درآمد به منطق
 بخش ۳: منطق جدید - فصل ۹ منطق نمادین :قسمت ۸
 Introduction to Logic- Irving M. Copi, Carl Cohen, Kenneth McMahon; 1953-2014
وبلاگ کتاب صفحه کتاب    

فصل نهم. منطق نمادین - قسمت هشتم- صورت گزاره‌ای و هم‌ارزی مادی

۹.۸ صورت گزاره‌ای و هم‌ارزی مادی 

  الف. صورت‌های گزاره‌ای و گزاره‌ها

در این قسمت بر آنیم تا به انگاره صورت گزاره‌ای که در قسمت قبل تلویحی مفروض گرفته بودیم، صراحت بخشیم. از یک‌سو میان نسبت استدلال به صورت استدلال و از سوی دیگر نسبت گزاره به‌صورت گزاره یک توازی دقیق وجود دارد. تعریف صورت گزاره‌ای چنین چیزی را آشکار می‌کند:

 صورت گزاره‌ای دنباله دلخواهی از نمادهاست به شمول متغیرهای گزاره‌ای و نه خود گزاره است، آنگونه‌که وقتی گزاره‌هایی را به‌طور یکسان، یعنی یک گزاره یکسان برای یک متغیر در سرتاسر صورت گزاره‌ای، جانشین متغیرهای گزاره‌ای نماییم، آنگاه نتیجه یک گزاره باشد.

ازاین‌قرار pq یک صورت گزاره‌ای است، زیرا وقتی گزاره جانشین متغیرهای p و  q نماییم، حاصل یک گزاره خواهد بود. چون گزاره‌ی حاصل یک ترکیب فصلی است، به  pq یک صورت گزاره‌ای فصلی گفته می‌شود. به همین قیاس pq و pq را صورت‌های گزاره‌ای عطفی و شرطی می‌نامند. همین‌طور p~ صورت نقضی نامیده. همان‌طور که به هر استدلال از یک صورت استدلالی نوعی، یک مورد جانشین آن صورت گفته، به هر گزاره از یک صورت خاص یک مورد جانشین آن صورت گزاره‌ای گفته.  نیز همان‌طور که صورت نوعی یک استدلال داده‌شده را تشخیص دادیم، صورت نوعی یک گزاره‌ داده‌شده نیز عبارت است از صورت گزاره‌ای که گزاره داده‌شده از آن به‌وسیله جانشینی سازگار یک گزاره ساده برای متغیرهای گزاره‌ای مختلف به دست آمده باشد. بنابراین p q صورت نوعی گزاره "زندانی نابینا یک کلاه قرمز دارد یا زندانی نابینا یک کلاه سفید دارد" است.

  ب. صورت‌های گزاره‌ای توتولوژیک، متناقض و ممکن

گزاره "لینکلن ترور شده است" (نمادین شده به شکل L) و گزاره "لینکلن ترور شده است یا نشده است" (نمادین شده به شکل L⋁~L) هردو آشکارا درست هستند. ولی، میگوییم درستی آن‌ها هرکدام "به طریق‌ مختلفی" است، یا درستی آن‌ها از "نوع مختلفی" است. به همین طریق "واشنگتن ترور شده است" (نمادین شده شکل W) و گزاره "واشنگتن ترور شده است و ترور نشده است" (نمادین شده به شکل W•~W) هردو آشکارا نادرست هستند، اما هریک "به طریق مختلف" نادرست هستند و یا نادرستی آن‌ها از "نوع مختلفی" است. این تفاوت در "نوع" درستی یا نادرستی بسیار با اهمیت و نیز بسیار گسترده است.

