درآمد به منطق
 بخش ۳: منطق جدید - فصل ۹ منطق نمادین :قسمت ۹
 Introduction to Logic- Irving M. Copi, Carl Cohen, Kenneth McMahon; 1953-2014
خوارزمی
وبلاگ کتابصفحه کتاب  

فصل نهم. منطق نمادین - قسمت نهم- هم‌ارزی مادی  آخرین ویرایش:۱۳۹۵/۰۸/۰۱

۹.۹ هم‌ارزی منطقی

 در این قسمت ما نه یک رابط، بلکه یک رابطه مهم و بسیار مفید را معرفی می‌کنیم و آن‌گونه که خواهیم دید از رابط‌های تابع ارزش بررسی‌شده  پیشین پیچیده‌تر است.

گزاره‌ها وقتی دارای ارزش یکسان هستند که هم‌ارزی مادی باشند. با توجه به آنکه دو گزاره هم‌ارز مادی هردو درست یا هردو نادرست هستند، به‌سادگی می‌توان دریافت آن‌ها باید (به‌طور مادی) مستلزم یکدیگر باشند، زیرا یک مقدم نادرست مستلزِم ‌مادی هر گزاره‌ای‌ است و یک تالی درست می‌تواند لازم شده [مستلزَم] ‌مادی هر گزاره‌ای باشد. به همین علت هم است که نشان سه خط،  ، را به‌صورت "اگر و فقط اگر" می‌خوانیم.

اکنون باید روشن باشد که نمی‌توان گزاره‌ها‌ی هم‌ارز مادی را بجای یکدیگر بکار گرفت، آنچه ما از گزاره‌های هم‌ارز مادی می‌فهمیم فقط این است که دارای مقدار ارزش یکسان هستند. گزاره‌های "مشتری از زمین بزرگ‌تر است" و "توکیو پایتخت ژاپن است" هم‌ارز مادی هستند، زیرا هردو درست هستند. اما آشکار است که آن‌ها قابلیت تعویض با یکدیگر را ندارند. به همین ترتیب، گزاره "همه‌ی عنکبوتان سمی هستند" و "هیچ عنکبوتی سمی نیست" صرفاً ازاین‌جهت که هردو نادرست هستند هم‌ارز مادی هستند و البته نیز روشن است که نمی‌توان آن‌ها را با یکدیگر تعویض برد.

اما موارد بسیاری هست که باید رابطه‌ای معرفی شود تا به تعویض دوسویه مجوز دهد. دو گزاره می‌توانند قوی‌تر ازآنچه هم‌ارزی مادی می‌گوید، هم‌ارز باشند. آن‌ها می‌توانند به این معنی هم‌ارز باشند که هر گزاره‌ای دریردارنده یکی از آن‌ها باشد آنگاه به‌تمامی بتواند دربردارنده دیگری نیز باشد. اگر حالت ممکنی که در آن، یکی از این گزاره‌ها درست باشد درحالی‌که دیگری نادرست باشد وجود نداشته باشد، آنگاه این گزاره‌ها منطقاً هم‌ارز خواهند بود.

البته هر دو گزاره منطقاً هم‌ارز، هم‌ارز مادی نیز هستند، زیرا هردو دارای مقدار ارزش یکسان هستند. درواقع، هرگاه دو گزاره منطقاً هم‌ارز باشند، در تمام حالات هم‌ارز مادی خواهند بود— توضیحی که به دنبال می‌آید گرچه کوتاه اما یک تعریف توانمند برای هم‌ارزی منطقی است: دو گزاره منطقاً هم‌ارز هستند اگر گزاره هم‌ارزی ‌مادی آن‌ها یک توتولوژی باشد. به عبارت دیگر، این گزاره که آن‌ها باید مقدار ارزش یکسان داشته باشند، باید ضرورتاً درست باشد. به همین دلیل است که برای نشان دادن این رابطه بسیار قوی منطقی از سه خطی ()  و یک T که بالای آن قرار دارد، R، استفاده خواهیم کرد، به این قصد که نشان دهیم این رابطه منطقی دارای این سرشت است که هم‌ارزی مادی دو گزاره آن، یک توتولوژی است. ازآنجاکه هم‌ارزی مادی یک دو شرطی است (دو گزاره که مستلزم مادی یکدیگرند)، می‌توان چنین نیز پنداشت که نماد هم‌ارزی منطقی ،R، بیانگر یک دو شرطی توتولوژیک است.

