هم‌ارزی منطقی

در این قسمت ما نه یک رابط، بلکه یک رابطه مهم و بسیار مفید را معرفی می‌کنیم و آنگونه که خواهیم دید از رابط‌های تابع ارزش بررسی‌شده پیشین پیچیده‌تر است.

گزاره‌ها وقتی هم‌ارزی مادی هستند که دارای ارزش یکسان باشند. با توجه به آنکه دو گزاره هم‌ارز مادی هردو درست یا هردو نادرست هستند، بسادگی می‌توان دریافت آنها باید (به‌طور مادی) مستلزم یکدیگر باشند، زیرا یک مقدم نادرست مستلزِم ‌مادی هر گزاره‌ای‌ است و یک تالی درست می‌تواند لازم شده [مستلزَم] ‌مادی هر گزاره‌ای باشد. به همین علت هم است که نشان سه خط، ≡، را به‌صورت "اگر و فقط اگر" می‌خوانیم. جدول ارزش زیر، از قسمت قبل، آشکارا این واقعیت را نشان می‌دهد که p≡q تنها وقتی درست است که p و q مقدار ارزش یکسانی داشته باشند.

اکنون باید روشن باشد که نمی‌توان گزاره‌ها‌یی که صرفاً هم‌ارز مادی هستند جایگزین یکدیگر کرد، آنچه ما از گزاره‌های هم‌ارز مادی می‌فهمیم فقط این است که مقدار ارزش آنها یکسان هستند. گزاره‌های «مشتری از زمین بزرگ‌تر است» و «توکیو پایتخت ژاپن است» هم‌ارز مادی هستند، زیرا هردو درست هستند. اما آشکار است که آنها قابلیت جایگزیتی با یکدیگر را ندارند. به همین ترتیب، گزاره «همه‌ی عنکبوتان سمی هستند» و «هیچ عنکبوتی سمی نیست» صرفاً ازاین‌جهت که هردو نادرست هستند هم‌ارز مادی هستند و البته نیز روشن است که نمی‌توان آنها را جایگزین یکدیگر کرد.

اما موقعیت‌های بسیاری هست که باید رابطه‌ای معرفی شود تا به جایگزینی دوسویه مجوز دهد. دو گزاره می‌توانند به معنایی قوی‌تر ازآنچه هم‌ارزی مادی می‌گوید، هم‌ارز باشند. آنها می‌توانند هم‌ارز منطقی باشند به این معنی که برای هر ترکیبی از مقادیر ارزش اجزای ساده تشکیل دهنده خود دقیقاً همان مقدار ارزش را داشته باشند. این، تعریف زیر را از هم‌ارزی منطقی به دست می‌دهد:

دو صورت گزاره‌ای منطقاً هم‌ارز هستند اگر و فقط اگر آنها برای هر ترکیبی از مقادیر ارزش برای متغیرهای گزاره‌ای تشکیل دهنده خود مقدار ارزش یکسان داشته باشند.

صورت گزاره‌ای زیر را در نظر بگیرید

p ⊃ p

و نیز صورت گزاره‌ای زیر را

~p ∨ p

این دو گزاره همانطور که جدول ارزش زیر نشان می‌دهد منطقاً هم‌ارز هستند.

می‌توان دید برای هر یک از چهار ترکیب مقادیر ارزش برای p و q، p⊃q و ~p∨q مقدار ارزش یکسانی دارند. برای مثال، وقتی p نادرست و q درست است (سطر ۳)، p⊃q درست است و ~p∨q نیز درست است. مثل همین در حالات ترکیب‌های باقیمانده مقادیر ارزش برای متغیرهای گزاره‌ای p و q برقرار است.

خواننده می‌تواند تعریف ما از تعریف استلزام مادی را در ابتدای این فصل به بیاد آورد ما صورت:

p ⊃ q

بعنوان کوتاه شده صورت زیر تعریف کردیم:

~(p • ~q).

این ممکن بود زیرا p⊃q منطقاً هم‌ارز ~(p•~q) است، همانطور که جدول ارزش زیر آن را نمایان می‌کند.

