منطق جدید

برخی متفکران بعدازآنکه منطق را به‌عنوان "علم قوانین فکر" تعریف کردند، در ادامه گفتند دقیقاً سه قانون بنیادین برای فکر وجود دارد، قوانینی آن‌چنان بنیادی که رعایت آن‌ها برای درست بکار بردن خرد هم لازم و هم کافی است. به‌طور سنتی این سه، اینگونه نامیده می‌شوند:

• اصل این‌همانی. این ‌اصل مدعی است، اگر هر  عبارت گزاره‌ای درست باشد، پس  درست است. با استفاده از روش نمادگذاری خود می‌توان آن را این‌گونه بازآرایی کرد که، اصل این‌همانی مدعی است هر گزاره با صورت p⊃p باید درست باشد (به استلزام مادی نگاه کنید)؛ و به‌عبارت‌دیگر، هر گزاره این‌چنینی یک توتولوژی است.

• اصل امتناع تناقض. این ‌اصل مدعی است هیچ عبارت گزاره‌ای نمی‌تواند درست و هم نادرست باشد. با استفاده از روش نمادگذاری خود می‌توان آن را این‌گونه بازآرائی کرد که، اصل امتناع تناقض مدعی است هر عبارت گزاره‌ای با صورت p•~p باید نادرست باشد؛ و به‌عبارت‌دیگر، هر گزاره این‌چنینی یک تناقض است.

• اصل طرد شق ثالث (یا: اصل طرد شق وسط). این‌ اصل مدعی است هر عبارت گزاره‌ای باید درست یا نادرست باشد. با استفاده از روش نمادگذاری خود می‌توان آن را این‌گونه بازآرائی کرد که، اصل طرد شق ثالث مدعی است هر عبارت گزاره‌ای با ‌صورت p⋁~p باید درست باشد؛ به‌عبارت‌دیگر، هر گزاره این‌چنینی یک توتولوژی است.

روشن است که این اصل‌ها درست هستند و نیز بیان این سه اصل به‌ عنوان عبارت‌های گزاره‌ای تابع–ارزش توتولوژی (منطقاً درست) هستند.

اما، منطق جدید، دیگر به منطق به‌عنوان علم «قوانین فکر» نگاه نمیکند. بعد از کارهای پیشگامانهِ به ویژه فرگه، راسل، وایتهد و نیز ویتگنشتاین به منطق به‌عنوان بررسی روش‌ها و اصول تمیز استدلال صحیح از غلط نگاه میشود. همانطور که در این فصل دیدیم و نیز در فصل بعد خواهیم دید، این بررسی متمرکز بر روابط منطقی بین گزاره‌ها و بویژه روابط استنتاجی بین یک یا بیشتر مقدمه و یک نتیجه است. پرسش بنیادی منطق چنین است: آیا نتیجه به ضرورت از مقدمات بدست می‌آید؟ و در اینجاپرسش چنین است که: چنانچه این سه قوانین فکر نباشند، آنگاه و با این وجود، آیا آن‌ها هنوز نقش ممتاز در منطق یا در شاکله سرشت منطق دارند؟

در دوره ۱۸۷۹ تا ۱۹۱۳، یعنی دوره‌ای که منطق جدید پدید می‌آمد، فرگه، راسل و وایتهد بر آن بودند تا همه منطق [و همه ریاضی (راسل و وایتهد) یا بیشترِ ریاضی (فرگه)] را بر پایه تعداد محدود (و در صورت ممکن بدیهی) اصول موضوعه منطقی بنا نهند. هدف آن‌ها ارائه تعداد کافی اصل موضوع یا "گزاره‌های ابتدایی" بود، آنگونه که از آن‌ها بتوان همه درستی‌های منطقی را اثبات کرد. راسل و وایتهد در اثر تاریخی سه جلدی خود اصول ریاضی Principia Mathematica (۱۹۱۰–۱۹۱۳)، شش توتولوژی تابع–ارزش را به‌عنوان اصول موضوعه حساب گزاره‌های خود ارائه و ادعا می‌کنند فقط این شش "که تا اندازه‌ای انتخابی-دلخواه هستند" را باید توسط "بسندگی" خودشان در امکان اثبات درستی‌های منطقی، و "انسجام" آن‌ها، یا با این واقعیت که "نباید منجر به تناقض شوند" قضاوت کرد. آن‌ها بلافاصله اعلام کردند که قانون طرد شق وسط و قانون امتناع تناقض (همراه با اکثر قواعد جایگزینی آمده در فصل ۱۰ این کتاب) "از جمله مهمترین" درستی‌های منطقی است که از اصول موضوعه بدست می‌آیند؛ و در ادامه کارشان نیز چنین نیز کردند و هر دو را بدست آوردند. 