بعضی هم‌ارزی‌های منطقی که بسیار نیز بکار می‌روند این رابطه و توانمندی فوق‌العاده آن را نشان می‌دهند. این معمول است که p و p~~ هردو معنی یک چیز را بدهند، "او از سختی‌ها آگاه است" و "او از سختی‌ها ناآگاه نیست" دو گزاره با محتوی یکسان هستند. درواقع هریک از این دو گفته می‌توانند با دیگری تعویض (جایگزین) شوند، زیرا هردو یک چیز می‌گویند. این اصل که موسوم به نقض مضاعف است و درستی آن بر همگان آشکار است، را می‌توان در یک جدول ارزش نمایان ساخت،  که در آن نشان داده هم‌ارزی مادی این دو صورت گزاره‌ای یک توتولوژی است.

p ~p~~ppR ~~p
TFTT
FTTT

این جدول نشان می‌دهد که p و p~~ منطقاً هم‌ارز هستند. این هم‌ارزی بسیار سودمند یعنی نقض مضاعف به شیوه زیر نمادین می‌شود.

 p R ~~p

تفاوت بین هم‌ارزی مادی از یک‌سو و هم‌ارزی منطقی از سوی دیگر بسیار ژرف و بااهمیت است. اولی، ≡، یک رابط تابع ارزش است که با توجه به درستی و نادرستی پیوست‌های ربط داده‌شده، می‌تواند درست یا نادرست باشد، اما دومی، R، یعنی هم‌ارزی منطقی صرفاً یک رابط نیست، بلکه بیان یک رابطه میان دو گزاره نیز هست که تابع-ارزش نیست. دو گزاره وقتی منطقاً هم‌ارز هستند که  مطلقاً ممکن نباشد دارای مقادیر ارزش متفاوت باشند. اما اگر آن‌ها همیشه مقدار ارزش یکسان دارند، پس باید معنی یکسان داشته باشند و بنابراین می‌توان بدون تغییر در مقدار ارزش در هر زمینه (عالم سخن) تابع-ارزشی و بدون تغییر مقدار ارزش درزمینهٔ، آن‌ها را جانشین یکدیگر کرد. برعکس، دو گزاره که هم‌ارز مادی هستند صرفاً از قرار حادثه است که دارای مقدار ارزش یکسان شده‌اند، حتی اگر هیچ ارتباطی مبتنی بر واقعیات نیز بین آن‌ها نباشد. گزاره‌هایی که فقط  هم‌ارز مادی هستند را قطعاً نمی‌توان جانشین یکدیگر کرد!

دو هم‌ارزی منطقی (یعنی دو دوشرطی منطقاً درست) معروف و  مهم وجود دارند و این اهمیت ازآن‌جهت است که آن‌ها بیانگر روابط بین ترکیب عطفی و ترکیب فصلی و همچنین نقیض آن‌ها هستند. بنابراین، این دو هم‌ارزی منطقی را از نزدیک بررسی خواهیم‌ کرد.

چگونه باید درستی یک ترکیب فصلی را انکار کرد؟ هر ترکیب فصلی pq  چیزی  بیش از این نمی‌گوید که حداقل یک فصل آن درست است. کافی ‌نیست با گفتن آنکه حداقل یکی از این فصل‌ها نادرست هست، آن را انکار کرد؛  بلکه (برای انکار آن) باید گفت هر دو فصل نادرست هستند. بنابراین پذیرش نقیض ترکیب فصلی  pq منطقاً هم‌ارز است با پذیرش عطف نقیض p و نقیض q. برای نشان دادن این مطلب با جدول ارزش، این دوشرطی را به‌صورت:

~(pq) (~p~q)

 پیکربندی و آن را در بالای جدول و در ستون مخصوص خود قرار داده، سپس جدول ارزش را برای همه حالات ممکن در هر سطر پر می‌کنیم:

 

p pp⋁q~(p⋁q)~p~q~p•~q~(pq)≡(~p•~q)
TTTFFFFT
TFTFFTFT
FTTFTFFT
FFFTTTTT

 