می‌توان دید برای هر یک از چهار ترکیب مقادیر ارزش برای p و q، سه صورت گزاره‌ای در سه ستون آخر — p⊃q و ~p∨q و ~(p•~q) - مقدار ارزش یکسان دارند. هر یک از این سه صورت گزاره‌ای بطور منطقی هم‌ارز دو صورت دیگر است. این امر آنچه را در بخش ۹.۳ گفته شد روشن می‌کند:

یک استلزام مادی «اگر p، آنگاه q»، یعنی p⊃q از نظر منطقی هم‌ارز انکار درستی مقدم آن و نادرستی تالی آن است (~(p•~q))، که منطقاً هم‌ارز این ادعا است که یا مقدم نادرست است یا تالی درست است، که این یعنی: (~p∨q).

این هم‌ارزی‌‌های منطقی به این معناست که هر یک از این صورت‌های گزاره‌ای را می‌توان جایگزین یکی از صورت‌های دیگر در یک عبارت گزاره‌ای کرد، و هر یک را می‌توان از یکی دیگر در اثبات اعتبار انتاج کرد (به فصل ۱۰، قواعد جایگزینی مراجعه کنید).

هم‌ارزی منطقی هم‌ارزی مادی نیست، اما پیوند گیرایی بین این دو است. برای هر هم‌ارزی مادی مانند

(p ⊃ q) ≡ ( ~p ∨ q).

با کار زدن جدول ارزش می‌توان مقدار ارزش آن را برای هر ترکیب مقدار ارزش p و q تعیین کرد.

این جدول ارزش نشان می‌دهد که هم‌ارزی مادی (p⊃q)≡(~p∨q) برای هر ترکیبی از مقادیر ارزش برای p و q درست است. از آنجایی که هر دو صورت گزاره‌ای منطقاً هم‌ارز، مقادیر ارزش یکسان را برای ترکیبات یکسانی از مقادیر ارزش برای متغیرهای گزاره‌ای خود دارند، گزاره هم‌ارز مادی آنها برای هر ترکیبی از این گونه درست خواهد بود، و از این رو، گزاره هم‌ارز مادی آنها یک توتولوژی است. به عبارت دیگر، اگر دو صورت گزاره‌ای منطقاً هم‌ارز باشند، این گزاره که مقدار یکسانی دارند، خود لزوماً درست است. این واقعیتِ تعریف هم‌ارزی گونه دومی تعریف را برای هم‌ارزی منطقی به دست می‌دهد:

 دو گزاره منطقاً هم‌ارز هستند اگر و تنها اگر گزاره هم‌ارز مادی آنها یک توتولوژی باشد.

 برای بیان این رابط منطقی بسیار قوی، از سه خطی با یک T کوچک بلافاصله بالای آن، یعنی استفاده می‌کنیم، که نشان می‌دهد دو صورت گزاره‌ای (یا گزاره) منطقاً هم‌ارز هستند - و نیز نشان می‌دهد هم‌ارزی مادی دو گزاره یک توتولوژی است. از آنجا که هم‌ارزی مادی خود یک دو شرطی است (دو گزاره بر یکدیگر دلالت دارند)، می‌توان نماد هم‌ارزی منطقی، یعنی ، را به عنوان گویاگر یک دوشرطی توتولوژیک در نظر گرفت.

بعضی هم‌ارزی‌های منطقی که بسیار نیز بکار می‌روند این رابطه و توانمندی فوق‌العاده آن را نشان می‌دهند. این معمول است که p و p~~ هردو معنی یک چیز را بدهند، «او از سختی‌ها آگاه است» و «او از سختی‌ها ناآگاه نیست» دو گزاره با محتوی یکسان هستند. درواقع هریک از این دو میتوانند با دیگری جایگزین شوند، زیرا هردو یک چیز می‌گویند. این اصل که موسوم به نقض دوگانه است و درستی آن بر همگان آشکار است، را می‌توان در یک جدول ارزش که نشان میدهد هم‌ارزی مادی این دو صورت گزاره‌ای یک توتولوژی است، نمایان ساخت.

