تابع-ارزشی: گزاره‌های ساده و گزاره‌های مرکب

آ. ترکیب عطفی

انواع مختلفی گزاره‌های مرکب وجود دارد که هریک نیازمند به نماد منطقی ویژه خود است. اولین نوع از گزاره مرکب را که بررسی می‌کنیم، ترکیب‌ عطفی دو گزاره است. ترکیب عطفی دو گزاره را می‌توان با قرار دادن واژه "و" بین آن‌ها تشکیل داد؛ به هر یک از دو گزاره که این‌گونه به هم می‌پیوندند، یک عطف (یا پیوست) ترکیب عطفی می‌گویند. رابط "و" در ترکیب عطفی به عاطف موسوم است. بنابراین گزاره مرکب «پرویز آراسته است و پرویز دلپذیر است» یک ترکیب عطفی است که پیوست اول آن «پرویز آراسته است» و پیوست دوم آن «پرویز خوش‌مشرب است» است.

گرچه واژه "و" یک واژه کوتاه و راحت است، اما به‌جز برای ترکیب دو گزاره، موارد کاربرد دیگر هم دارد. برای مثال، گزاره "لینکلن و گراند رقیب یکدیگر بودند" یک ترکیب عطفی نیست، بلکه یک گزاره ساده و بیانگر یک رابطه است.

برای داشتن یک نماد یگانه که وظیفه آن فقط پیوست گزاره‌ها برای ترکیب عطفی باشد، نقطه "•" را معرفی می‌کنیم. بنابراین، ترکیب عطفی مثال را می‌توان به‌صورت Lپرویز مرتب است • پرویز خوش‌مشرب است» نوشت.

به‌طورکلی، اگر p و q دو گزاره باشند— هر گزاره‌ای که می‌خواهند باشند— آنگاه ترکیب عطفی آن‌ها را به‌صورت:

p • q می‌نویسیم.

در بعضی کتاب‌ها نمادهای دیگری، برای مثال "∧" یا "&"، را بکار می‌برند.

ازآنجاکه می‌دانیم هر گزاره درست است یا نادرست است، بنابراین می‌توان گفت، هر گزاره دارای یک مقدار ارزش است، بدین گونه که یک گزاره درست دارای مقدار ارزش درست است و یک گزاره نادرست دارای مقدار ارزش نادرست است. با بکار گرفتن این مفهوم برحسب اینکه آیا مقدار ارزش یک گزاره مرکب به‌تمامی توسط مقدار ارزش مؤلفه‌های خود معین می‌شود یا از هر چیز دیگر به‌جز مقدار ارزش مؤلفه‌های آن— می‌توان آن‌ها (گزاره‌های مرکب) را به دو رده مجزا تقسیم کرد.

این تمایز (رده‌بندی) را برای ترکیب عطفی بررسی می‌کنیم. مقدار ارزش ترکیب عطفی دو گزاره به‌ تمامی توسط مقدار ارزش دو مؤلفه آن تعیین می‌شود. اگر ارزش هر دو مؤلفه ترکیب عطفی درست باشند آنگاه مقدار ارزش ترکیب عطفی درست است؛ در غیر این صورت نادرست است. به این دلیل گفته می‌شود یک ترکیب عطفی یک گزاره مرکب تابع–ارزش است و نیز گفته می‌شود مؤلفه‌های عطفی آن مؤلفه‌های تابع-ارزشی آن هستند.

چنین نیست که هر گزاره مرکب تابع-ارزش باشد. برای مثال، مقدار ارزش گزاره مرکب "اتلو عقیده دارد که دزدمونا عاشق کاسیو است" به هیچ طریق توسط گزاره ساده مؤلفه‌ای آن «دزدمونا عاشق کاسیو است» تعیین نمی‌شود، اینکه اتلو عقیده دارد دزدمونا عاشق کاسیو است، فارغ از آنکه دزدمونا عاشق کاسیو است یا نه، می‌تواند درست باشد. بنابراین مؤلفه «دزدمونا عاشق کاسیو است» یک مؤلفه تابع-ارزش برای گزاره «اتلو عقیده دارد دزدمونا عاشق کاسیو است» نیست و خود این گزاره مرکب نیز یک گزاره مرکب تابع-ارزش نیست.

برای آنچه که در ادامه هدف ماست، چنین تعریف می‌کنیم که، مؤلفه یک گزاره مرکب، یک مؤلفه تابع-ارزش باشد:

اگر آن مؤلفه در گزاره مرکب با گزاره دیگری با مقدار ارزش یکسان تعویض شود، آنگاه گزاره مرکب جدیدی که از این تعویض به دست می‌آید دارای مقدار ارزش یکسان با گزاره مرکب اول باشد.

اکنون گزاره مرکبی که همه مؤلفه‌های آن مؤلفه‌های تابع-ارزش باشند را به‌عنوان یک گزاره مرکب تابع–ارزش تعریف می‌کنیم➥.

[۱]- تعاریف پیچیده‌تری توسط David H. Sanford در "مؤلفه‌های تابع-ارزش چه هستند؟" ارائه گردیده. Logique et Analyse14 (1970): 483–486.