همان‌طور که دیده ‌می‌شود، این دوشرطی برای هر مقدار ارزش p و  هرچه می‌خواهند باشند،  باید درست باشد. این، یک توتولوژی است. چون گزاره این هم‌ارزی یک توتولوژی است، نتیجه می‌گیریم این دو عبارت منطقاً هم‌ارز هستند.  آنچه انجام دادیم درواقع اثبات آن بود که:

~(pq) R (~p~q)

به همین روش و ازآنجاکه پذیرفتن ترکیب عطفی p و q عبارت از پذیرفتن درستی هردو است، برای نقض این پذیرش فقط نیاز است بپذیریم حداقل یکی از آن‌ها نادرست است. بنابراین پذیرفتن نقیض ترکیب عطفی (p • q)، منطقاً هم‌ارز پذیرفتن ترکیب فصلی نقیض p و نقیض q است. با استفاده از نماد در جدول ارزش می توان نشان داد که:

~(p q)R(~p~q)

یک توتولوژی است.

این دو دوشرطی‌های توتولوژیک یا به‌عبارت‌دیگر هم‌ارزی‌های منطقی مشهور به قضیه‌های دمورگان هستند، زیرا آن‌ها به‌صورت رسمی توسط ریاضیدان و منطقی آگوستوس دمورگان (Augustus De Morgan 1806-1871) معرفی‌شده‌اند. قضایای دمورگان را می‌توان در زبان فارسی  به‌صورت زیر پیکربندی کرد.

 

آ. نقیض ترکیب فصلی دو گزاره منطقاً با ترکیب عطفی نقیض آن دو گزاره هم‌ارز است.

ب. نقیض ترکیب عطفی دو گزاره منطقاً یا ترکیب فصلی نقیض آن دو گزاره هم‌ارز است.

 

این دو قضیه دمورگان نشان خواهند داد که بسیار سودمند خواهند بود.

 

هم‌ارزی منطقی دیگری هست که هنگام انجام اعمال روی رابط‌های تابع-ارزش بسیار مفید است. همان‌طور که پیش‌تر در این فصل دیدیم (قسمت ۹.۳)، هم‌ارزی مادی،⊂، را به‌عنوان یک روش کوتاه برای گفتن  (p ~q)~ تعریف کردیم. به‌عبارت‌دیگر، معنی "p مستلزم مادی  q است"  بنا بر تعریف عبارت است از اینکه چنین نیست که p درست باشد و حال‌آنکه q نادرست باشد. می‌توان در این تعریف مشاهده کرد که تعریف-گر[معرِِف] یعنی (p ~q)~ عبارت است از نقیض یک ترکیب عطفی؛  و از طرفی بنا بر قضایای دمورگان میدانیم که این‌چنین انکاری منطقاً هم‌ارز ترکیب فصلی نقیض عطف‌ها است،  یعنی (p ~q)~ منطقاً هم‌ارز  ( p ~~q~) است، و با توجه به اصل نقض مضاعف و کاربرد آن، این عبارت منطقاً هم‌ارز  pq~ خواهد بود. عبارت‌های هم‌ارز منطقی معنی یک چیز هستند و بنابراین تعریف‌-گر اصلی برای ، یعنی، (p ~q)~ را می‌توان بدون هیچ تغییر در معنی با عبارت pq~ جایگزین(تعویض) کرد. این مطلب یک تعریف بسیار مفید از استلزام مادی را  مطابق زیر ارائه می‌کند:

                                   pq منطقاً هم‌ارز  ~pq است.

که آن را به‌طور نمادین می‌توان به‌صورت زیر نیز نوشت:

(p q) R  (~p q)

در پیکربندی گزاره‌های منطقی و تحلیل استدلال‌ها، به این تعریف از استلزام مادی بسیار زیاد رجوع می‌شود. اغلب، انجام تغییرات (در پیکربندی) ضرورت پیدا می‌کند و  انجام این تغییرات بسیار کاراتر است اگر در گزاره‌های مورد عمل رابط‌های اصلی یکسان به‌کاررفته ‌باشند. با این تعریف ساده از  ⊂، فقط نشان می‌دهیم که ( q) R (~pq)، و بنابراین گزاره‌هایی که در آن‌ها رابط ⊂ به‌کاررفته است به‌راحتی می‌توانند با گزاره‌هایی با رابط عطفی جایگزین(تعویض) گردند؛  و به همین ترتیب گزاره‌ها با ترکیب فصلی را می‌توان با گزاره‌های استلزامی جایگزین(تعویض) نمود. زمانی که قصد داریم یک برهان صوری برای اعتبار یک استدلال استنتاجی ارائه کنیم، این‌گونه جایگزینی‌ها(تعویض‌ها) بسیار سودمند و موردنیاز خواهد بود.