این جدول نشان می‌دهد که p و p~~ منطقاً هم‌ارز هستند. این هم‌ارزی بسیار سودمند یعنی نقض دوگانه به شیوه زیر نمادین می‌شود.

 p ~~p

تفاوت بین هم‌ارزی مادی از یک‌سو و هم‌ارزی منطقی از دیگر سو بسیار ژرف و بااهمیت است. اولی، یعنی ≡، یک رابط تابع ارزش است که با توجه به درستی و نادرستی پیوست‌های ربط داده‌شده، می‌تواند درست یا نادرست باشد، اما دومی، یعنی هم‌ارزی منطقی ()، صرفاً یک رابط نیست، بلکه گویاگر یک رابطه میان دو گزاره نیز هست که تابع-ارزش نیست. دو گزاره وقتی منطقاً هم‌ارز هستند که مطلقاً ممکن نباشد دارای مقادیر ارزش متفاوت باشند — یعنی، اگر و فقط اگر آنها دارای جداول ارزش یکسان برای هر ترکیب مقدار ارزش برای متغیرهای گزاره‌ای خود باشند. اما اگر آنها همیشه ارزش درستی یکسانی داشته باشند، گزاره‌های منطقاً هم‌ارز می‌توانند جایگزین یکدیگر در هر گزاره تابع-ارزشی بدون تغییر ارزش درستی آن گزاره شوند. برعکس، دو گزاره که هم‌ارز مادی هستند صرفاً از قرار حادثه است که دارای مقدار ارزش یکسان شده‌اند، حتی اگر هیچ ارتباطی مبتنی بر واقعیات نیز بین آنها نباشد. گزاره‌هایی که فقط هم‌ارز مادی هستند را قطعاً نمی‌توان جانشین یکدیگر کرد!

دو هم‌ارزی منطقی (یعنی دو دوشرطی منطقاً درست) معروف و مهم وجود دارند و این اهمیت از آن روی است که آنها بیانگر روابط بین ترکیب عطفی و ترکیب فصلی و همچنین نقیض آنها هستند. بنابراین، این دو هم‌ارزی منطقی را از نزدیک بررسی خواهیم‌ کرد.

در ابتدا می‌پرسیم: چگونه باید درستی یک ترکیب فصلی را انکار کرد؟ هر ترکیب فصلی p⋁q چیزی بیش از این نمی‌گوید که حداقل یک فصل آن درست است. کافی ‌نیست با گفتن آنکه حداقل یکی از این فصل‌ها نادرست هست، آن را انکار کرد؛ بلکه (برای انکار آن) باید گفت هر دو فصل نادرست هستند. بنابراین پذیرش نقیض ترکیب فصلی p⋁q منطقاً هم‌ارز است با پذیرش عطف نقیض p و نقیض q. برای نشان دادن این مطلب با جدول ارزش، این دوشرطی را به‌صورت:

~(p⋁q) ≡ (~p•~q)

پیکربندی و آن را در بالای جدول و در ستون مخصوص خود قرار داده، سپس جدول ارزش را برای همه حالات ممکن در هر سطر پر می‌کنیم:

همان‌طور که دیده ‌می‌شود، این دوشرطی برای هر مقدار ارزش p و q، هرچه می‌خواهند باشند، باید درست باشد. این، یک توتولوژی است. چون گزاره این هم‌ارزی یک توتولوژی است، نتیجه می‌گیریم این دو عبارت منطقاً هم‌ارز هستند. آنچه انجام دادیم درواقع اثبات آن بود که:

~(p⋁q) (~p•~q)

به همین روش و ازآنجاکه پذیرفتن ترکیب عطفی p و q عبارت از پذیرفتن درستی هردو است، برای نقض این پذیرش فقط نیاز است بپذیریم حداقل یکی از آنها نادرست است. بنابراین پذیرفتن نقیض ترکیب عطفی (p•q)، منطقاً هم‌ارز پذیرفتن ترکیب فصلی نقیض p و نقیض q است. با استفاده از نماد در جدول ارزش می‌توان دید که:

~(p • q) (~p ⋁ ~q)

یک توتولوژی است.

این دو دوشرطی‌های توتولوژیک یا به‌عبارت‌دیگر هم‌ارزی‌های منطقی مشهور به قضیه‌های دمورگان هستند، زیرا آنها رسماً توسط ریاضیدان و منطقدان آگوستوس دمورگان (Augustus De Morgan 1806-1871) معرفی‌شده‌اند. قضایای دمورگان را می‌توان در زبان فارسی به‌صورت زیر پیکربندی کرد.

آ. نقیض ترکیب فصلی دو گزاره منطقاً با ترکیب عطفی نقیض آن دو گزاره هم‌ارز است.
ب. نقیض ترکیب عطفی دو گزاره منطقاً یا ترکیب فصلی نقیض آن دو گزاره هم‌ارز است.

این دو قضیه دمورگان بسیار سودمند هستند.

