  در آن فصل نیاز است تا دو دایره هم‌پوشان با برچسب‌های دلخواه— به فرض S و M — بتوانند هر گزاره حملی یکنوا-ساخت شامل طبقه‌های S و M را به‌عنوان دو حد خود، بدون توجه به ترتیب رخ دادن آن‌ها در گزاره، نمودار سازی نمایند. 

نمودارهای ون نمایش شمایلی گزاره‌های حملی یکنوا-ساخت هستند که در آن‌ها، شمول و نا شمولی مکانی متناظر با شمول و نا شمولی غیر مکانی طبقه‌ها است.  آن‌ها امکان یک روش نماد‌گذاری واضح و استثنایی را فراهم می‌آورند و افزون بر آن، بر آن پی‌سازی ساده‌ترین و کم واسطه‌ترین روش آزمون اعتبار قیاس‌های حملی را، آن‌گونه که در فصل بعد خواهد آمد، میسر‌ می‌سازند.

 

تمرین

هر یک از گزاره‌های زیر را به‌صورت معادله یا نامعادله نشان دهید، هر طبقه را با حرف اول حد مشخص‌کننده آن نمایش و سپس آن‌ها را توسط نمودارهای ون نمودار سازی کنید.

۱*- بعضی مجسمه‌سازان(M) نقاش(N) هستند.
MN≠0

۲- هیچ دست‌فروشی میلیونر نیست.

۳- همه بازرگانان سوداگر هستند.

۴- بعضی موسیقیدانان پیانیست نیستند.

۵*- هیچ مغازه‌داری عضو نیست.

۶- بعضی سیاستمداران بسیار مشهور لاابالی هستند.

۷- همه پزشکان مجاز مشغول کار در این ایالت فارغ‌التحصیلان مدارس پزشکی هستند که از عهده آزمون‌های مخصوص تعیین کیفیت برآمده‌اند.

۸- بعضی از دلالان سهام که به مشتریان خود توصیه خرید سهم می‌کنند خودشان سهام‌دار شرکت‌های مورد توصیه‌شان نیستند.

۹- بعضی ناب‌ گراها که هر لذت غیرمفیدی را پس می‌زنند بیگانه به بسیاری چیزها هستند که به زندگی ارزش زندگی کردن می‌دهد.

۱۰*- هیچ نقاشی مدرن شبیه عکاسی سوژه خود نیست.

۱۱- بعضی فعالان دانشجویی میان‌سال مردان و زنانی هستند که به دنبال بازآوردن جوانی ازدست‌رفته خود هستند.

۱۲- همه دانشوران قرون میانه راهبان زاهدی بودند که در صومعه‌ها می‌زیستند.

۱۳- بعضی کارمندان دولت شهروند دارای روحیه اجتماعی نیستند.

۱۴- هیچ حاکم مشروط به انتخابات و عزل یک ستمگر تنبیه گر نخواهد بود.

۱۵*- بعضی بیماران که تمام نشانه‌های اسکیزوفرنی را نشان می‌دهند دچار دوقطبی روانی هستند.

۱۶- بعضی مسافران هواپیما‌های بزرگ جت مسافران مشتریان راضی نشده هستند.

۱۷- بعضی کشیشان طرفدار تغییرات رادیکال اجتماعی هستند.

۱۸- بعضی مدافعان سرسخت وضع موجود عضو هیچ حزبی نیستند.

۱۹- هیچ پروژه لوله‌گذاری در سرزمین‌های خارجی سرمایه‌گذاری امن نیست.

۲۰*- همه فیلم‌های پورنو گرافی(S) تهدید مدنیت و نجابت(P) است.
 0=SP̄

 



© 1987 - 2016 KHcc Sc.