قبل از آنکه در قسمت بعد به آزمون اعتبار و بی‌اعتباری بپردازیم، شایسته است در اینجا برای بررسی بیشتر معنی استلزام مادی، توقف کوتاهی داشته باشیم. استلزام نقش مرکزی در استدلال دارد، اما همان‌طور که پیش‌تر گفتیم، واژه "مستلزم" بسیار چندمعناست. استلزام مادی، که بر اساس آن این تحلیل را قرار می‌دهیم، فقط یک برداشت و البته یک برداشت مهم از این واژه است. تعریف استلزام مادی، آن‌طور که در بالا آمد، آشکار می‌کند که وقتی در این برداشت مهم  میگوییم "p مستلزم q است"، چیزی بیشتر از اینکه "q درست یا p نادرست است" را نمی‌گوییم.

تصدیق یک گزاره "اگر- آنگاه" با برداشت در بالاآمده دارای پیامدهایی است که ممکن است به نظر تناقض‌آمیز بیاید. مطابق این برداشت می‌توانیم به‌طور صحیح بگوییم "اگر یک گزاره درست است، آنگاه هرگز اره دیگری هر چه که می‌خواهد باشد، مستلزم آن است".  بنابراین چون درست است که زمین گرد است پس ساخته‌شدن ماه از پنیر تازه مستلزم گرد بودن زمین است. این به نظر خیلی غریب می‌آید؛ و به‌ویژه آنکه می‌توان ادامه داد و گفت "ماه از پنیر تازه ساخته نشده است مستلزم گرد بودن زمین است". همچنین فهم دقیق استلزام مادی، ما را به‌طور صحیح وامی‌دارد تا بگوییم، "اگر یک گزاره نادرست است، آنگاه آن مستلزم هر گزاره‌ای هرچه می‌خواهد باشد است" و به دنبال آن می‌توان گفت "ماه از پنیر ساخته شده است مستلزم گرد بودن زمین است" و بسیار غریب‌تر به نظر خواهد آمد که دریابیم می‌توان گفت "ماه از پنیر ساخته شده است، مستلزم گرد نبودن زمین است"

چرا این جملات به نظر غریب می‌نمایند؟ زیرا  تشخیص می‌دهیم شکل زمین و پنیری بودن ماه اساساً بدون ارتباط  باهم هستند. آن‌گونه که ما در زبان معمول واژه "مستلزم است" را بکار می‌بریم، یک گزاره نمی‌تواند مستلزم گزاره دیگری، درست یا نادرست باشد که اساساً با آن بی‌ارتباط است. این آن چیزی است که در اکثر موارد از "مستلزم است" در کاربرد عادی برای آن در نظر می‌گیریم. درعین‌حال نیز، آن گزاره‌های "تناقض‌آمیز" در پاراگراف بالا به‌واقع درست هستند و هرگز مسئله‌دار نیستند، زیرا در آن‌ها واژه "مستلزم است" در برداشت منطقی آن یعنی "استلزام مادی" بکار گرفته‌شده است.