در پایان قسمت ۸.۸ (ج) یادآور شدیم که دوشرطی A≡B منطقاً هم‌ارز است با عطف دو گزاره شرطی، یعنی (B⊃A)•(A⊃B). اکنون می‌توانیم نشان دهیم که صورت‌های گزاره‌ای نوعی متناظر آنها منطقاً هم‌ارز هستند.

این جدول ارزش بازمی‌نماید که عطف دو شرطی (یعنی "دوشرطی")

(«p اگر و فقط اگر q»)   (q⊃p)•(p⊃q)

و عطف این دو به ترتیب وارون

(«q اگر و فقط اگر p»)   (p⊃q)•(q⊃p)

و هم‌ارزی مادی

p≡q

منطقاً هم‌ارز هستند، زیرا می‌توان دید آنها دقیقاً مقدار ارزش یکسان را برای هر ترکیبی از مقادیر ارزش برای متغیرهای عبارت-گزاره‌ای تشکیل دهنده خود دارند. بنابراین، گزاره دوشرطی A≡B دو شرطی «A اگر و فقط اگر B» را در بر می‌گیرد - یعنی B⊃A و A⊃B - همانطور که با عطف آن دو گزاره شرطی در گزاره منطقاً هم‌ارز  A⊃B)•(B⊃A)) نشان داده می‌شود. علاوه بر این، از آنجایی که صورت‌های گزاره‌ای p≡q و (p⊃q)•(q⊃p) منطقاً هم‌ارز هستند، این بدان معناست که آنها ممکن است جایگزین یکدیگر در هر زمینه تابع-ارزشی شوند، از جمله و بویژه، اثبات اعتبار، همانطور که  در فصل ۱۰ خواهیم دید.

هم‌ارزی منطقی دیگری هست که هنگام انجام اعمال روی رابط‌های تابع-ارزش بسیار مفید است. همان‌طور که پیش‌تر در این فصل دیدیم (قسمت ۹.۳)، هم‌ارزی مادی، با نماد ⊂، را به‌عنوان یک روش کوتاه برای گفتن (p•~q)~ تعریف کردیم. به‌عبارت‌دیگر، معنی "p مستلزم مادی q است" بنا بر تعریف عبارت است از اینکه چنین نیست که p درست باشد و حال‌آنکه q نادرست باشد. می‌توان در این تعریف مشاهده کرد که تعریف-گر [معرِف] یعنی (p•~q)~ عبارت است از نقیض یک ترکیب عطفی؛ و از طرفی بنا بر قضایای دمورگان میدانیم که این‌چنین انکاری منطقاً هم‌ارز ترکیب فصلی نقیض عطف‌ها است، یعنی (p•~q)~ منطقاً هم‌ارز ( p⋁~~q~) است، و با توجه به اصل نقض مضاعف و کاربرد آن، این عبارت منطقاً هم‌ارز  p⋁q~ خواهد بود.

ستون‌های سایه‌دار روشن‌تر ستون‌هایی از مقادیر ارزش یکسان را برای سه صورت گزاره‌ای منطقاً هم‌ارز نشان می‌دهد:

~(p•~q)
p⊃q
~p∨q

ستون سایه‌دار تیره‌تر ستون مقادیر ارزش را برای دو شرطی (p⊃q)≡(~p∨q) نشان می‌دهد. می‌توان دید که این دوشرطی یک توتولوژی است - p⊃q و ~p∨q مقادیر ارزش یکسان برای هر ترکیبی از مقادیر ارزش برای p و q دارند (همانطور که در ستون‌های مربوط نشان داده شده است) - به این معنی که p⊃q و ~p∨q منطقاً هم‌ارز هستند. عبارت‌های هم‌ارز منطقی معنی یک چیز هستند و بنابراین تعریف‌گر اصلی برای ⊂، یعنی (p•~q)~ را می‌توان بدون هیچ تغییر در معنی با عبارت p⋁q~ جایگزین کرد. این مطلب یک تعریف بسیار مفید از استلزام مادی را مطابق زیر ارائه می‌کند:

p⊃q منطقاً هم‌ارز ~p⋁qاست.

