استنتاج ناقیاسی

تمرین

آ- عبارت های زیر را به نمادگذاری منطقی برگردانید و در هر کدام کوته سازی پیشنهادی را بکار ببرید.

مثال:

۱- سیب و پرتقال خوشمزه و مقوی هستند (Nx , Dx ,Ox , Ax)

حل:

معنی این جمله به روشنی این است, هر چیز که سیب و یا پرتقال است هم خوشمزه و هم مقوی است. بنابراین مطابق زیر نمادگذاری می شود.

(x)[Ax ∨ Ox) ⊃ (Dx • Nx)]

۲- بعضی غذاها اگر پخته شوند قابل خوردن می شوند (Cx وEx وFx)

۳- هیچ اتومبیلی سالم نیست مگر آنکه دارای سیستم ترمز خوب باشد (Bx وSx وCx)

۴- مردان قدبلندی جذابند که سبزه و زیبا باشند (Hx وDx و Ax و Mx و Tx)

۵*- یک گلادیاتور تنها و فقط تنها وقتی برنده می‌شود که خوش شانس باشد (Lx وWx و Gx)

۶- مشت‌زنی می‌برد که اگر و فقط اگر خوش شانس غیرماهر باشد. (SxوLx وWx وBx)

۷- نه چنین است که هر فرد ثروتمند هم تحصیل کرده و هم ثروتمند باشد.

8۸- نه چنین است که ابزارهای ارزان  ناکارا یا خراب شدنی باشند (Bx وSx وCx وTx)

۹- کسی که ترسو است کسی است که فرار می کند (Dx وCx وPx)

۱۰*- اگر کسی وارد تجارت شود برای رسیدن به موفقیت باید سخت کار کند یا اگر وارد کارهای حرفه‌ای شود باید دائم مطالعه کند. (Ax : x به موفقیت می رسد، Wx : x سخت کار می کند، Bx : x وارد تجارت می شود؛ Sx : x پیوسته مطالعه می کند؛ Px : x وارد کار حرفه ای می شود)

۱۱- یک طنز قدیمی اروپایی می‌گوید: در آمریکا هر کاری مجاز است مگر آنها که ممنوع هستند. در آلمان هر کار ممنوع است که مجاز نباشد. در فرانسه هر کاری مجاز است حتی اگر ممنوع باشد. در روسیه هر کاری ممنوع است حتی اگر مجاز باشد (Ax : x در آمریکا است ؛ Gx : x در آسمان است ؛ Fx : x در فرانسه است؛ Rx : x در روسیه است؛ Px : x مجاز است؛ Nx : x ممنوع است.

ب: برای هر یک از موارد زیر یک برهان اعتبار بسازید یا ثابت کنید بی‌اعتبار است. در صورت اثبات بی‌اعتباری مدلی دارای تا سه عنصر می تواند مورد نیاز باشد.

ج: برای هر یک از موردهای زیر یک برهان اعتبار بسازید یا ثابت کنید بی اعتبار است.

۱*- اسیدها و بازها شیمیایی هستند. سرکه اسید است. بنابراین سرکه شیمیایی است. (Vx وCx وBx وAx)

۲- یا معلمان مشتاق به کارند یا ناموفقند. معلم‌ها، همه آنها، موفق نیستند. بنابراین معلم مشتاق به کار وجود دارد. (Ux وEx وTx)

۳- ترکیبات آرگون و ترکیبات سدیم یا چرب هستند یا فرار. چنین نیست که همه ترکیبات سدیم چرب باشند. بنابراین بعضی ترکیبات آرگون فرار هستند (Vx وOx وSx وAx)

۴- هیچ کارمند که دیکتاتور منش و یا لاابالی است ارتقاء نمی‌یابد. بنابراین هیچ کارمند دیکتاتور منشی نمی‌تواند ارتقاء یابد. (Px وDx وSx وEx)

۵*- هیچ کارمند بی‌دقت یا ظالم نمی‌تواند موفق شود. کارمندهای ظالم وجود دارند. بعضی کارمندان بی‌دقت هستند. بنابراین هیچ کارمندی نمی تواند موفق شود (Sx وTx وIx وEx)

۶- چیزی نیست که از طلا ساخته شود و گران نباشد. هیچ اسلحه‌ای از نقره ساخته نمی‌شود. نه همه اسلحه‌ها گران هستند. بنابراین نه هرچیزی از طلا یا نقره ساخته شده است. (Sx وWx وEx وGx)

۷- چیزی نیست که از حلب ساخته شده باشد و ارزان نباشد. هیچ حلقه از مس ساخته نشده است. بنابراین نه همه حلقه ها ارزانند (Lx وRx وCx وTx)