آنچه باید در ذهن بماند این است ‌که: فقره‌ی معنی به‌تمامی بی‌ارتباط با استلزام مادی است. استلزام مادی یک تابع-ارزش است. فقط مقدار ارزش درستی/نادرستی مقدم و تالی و نه محتوی آن‌ها در آن مدخلیت دارند. چیز تناقض‌آمیزی در این نیست، که گفته شود یک ترکیب شرطی وقتی درست است که دارای یک فصل درست باشد. بنابراین وقتی میگوییم "ماه از پنیر ساخته شده است مستلزم گرد بودن زمین است"، می‌دانیم که این هم‌ارز منطقی با "ماه از پنیر ساخته شده است یا زمین گرد است" است- یعنی یک ترکیب فصلی که قطعاً درست است. "ماه از پنیر ساخته نشده است" که فصل اول است فارغ از آنکه گزاره دوم چه باشد، درست است. بنابراین چنین است که "ماه از پنیر ساخته شده است (به‌طور مادی) مستلزم آن است که زمین گرد است". یک گزاره نادرست مستلزم مادی هرگز اره هرچه می‌خواهد باشد، است. هر گزاره هرچه که می‌خواهد باشد مستلزم مادی یک گزاره درست است.

همان‌طور که گفتیم، باید با هر رویداد "اگر – آنگاه"، به‌عنوان یک استلزام مادی رفتار شود و نیز با نماد نشان داده شود. توجیه این عمل، یعنی ماحصل منطقی آن، این است که انجام  این کار اعتبار همه‌ی استدلال‌های معتبر از آن‌گونه را که در اینجا بر آن‌ها متمرکز بودیم، حفظ می‌کند. نمادگذاری‌های دیگری برای انواع دیگر استلزام‌ها ارائه‌شده‌اند، اما آن‌ها متعلق به بخش‌های پیشرفته‌تر منطق، فراتر از قلمرو این کتاب، هستند.

۱.۹.۹   استلزام منطقی و نتیجه منطقی

<<توجه: این قسمت توسط برگرداننده ضمیمه شده و خواندن آن برای ادامه کتاب موردنیاز نیست. در یادداشت‌های منطق به این بند رجوع شده است.>>

در اینجا نیز نه یک رابط، بلکه یک رابطه مهم دیگر را معرفی می‌کنیم و همان‌‌گونه که درباره هم‌ارزی منطقی گفته شد، خواهیم دید این نیز از رابط‌‌های تابع-ارزشی بررسی‌شده پیشین پیچیده‌تر است.

صورت گزاره‌ای α را منطقاً مستلزم  صورت گزاره‌ای β، یا β را نتیجه منطقی  α گوییم اگر و فقط اگر هر گمارش مقادیر ارزش به متغیرهای گزاره‌ای α که α را درست بر‌می‌آورد، β را نیز درست برآورد. اگر α منطقاً مستلزم β باشد گوییم بین  α و  β رابطه استلزام منطقی برقرار است. آشکار است که در این صورت  αβ یک صورت توتولوژیک است. بنابراین αβ یک استلزام منطقی است اگر استلزام مادی آن، یک توتولوژی باشد.

 رابطه استلزام منطقی را با نماد نشان می‌دهند. بنابراین αβ رابطه استلزام منطقی بین صورت گزاره‌ای αو صورت گزاره‌ای β را نشان می‌دهد. استلزام منطقی یک رابطه یک‌سویه است، یعنی از استلزام منطقی بین α و β لزوماً یک استلزام منطقی بین β و α به دست نمی‌آید. برای مثال فرض کنید αصورت گزاره‌ای (pq)~q و β صورت گزاره‌ای ~p باشد. سطر ۴‌ جدول زیر نشان می‌دهد صورت گزاره‌ای α منطقاً مستلزم صورت گزاره‌ای β است (بعلاوه نشان می‌دهد صورت گزاره‌ای β منطقاً مستلزم صورت گزاره‌ای α نیست.)

سطرpqpq~q α: (pq)•~q β : ~p [(pq)•~q)](~q)
۱TTTFFFT
۲TFFTFFT
۳FTTFFTT
۴FFTTTTT
 این جدول ارزش نشان می‌دهد برای هر گمارش که α درست است، β نیز درست است. بعلاوه نشان می‌دهد صورت گر اره‌ای در عنوان ستون آخر توتولوژی است.

 

ازآنچه گفته شد می‌توان نوشت:

گیریم p۲ و  p۱ صورت‌های گزاره‌ای، آنگاه  p۱p۲  اگر و فقط اگر   p۱p۲توتولوژی باشد.
همیشه یک استلزام منطقی یک استلزام مادی نیز است ولی عکس آن لزوماً درست نیست.