اینکه گزاره گزاره L درست است و گزاره W نادرست است، برخاسته از واقعیات تاریخی هستند، واقعیاتی درباره آن‌گونه که رویدادها روی‌داده‌اند. یک ضرورت منطقی درباره آن‌ها وجود ندارد. رویدادها ممکن بود جور دیگر روی دهند. بنابراین مقدار ارزش گزاره‌های L و  W را باید با مطالعه مشاهدات تاریخی کشف کرد. اما گزاره L~L گرچه درست است ولی یک درستی تاریخی نیست. در اینجا ضرورت منطقی حضور دارد: رویدادها نمی‌توانستند آن را نادرست سازند، و درستی آن فارغ از هر بررسی تاریخی خاص است. درستی گزاره L~L یک درستی منطقی، یک درستی صوری است و صرفاً به موجب صورت خود است که درست است. این گزاره مورد جانشین یک صورت گزاره‌ای است که همه موردهای جانشین آن، گزاره‌ها‌ی درست هستند.

یک صورت گزاره‌ای که فقط موردهای جانشینی درست دارد، یک صورت گزاره‌ای توتولوژیک، یا یک توتولوژی ( ریشه یونانی:  tauto: همان+ logos:  گفتن / بازگویی سخن گفته‌شده) نامیده می‌شود. برای آنکه نشان‌ دهیم صورت گزاره‌ای  p~p یک توتولوژی است، جدول ارزش آن را تشکیل می‌دهیم.

p  ~p p ~p
T F T
F T T

ازآنجاکه صورت موردبررسی فقط یک متغیر گزاره‌ای دارد، جدول ارزش آن نیز یک ستون آغازین یا راهنما خواهد داشت. بنابراین فقط دو سطر است که همه موارد ممکن جانشینی را نشان می‌دهند. در ستون گزاره موردبررسی فقط T وجود دارد، و این واقعیت نشان می‌دهد که همه موردهای جانشین آن درست هستند. هر گزاره که مورد جانشین یک صورت گزاره‌ای توتولوژیک باشد، به‌موجب صورت خود درست خواهد بود و به آن گزاره توتولوژیک یا یک توتولوژی گفته.

به یک صورت گزاره‌ای که فقط موردهای جانشین نادرست دارد، دارد، تناقض یا یک متناقض گفته، که منطقاً نادرست است. صورت گزاره‌ای p~p یک تناقض است، زیرا در جدول ارزش، در ستون زیر آن فقط F وجود دارد، که نشان می‌دهد همه موردهای جانشین آن نادرست هستند. هر گزاره‌ مانند  W~W که مورد جانشین یک صورت گزاره‌ای متناقض است، به‌موجب صورت خود نادرست است و به آن‌یک تناقض گفته می‌شود.

به ‌صورت‌های گزاره‌ای که در میان موارد جانشین آن درست و هم نادرست وجود دارد، صورت گزاره‌ای ممکن گفته می‌شود. به هر گزاره‌ که صورت نوعی آن ممکن است، یک گزاره ممکنه گفته. (باید یادآوری شود ما اینجا یک گزاره ساده را نه منطقاً درست و نه منطقاً نادرست در نظر گرفته‌ایم. فقط گزاره‌ها‌ی ساده ممکن در اینجا مجوز حضور دارند.) بنابراین صورت ‌های:

p,  ~p,  p • q,  p q  ،p q

صورت‌های گزاره‌ای ممکن هستند و همچنین گزاره‌های:

  L,  ~L,  L • W,  L W,  L W

 گزاره‌های ممکن هستند، زیرا جدول ارزش آن‌ها وابسته و مشروط به محتوی آن‌ها است و نه به‌ صورت آن‌ها.

همه صورت‌های گزاره‌ای‌یِ توتولوژیک یا متناقض یا ممکن به آشکاری مثال‌هایی که در بالا آمد نیستند. برای مثال، گرچه جدول ارزش نشان می‌دهد صورت:

  [(pq)p]p

یک توتولوژی است و نام مخصوص به خود، قانون پیرس، را نیز دارد ولی صورت ظاهر آن هرگز توتولوژی بودن آن‌ را مشخص نمی‌کند.