که آن را به‌طور نمادین می‌توان به‌صورت زیر نیز نوشت:

(~p ⋁ q) (p ⊃ q)

در پیکربندی گزاره‌های منطقی و تحلیل استدلال‌ها، به این تعریف از استلزام مادی بسیار زیاد رجوع می‌شود. اغلب، انجام تغییرات (در پیکربندی) ضرورت پیدا می‌کند و انجام این تغییرات بسیار کاراتر است اگر در گزاره‌های مورد عمل رابط‌های اصلی یکسان به‌کاررفته ‌باشند. با این تعریف ساده از ⊂، فقط نشان می‌دهیم که (~p⋁q)(p⊃q)، و بنابراین گزاره‌هایی که در آنها رابط ⊂ به‌کاررفته است به‌راحتی میتوانند با گزاره‌هایی با رابط عطفی جایگزین گردند؛ و به همین ترتیب گزاره‌ها با ترکیب فصلی را می‌توان با گزاره‌های استلزامی جایگزین نمود. زمانی که قصد داریم یک برهان صوری برای اعتبار یک استدلال استنتاجی ارائه کنیم، این‌گونه جایگزینی‌هابسیار سودمند و موردنیاز خواهد بود.

قبل از آنکه در قسمت بعد به آزمون اعتبار و بی‌اعتباری بپردازیم، شایسته است در اینجا برای بررسی بیشتر معنی استلزام مادی، توقف کوتاهی داشته باشیم. استلزام نقش مرکزی در استدلال دارد، اما همان‌طور که پیش‌تر گفتیم، واژه "مستلزم" بسیار چندمعناست. استلزام مادی، که بر اساس آن این تحلیل را قرار می‌دهیم، فقط یک برداشت و البته یک برداشت مهم از این واژه است. تعریف استلزام مادی، آن‌طور که در بالا آمد، آشکار می‌کند که وقتی در این برداشت مهم میگوییم "p مستلزم q است"، چیزی بیشتر از اینکه "q درست یا p نادرست است" را نمی‌گوییم.

تصدیق یک گزاره "اگر- آنگاه" با برداشت در بالاآمده دارای پیامدهایی است که ممکن است به نظر تناقض‌آمیز بیاید. مطابق این برداشت می‌توانیم به‌طور صحیح بگوییم «اگر یک گزاره درست است، آنگاه هرگز اره دیگری هر چه که می‌خواهد باشد، مستلزم آن است». بنابراین چون درست است که زمین گرد است پس ساخته‌شدن ماه از پنیر تازه مستلزم گرد بودن زمین است. این به نظر خیلی غریب می‌آید؛ و به‌ویژه آنکه می‌توان ادامه داد و گفت «ماه از پنیر تازه ساخته نشده است مستلزم گرد بودن زمین است». همچنین فهم دقیق استلزام مادی، ما را به‌طور صحیح وامی‌دارد تا بگوییم، "اگر یک گزاره نادرست است، آنگاه آن مستلزم هر گزاره‌ای هرچه می‌خواهد باشد است" و به دنبال آن می‌توان گفت «ماه از پنیر ساخته شده است مستلزم گرد بودن زمین است» و بسیار غریب‌تر به نظر خواهد آمد که دریابیم می‌توان گفت «ماه از پنیر ساخته شده است، مستلزم گرد نبودن زمین است»

چرا این جملات به نظر غریب می‌نمایند؟ زیر تشخیص می‌دهیم شکل زمین و پنیری بودن ماه اساساً بدون ارتباط باهم هستند. آن‌گونه که ما در زبان معمول واژه "مستلزم است" را بکار می‌بریم، یک گزاره نمیتواند مستلزم گزاره دیگری، درست یا نادرست باشد که اساساً با آن بی‌ارتباط است. این آن چیزی است که در اکثر موارد از "مستلزم است" در کاربرد عادی برای آن در نظر می‌گیریم. درعین‌حال نیز، آن گزاره‌های "تناقض‌آمیز" در پاراگراف بالا به‌واقع درست هستند و هرگز مسئله‌دار نیستند، زیرا در آنها واژه "مستلزم است" در برداشت منطقی آن یعنی "استلزام مادی" بکار گرفته‌شده است.