تمرکز ما بر آن گزاره‌های مرکبی است که یک ترکیب تابع-ارزش باشند. بنابراین، در بقیه این کتاب منظور از گزاره ساده (گزاره غیرمرکب) هر گزاره‌ای است که ترکیب تابع-ارزشی نباشد. ازز آنجا که ترکیب عطفی یک گزاره مرکب تابع-ارزش است، بنابراین نماد نقطه یک رابط تابع-ارزش است.

هرگاه دو گزاره p و q داده‌شده باشند، آنگاه فقط چهار دسته مقدار ارزش برای آن‌ها می‌تواند وجود داشته باشد. این چهار حالت ممکن برای مقدار ارزش یک ترکیب عطفی را می‌توان به شیوه زیر نمایش داد.

وقتی p درست است و q درست است، p • q درست است.
وقتی p درست است و q نادرست است، p • q نادرست است.
وقتی p نادرست است و q درست است، p • q نادرست است.
وقتی p نادرست است و q نادرست است، p • q نادرست است.

اگر مقادیر ارزش "درست" و "نادرست" را با دو حرف بزرگ لاتین T برای درست ( True) و F را برای نادرست (False) نشان دهیم، می‌توان مقدار ارزش یک ترکیب عطفی را برحسب مقادیر ارزش مؤلفه‌های عطفی آن به شیوه فشرده‌تر و درعین‌حال آشکارتر توسط جدول ارزش نشان داد:

ازآنجاکه این جدول توضیح می‌دهد p•q در هر حالت ممکن چه مقدار ارزشی دارد، می‌توان آن را به‌عنوان تعریف نماد • در نظر گرفت.

گزاره‌های ساده را توسط حروف بزرگ لاتین کوتاه نویسی کرده و بیشتر به خاطر آنکه به یاد داشته که چه گزاره‌ای را کوتاه نویسی کرده‌ایم حرفی را انتخاب می‌کنیم که یادآور گزاره کوتاه شده باشد. بنابراین گزاره "پرویز آراسته است و پرویز خوش‌مشرب است" را به‌صورت A•M کوتاه نویسی می‌کنیم.

در بعضی ترکیب‌های عطفی، هر دو مؤلفه ترکیب دارای یک حد موضوع مشترک هستند: مانند "سعدی یک شاعر بزرگ است و سعدی یک جهانگرد بزرگ است." معمولاً به خاطر ایجاز و شاید کارایی بیشتر در زبان فارسی "و" را بین حدهای محمول قرارداده و حد موضوع تکرار نمی‌شود. مانند "سعدی شاعر بزرگ و جهانگرد بزرگ است." برای آنچه مقصود ماست، حالت دوم را یک پیکربندی (فرمول) یکسان با اولی در نظر می‌گیریم و هر یک از آن‌ها را بدون تفاوت به‌صورت S•J نمادین می‌کنیم. در زبان فارسی، چنانچه هر دو مؤلفه ترکیب عطفی دارای حد محمول یکسان باشند، مثل "بایزید بسطامی عارف بزرگ بود و شیخ خرقان عارف بزرگ بود" حرف عطف "و" را بین حدهای موضوع قرار داده و از تکرار حد محمول پرهیز می‌شود، مانند "بایزید بسطامی و شیخ خرقان عارف بزرگ هستند." ما هر دو را به‌صورت B•K پیکربندی (فرموله) می‌کنیم.

همان‌طور که برای تعریف نماد نقطه توسط جدول ارزش گفتیم، یک ترکیب عطفی فقط و فقط وقتی درست است که هر دو مؤلفه عطفی آن درست باشند. واژه "و" یک مورد کاربرد دیگر دارد و آن اینکه نه‌تنها دلالت (وابستگی ارزشی) به ترکیب عطفی دارد، بلکه از آن برداشت "و درنتیجه" که در آن تعاقب زمانی است، نیز می‌شود. بنابراین گزاره "پروین در تهران وارد کشور شد و مستقیم رهسپار اصفهان شد" دارای معناست و می‌تواند درست نیز باشد؛ حال‌آنکه "پروین مستقیم رهسپار اصفهان شد و در تهران وارد کشور شد" به‌سختی می‌تواند قابل‌فهم باشد. و همین‌طور تفاوت مشخصی بین "کفش‌هایش را درآورد و به بستر رفت" و "به بستر رفت و کفش‌هایش را درآورد" وجود دارد.[۴]. این‌گونه مثال‌ها، نیاز به داشتن یک نماد انحصاری برای کاربرد در مورد ترکیب عطفی تابع-ارزشی را نشان می‌دهند. {دریک موسسه وکالتی تگزاس در تاریخ ۲۷ اکتبر۱۹۹۰ این گزارش صادرشده بود، رامیرز گارزای در بلوک ۲۷۰۰ کوچه لیری، درحالی‌که که تهدید به خودکشی می‌کرد و به مکزیک انتقال یافت توسط پلیس دستگیر گردید. }

توجه داشته که واژه‌های "اما"، "هنوز"، "همچنین"، "درهرصورت"، "علاوه بر آن"، "بااین‌وجود" و نظایر آن، و حتی "،" و "؛" نیز برای عطف دو گزاره و تشکیل یک گزاره مرکب بکار می‌روند. در این حالات نیز برداشت ترکیبی عطفی از آن‌ها را می‌توان با علامت نقطه بزرگ نشان داد.