۸- بعضی مشت‌زن‌ها حرفه‌ای پرخاشگر ولی باهوش نیستند. همه مشت‌زن‌های حرفه‌ای دستکش می‌پوشند. هر مشت‌زن پرخاشگر است. بنابراین چنین نیست که همه مشت‌زن‌ها دستکش بپوشند. (Sx وGx وIx وAx وPx)

۹- بعضی عکاس‌ها ماهرند اما خلاق نیستند. فقط هنرمندان عکاس‌اند. عکاس‌ها نه همه ماهرند. هر کارگر حرفه‌ای ماهر است. بنابراین نه هر هنرمند یک کارگر حرفه ای است. (Jx وAx وIx وSx وPx)

۱۰*- فقط کتابی جذاب است که خوب نوشته شده باشد. یک کتاب خوب نوشته شده است اگر جذاب باشد. بنابراین هر کتابی هم جذاب است و هم خوب نوشته شده است، چنانچه جذاب یا خوب نوشته شده باشد (Wx وIx وBx))

د: برای تمرینات زیر مانند (تمرین ج) عمل کنید.

۱*- همه شهروندان که خائن نیستند حاضرند. همه مسئولین شهروند هستند. بعضی مسئولین حاضر نیستند. بنابراین خیانت‌کار وجود دارند. (Ox وPx وTx وCx)

۲- دکترها و وکیل‌ها افراد حرفه‌ای هستند. افراد حرفه‌ای و اجرائی مورد احترام هستند. بنابراین دکترها مورد احترام هستند (Rx وEx وPx وLx وDx)

۳- فقط وکلا و سیاستمداران عضو هستند. بعضی اعضا فارغ‌التحصیل دانشگاه نیستند. بنابراین بعضی وکلا فارغ التحصیل دانشگاه نیستند. (Cx وMx وPx وLx)

۴- همه ارزان شده‌ها معیوب یا از مد افتاده هستند. هیچ معیوبی ارزش خریدن ندارد. بعضی اقلام ارزان شده ارزش خریدن دارند. بنابراین بعضی ارزان شده‌ها از مد افتاده هستند.

۵*- بعضی الماس‌ها بعنوان زیور بکار می‌روند. فقط چیزهایی که بعنوان جواهر پوشیده شوند یا بعنوان وسیله آرایش مصرف ‌شوند زیور هستند. الماس‌ها هرگز بعنوان وسیله آرایش بکار نمی‌روند. هیچ چیز بعنوان جواهر بطور شایسته پوشیده نمی‌شود، اگر کاربرد صنعتی داشته باشد. بعضی الماس‌ها کاربرد صنعتی دارند. بنابراین بعضی الماس‌ها بطور شایسته بکار نمی‌روند (Ix وPx وCx وJx وOx وDx)

۶- هیچ نامزد که توسط کارگران تأیید شده باشد یا مورد مخالفت سناتورها باشد نمی‌تواند درباره تقسیم زمین‌ها رأی دهد. کسی نمی‌تواند انتخاب شود که در مورد تقسیم زمین‌ها رأی ندهد. بنابراین هیچ نامزدی که توسط کارگران تأیید شده است نمی‌تواند انتخاب شود. (Ex وFx وOx وLx وCx)

۷- هیچ فلزی که بدرستی حرارت‌داده شده باشد خرد شدنی نیست. هیچ برنج بدرستی حرارت داده نمی‌شود مگر غوطه‌ور در روغن باشد. بعضی از جاسیگاری‌های روی قفسه از برنج هستند. همه چیزهای روی قفسه خردشدنی هستند. برنج یک فلز است. بنابراین بعضی جاسیگاری‌ها غوطه‌ور در روغن نشده‌اند. (Mx : x یک فلز است ؛ Fx : x خرد شدنی است؛ Tx : x بدرستی حرارت داده شده است؛ Bx : x برنج است؛ Ox : x حمام روغن داده است، Ax : x یک جا سیگاری است؛ Sx : x روی قفسه است

 ۸- هرکس که در انجمن نامزدها را می‌شناسد در صورت مجاز بودن می‌تواند به آنها رأی دهد. هر کس در انجمن مجاز است به نامزدها رأی دهد مگر آنهائیکه توسط کمیته مرکزی مجاز نباشند یا متعهد به پشتیبانی از دیگران باشند. همه در انجمن نامزدها را می‌شناسند. هیچ کس که نامزدها را می‌شناخت متعهد به پشتیبانی از کس دیگری نبود. نه همه کس در انجمن به نامزدها رأی دادند . بنابراین کمیته مرکزی به بعضی اعضای انجمن دستور داده بود که به نامزدها رأی ندهند. (Cx : x در انجمن است ؛ Kx : x نامزدها را می شناسد ؛ Vx : x نه نامزدها رأی می دهد؛ Fx : x برای رأی به نامزدها مجاز است، Ix : به x توسط کمیته مرکزی دستور داده شده است که به نامزدها رأی ندهد؛ Px : x متعهد به پشتیبانی از افراد دیگری است.)