   ج. هم‌ارز مادی

هم‌ارزی مادی مانند فاصل ()، عاطف () و استلزام مادی () که رابط‌های تابع-ارزش هستند، نیز یک رابط تابع ارزش است. همان‌طور که قبلاً توضیح دادیم، مقدار ارزش هر رابط تابع-ارزش  وابسته به (تابعی از) درستی و نادرستی گزاره‌هایی است که آن‌ها را به هم ربط  می‌دهد. به این جهت است که میگوییم ترکیب فصلی A و B وقتی درست است که A درست باشد یا  B درست باشد یا وقتی‌که هردوی آن‌ها درست باشند. هم‌ارزی مادی نیز یک رابط تابع-ارزش است که می‌گوید، گزاره‌هایی را که به هم می‌پیوندد دارای مقدار ارزش یکسان هستند. بنابراین دو گزاره که در مقدار ارزش معادل (هم‌ارز) باشند، هم‌ارز مادی هستند. یک تعریف سرراست از هم‌ارز مادی بدین قرار است: دو گزاره را هم‌ارز مادی گویند، هرگاه هر دو درست یا هردو نادرست باشند. همان‌گونه که نماد فصل گُوِه ()، و نماد استلزام‌ مادی نعل اسبی ()، است، برای هم‌ارزی مادی نیز یک نماد، یعنی سه خطی " "، وجود دارد. همان روش را که در مورد جدول ارزش گوه و نعل اسبی بکار بردیم، می‌توان برای جدول ارزش سه خطی بکار برد. در زیر جدول ارزش هم‌ارزی مادی، ، آمده است.

p q p q
T T T
T F F
F T F
F F T

هر دو گزاره درست مستلزم مادی یکدیگر هستند و این پیامدِ معنی استلزام مادی است. بنابراین، وقتی دو گزاره هم‌ارز مادی هستند، باید مستلزم یکدیگر باشند، چراکه هردو درست یا هردو نادرست هستند.

ازآنجاکه هر دو گزاره هم‌ارز مادی A و B مستلزم یکدیگرند، می‌توان از هم‌ارز مادی بودن آن‌ها نتیجه گرفت که B درست است اگر A درست باشد و نیز B درست است فقط اگر A درست باشد. چون هم‌ارزی مادی مستلزم هردوی این رابطه‌هاست، بنابراین نشان سه خطی، ، را چنین می‌خوانیم که می‌گوید "اگر و فقط اگر".

در گفتار رایج گاهی از این رابط منطقی استفاده می‌شود. برای مثال یک فرد ممکن است بگوید، من به تماشای مسابقه فینال خواهم رفت، اگر و فقط اگر بتوانم بلیت تهیه کنم. من به تماشای مسابقه فینال خواهم رفت، اگر بتوانم بلیت تهیه کنم، اما اگر فقط بتوانم بلیت تهیه کنم به تماشای مسابقه فینال خواهم رفت. بنابراین رفتن من به تماشای مسابقه فینال و به دست آوردن بلیت توسط من هم‌ارز مادی هستند.

همان‌طور که قبلاً گفته‌ایم هر استلزام یک گزاره شرطی است. دو گزاره A و B که هم‌ارز مادی هستند، مستلزم درستی گزاره شرطی AB و همچنین مستلزم درستی گزاره شرطی BA هستند. از آنجا که وقتی هم‌ارزی مادی برقرار است، استلزام دوسویه است، در بیشتر موارد به گزاره  A B یک دو شرطی  گفته.

چهار رابط تابع ارزش یعنی: عطف، فصل، استلزام مادی و هم‌ارزی مادی وجود دارد که یک استدلال استنتاجی عموماً بر آن‌ها استوار است،. بحث ما درباره این مجموعه چهارگانه اکنون دیگر تمام است.