 ب. نقیض

نقیض (یا انکار) معمولاً با تبدیل است به نیست در گزاره اصلی ساخته می‌شود. در زبان فارسی به شیوه دیگر یعنی با پیشوند قرار دادن عبارت "چنین نیست که" در ابتدای یک گزاره می‌توان نقیض آن را ساخت. مرسوم است که علامت "~" (که آن را نقض خواهیم خواند) را برای ساختن نقیض یک گزاره بکار برد. بنابراین وقتی M برای نمادین کردن "همه انسان‌ها میرا هستند" بکار برده شود، آنگاه گزاره‌های مختلف "چنین نیست که همه انسان‌ها میرا هستند"، "بعضی از انسان‌ها میرا نیستند" ، "این نادرست است که همه انسان‌ها میرا هستند" و "نه همه انسان‌ها میرا هستند" را یکسره و بدون تفاوت با M~ نمادین می‌کنیم.

به‌طورکلی، وقتی p گزاره دلخواهی باشد، نقیض آن را به‌صورت p~ می‌نویسیم. روشن است که "‍‍~" یک عملگر تابع-ارزش است. نقیض هر گزاره درست، نادرست است. این امر را می‌توان بسیار روشن توسط یک جدول ارزش نشان داد. این جدول ارزش را می‌توان به‌عنوان تعریف نماد "~" در نظر گرفت:

ج – ترکیب فصلی

ترکیب فصلی دو گزاره در زبان فارسی با قرار دادن واژه "یا" بین آن‌ها ساخته می‌شود. هریک از دو مؤلفه ترکیب فصلی را فصل (یا گزینه) می‌نامند. رابط "یا" در ترکیب فصلی به فاصل موسوم است.

واژه فارسی "یا" دو معنایی است، که گرچه به هم ربط دارند اما از یکدیگر قابل تمیز هستند. یکی از این دو معنی را با گزاره‌ "حقّ بیمه هنگام بیماری یا بیکاری دریافت نخواهد شد" مثال می‌زنیم. آشکارا منظور این است که حق بیمه نه‌تنها هنگام بیماری یا هنگام بیکاری دریافت نخواهد شد، بلکه از شخصی که بیمار و هم بیکار است نیز دریافت نخواهد شد. این برداشت از واژه "یا" موسوم به "یای غیر انحصاری"، "یای ضعیف" و "یای مانعةُالخُلُوْ" است.

یک ترکیب فصلی با یا -ی غیرانحصاری وقتی درست است که یک یا هردو فصل آن درست باشند، و فقط وقتی نادرست است که هردو فصل آن نادرست باشند. برداشت از "یا"ی غیرانحصاری "این یا آن یا هردو" است. وقتی دقت دارای اهمیت است، مثلاً در قراردادها یا اسناد رسمی این برداشت توسط کاربرد "یا هردو" صراحت می‌یابد.

واژه "یا" به‌صورت انحصاری (قوی، منع جمع) نیز بکار می‌رود و در این حالت معنای آن "حداقل یکی" نیست، بلکه "حداقل و حداکثر یکی" است. وقتی در منوی غذای یک رستوران نوشته‌شده که دسر قهوه یا شیرکاکائو است، روشن است که قیمت شام فقط شامل یکی از آن‌ها و نه هردو است. وقتی کاربرد "یا" در برداشت انحصاری آن دارای اهمیت است، معمولاً عبارت "نه هردو" ذکر می‌شود.

تفسیر ما از ترکیب فصلی دو گزاره با "یا"ی غیر انحصاری عبارت است از تصدیق به‌درستی حداقل یک گزاره؛ و از ترکیب فصلی دو گزاره یا -ی انحصاری عبارت است از تصدیق به ‌درستی حداقل یک گزاره بعلاوه درست نبودن هردو گزاره باهم. توجه داشته که این دو نوع ترکیب فصلی در بخشی از معنای خود دارای اشتراک هستند. این معنی مشترک درست بودن حداقل یکی از فصل‌ها است. این معنای مشترک دربرگیرنده تمام معنای "یا"ی غیرانحصاری و بخشی از معنای "یا"ی انحصاری است.

گرچه در زبان فارسی[و همین‌طور انگلیسی] ترکیب فصلی دو معنایی بیان می‌شود، اما در زبان لاتین چنین نیست. زبان لاتین دارای دو واژه متفاوت متناظر با دو معنای "یا" در زبان فارسی [و انگلیسی] است. واژه لاتین vel متناظر با "یا" در معنای غیرانحصاری و واژه لاتین aut متناظر با "یا" در معنای انحصاری آن است. چنانچه p و q دو گزاره دلخواه باشند، ترکیب فصلی غیرانحصاری آن‌ها به‌صورت p⋁q نوشته می‌شود. این نماد (⋁) را که نام آن گُوِه (و بندرت vee) است و آن را برای ترکیب فصلی غیرانحصاری بکار خواهیم برد یک رابط تابع-ارزش است. یک ترکیب فصلی غیرانحصاری فقط وقتی هردو فصل آن نادرست باشند، نادرست خواهد بود. نماد "∨" را می‌توان مطابق جدول زیر تعریف کرد.