راسل در کتاب مسائل فلسفه (۱۹۱۲) می‌گوید، "به دلایلی نه چندان خوب، این سه اصل ["منطقاً بدیهی"] بطور سنتی تحت نام "قوانین اندیشه" متمایز شده‌اند، و بعد از فهرست کردن آن‌ها ادامه می‌دهد "این سه قانون نمونه‌هایی از اصول منطقی بدیهی هستند، اما و درواقع، آن‌ها بنیادی‌تر یا بدیهی‌تر از اصول گوناگون دیگر نیستند.[۱۵]" از زمان تحلیل ویتگنشتاین از تابع-ارزش بودن و استنتاج تابع-ارزشی  در تراکتاتوس [ Tractatus LogicoPhilosophicus (۱۹۲۱, ۱۹۲۲)]، منطق جدید ابزار آمده در این فصل را در اختیار دارد تا نشان دهد راسل درست می‌گفت که اصول موضوعه آمده در "اصول ریاضی" و این سه قانون اندیشه نه بیشتر توتولوژی و نه بیشتر  درست بدیهی از توتولوژی‌های تابع-ارزشی دیگر هستند. همه توتولوژی‌های تابع-ارزش، برای هر ترکیب مقادیر ارزش منتسب به گزاره‌های ساده متشکله آن‌ها، درست هستند. این واقعیت مهم نشان می‌دهد، بدیهیات ــ چه حقیقی و چه وهمی یا کارکردی شناختی از فهم معنا ــ به تمامی در منطق غیرضروری هسند. آنچه در یک دستگاه منطقی مهم است، مانند آنچه در این فصل و فصل بعدی نشان داده شد و می‌شود، تمامیت گویایی [ expressively complete] است (یعنی، هر تابع-ارزش بوسیله نمادهای دستگاه ساختنی است) و نیز اینکه دارای تمامیت استنتاجی است؛ یعنی قابل استنتاج توسط قواعد است (در این کتاب با نوزده قواعد استنتاج و قاعده جایگزینی).

این واقعیت که تمام توتولوژی‌های تابع-ارزشی بطور یکسان توتولوژی هستند این پرسش را که بعضی توتولوژی‌ها از بعضی دیگر مهم‌تر هستند یا سرشت بنیادی منطق را بیشتر از بقیه توتولوژی‌ها در نظر می‌گیرند را سرانجام نمی‌دهد. برای ۶۵ سال و ۱۵ چاپ، کتاب مقدمه به منطق در همین قسمت به درستی خاطر نشان کرده که این سه اصل ــ اصل اینهمانی، اصل طرد شق وسط و اصل امتناع تناقض ــ راهمای ساختن جداول ارزش است، از جمله جداول ارزش تعریفی برای تعریف ترکیب عطفی، نقیض، ترکیب فصلی، استلزام مادی و هم‌ارزی مادی.

ما اینجا، این اصول را در تکمیل جداول ارزش بکار می‌بندیم. مطابق با اصل طرد شق ثالث در ستون‌های آغازین جدول، با توجه به اصل طرد شق ثالث، یک T یا یک F قرار می‌دهیم. در هیچ کجا از جدول، با توجه به اصل امتناع تناقض، T و F  را باهم قرار نخواهیم داد. و هرگاه در یک سطر داده‌شده برای یک نماد T قراردادیم، آنگاه وقتی با آن نماد در سایر سطرها و ستون‌ها روبرو شدیم، چنین فرض می‌گیریم که، با توجه به اصل این‌همانی، به آن نماد هنوز T نظیر شده. ما به دلیل سرشت بنیادی گزاره‌ها، و درستی و نادرستی، جدول ارزش را اینگونه ساختیم که: یک گزاره باید درست یا نادرست، و نه درست و هم نادرست، باشد.  آنچه در فصل ۹ در باره جدول ارزش آمد و آنچه در این فصل در بار برهان اعتبار آمد، هر دو بر پایه این درستی‌های بنیادین استوار هستند.  استنتاج منطقی معتبر، مبحث اصلی منطق و این کتاب، مستلزم آن است که هر گزاره درست یا نادرست باشد (طرد شق وسط، یا دو ارزشی بودن) و نه درست و هم نادرست بودن (امتناع تناقض).  بنابراین کاملاً آشکار است که اصل طرد شق وسط و اصل امتناع تناقض بخشی از ساخت منطق هستند.