آنچه باید در ذهن بماند این است ‌که: معنی - یعنی موضوع بحث - به‌تمامی بی‌ارتباط با استلزام مادی است. استلزام مادی یک تابع-ارزش است. فقط مقدار ارزش (درستی / نادرستی) مقدم و تالی و نه محتوی آنها در آن مدخلیت دارند. چیز تناقض‌آمیزی در این نیست، که گفته شود یک ترکیب فصلی وقتی درست است که دارای یک فصل درست باشد. بنابراین وقتی میگوییم "ماه از پنیر ساخته شده است مستلزم گرد بودن زمین است"، می‌دانیم که این هم‌ارز منطقی با "ماه از پنیر ساخته شده است یا زمین گرد است" است - یعنی یک ترکیب فصلی که قطعاً درست است. "ماه از پنیر ساخته نشده است" که فصل اول است فارغ از آنکه گزاره دوم چه باشد، درست است. بنابراین چنین است که "ماه از پنیر ساخته شده است (به‌طور مادی) مستلزم آن است که زمین گرد است". یک گزاره نادرست مستلزم مادی هرگزاره هرچه می‌خواهد باشد، است. هر گزاره هرچه که می‌خواهد باشد مستلزم مادی یک گزاره درست است.

همان‌طور که گفتیم، باید با هر رویداد "اگر – آنگاه"، به‌عنوان یک استلزام مادی رفتار شود و نیز با نماد ⊂ نشان داده شود. توجیه این عمل، یعنی ماحصل منطقی آن، این است که انجام این کار اعتبار همه‌ی استدلال‌های معتبر از آن‌گونه را که در اینجا بر آنها متمرکز بودیم، حفظ می‌کند. نمادگذاری‌های دیگری برای انواع دیگر استلزام‌ها ارائه‌شده‌اند، اما آنها متعلق به بخش‌های پیشرفته‌تر منطق، فراتر از قلمرو این کتاب، هستند.

استلزام منطقی و نتیجه منطقی _Logical Entailment &  Logical Consequence

توجه:
۱- این قسمت توسط برگرداننده ضمیمه شده و خواندن آن برای ادامه کتاب موردنیاز نیست. در یادداشت‌های منطق به این بند رجوع شده است.
۲- در این بند مفهومی موسوم به رابطه استلزام منطقی را با نماد «⊩» معرفی و تعریف کرده. باید توجه کافی داشت که «⊩» یک عنصر زبان نمادین منطق گزاره‌ای نیست، بلکه مفهومی است که بطور قراردادی در زبان فارسی (زبان طبیعی) تعریف می‌شود تا با کمک آن کوتاه‌تر و دقیق درباره‌ی یک خاصیت دریاره منطق گزاره‌ای (نظریه منطق گزاره‌ای) سخن بگوییم.

در اینجا نیز نه یک رابط، بلکه یک رابطه مهم دیگر را معرفی می‌کنیم و همان‌‌گونه که درباره هم‌ارزی منطقی گفته شد، خواهیم دید این نیز از رابط‌‌های تابع-ارزشی بررسی‌شده پیشین پیچیده‌تر است.

صورت گزاره‌ای α را منطقاً مستلزم (Logical Entailment) صورت گزاره‌ای β، یا β را نتیجه منطقی α گوییم اگر و فقط اگر هر گمارش مقادیر ارزش به متغیرهای گزاره‌ای α که α را درست بر‌می‌آورد، β را نیز درست برآورد. اگر α منطقاً مستلزم β باشد گوییم بین α و β رابطه استلزام منطقی برقرار است. آشکار است که در این صورت α⊃β یک صورت توتولوژیک است. بنابراین α⊃β یک استلزام منطقی است اگر استلزام مادی آن، یک توتولوژی باشد.

رابطه استلزام منطقی (Logical Entailment) را با نماد ⊩ نشان می‌دهند. بنابراین α⊩β رابطه استلزام منطقی بین صورت گزاره‌ای α و صورت گزاره‌ای β را نشان می‌دهد. استلزام منطقی یک رابطه یک‌سویه است، یعنی از استلزام منطقی بین α و β لزوماً یک استلزام منطقی بین β و α به دست نمی‌آید. برای مثال فرض کنید α صورت گزاره‌ای (p⊃q)•~q و β صورت گزاره‌ای ~p باشد. سطر ۴‌ جدول زیر نشان می‌دهد صورت گزاره‌ای α منطقاً مستلزم صورت گزاره‌ای β است (بعلاوه نشان می‌دهد صورت گزاره‌ای β منطقاً مستلزم صورت گزاره‌ای α نیست.)

ازآنچه گفته شد می‌توان نوشت:

گیریم p_۲ و p_۱ صورت‌های گزاره‌ای، آنگاه p_۱⊩p_۲ اگر و فقط اگر p_۱⊃p_۲ توتولوژی باشد.
همیشه یک استلزام منطقی یک استلزام مادی نیز است ولی عکس آن لزوماً درست نیست.