اولین نمونه استدلال که در این قسمت آمد، یک قیاس منفصله (یا قیاس فصلی) بود. (یک قیاس یک استدلال استنتاجی است که دارای دو مقدمه و یک نتیجه باشد.)

زندانی نابینا یک کلاه قرمز دارد یا زندانی نابینا یک کلاه سفید دارد.
زندانی نابینا کلاه قرمز ندارد.
بنابراین زندانی نابینا کلاه سفید دارد.

صورت این قیاس این ویژگی را دارد که مقدمه‌یِ یکم آن، یک ترکیب فصلی است؛ مقدمه‌یِ دوم آن، نقیض فصل اول مقدمه‌یِ یکم است؛ و نتیجه‌یِ آن با فصل دوم مقدمه‌یِ اول یکسان است. آشکار است که قیاس منفصله، این‌گونه که تعریف شد، برای هریک از دو تعبیر "یا"، یعنی صرف‌نظر از اینکه چه معنی از واژه فارسی "یا" مقصود باشد، معتبر است. یک استدلال با صورت نوعی معتبر که دارای یک ترکیب فصلی به‌عنوان مقدمه است، مانند قیاس منفصله، در هر تعبیری از کلمه "یا" معتبر است، لذا با ترجمه "یا" به علامت منطقی "⋁" — فارغ از اینکه چه معنایی از واژه فارسی "یا" موردنظر است. فقط یک بررسی از نزدیک زمینه متن یا پرسش بی‌واسطه از گوینده یا نویسنده هست که می‌تواند نوع و برداشت "یا"ی بکار رفته را آشکار کند. از این مسئله، که حل آن بیشتر اوقات میسر نیست، چنانچه قرار گذاشته که هر رویداد "یا" را به معنی غیرانحصاری آن در نظر گرفت، می‌توان دوری جست. از طرف دیگر چنانچه به‌طور صریح منظور خود را مشخص نماییم— مثلاً با نوشتن عبارت "نه هردو" — یک نمادگذاری ماشینی (مکانیکی)، آن‌گونه که خواهیم دید، در دسترس داریم تا این برداشت اضافه "یا" را پیکربندی نماییم.

وقتی هردو مؤلفه یک گزاره فصلی دارای یک موضوع یکسان یا یک محمول یکسان هستند، معمولاً در زبان فارسی با قرار دادن "یا" به قسمی که نیاز به تکرار قسمت مشترک نباشد، گزاره مرکب فشرده می‌شود. بنابراین، "پرویز صاحب شرکت است یا پرویز مدیر شرکت است" به‌صورت "پرویز صاحب یا مدیر شرکت است" نوشته می‌شود، که هر دو با S⋁M نمادین می‌شوند. همین‌طور "پرویز مقصر است یا بهرام مقصر است" معمولاً به‌صورت "پرویز یا بهرام مقصرند" نوشته می‌شوند که هریک از آن‌ها نیز ب B⋁P نمادین می‌شوند.

واژه "مگر/ مگر آنکه" نیز بیشتر اوقات ترکیب فصلی دو گزاره را می‌سازد. بنابراین "تو در امتحان ضعیف عمل خواهی کرد مگر درس بخوانی" به‌درستی به‌صورت D⋁Z نمادین می‌گردد. دلیل آن این است که ما "مگر/ مگر آنکه" را به این خاطر بکار می‌بریم تا بگوییم اگر یک گزاره درست نباشد دیگری درست است یا خواهد بود. جمله قبل این‌گونه فهمیده می‌شود که؛ "اگر تو درس نخوانی در امتحان ضعیف عمل خواهی کرد"— این توان تأثیر منفصله است که می‌گوید یکی از مؤلفه‌های آن درست است، و بنابراین اگر یکی از آن‌ها نادرست باشد، دیگری باید درست باشد. و البته ممکن هم هست که مطالعه کنی و در امتحان هم ضعیف عمل کنی.

واژه "مگر" گاهی حامل معنای بیشتری ازآنچه گفته شد است، یعنی با توجه به زمینه متن ممکن است بگوید یکی از دو گزاره درست است و چنین نیست که هر دو گزاره باهم درست باشند. به‌عبارت‌دیگر منظور از "مگر" ممکن است "یا"ی انحصاری /منع جمع باشد. این جمله را تد ترنر [بنیان‌گذار CNN] گفته: "افزایش گرمایش زمین در طی یک‌صد سال نیویورک را به زیر آب خواهد برد و بزرگ‌ترین فاجعه‌ای خواهد بود که جهان هرگز به خود دیده است— مگر آنکه یک جنگ هسته‌ای در پیش داشته باشیم." در اینجا مقصود گوینده این است که یکی از دو مؤلفه درست هستند و البته هردو نمی‌توانند درست باشند. کاربردهای دیگر "مگر" چندمعنایی هستند. مثل وقتی میگوییم "پیک‌نیک برگزار خواهد شد مگر باران ببارد." اما آیا منظور ما این است که پیک‌نیک برگزار نخواهد شد اگر باران ببارد؟ این چندان روشن نیست. خردمندانه است که کاربرد ترکیب فصلی را به‌صورت ضعیف/ غیرانحصاری در نظر بگیریم، مگر آنکه مشخص باشد منظور ترکیب فصلی به معنای قوی (انحصاری) است. "مگر" با "⋁" به بهترین وجه نمادگذاری می‌شود.