 ۹- همه منطقدانان متفکران ژرف و نویسندگان مؤثر هستند. برای نوشتن مؤثر، چنانچه مخاطبان عام هستند باید مقتصدانه و یا جامع نوشت چنانچه مخاطب فنی است. هیچ ژرف‌اندیش مخاطب فنی ندارد، اگر توان‌داشتن مخاطب عام را داشته باشد. بعضی منطق‌دانان بجای مقتصدانگی جامع هستند. بنابراین نه همه منطقدانان توانایی دستی‌یابی به مخاطب عام را دارند. (Lx : x یک منطقدان است؛ Dx :x ژرف اندیش است؛ Wx : x نویسنده مؤثر است؛ Fx : x مقتصدانه است، Gx : مخاطب x عام است ؛ Cx : x جامع است؛ Tx : مخاطب x فنی است؛ Ax ؛ x توانایی رسیدن به مخاطب عام را دارد.

۱۰*. خلاف کاری به عمارت راسل دستبرد زده است. هرکس که به عمارت راسل دستبرد زده باشد یا از میان خدمتکاران همدست داشته یا بزور وارد شده است. برای بزور واردشدن یا باید در را شکست یا قفل را درآورد. فقط یک خبره قفل‌ساز می‌تواند قفل را دربیاورد. اگر کسی در را می‌شکست باید صدای آن شنیده می‌شد. هیچ کس صدایی نشنیده است. اگر خلاف‌کاری که به عمارت راسل دستبرد زده نگهبان را فریب داده باشد باید هنرپیشه قابلی باشد. کسی نمی‌تواند به عمارت راسل دستبرد زده باشد مگر نگهبان را فریب داده باشد. هیچ خلاف‌کاری نمی‌تواند هم خبره‌ قفل‌ساز و هم هنرپیشه قابل باشد. بنابراین یک خلاف‌کار در میان خدمتکاران همدست دارد. (Cx :x یک خلاف کار است؛ Rx : x به عمارت راسل دستبرد زده است؛ Sx : x بین خدمتکاران همدست دارد؛ Bx : x بزور وارد شده است؛ Dx : x در را شکسته است؛ Px : x قفل را در آورده است؛ Lx : x یک قفل ساز خبره است؛ Hx : x چیزی شنیده است؛ Fx : x نگهبان را گول زده است ؛ Ax : x یک هنرپیشه قابل است)

 ۱۱- اگر چیزی گران است هم ارزشمند است و هم کمیاب. هر چه که ارزشمند است خواستنی و هم گران است. بنابراین اگر چیزی ارزشمند یا گران باشد باید هم گران و هم ارزشمند است. (Ex : x گران است؛ Vx : x ارزشمند است ؛ Rx : x کمیاب است؛ Dx : x خواستنی است.)

۱۲- انجیر و انگور سلامت آور هستند. هیچ چیز سلامت آور نکوهیده یا بی‌لطافت نیست. بعضی انگورها بی‌لطافت و ریز هستند. بعضی انجیرها ریز نیستند. بنابراین بعضی انجیرها بی‌لطافت هستند. (Fx : x یک انجیر است؛ Gx : x یک انگور است؛ Hx : x سلامت آور است؛ Ix : x نکوهیده است؛ Jx : x بی لطافت است ؛ Kx : x ریز است.

۱۳- انجیز و انگور سلامتی‌آور هستند. هیچ چیز سلامتی‌آور هم نکوهیده و هم بی‌لطافت نیست. بعضی انگورها بی‌لطافت و ریز هستند. بعضی انجیرها ریز نیستند . بنابراین بعضی انجیرها نکوهیده نیستند.

۱۴- طلا قیمتی است. حلقه‌ها زیور هستند. بنابراین حلقه طلا زیور قیمتی است. (Gx : x طلا است؛ Vx : x قیمتی است؛ Rx : x حلقه است؛ Ox : x زیور است.)

۱۵*- پرتقال شیرین است. لیمو ترش است. بنابراین پرتقال و لیمو شیرین یا ترش هستند. (Ox : x یک پرتقال است ؛ Sx : x شیرین است، Lx : x یک لیمو است؛ Tx : x ترش است))

۱۶- سقراط فانی است. بنابراین هر چیزی یا فانی است یا فانی نیست. (سقراط؛ Mx : x فانی است)