و به‌آسانی می‌توان دید که:

اگر صورت گزاره‌ای آ منطقاً مستلزم صورت گزاره‌ای ب باشد و نیز صورت گزاره‌ای ب منطقاً مستلزم صورت گزاره‌ای آ باشد آنگاه صورت‌های گزاره‌ای آ و ب منطقاً هم‌ارز هستند و نیز برعکس.

تفاوت بین استلزام مادی از یک‌سو و استلزام منطقی از سوی دیگر بسیار ژرف و بااهمیت است. اولی، ⊃، یک رابط تابع-ارزشی است که با توجه به درستی و نادرستی پیوست‌های ربط داده‌شده، می‌تواند درست یا نادرست باشد، اما دومی، ⊩، یعنی استلزام منطقی یک رابط نیست، بلکه بیان یک رابطه میان دو صورت گزاره‌ای و بیرون از زبان نمادین منطق گزاره‌ای، بلکه در باره منطق گزاره‌ای است (بعبارت دیگر، ). یک گزاره وقتی منطقاً مستلزم گزاره دیگری است [به‌عبارت‌دیگر، وقتی گزاره دوم نتیجه منطقی گزاره اول است] که مطلقاً ممکن نباشد اولی دارای مقدار ارزش درست و دومی دارای مقدار ارزش نادرست گردد. اما اگر همیشه چنین است، پس باید معنی گزاره اولی دربردارنده معنی گزاره دومی باشد و بنابراین می‌توان بدون تغییر در مقدار ارزش در هر زمینه تابع-ارزش و نیز بدون تغییر در مقدار ارزش زمینه، دومی را جانشین اولی کرد ولی نه لزوماً عکس آن. اما وقتی یک گزاره مستلزم مادی گزاره دیگری است، صرفاً از قرار حادثه است که چنین نیست گزاره اول دارای مقدار ارزش درست و گزاره دوم دارای مقدار ارزش نادرست باشد، حتی اگر هیچ ارتباطی مبتنی بر واقعیات نیز بین آنها نباشد. بنابراین در هر استنتاج‌ می‌توان گزاره‌ای که نتیجه منطقی بعضی گزاره‌های پیشین در استنتاج است را — به‌نوبت خود به‌عنوان گزاره‌ای پدید آمده در روند [استنتاج] — به استنتاج افزود.

تعمیم رابطه استلزام منطقی:

تعریف را می‌توان تعمیم داد و گفت صورت‌های گزاره‌ای α_۱ , α_۲ , . . . ,α_n منطقاً مستلزم صورت گزاره‌ای β، یا β نتیجه منطقی صورت‌های گزاره‌ای α_۱ , α_۲ , . . . ,α_n است اگر و فقط اگر برای هر گمارش مقدار ارزش که α_۲ ،α_۱، . . . و α_nرا توأمان درست بر‌می‌آورد، β را نیز درست برآورد. در این صورت

α_۱•α_۲• . . . •α_n⊃β

یک صورت توتولوژیک است.

α_۱ , α_۲ , . . . ,α_n ⊩β اگر و فقط اگر α_۱•α_۲• . . . •α_n⊃β توتولوژی باشد.

۲.۹.۹ صدق(درستی) و سرایت آن:

از ویژگی مهم استلزام منطقی سرایت صدق در آن است، یعنی اگر مقدم [یا مقدم‌های آن] درست باشد آنگاه تالی آن به‌ضرورت درست است. به‌عبارت‌دیگر، استلزام منطقی درستی[صدق] مقدم را به تالی سرایت می‌دهد.

با رجوع به جدول ارزش صورت نوعی استدلال‌های قیاس منفصله، قیاس استثنائی، قیاس اقترانی، قیاس شرطی، معرفی‌شده در همین فصل، می‌توان از هر یک از آنها یک استلزام منطقی به دست آورد؛ به این نحو که مقدم و تالی این استلزام منطقی به ترتیب عبارت باشد از عطف مقدمات و نتیجه آن استدلال. برای مثال در مورد قیاس استثنایی استلزام منطقی زیر را داریم:

(p•(p⊃q))⊃q

بنابراین صورت‌های استدلال‌های ذکرشده سرایت دهنده صدق هستند. بنابراین هر استدلال که فقط از این صورت‌های استدلال مقدماتی استفاده نماید متقن بودن استدلال خدشه‌دار نخواهد بود.