د. نشان‌ گذاری نگارشی

در زبان فارسی وقتی قرار است جملات پیچیده روشن‌تر نوشته شوند، نشان‌ گذاری نگارشی از واجبات است. مقدار زیادی نشانه‌‌های گوناگون برای علامت‌گذاری نوشتارها بکار می‌رود که بدون کار بردن آن‌ها ممکن است جملات چندمعنایی ظاهر شوند. به همین ترتیب نشان‌ گذاری در ریاضیات نیز مهم است.

در نبود نوعی قرارداد خاص، نمی‌توان فقط یک عدد به حاصل عبارت ۲×۳+۵ نسبت داد. این کار وقتی میسر است که روشن شود چگونه باید اجزای عبارت گروه‌بندی شوند و بر اساس این گروه‌بندی می‌توان عدد ۱۱ یا ۱۶ را حاصل آن دانست، عدد ۱۱ برای وقتی‌که نشان‌گذاری به‌صورت ۵+(۳×۲) و ۱۶ برای وقتی‌که نشان‌گذاری به‌صورت (۵+۳)×۲ باشد. به خاطر دوری از حضور ابهام چندمعنایی و آشکاری معنی عبارات، در ریاضیات نشان‌های نشان‌گذاری عبارت‌اند از: زوج پرانتز () برای گروه‌بندی نمادها؛ زوج کروشه [] برای گروه‌بندی عبارت‌هایی که در آن‌ها پرانتز بکار رفته است؛ و زوج آکولاد {} برای گروه‌بندی عبارت‌هایی که در آن‌ها کروشه بکار رفته است.

در زبان منطق نمادین این نشانه‌ها— پرانتز، کروشه، و آکولاد— همچنان موردنیاز هستند؛ زیرا گزاره‌های مرکب خود باهم ترکیب می‌شوند و گزاره‌های مرکب جدید پدید می‌آورند. بنابراین، p•qVr دارای ابهام چندمعنایی است: این عبارت می‌تواند ترکیب عطفی p با ترکیب فصلی q با r باشد، یا عبارت از یک ترکیب فصلی‌ای باشد که مؤلفه اول آن ترکیب عطفی p با q و مؤلفه دوم آن r است. با نشان‌گذاری می‌توان این دو را با فرمول‌های p•q)Vr) و (p•(qVr متمایز نمود. نشان‌گذاری متفاوت برای فرمول اصلی موجب تمایزی می‌شود که می‌توان آن را با فرض نادرست بودن p و درست بودن q و r مشاهده کرد. در این حالت فرمول دوم درست است (زیرا مؤلفه دوم آن درست است) ولی فرمول اول نادرست است زیرا مؤلفه اول آن نادرست است. در اینجا تفاوت در علامت‌گذاری باعث تفاوت در راستی یا دروغی می‌شود و علامت‌گذاری متفاوت مقادیر مختلف ارزش به عبارت مبهم p•q⋁r نسبت دهد.

در زبان فارسی نقیض یک ترکیب فصلی معمولاً با قالب "نه .... و نه ......" ساخته می‌شود. برای مثال نقیض ترکیب فصلی "سعدی یا حافظ بزرگ‌ترین ریاضی‌دان ایرانی هست"، و به‌عبارت‌دیگر نقیض "سعدی بزرگ‌ترین ریاضیدان ایرانی است یا حافظ بزرگ‌ترین ریاضیدان ایرانی است" به‌صورت "نه سعدی بزرگ‌ترین ریاضیدان ایرانی است و نه حافظ بزرگ‌ترین ریاضیدان ایرانی است" گفته می‌شود. گزاره فصلی به‌صورت (S⋁H) و نقیض آن به‌صورت (S⋁H)~ نمادین می‌شود، که هم‌ارز است با ~(S)•~(H). (هم‌ارزی منطقی این دو فرمول در قسمت ۹ همین فصل بررسی خواهد شد.) باید آشکار باشد که برای انکار یک ترکیب فصلی که می‌گوید یک یا گزاره دیگری درست است، باید گفته شود که هردو گزاره نادرست هستند.

توجه به کاربرد عبارت "هردو" در فارسی نیز مهم است. منظور جمله "پرویز و بهرام هردو در سفر نیستند" می‌تواند این باشد که "هردو باهم (هم‌زمان)" در سفر نیستند، یا اینکه "نه پرویز در سفر است و نه بهرام در سفر است." در حالت اول گزاره مرکب هم‌ارز به‌صورت (P•B)~ و در حالت دوم گزاره به‌صورت (P)•~(B)~ نمادین می‌شود. به خاطر کوتاه نویسی— یعنی، کاهش تعداد پرانتزهای موردنیاز— اگر قرار بگذاریم در هر فرمول حوزه تأثیر (یا برد) نماد نقیض عبارت باشد از کوتاه‌ترین عبارتی که نشان‌گذاری میسر می‌سازد آنگاه عبارت آسان‌تر خواهد شد. بدون این قرارداد فرمول p⋁q~ دارای ابهام چندمعنایی است، یعنی می‌تواند p)⋁q)~ و یا (p⋁q)~ باشد. اما مطابق آنچه قرار گذاشتیم اولین مؤلفه یعنی p که کوتاه‌ترین عبارت است در برد نماد ~ است نه p⋁q که طولانی‌تر است.