و به‌آسانی می‌توان دید که:

 اگر صورت گزاره‌ای آ منطقاً مستلزم صورت گزاره‌ای ب باشد و نیز صورت گزاره‌ای ب منطقاً مستلزم صورت گزاره‌ای آ باشد آنگاه صورت‌های گزاره‌ای آ و ب منطقاً هم‌ارز هستند و نیز برعکس.

تفاوت بین استلزام مادی از یک‌سو و استلزام منطقی از سوی دیگر بسیار ژرف و بااهمیت است. اولی، ، یک رابط تابع-ارزشی است که با توجه به درستی و نادرستی پیوست‌های ربط داده‌شده، می‌تواند درست یا نادرست باشد، اما دومی، ، یعنی استلزام منطقی صرفاً یک رابط نیست، بلکه بیان یک رابطه میان دو صورت گزاره‌ای هست که تابع-ارزشی نیست. یک گزاره وقتی منطقاً مستلزم گزاره دیگری است[به‌عبارت‌دیگر، وقتی گزاره دوم نتیجه منطقی گزاره اول است] که مطلقاً ممکن نباشد اولی دارای مقدار ارزش درست و دومی دارای مقدار ارزش نادرست گردد. اما اگر همیشه چنین است، پس باید معنی گزاره اولی دربردارنده معنی گزاره دومی باشد و بنابراین می‌توان بدون تغییر در مقدار ارزش در هر زمینه تابع-ارزش و نیز بدون تغییر در مقدار ارزش زمینه، دومی را جانشین اولی کرد ولی نه لزوماً عکس آن. اما وقتی یک گزاره مستلزم مادی گزاره دیگری است، صرفاً از قرار حادثه است که چنین نیست گزاره اول دارای مقدار ارزش درست و گزاره دوم دارای مقدار ارزش نادرست باشد، حتی اگر هیچ ارتباطی مبتنی بر واقعیات نیز بین آن‌ها نباشد. بنابراین در هر استنتاج‌ می‌توان گزاره‌ای که نتیجه منطقی بعضی گزاره‌های پیشین در استنتاج است را — به‌نوبت خود به‌عنوان گزاره‌ای پدید آمده در روند [استنتاج] — به استنتاج افزود.

تعمیم رابطه استلزام منطقی:

 تعریف را می‌توان تعمیم داد و گفت صورت‌های گزاره‌ای  α۱ , α۲ , . . . ,αn منطقاً مستلزم  صورت گزاره‌ای β، یا  β نتیجه منطقی صورت‌های گزاره‌ای  α۱ , α۲ , . . . ,αn است اگر و فقط اگر برای هر گمارش مقدار ارزش که α۲ ،α۱، . . . و  αnرا توأمان درست بر‌می‌آورد، β را نیز درست برآورد.  در این صورت

α۱α۲• . . . •αnβ

یک صورت توتولوژیک است.

بنابراین، می‌توان نوشت:

α۱ , α۲ , . . . ,αn β اگر و فقط اگر  α۱α۲• . . . •αnβ  توتولوژی باشد.

 

۲.۹.۹   صدق(درستی) و سرایت آن:

از ویژگی مهم استلزام منطقی سرایت صدق در آن است، یعنی اگر مقدم [یا مقدم‌های آن] درست باشد آنگاه تالی آن به‌ضرورت درست است. به‌عبارت‌دیگر، استلزام منطقی درستی[صدق] مقدم را به تالی سرایت می‌دهد.

با رجوع به جدول ارزش صورت نوعی استدلال‌های  قیاس منفصله، قیاس استثنائی، قیاس اقترانی، قیاس شرطی، معرفی‌شده در همین فصل، می‌توان از هر یک از آن‌ها یک استلزام منطقی به دست آورد؛ به این نحو که مقدم و تالی این استلزام منطقی به ترتیب  عبارت باشد از عطف مقدمات و نتیجه آن استدلال. برای مثال در مورد قیاس استثنایی استلزام منطقی زیر را داریم:

(p(pq))q

 بنابراین صورت‌های استدلال‌های ذکرشده سرایت دهنده صدق هستند. بنابراین هر استدلال که فقط از این صورت‌های استدلال مقدماتی استفاده نماید متقن بودن استدلال خدشه‌دار نخواهد بود.

 

وبلاگ کتابصفحه کتاب