البته، بررسی سرشت این اصول و چرایی پایبندی منطق به آن‌ها از حوصله این کتاب خارج است. با این حال، می‌دانیم و می‌توانیم بگوییم که منطق ایجاب می‌کند هر گزاره دارای یک مقدار ارزش (از دو مقدار ارزش ممکن) و تنها یک مقدار ارزش باشد.

جالب است در همان زمان که منطق جدید "کلاسیک" به‌عنوان یک سیستم استنتاجی با یک معناشناسی کامل و کاملاً دقیق از نظر تابع-ارزشی تکمیل می‌شد، منطق‌دانان و ریاضی‌دانان دستگاه‌های منطقی غیراستاندارد (یا "دستگاه‌های غیر کلاسیک" منطق) را ارائه کردند[۱۶]. برای مثال، هنگام اثبات تمامیت حساب گزاره‌ها در اصول ریاضی (Principia Mathematica) پل برنیز (Paul Bernays - 1918) و امیل پست (Emil Post 1921) بطور مستقل در این فکر بودند[۱۷] که اگر سه یا چند مقدار ارزش پذیزفته شود چه گونه دستگاه‌هایی به وجود خواهد آمد و از اینجا بود که منطق‌های ۳-ارزشی و  n-ارزشی پدید آمدند.

 در جبهه‌ای کاملاً متفاوت، ریاضیدان هلندی بروئر (L. E. J. Brouwer) اصرار داشت که باید کاربرد اصل طرد شق وسط در منطق ریاضی محدود شود، که از آن صوری‌سازی مستقل منطق شهودی (Intuitionistic Logic)، بین سالهای ۱۹۲۵ تا ۱۹۳۰، توسط V. Glivenko ، A. Kolmogorov و A. Heyting برکشیده شد[۱۸].

به فاصله کوتاهی پس از آن و درست پس از نظریه‌های سیستماتیک موجی و ماتریسی مکانیک کوانتومی (Wave and Matrix Theories of Quantum Mechanics) در دهه ۱۹۲۰، جان فون نویمان و گرت بیرخوف (Garrett Birkhoff) دستگاه منطق کوانتومی را پیشنهاد کردند که در آن قانون پخش پذیری ناپذیرفته بود (به قاعده جایگزینی، پخش پذیری، در فصل ۱۰ مراجعه کنید).

حتی زودتر در ۱۹۱۲[۱۹] لویس (C. I. Lewis) استفاده راسل از "استلزام" و استلزام مادی را نپذیرفت و آن را با  استلزام بسمند (strict implication) و منطق مدال جایگزین کرد.

بنابراین، از میانه ظهور منطق جدید، منطق دانان و ریاضیدانان افزونه‌هایی را برای منطق گزاره‌ای محض و محمولات کلاسیک (یعنی منطق ارائه شده در این کتاب در فصل‌های ۹ تا ۱۱)، از جمله منطق گذر (Temporal/Tense Logics) و منطق‌های معرفتی (Epistemic Logics) و نیز متفاوت از منطق کلاسیک، ازجمله "منطق‌های ناهنجار"[۲۰] (Deviant Logics) چون منطق شهودی، منطق کوانتمی و منطق‌های فراسازگارــ Paraconsistent Logic (که در آن امتناع تناقض بگونه‌ی اداره شدنی ناپذیرفته است)  ارائه کرده‌اند.