پیکربندی "یا"ی منع جمع: با داشتن مجموعه‌ای از قوانین نشان‌گذاری برای منطق نمادین خود، نه‌تنها میسر است که ترکیبات عطفی، نقیض، و "یا"ی ضعیف را در این زبان نوشت، بلکه برای "یا"ی قوی(منع جمع) نیز چنین است. ترکیب عطفی "یا"ی قوی p و q می‌گوید حداقل یکی از آن‌ها ولی نه هردو درست هستند، که این را می‌توان به گونه (p⋁q)•(~(p•q)) نوشت. روش دیگر بیان "یا"ی منع جمع کار زدن نماد ⊻ برای نمایش آن است.

در بعضی حالات می‌توان مقدار ارزش یک عبارت مرکب تابع-ارزش حتی وقتی درستی و یا نادرستی مؤلفه‌های ساده آن معلوم نیست را به دست آورد. برای این کار ابتدا مقدار ارزش عبارت را با فرض اینکه یکی از مؤلفه‌های آن درست ‌است محاسبه کرده، سپس همین کار را با این فرض که همان مؤلفه نادرست است انجام داده. این کار را برای بقیه مؤلفه‌های عبارت مرکب که ارزش آن‌ها معلوم نیست تکرار می‌کنیم. اگر در هر دو حالت نتیجه محاسبه شده برای عبارت مرکب موردبررسی یکسان باشد، آنگاه مقدار ارزش عبارت مرکب را بدون تعیین ارزش مؤلفه‌های ساده آن محاسبه‌شده است. زیرا، میدانیم مقدار ارزش هر مؤلفه نمی‌تواند چیزی غیر از درست یا نادرست باشد. جداول ارزش این امکان را می‌دهد تا این روش را برای وقتی ارزش بیش از یک مؤلفه نامعین است گسترش دهیم.

الف: با استفاده از جدول ارزش تعریف یا (⋁) ، و (•) و نقیض (~) ، راستی یا دروغی گزاره‌های زیر را تعیین کنید. (حل شماره های ستاره دار در پایین أمده.)

*۱. رم پایتخت ایتالیا است. ⋁ رم پایتخت اسپانیا است.
۲. ~( لندن پایتخت انگلیس است • استکهلم پایتخت نروژ است).
۳. ~ لندن پایتخت انگلیس است • ~ استکهلم پایتخت نروژ است.
۴. ~ (رم پایتخت اسپانیا است ⋁ پاریس پایتخت فرانسه است)
*۵. ~ رم پایتخت اسپانیا است ⋁ ~ پاریس پایتخت فرانسه است.
۶. لندن پایتخت انگلیس است ⋁ ~ لندن پایتخت انگلیس است.
۷. استکهلم پایتخت نروژ است • ~ استکهلم پایتخت نروژ است.
۸. (پاریس پایتخت فرانسه است • رم پایتخت اسپانیا است)⋁(پاریس پایتخت فرانسه است • ~ رم پایتخت اسپانیا است).
۹. (لندن پایتخت انگلیس است ⋁ استکهلم پایتخت نروژ است) • (~ رم پایتخت ایتالیا است • ~ استکهلم پایتخت نروژ است).
*۱۰. رم پایتخت اسپانیا است ⋁ ~( پاریس پایتخت فرانسه است • رم پایتخت اسپانیا است).
۱۱. رم پایتخت ایتالیا است • ~ پاریس پایتخت فرانسه است ⋁ رم پایتخت اسپانیا است).
۱۲. ~(~ پاریس پایتخت فرانسه است • ~ استکهلم پایتخت نروژ است).
۱۳. ~[~(~ رم پایتخت اسپانیا است ⋁ ~ پاریس پایتخت فرانسه است) ⋁ ~(~ پاریس پایتخت فرانسه است ⋁ استکهلم پایتخت نروژ است)].
۱۴. ~[~(~ لندن پایتخت انگلیس است • رم پایتخت اسپانیا است) • ~ (رم پایتخت اسپانیا است • ~ رم پایتخت اسپانیا است)[.
*۱۵. ~[~( استکهلم پایتخت نروژ ⋁ پاریس پایتخت فرانسه است) ⋁ ~(~ لندن پایتخت انگلیس است • رم پایتخت اسپانیا است)].
۱۶. رم پایتخت اسپانیا است ⋁ (~ لندن پایتخت انگلیس است ⋁ لندن پایتخت انگلیس است).
۱۷. پاریس پایتخت فرانسه است • ~( پاریس پایتخت فرانسه است • پایتخت اسپانیا است).
۱۸. لندن پایتخت انگلیس است • ~( رم پایتخت ایتالیا است • رم پایتخت ایتالیا است).
۱۹. (استکهلم پایتخت نروژ است ⋁ ~ پاریس پایتخت فرانسه است) ⋁ ~( ~ استکهلم پایتخت نروژ است • ~ لندن پایتخت انگلیس است).
*۲۰. (پاریس پایتخت فرانسه است ⋁ ~ رم پایتخت اسپانیا است) ⋁ ~(~ پاریس پایتخت فرانسه است • ~ رم پایتخت اسپانیا است).
۲۱. ~[~(رم پایتخت اسپانیا است • استکهلم پایتخت نروژاست) ⋁ ~(~ پاریس پایتخت فرانسه است ⋁ ~ رم پایتخت اسپانیا است)].
۲۲. ~[~(لندن پایتخت انگلیس است • پاریس پایتخت فرانسه است) ⋁ ~(~ استکهلم پایتخت نروژ است ⋁ ~ پاریس پایتخت فرانسه است)].
۲۳. ~[~ (پاریس پایتخت فرانسه است ⋁ رم پایتخت ایتالیا است) • ~(~ رم پایتخت ایتالیا است ⋁ استکهلم پایتخت نروژ است)].
۲۴. ~[(~ رم پایتخت اسپانیا است ⋁ استکهلم پایتخت نروژ است) • ~(~ استکهلم پایتخت نروژ است ⋁ پاریس پایتخت فرانسه است)].
*۲۵. ~[(~ لندن پایتخت انگلیس است • پاریس پایتخت فرانسه است) ⋁ ~(~ پاریس پایتخت فرانسه است • رم پایتخت اسپانیا است)].