 
مرور کلی
چهار رابط تابع-ارزش
رابط تابع-ارزش نماد نوع گزاره نام مؤلفه‌‌ها مثال
و عطفی فصل پرویز کارمند است و پروین دانشجو است.
یا فصلی عطف پرویز کارمند است یا پروین خواننده است.
اگر . . . آنگاه شرطی مقدم-تالی اگر پرویز بخواند آنگاه پروین بدخلق می‌شود.
اگر و تنها اگر دو شرطی مؤلفه پروین بدخلق می‌شود اگر و تنها اگر پرویز بخواند.

 

   د. استدلال، گزاره‌های شرطی و توتولوژی

به هر استدلال یک گزاره شرطی نظیر می‌شود که مقدم آن عطف مقدمه‌های استدلال است و تالی آن نتیجه آن استدلال است. بنابراین یک استدلال که به‌صورت قیاس استثنایی است:

p q
p

را می‌توان به‌عنوان ‌یک گزاره شرطی با صورت:

[ (p q) • p] q

 بیان کرد. اگر یک استدلال که به‌صورت یک گزاره شرطی بیان‌شده، معتبر باشد آنگاه نتیجه آن در هر حالت باید از مقدمات آن به دست آید و بنابراین با استفاده از جدول ارزش می‌توان نشان داد که گزاره شرطی یک توتولوژی است. بنابراین گزاره‌ای که می‌گوید عطف مقدمات مستلزم نتیجه است (اگر استدلال معتبر است)، آنگاه باید فقط دارای موردهای درست باشد.

جداول ارزش ابزار توانمند برای برآورد استدلال‌ها هستند. یک صورت استدلالی معتبر است اگر و فقط اگر جدول ارزش آن در زیر ستون نتیجه و در هر سطر که همه مقدمات T هستند، T باشد. این به دست آمده از معنی دقیق "اعتبار" است. حال اگر یک گزاره شرطی که یک صورت استدلالی را بیان می‌کند، عنوان ‌یک ستون از جدول ارزش باشد، آنگاه در آن ستون وقتی می‌تواند F وجود داسته باشد که در بقیه سطر جدول (سطری که گزاره شرطی F است) برای همه مقدمات T وجود داشته ولی برای ستون نتیجه F وجود داشته باشد. اما اگر استدلال معتبر باشد چنین سطری وجود نخواهد داشت. بنابراین فقط Tزیر ستون گزاره شرطی متناظر با استدلال خواهد بود و این گزاره شرطی باید یک توتولوژی باشد. بنابراین می‌توان گفت:

 یک صورت استدلالی معتبر است اگر و فقط اگر بیان آن به‌صورت یک گزاره شرطی یک توتولوژی باشد
(که در آن مقدم عطف مقدمات استدلال داده‌شده و همچنین تالی نتیجه استدلال داده‌شده است).

اما، برای یک استدلال نامعتبر، از گونه تابع-ارزش، گزاره متناظر آن‌یک توتولوژی نخواهد بود. گزاره‌ای که در آن عطف مقدمات استدلال مستلزم نتیجه استدلال باشد (برای یک استدلال نامعتبر) یک ممکنه یا تناقض خواهد بود.

 

تمرین:

الف- برای هریک از گزاره‌های زیر که در سمت چپ آمده‌اند، نشان دهید مورد جانشین کدام صورت‌ گزاره‌ای در سمت راست، در صورت وجود، هستند، و نیز نشان دهید کدام، در صورت وجود، صورت نوعی گزاره داده‌شده است.

 

ب- با کاربرد جدول ارزش، هریک از صورت‌های گزاره‌ای زیر را به‌عنوان توتولوژی، تناقض و ممکن متمایز نمایید.

 

ج- با کاربرد جدول ارزش معین کنید کدام‌یک از دو شرطی‌های زیر توتولوژی هستند.

 

exsrz10 2

 

وبلاگ کتاب صفحه کتاب