گسترش منطق کلاسیک به قصد کامل کردن منطق برای در حیطه درآوردن همه استدلال‌های معتبر است. این فصل و فصل بعدی، هسته منطق منطق گزاره‌ای را ارائه می‌کند و بسیاری صورت‌های استدلال معتبر که در حیطه منطق قیاسی ارسطویی نیست، همچنین بیشتر صورت‌های استدلالی را که منطق قیاسی ارسطویی شامل آن می‌شود، را دربر می‌گیرد. اما منطق گزاره‌ای کامل نیست. به همین خاطر، در فصل یازده فصل‌های ۹ و ۱۰ را از طریق سورگذاری، گسترش خواهیم داد تا منطق محمولات مرتبه اول را نیز شامل شود. این پرسش که آیا منطق محمولات مرتبه اول، که تمامیت آن توسط کورت گدل اثبات و در پایان نامه Ph.D وی در ۱۹۳۰ ارائه گردید، نیاز به گسترش بخاطر این یا آن دلیل دارد، خود پرسشی جذاب و دامنه دار فلسفی است که نمی‌‌توان در این کتاب بدان پرداخت. بهرحال و آنچه به نظر آشکار می‌رسد، ۱۴۰ سال پس از فرگه و مفهوم-نگاری (Begriffsschrift) وی، فیلسوفان و منطق‌دانان هنوز منطق استاندارد یا کلاسیک گزاره‌ای و محمولات را همچون منطقی برای استدلال در باره جهان فیزیکی می‌دانند. گزاره‌ها درباره جهان فیزیکی، در زمان حال یا گذشته، می‌باید درست یا نادرست باشند، و هیچ گزاره نمی‌تواند هم درست و هم نادرست باشد، چراکه هیچ حالت یا واقعیت تکین نمی‌تواند هم [درست] باشد و هم  [درست] نباشد. تعریف "اعتبار"، یعنی اینکه یک استدلال استنتاجی معتبر‌ نمی‌تواند همه مقدمات درست را داشته و نتیجه نادرست داشته باشد، یک نظریه استنباطی را ارائه می‌دهد که با عبارت‌های گزاره‌ای ما در باره  واقعیت و دانشی که در باره واقعیت داریم و بدست می‌آوریم، در توافق است. از این روی، گرچه پیروی از سه اصل منطق شرط لازم و کافی برای تفکر صحیح نیست، اما این درست است که پایبندی به سه اصل منطق برای استنباط صحیح (معتبر) ـ توصیف صحیح توتولوژی‌ها، تناقض‌ها و عبارت‌های گزاره‌ای محتمل (contingent statements) لازم است.

شایان توجه است که در این باره، بین افلاطون و ارسطو موافقت قابل ملاحظه وجود دارد. افلاطون صریحاً به اصل امتناع تناقض در کتاب چهارم جمهوری خود (در بندهای ۴۳۶ و ۴۳۹) استناد جسته؛ ارسطو نیز هر سه این اصول را در کتاب‌های چهارم و یازدهم متافیزیک خود موردبحث قرار داده. ارسطو درباره اصل امتناع تناقض می‌نویسد "اینکه یک ویژگی یکسان دریک زمان و یک‌جهت نمی‌تواند متعلق به یک موضوع باشد و نباشد" خود یک اصل است "که همه باید همراه با آن باشند. و شامل همه‌چیزهاست" و "هر آنکه که به دانش آغازد باید از قبل آن را داشته"، وی این‌گونه به جملات خود خاتمه می‌دهد، "قطعی‌ترین همه اصول". بنابراین، فارغ از اینکه اینها «سه قانون اندیشه» هستند یا نیستند؛ آن‌ها اصولی‌اند که ماهیت منطق ــ یعنی منطق کلاسیک ــ  از منطق قیاسی ارسطویی تا منطق کلاسیک مدرن را معین می‌کنند.

پانوشت‌ها:

---

[۱۵]- :

Bertrand Russell, The Problems of Philosophy (Oxford: Oxford University Press, 1998 (1912)), Chapter VII, p. 40.

[۱۶]- در واقع، گرهارد جنزن  در کار اصلی خود در مورد "استنتاج طبیعی" (Gentzen ، 1935) ــ که سیستم استنتاج طبیعی این کتاب بر آن استوار است ــ از سیستم منطق گزاره‌ها و منطق محمولات فرگه-راسل به‌عنوان "منطق کلاسیک"یاد می‌کند و صراحتاً آن را در مقابل منطق پنج ساله شهودی (intuitionist) آرند هیتینگ (Arend Heyting) قرار میدهد. به همین ترتیب، گرت بیرخوف (Garrett Birkhoff) و جان فون نویمان (John von Neumann) در (۱۹۳۶) به همان شیوه مدعی میشوند که "مکانیک کوانتومی بر منطق کلاسیک منطبق نیست" (ص ۸۲۳).

[۱۷]- در:

“Introduction to a General Theory of Elementary Propositions” (American Journal of Mathematics, Vol. 43, Issue. 3, 1921, pp. 163–185),

[۱۸]- امیل پست صراحتاً از منطق m-ارزشی خود به "منطق نا-ارسطویی" اشاره (ص. ۱۶۴) و آن را با هندسه نا-اقلیدسی مقایسه کرد.

[۱۹]- برای دیدن بعضی ترجمه‌های کلیدی مقالات Brouwer, Glivenko, Kolmogorov, Heyting به مورد زیر رجوع کنید.

Paolo Mancosu, From Brouwer to Hilbert (Oxford: Oxford University Press, 1998).

[۲۰]- در:

  W. V. O. Quine used the term “Deviant Logic” in his Philosophy of Logic (Cambridge, MA: Harvard University Press, 1970), pp. 80ff.