ب- اگر A, B و C گزاره‌های درست و X, Y و Z گزاره‌های نادرست باشند، کدام‌یک از فرمول‌های زیر درست هستند.

*۱. ~A∨B
۲. ~B∨X
۳. ~Y∨ C
۴. ~Z∨X
*۵. (A•X)∨(B•Y)
۶. (B•C)∨(Y-Z)
۷. ~(C•Y)∨(A•Z)
۸. ~(A-B)∨(X•Y)
۹. ~(X•Z)∨(B-C)
*۱۰. ~(X•~Y)∨(B•~C)
۱۱. (A∨X)•(Y∨B)
۱۲. (B∨C)•(Y∨Z)
۱۳. (X∨Y)•(X∨Z)
۱۴. ~(A∨Y•)•(B\/X)
*۱۵. ~(X∨Z)•(~X∨Z)
۱۶. ~(A∨C)∨~(X•~Y)
۱۷. ~(B∨Z)•~(X∨~Y)
۱۸. ~[(A∨~C)∨(C∨~A)]
۱۹. ~[(B•C)•~(C•B)]
*۲۰. ~[(A•B)∨~(B•A)]
۲۱. [A∨(B∨C•)]•~[(A∨B)∨C]
۲۲. [X∨(Y•Z)]∨~[(X∨Y)•(X∨Z)]
۲۳- [A•(B∨C3]•~[(A•B)∨(A•C)]
۲۴- ~{[(~A•B)•(~X• Z)] •~[(A•~B)∨~(~Y• ~Z)]}
*۲۵- ~{~[(B•~C)∨(Y• ~Z)] • [(~B∨X)∨(B∨~Y)]}

ج. اگر A و B گزاره‌های درست و X و Y گزاره‌های نادرست باشند ولی مقدار ارزش P و Q معین نباشد، ارزش کدام‌یک از گزاره‌های زیر را می‌توان تعیین کرد.

*۱. A∨P
۲. Q•X
۳3. Q∨~X
۴. ~B•P
*۵. P∨ ~P
۶. ~P∨ (Q∨P)
۷. Q• ~Q
۸. P• (~P∨X)
۹. ~(P•Q)∨P
*۱۰. ~Q•[(P∨Q)•~P]
۱۱. (P∨Q)•~(Q∨P)
۱۲. (P•Q)•(~P∨~Q)
۱۳. ~P∨ [~Q∨ (P5 Q)]
۱۴. P∨ ~(~A ∨ X)
*۱۵. P•[~(P∨Q)∨~P]
۱۶. ~(P•Q)∨(Q•P)
۱۷. ~[~(~P∨Q)∨P]∨P
۱۸. (~P∨Q) •~[~P∨(P•Q)]
۱۹. (~A∨P) • (~P∨Y) •
*۲۰. ~[P∨(B•Y)]∨[(P∨B)•(P∨Y)]
۲۱. [P∨ (Q•A)] • ~[(P∨ Q) • (P∨A)]
۲۲. [P∨(Q•X)]•~[(P∨Q)•(P∨X)]
۲۳. ~[~P∨(~Q∨X)]∨[~(~P∨Q) ∨(~P∨X)]
۲۴. ~[~P∨ (~Q∨A)] ∨ [~(~P∨ Q) ∨ (~P∨A)]
*۲۵. ~[(P• Q) ∨ (Q• ~P)]• ~[(P• ~Q) ∨ (~Q• ~P)]

د. با کاربرد از حروف E، I، J، L و S برای مختصر کردن گزاره‌های ساده “کمبود مواد غذایی مصر بدتر می‌شود”، “ایران قیمت نفت را افزایش می‌دهد”، “اردن تقاضای کمک‌های بیشتر از آمریکا می‌کند”، “لیبی قیمت نفت را افزایش می‌دهد” و “عربستان سعودی ۵۰۰ هواپیمای جنگی بیشتر می‌خرد”، جمله‌های زیر را نمادین کنید.

۱. ایران قیمت نفت را بالا می‌برد اما لیبی قیمت نفت را افزایش نمی‌دهد.

۲. ایران یا لیبی قیمت نفت را افزایش نمی‌دهند.

۳. ابران و لیبی هر دو قیمت نفت را افزایش می‌دهند.

۴. ایران و لیبی قیمت نفت را هر دو افزایش نمی‌دهند.

۵. ایران و لیبی هر دو قیمت نفت را افزایش نمی‌دهند.

۶. ایران یا لیبی قیمت نفت را افزایش می‌دهند اما آن‌ها هر دو این کار را نمی‌کنند.

۷. عربستان سعودی ۵۰۰ هواپیمای جنگی بیشتر می‌خرد و یا ایران قیمت نفت را افزایش می‌دهد یا اردن کمک‌های بیشتری از آمریکا درخواست می‌کند.

۸. عربستان سعودی ۵۰۰ هواپیمای جنگی بیشتر می‌خرد و ایران قیمت نفت را افزایش می‌دهد یا اردن کمک‌های بیشتری از آمریکا درخواست می‌کند.

۹. چنین نیست که کمبود مواد غذایی مصر بدتر شود و اردن تقاضای کمک‌های بیشتر آمریکا را کند.

۱۰. چنین نیست که کمبود مواد غذایی مصر بدتر شود و یا اردن تقاضای کمک‌های بیشتر آمریکا را کند.

۱۱. یا کمبود مواد غذایی مصر بدتر نمی‌شود یا اردن تقاضای کمک‌های بیشتر آمریکا را می‌کند.

۱۲. چنین نیست که هم کمبود مواد غذایی مصر بدتر شود و هم اردن تقاضای کمک بیشتر آمریکا کند.

۱۳. اردن تقاضای بیشتر کمک‌های آمریکا را می‌کند مگر اینکه عربستان سعودی ۵۰۰ تا هواپیمای جنگی بخرد.

۱۴. مگر اینکه کمبود غذایی مصر بدتر شود، لیبی قیمت نفت را بالا ببرد.

۱۵. ایران قیمت نفت را افزایش نخواهد داد مگر اینکه لیبی هم همین کار را کند.

۱۶. مگر اینکه ایران و لیبی هر دو قیمت نفت را افزایش دهند هیچ‌یک از این دو انجام دهند.

۱۷. لیبی قیمت نفت را افزایش می‌دهد و کمبود مواد غذایی مصر بدتر می‌شود.

۱۸. چنین نیست که هیچ‌یک از ایران و لیبی قیمت نفت را افزایش دهند.

۱۹. کمبود غذایی مصر بدتر می‌شود و اردن درخواست بیشتر کمک از آمریکا می‌کند، مگر اینکه هم ایران و هم لیبی قیمت نفت را افزایش ندهند.

۲۰. یا ایران قیمت نفت را افزایش می‌دهد و کمبود مواد غذایی مصر بدتر می‌شود، یا چنین نیست که هم اردن درخواست کمک بیشتر از آمریکا کند و عربستان سعودی ۵۰۰ هواپیمای جنگی بیشتر بخرد.

۲۱. یا کمبود مواد غذایی مصر بدتر می‌شود و عربستان سعودی ۵۰۰ هواپیمای جنگی بیشتر می‌خرد، یا اردن درخواست کمک بیشتر از آمریکا می‌کند یا لیبی قیمت نفت را افزایش می‌دهد.

۲۲. عربستان سعودی ۵۰۰ هواپیمای جنگی بیشتر می‌خرد، و یا اردن درخواست کمک بیشتر از آمریکا می‌کند یا لیبی و هم ایران قیمت نفت را افزایش می‌دهند.

۲۳. یا کمبود مواد غذایی مصر بدتر می‌شود یا اردن درخواست کمک بیشتر از آمریکا می‌کند، اما نه لیبی و نه ایران قیمت نفت را افزایش نمی‌دهند.

۲۴. کمبود مواد غذایی مصر بدتر می‌شود، اما عربستان سعودی ۵۰۰ هواپیمای جنگی بیشتر می‌خرد و لیبی قیمت نفت را افزایش می‌دهد.

۲۵. لیبی قیمت نفت را افزایش می‌دهد و کمبود مواد غذایی در مصر بدتر می‌شود.

حل تمرین‌های ستاره‌دار:

آ.
۱. درست
۵. درست
۱۰. درست
۱۵. نادرست
۲۰. درست
۲۵. نادرست

ب.
۱. درست
۵. نادرست
۱۰. درست
۱۵. درست
۲۰. نادرست
۲۵. نادرست
ج.
۱. درست
۵. درست
۱۰. نادرست
۱۵. نادرست
۲۰. درست
۲۵. نادرست

د.

۱. I • ~L
۴. ~I • ~L
۱۰. ~(E ∨ J)
۱۵. ~I V L
۲۰. (I • E)∨~(J • S)
۲۵5. (L • E) • (S • J)